модульное обучениеx
advertisement
Технология модульного обучения как средство реализации развивающей функции математики при изучении профильного курса алгебры и начал анализа Учитель математики МОУ гимназии №4 г. Люберцы Костылева Маргарита Валентиновна К числу важнейших задач модернизации школьного образования следует отнести задачу разностороннего развития детей, их знаний, умений, навыков, творческих способностей, формирования у молодежи навыков самообразования, готовности и адаптации к меняющимся социальным условиям жизни общества. В рамках решения этой задачи учащиеся должны овладеть программами, насыщенными академическими знаниями. Поэтому в старших классах профильное обучение целесообразно осуществлять в рамках модульного обучения, достигающего по сложности изучаемого материала продвинутого или углублённого уровня и на базовом уровне сложности дополняющего учебный процесс. Модуль – это целевой функциональный блок, в котором объединены учебное содержание и технология овладения им. Содержание обучения представляется в законченных самостоятельных информационных блоках, усвоение которых осуществляется в соответствии с целями: ближние – зона актуального развития (знания, умения и навыки), зона ближайшего развития (общеучебные умения и навыки) и перспективные (развитие способностей и личностных качеств обучающихся). «Цели при данном обучении формулируются в терминах методов деятельности и способов деятельности и способов действий и разделяются на циклы познания и циклы других видов деятельности» [2]. Данная технология предполагает использование творческого отношения обучаемого к учению, дифференциации и индивидуализации обучения (работа по индивидуальным образовательным траекториям), на основе многократно повторяющейся диагностики с целью определения уровня знаний, образовательных потребностей каждого ученика в соответствии с его склонностями, интересами и возможностями, индивидуального темпа учебной деятельности обучаемого, осознание им перспективы обучения, создание условий для улучшения качества обучения и развития. Обеспечивается самостоятельное, осознанное достижение определенного уровня в учении. Используется технология укрупнения блоков теоретического материала (технология УДЕ (укрупнение дидактических единиц)). Главная цель модульного обучения состоит в том, чтобы создать комфортный темп работы обучаемого, возможность определения им своих возможностей, гибкое построение содержания обучения, интеграцию его различных форм и видов, достижение высокого уровня конечных результатов. В основе модульного обучения лежат субъект-субъектные отношения между учителем и учеником, построение совместной деятельности учителя и ученика (построение и реализация индивидуальной образовательной траектории учащихся). Учащиеся определяют свои цели изучения темы, которые содержат в себе не только указание на объем знания, но и на уровень его усвоения, а учитель выстраивает свое целеполагание, определяет содержание и объем педагогической помощи учащимся. Методы, используемые при модульном обучении: объяснительноиллюстративный, эвристический, проблемный, исследовательский. Модульная технология представляет собой циклы уроков (формы проведения уроков – лекции, комбинированные уроки, практикумы, семинары, консультации); средства обучения: учебно-методические материалы, ПК, мультимедийный проектор, интерактивная доска, тестовые задания, система разноуровневых задач, прикладные задачи, индивидуальные образовательные траектории; основные средства диагностики: текущие устные опросы, уроки – зачеты, защита проектов, разноуровневые контрольные работы, самостоятельные работы, дифференцированные домашние работы, самоконтроль, взаимное рецензирование письменных (самостоятельных и контрольных) работ по плану: определи правильность выполнения рисунка, чертежа, записи условия задачи, определи правильность решения задачи, выясни, можно ли решить задачу другим, более рациональным способом (укажи его), если есть ошибки, исправь их, составь аналогичную задачу; тесты по темам, рейтинговая форма контроля, участие в олимпиадах, подготовка и участие в ЕГЭ. Главное отличие модульной технологии – построение совместной деятельности учителя индивидуальной определяют свои и ученика образовательной цели (построение траектории изучения темы, и осуществление учащихся). учитель Учащиеся выстраивает свое целеполагание, определяет содержание и объем педагогической помощи учащимся. Модульная педагогическая технология ориентирована на развитие ученика, его склонностей и способностей, личностных качеств. Она позволяет достичь следующих результатов: • законченности блоков содержания; • интеграции видов и форм обучения; • осуществлять индивидуальный подход к учащимся, которые могут самостоятельно работать по своей индивидуальной траектории образования; • экономия учебного времени; • каждому ученику работать в своем темпе; • формировать у выпускников навыки самообразования, самообучения и самоорганизации, осознанного целеполагания и самоцелеполагания; • интенсифицировать учебный процесс; • включать каждого в осознанную учебную деятельность, мотивировать ее; достигать каждому учащемуся поставленных целей. Модульное обучение проходит в несколько этапов: Отбор предметного содержания согласно уровню изучения темы Мотивация обучающихся, составление индивидуальных образовательных траекторий Диагностика. Самооценка, самоконтроль. Коррекция знаний учащихся Модульное обучение Отчёт о проделанной самостоятельной домашней работе І этап (мотивационный): Подведение итогов. Результат освоения модуля. Рефлексия учебной деятельности целеполагание учащихся (в процессе составления индивидуальной траектории обучения по каждой теме), определение уровня изучения материала (подбор индивидуальных заданий, тем для самостоятельного освоения, участие в проектно – исследовательской работе); помощь ученикам при включении в работу: разбор вопросов на повторение; организация диалога школьников с целью уточнения общего уровня усвоенных знаний; создание проблемных ситуаций перед изучением нового материала. ІІ этап: (отбор предметного содержания): объяснение, учительский монолог, мотивация познавательной учащихся деятельности; к новый предстоящей материал чаще самостоятельной всего может преподноситься в форме школьной лекции, в ходе которой необходимо составление опорного конспекта; теоретический материал, как правило, излагается укрупненным блоком (укрупнение дидактических единиц); работа над усвоением теоретического материала, решение стандартных задач, решение задач повышенного уровня, решение нестандартных задач, выполнение творческих, исследовательских, проектных заданий. ІІІ этап: определение объёма и содержания домашней работы; работа дома носит вариативный характер, включает задания на выбор, включает работу с теоретическим материалом, заданиями и задачами творческого характера. ІV этап: определение времени и места промежуточной и итоговой диагностики, учебной коррекции, рефлексия учебной деятельности, самоконтроль и самооценка результатов работы. Этот этап завершает не только решение каждой учебной задачи, но и прохождение всей темы. V этап: подведение итогов учебных занятий; этот этап тесно связан с целями, поставленными на всех этапах обучения, которые позволят сделать достаточно точную диагностику полученного промежуточного и итогового результатов. Сравнение целей, поставленных учащимися и учителем до начала работы, с полученным результатом позволит объективно подвести итог проделанной работы. Каждый учащийся получает отметки за теорию, самостоятельные работы, контрольные работы, участие в семинарах, зачёты, Минимальной единицей учебного процесса в модульной технологии является не урок, а цикл уроков (модуль). Первый урок цикла предназначен для изучения нового материала с опорой на максимально доступный комплекс средств обучения. На этом уроке учащиеся составляют конспект материала по мере объяснения учителем. Затем проводится первичное закрепление материала в результате выполнения устных упражнений, заданий обязательного уровня, проработки теоретического материала. Следующий урок посвящается усвоению и проверке усвоения теоретического материала. Основной метод работы – работа в парах, «когда вначале каждый ученик овладевает материалом по учебнику, затем шлифует материал в общении со своим собеседником и, наконец, отвечает, «сдаёт» материал учителю или консультанту из числа уже ответивших учеников». Затем проводятся уроки – практикумы по решению задач (уроки – закрепления), а затем «творческое индивидуальных заданий. закрепление» – выполнение Следующий урок цикла включает контроль в виде опроса по конспекту, подготовку к самостоятельной работе и саму самостоятельную работу. Методика изучения темы «Производная» 10 класс (алгебра и начала анализа) в рамках модульного обучения Тематическое планирование темы № п/п Содержание учебного материала Материал Колич Методы учебника ество проведения часов МОДУЛЬ 1: ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 1. Числовые последовательности и их свойства. Предел последовательности. § 24 2. Сумма бесконечной геометрической прогрессии. § 25 3. Предел функции. § 26 4. Зачёт № 1 Предел последовательности. Предел функции 2 Частичнопоисковый 2 3 1 Дифференциация и индивидуализация (карточки к зачёту) 3 Проблемное обучение МОДУЛЬ 2: ПРОИЗВОДНАЯ. ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ. 5. Определение производной. § 27 6. Вычисление производных. 7. Контроль за усвоением учебного материала. Контрольная работа. § 28 2 Дифференциация и индивидуализация МОДУЛЬ 3: ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 8. 9. Уравнение касательной к графику функции. Применение производной для исследования функций. Построение графиков функций с помощью производной. 10. 11. 12. 13. Личностно ориентированное § 29 2 Личностно ориентированное обучение Проблемное обучение § 30 3 § 31 3 Исследовательские работы МОДУЛЬ 4: ОТЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ Применение производной для отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке. Задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значений величин. Контроль за усвоением учебного материала. Контрольная работа. Зачёт № 2 Производная. Применения производной Исследовательский метод § 32 3 3 Проблемное обучение 2 Дифференциация и индивидуализация Модуль 1. Предел последовательности. Предел функции. Урок 1 Тема: Числовые последовательности, их свойства. Предел последовательности. Цели урока: Образовательные: 1. Повторить определение числовой последовательности, способы задания последовательностей. 2. Рассмотреть свойства числовых последовательностей. Усвоить следующие понятия: бесконечно большая последовательность, бесконечно малая последовательность. 3. Рассмотреть определение предела числовой последовательности. Теоремы о пределах. Научиться применять теоремы о пределах Развивающие: 1. мышления. Развитие математических способностей, теоретического 2. Развитие логического мышления, интуиции. Форма проведения: школьная лекция Метод проведения: частично-поисковый. ПЛАН ЛЕКЦИИ: 1. Определение числовой последовательности. 2. Способы задания последовательностей. Примеры последовательностей различными способами. 3. Свойства числовых последовательностей: а) ограниченность (сверху, снизу) (определение, примеры). задания б) монотонность: убывающие и возрастающие последовательности (определение, примеры) 4. Предел последовательности а) определение, примеры нахождения пределов последовательностей б) сходимость последовательностей в) свойства сходящихся последовательностей г) вычисление пределов последовательностей СОДЕРЖАНИЕ УРОКА I. Актуализация опорных знаний, умений и навыков: 1. Повторите по учебнику определение числовой последовательности, способы задания последовательностей. 2. Приведите примеры последовательностей, заданных различными способами. 3. Выполните по учебнику задания № 24.1, 24.2, 24.3, 24.5, 24.6, 24.7(а,б) II. Формирование новых знаний, умений, навыков 1. Предел последовательности, его геометрический смысл. Определение 1: последовательность ( X n ) называется бесконечно большой, если (M 0, N , n N ) ( X n ) M ; в этом случае говорят, что l i mX . n n Если, начиная с некоторого номера, члены такой последовательности lim X , например ( X 0) , то пишут положительны n n ( X n ) (n); lim X n n последовательность имеет предел, равный бесконечности Если, начиная с некоторого номера, члены такой последовательности lim X . отрицательны то пишут: Например, (Xn) 0 , n n ( X n ) (n); lim X n . n Определение 2: последовательность ( n) называют бесконечно малой последовательностью, если ( 0, n, n N ) ( n ) , в этом случае говорят, n 0 . Бесконечно что последовательность имеет предел, равный 0, т.е. lim n большие и бесконечно малые последовательности связаны между собой следующим образом: если ( X n ) – бесконечно большая последовательность и nX n 0 , то ( n) 1 - бесконечно малая последовательность; если ( n) ( Xn) бесконечно малая последовательность и n, n 0 , то ( Xn) 1 - бесконечно ( n) большая последовательность. Примеры: если ( Xn) (n2 ) - бесконечно большая последовательность, то ( n) 1 ( n2 ) - бесконечно малая последовательность; если ( n) 1 ( n) - бесконечно малая последовательность, то ( Xn) ( n ) - бесконечно большая последовательность. 2. Леммы о бесконечно малых последовательностях: Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. 2. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность. 3. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Рассматриваем примеры применения лемм. Теорема: последовательность, имеющую предел, можно представить в виде суммы своего предела и какой-либо бесконечно малой последовательности, т.е. если lim X n a , то ( X n ) a ( n) , где ( n) - бесконечно малая n последовательность. 1. 3. Свойства предела последовательности: 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена. 2. Если предел последовательности положительное (отрицательное) число, то, начиная с некоторого номера, все члены последовательности положительные (отрицательные) числа. 3.Если предел последовательности ( X n ) равен а, то предел последовательности (Yn ) ( X n ) равен a . 4. Если предел последовательности существует, то он единственный. 4. Теоремы о пределах: Если lim xn a,lim yn b , то xn yn ) a b 1) lim( n xn yn ) a b 2) lim( n lim kxn ka n III. Самостоятельная работа по теме лекции xn a b0 3) lim n y b n ; 4) 1. 2. Самостоятельно выполните задания, затем проверьте lim x 7,5; lim yn 2,5 . Найти lim ( yn ( xn yn )) n n n n Заданы последовательности [5]: решения: 1 ;2) xn 2n 3;3) xn 5n2 ; 4) xn (1) n n3 ; 2n 6n 1 5) xn 2 n 1) xn 2 n 6) xn 3n 2;7) xn 2n 2 3;8) xn 9) xn 3 sin ; 2 n n 3n 5 n2 выберите из них бесконечно большие последовательности, бесконечно малые последовательности. Ответ обоснуйте. Предел последовательности yn равен 5. Могут ли числа 2; 6; 5,4; 17 являться пределом той же последовательности? 3. Проверьте освоение теоретического материала. Ответьте на вопросы самоконтроля: а) Какая последовательность называется последовательностью? Как обозначается её предел? б) Какая последовательность называется последовательностью? Как обозначается её предел? бесконечно бесконечно большой малой в) Как связаны между собой бесконечно большая и бесконечно малая последовательности? г) Какие леммы о бесконечно малых последовательностях вы знаете? д) Как можно представить последовательность, имеющую предел? е) какие свойства предела вы знаете? ж) Какие теоремы о пределах вы узнали? 4. Пользуясь теоремами о пределах, найдите пределы последовательностей xn an bn cn a 3; lim b 1; lim cn 6 a , если известно, что lim n n n n n yn 5 yn n bn Зная, 4. что последовательностей: 1) xn 4 cn 2 cn ; 2) yn lim c 18, lim f n 3 , n n n определите пределы cn f n x f ;3) zn n n xn 2 fn xn 7 Самостоятельно оцените, достигли ли вы своей цели. Проверьте освоение 5. данного материала, выполните контрольные задания. Домашнее задание: опорный конспект проработать, ответить на IV. вопросы самоконтроля, выполнить № 24.8 – 24.17(а, б). Урок 2 Тема: нахождение пределов последовательностей. Цель урока: Рассмотреть методы нахождения пределов; научиться практически находить пределы последовательностей. Форма проведения урока: урок – практикум Содержание урока: I. Использование теорем о пределах [5, С. 277 – 281] 1 1 1 1 lim(6 2 ) 1 1 6 2 n lim 6 lim lim 2 n n 600 6 n n n n n n n 1. Найти: lim n 1 3 1 3 1 3 500 5 5 2 lim(5 2 ) lim 5 lim lim 2 n n n n n n n n n n Использованы теоремы о пределах частного и суммы. 1 1 1 1 3 4 1 4 1 5 2. Находим: lim( 3 8 5 32 2 ) lim 8 lim 32 2 83 32 5 0 n n n n n n n II. Другие методы нахождения пределов последовательностей n теорему о пределе частного применить нельзя, т.к. n 1 lim n , lim( n 1) , тогда разделим числитель и знаменатель дроби на старшую 1. n Найти: lim n 2 n степень на n 2 , получим: lim n 1 n 1 n n lim n 0 lim 0 n 1 1 n 1 1 2 lim1 lim 2 1 0 n n n n 2 1 1 1 2 3 n n n Теорему о пределе частного применять нельзя, т.к. 2. Найти: lim n 1 1 1 2 3 n n n 1 1 1 1 1 1 lim 2 3 0, lim 2 3 0 n n n n n n n n Выносим общий 1 1 1 2 3 n n n lim lim n 1 1 1 n 2 3 n n n множитель за скобки в числителе и знаменателе: 1 1 1 1 1 1 2 1 2 n n n n n 1 1 lim n 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 n n n n n 2 4 6 2n n n2 Найти: lim n 3. Воспользуемся формулой суммы n членов арифметической прогрессии, преобразуем формулу общего члена к виду: 2 4 6 2n 2 2n n n2 n n n n n . Разделив на n, получим n2 2 n2 n2 n2 lim1 1 1 n 1 , тогда lim n 2 2 2 1 1 lim1 lim n n n n n 4. Найдём lim n 1 n : преобразуем общий член последовательности путём n умножения и деления его на выражение, сопряжённое данному, получим: lim n n 1 n lim n n 1 n lim n 1 n n n 1 n n 1 n n 1 n 1 1 lim 0, т.к. n 1 n являетсяб.б.п б.м.п n n 1 n n 1 n III. Самостоятельная работа обучающего характера № 38.13-38.21(а, б) с обсуждением применяемых методов решения, взаимопроверка. V. Проверьте освоение материала с помощью разноуровневой самостоятельной работы См. Дидактические материалы 10 класс VI. Домашняя работа № 38.13 – 38. 21 (в,г) Ответьте на вопросы для самоконтроля: 1. Какие понятия используются при нахождении пределов последовательностей? 2. Какие способы нахождения пределов вы узнали? 3. Выполните тренировочные упражнения: 6 5 1 2 2 8 (n 2)(n 3) 1) lim n n , 2) lim 3 2 ,3) lim 2 , 4) lim n n n n 4n 4 n 1 n 1 2 n n 2 4n 1 n 4. Самостоятельно оцените, достигли ли вы цели. Уроки 3, 4 Тема: Сумма бесконечной геометрической прогрессии Цель: Рассмотреть формулу для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии, научиться определять сумму бесконечной геометрической прогрессии. Форма проведения уроков: уроки – практикумы Метод проведения: дифференциация и индивидуализация Содержание урока Актуализация опорных знаний, умений, навыков I. 1. Рассмотрите по учебнику пример 5 стр. 309, сделайте вывод, запишите в тетрадь. Если знаменатель q геометрической прогрессии ( вn ) удовлетворяет неравенству q 1, то сумма S прогрессии существует и b вычисляется по формуле S 1 1 q 2. Рассмотрите по учебнику примеры 7, 8 стр.311, запишите в тетрадь. Закрепление полученных знаний II. 1. 2. 3. III. № 38.22-38.27 Составьте алгоритм выполнения упражнений своей № 38.29- 38. 34 группы, объясните решение. № 38.37, 33.38 Самостоятельная работа См. дидактические материалы 10 класс алгебра и начала анализа, разноуровневые работы авт. Л.А. Александрова IV. Домашняя работа дифференцированная № 38.22-38.27 № 38.29- 38. 34 (в, г) № 38.37, 33.38 Урок 5 Тема: Предел функции Цели: Усвоить понятие предела функции; теорем о пределах функции. Ознакомиться с понятиями: бесконечно большая функция, бесконечно малая функция. Научиться: доказывать, что число А является пределом функции; графически интерпретировать определение предела функции. Форма проведения урока: урок – лекция План лекции 1. Определение функции (область определения, область значений функции, аргумент). 2. Определение предела функции в точке по Гейне. 3. Определение предела функции в точке по Коши. 4. Бесконечно большие и бесконечно малые функции, их свойства, леммы о бесконечно малых. 5. Теоремы о пределах. 6. Графический смысл определения предела. I. Актуализация опорных знаний, умений: 1. Повторяем следующие теоретические положения. Пусть D – некоторое числовое множество. Функция с областью определения D – это соответствие, при котором каждому числу Х из D сопоставляется единственное число Y. Х – аргумент функции, Y или F(X) – значение функции. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки X 0 . II. Формирование новых знаний, умений 1. Определение предела функции по Гейне [5, С.282]: Число А называется пределом функции в точке X 0 , если для всякой последовательности X n , сходящейся к X 0 ( Xn X0 ) числовой соответствующая последовательность значений функции сходится, и притом к А (последовательность X n должна сходиться в области определения D. lim A , если X n X 0 и F ( X n ) A xx 0 2. Определение предела функции в точке по Коши: Число А называется пределом функции F ( X ) в точке Х, если для любого 0 найдётся 0 , такое, что для всех Х из области определения и удовлетворяющих неравенству 0 ( X X 0 ) , выполняется неравенство F ( X ) A lim f ( x) A , если ( 0, 0, x D( f ),0 x x ) ( f ( x) A ) 0 x x0 3.Для пределов функции в точке справедливы теоремы о пределах, аналогичные теоремам о пределах последовательностей. Использование теорем о пределах функции в точке позволит находить значение предела 4. Рассмотрим графическую иллюстрацию определения предела функции в точке (графический смысл предела в точке) lim F ( x) A . При любом x x0 выборе окрестности точки А найдётся окрестность точки Х, такая, что при всех Х на этой окрестности все значения функции окажутся в окрестности точки А (кроме, может быть, F ( x0 ) ) 5. Замечательные пределы: sin x 1 Первый замечательный предел lim x0 x Второй замечательный предел lim 1 lim(1 x) x e x x x 1 1 Теорема перехода к пределу под знаком непрерывной функции Если функция f ( x) непрерывна, то lim f ( x) f (lim x) x x0 x x0 III. Проверка усвоения теоретического материала по вопросам самоконтроля: 1. Что называется функцией? 2. Ч то такое область определения функции? 3. Дайте определение предела функции по Гейне. 4. Дайте определение предела функции в точке по Коши. 5. Дайте геометрическую интерпретацию определения предела функции в точке. 6. Сформулируйте леммы о бесконечно малых функциях. 7. Сформулируйте теоремы о пределах функции в точке. Самостоятельно оцените, достигли ли вы цели. IV. Домашнее задание: опорный конспект, дифференцированные (Дидактические материалы) контрольные задания Уроки 6, 7 Тема: Нахождение пределов функций. Цели: научиться находить пределы функций практически, переходить к пределу под знаком непрерывной функции, раскрывать неопределённости. Тип урока: урок – практикум Содержание урока Решение примеров [5, С. 289, 290] : x2 5x 8 x2 x 4 предел делимого lim( x2 5x 8) 9 15 8 2 1. Найти: lim x 3 x 3 предел делителя lim( x2 x 4) 9 3 4 10 используем теорему о пределе x 3 lim x2 5x 8 2 1 x2 5x 8 x 3 частного lim = x 3 x 2 x 4 lim x 2 x 4 10 5 x 3 x2 5x 6 2. Найти: lim x 1 x 1 Т.к. предел делимого lim ( x 1) 1 1 0 , x 1 то Рассмотрим величину величина, значит lim x 1 lim ( x2 5x 6) 1 5 6 2 , x 1 теорему о а пределе частного предел делителя применить нельзя. 1 1 . Т.к. x 1 - б.м. величина при x 1 , то - б.б. x 1 x 1 x2 5x 6 = x 1 3. Найти: lim 12 x 12 2 x x4 Т.к. lim 12 x 12 4 16 4 ; lim 12 2 x 12 2 4 4 2 , x 4 x 4 то lim 12 x 12 2 x = 4 − 2 =2 x4 II. Выполнение упражнений № 39.11 – 39.17, 3 39.23 – 39.32 В случае затруднения ещё раз изучите конспект, обратитесь к учителю. Проверьте освоение материала, ответив на вопросы самоконтроля: 1. Какие понятия используются при нахождении пределов функций? 2. Назовите первый замечательный предел. 3. Назовите второй замечательный предел. 4. Как читается теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции? Самостоятельно оцените, достигли ли вы цели. Проверьте освоение данного модуля, выполните контрольные задания. III. Итоговый контроль. Самостоятельная работа с заданиями (См. дидактические материалы для 10 класса) IV. Домашняя работа: № 39.11 – 39.17, 39.23 – 39.32 (в, г), [4] № 15.001 – 15.016 разноуровневыми Освоение данного модуля способствует более глубокому пониманию материала темы «Пределы последовательностей. Предел функции», определяет некоторые способы нахождения пределов последовательностей, понимания темы о пределах функции, для строгости математических рассуждений, для подготовки к восприятию следующих тем. Позволяет создать базу для исследования функции на непрерывность и асимптоты, для обоснования формул одного из математических действий – дифференцирования. Модуль 2. Производная. Правила вычисления производных. Урок 8 Тема: Приращение функции. Определение производной на языке приращений. Цели урока: усвоить понятия приращения аргумента, приращения функции, научиться находить приращение функции. Форма проведения урока: урок – лекция. План лекции 1. Определение приращения функции, приращения аргумента. 2. Геометрический смысл приращений. Содержание урока I. Формирование новых знаний, умений, навыков. 1. Приращение аргумента, приращение функции. На рис. Квадрат со стороной a , его площадь S a 2 . Если длину стороны увеличить на p , то его площадь увеличится на величину Г – образной фигуры, величина p - приращение стороны a , площадь Г – образной фигуры – приращение площади квадрата. (a p)2 a2 S , S (a p)2 a 2 2ap p2 . ф ф Обозначим p x , S приращение площади S (a x)2 (x)2 точно также можно определить понятие приращения любой функции. x0 -фиксированное изменили на величину x , x0 x x , значение аргумента, x0 x x x0 - приращение аргумента y y y0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) - приращение функции «приращение» - изменение ( x, y могут быть отрицательными) 2. Геометрический смысл приращений y kx b - уравнение секущей y tg - угловой коэффициент секущей, проходящей через точки x A( x0 , y0 ), B( x, y) . Тангенс угла наклона с точки зрения физики есть k величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например скорости изменения расстояния в механике. Сам термин «скорость» мы воспринимаем как нечто естественное, но, как правило, только при движении. На самом же деле скорость характеризует зависимость одной величины от изменения другой, и последняя не обязательно должна быть временем. 3. Примеры вычисления приращений, пределов приращений функции. С помощью учебника рассмотрите примеры текста № 5, 6, 7 запишите решение в тетрадь. Составьте алгоритм вычисления приращений. Найдите пределы этих приращений при x 0 . III. Решение примеров: № 39.34- 39.45 (а,б) Подробно рассматриваем решение № 39.45 по алгоритму, результаты оформить в виде таблицы. Самостоятельно оценить, усвоили ли вы теоретический материал, достигли ли целей, которые ставили в начале урока с помощью вопросов для самоконтроля: 1. Что такое приращение аргумента, приращение функции. 2. В чём состоит геометрический смысл приращений? 3. Алгоритм нахождения приращения функции IV. Задание на дом: № 39.34- 39.45 (в, г) Опорный конспект Урок 9 Тема: Определение производной Цель урока: освоить определение производной, выяснить её геометрический и физический смысл, рассмотреть практические задачи, приводящие к определению производной. Форма проведения урока: Эвристическая беседа Метод проведения: частично-поисковый Содержание урока I. Формирование новых знаний, умений, навыков 1. Задачи, приводящие к определению производной: с помощью учебника стр.157 самостоятельно рассмотрите задачу о скорости движения. Запишите результат. 2. Касательная к графику функции: сформировать понятие графику функции. касательной к а) Понятие касательной на интуитивной наглядной основе: точку В перемещаем в положение B , B , B , B , B5 . Секущая, вращаясь вокруг точки А 1 2 3 4 приближается к касательной в точке А. Касательная к окружности – предельное положение секущей, когда точка Bi A б) 3. Определение производной по Коши (Огюстен Луи Коши ввёл понятие производной в 1823 г.). Пусть функция y f ( x) определена в некоторой окрестности U т. x0 и пусть x U - произвольная точка, отличная от x0 . Составим отношение f ( x) f ( x0 ) . x x0 Если существует предел этого отношения при x x0 , то его называют производной функции f в точке x0 и обозначают f ( x ) , таким образом 0 f ( x) f ( x ) 0 lim y f ( x ) lim 0 xx xx x0 x 0 0 4. Определение производной по Каратеодори (Константин Каратеодори (1873 – 1950) немецкий математик) Пусть y f ( x) определена в некоторой окрестности точки x0 (окрестностью точки x0 называют любой интервал (а, в), содержащий эту точку). Эта функция называется дифференцируемой по Каратеодори в т. x0 , если существует на U функция ( x) , обладающая свойствами: 1. Функция ( x) непрерывна; 2. На всей окрестности U выполняется равенство f ( x) f ( x ) ( x)( x x ) , 0 0 функция ( x) называется производной по Каратеодори функции f в точке x0 и обозначают f ( x ) 0 4. Алгоритм нахождения производной на языке приращений. k tg ( x ) f ( x ) угловой 0 0 коэффициент касательной к графику функции y f ( x) в точке с абсциссой x0 равен f ( x ) . Если угол между касательной и положительным направлением 0 оси абсцисс острый, то f ( x ) > 0, если – тупой, f ( x ) < 0, если касательная 0 0 параллельна оси абсцисс, f ( x ) = 0 0 5. Геометрический смысл производной: Физический смысл производной: v(t ) s(t ) 6. Примеры вычисления производных функций: Рассмотрим равенства: x2 a 2 ( x a)( x a) x3 a3 ( x a)( x 2 ax a 2 ) 1 1 1 ( x a) x a ax Левая часть этих равенств пропорциональна ( x a) , причём коэффициент пропорциональности есть функция непрерывная в т. x0 Вывод формул учащиеся легко проводят сами: 1. f ( x) x2 по определению f ( x) f ( x ) ( x)( x x ) 0 0 x2 x2 ( x x )( x x ) ; ( x) ( x x ) функция ( x) непрерывна в т. x0 x2 0 0 0 0 дифференцируема в т. x0 и f ( x) ( x ) ( x x ) 2x коротко записываем 0 0 0 0 так: x 2 2 x 2. f ( x) x3 x3 x3 ( x x )( x2 xx x2 ) ; ( x) ( x2 xx x2 ) она непрерывна в т. x0 0 0 0 0 0 0 и потому f ( x) x3 дифференцируема в т. x0 . f ( x) ( x2 x x x 2 ) 3x 2 , т.е. 0 0 0 0 0 x3 3x2 1 1 1 x x f ( x) f ( x ) 0 ( x x ) 0 0 x x x x x x 1 0 0 0 3. f ( x) при x 0, x 0 ; 0 x 1 ( x) x x 0 Эта функция непрерывна в т. x0 и потому дифференцируема в т. x0 , причём f ( x) 1 1 1 1 , ; x 0 x x x2 x x2 0 0 4. f ( x) x xx 1 0 (x x ) f ( x) f ( x ) x x 0 0 0 x x x x 0 0 1 1 1 ( x) , ( x) , f ( x) x 2x 2x x x 0 0 5. f ( x) c, c const (c R), f ( x) 0, x c c 0(x x ) 0 ( x) 0, f ( x ) ( x ) 0, c 0 0 0 6. Производная сложной функции: xn xn ( x x )( x n1 x n2 x xx n2 x n1) 0 0 0 0 0 ( x) ( xn1 xn2 x xx n2 x n1) 0 0 0 f ( x ) ( x ) ( x n1 x n2 x x x n2 x n1) nx n1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 xn nxn1 0 7. f ( x) kx b f ( x) f ( x ) kx b kx b k ( x x ) 0 0 0 k , f ( x ) ( x ) k ,(kx b) k 0 0 8. f ( x) x f ( x) f ( x ) x x 1( x x ) 0 0 0 ( x) 1, f ( x ) ( x ) 1,( x) 1 0 0 Таблицу производных учащиеся составляют самостоятельно. Функцию, имеющую производную в т. x0 называют дифференцируемой в этой точке. Нахождение производной данной функции называют дифференцированием. II. Вычисление производных функций: № 40.1- № 40.11 Вопросы для самоконтроля: 1. Дайте определение производной. 2. Какая функция называется дифференцируемой? 3. Что такое дифференцирование? 4. В чём состоит физический смысл производной? 5. Сформулируйте определение касательной к графику функции. 6. В чём состоит геометрический смысл производной? Проиллюстрируйте это утверждение. 7. Таблица производных. Проверьте, как освоили тему, достигли ли целей, которые были поставлены в начале? I. Задание на дом: № 40.12 – 40.16 Таблица производных Докажите эти формулы на языке приращений. Урок 10. Тема: Правила дифференцирования. Дифференцирование тригонометрических функций. Цели урока: Ознакомиться с теоремами о нахождении производной суммы, произведения, частного функций, производной тригонометрических функций, производной сложной функции. Содержание урока I. Актуализация опорных знаний, умений, навыков 1. Найти производные следующих функций: f ( x) 3x 1, g ( x) 5x 2, F ( x) 4x, ( x) 3 3. Для функций f ( x) x2, g ( x) x3 найти: f ( x) g ( x),5 f ( x) 3g ( x), f ( x), g ( x), f ( x) g ( x) 4. Даны функции f ( x) 2 x 3, g ( x) 5x 1. Найти: f ( x) g ( x), f ( x), g ( x), f ( x) g ( x), f ( x) g ( x) Сравните результаты Гипотеза: f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) Доказываем это. 4. Даны функции: f ( x) x2, g ( x) x3 Найти: f ( x) g ( x) Гипотеза: f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) Доказать это предположение. Запишите выводы в виде формул. II. Формирование новых знаний, умений, навыков. 1. Производная произведения 2. Производная частного. 3. Производная тригонометрических функций а) (sin x) cos x sin 2 cos sin 2 2 sin x sin( x0 x) sin x0 x x 2 cos x0 sin x x 2 2 x sin 2 x x 1ï ðè x 0 sin x 2 cos x0 1cos x0 cos x0 , 2 x 2 2 cos x x cos x , ï ðè x 0 0 0 2 (cos x) sin x cos x (1) cos x sin x 2 2 2 sin x cos x cos x sin x( sin x) 1 б) tgx 2 cos x cos 2 x cos x cos x 1 ctgx 2 sin x sin x Выведите формулы производной обратных тригонометрических функций: (arcsin x) 1 1 x2 D( y ) 1;1 ; E ( y ) ; 2 2 sin y sin(arcsin x) x (sin y ) x cos y y x 1; y x 1 1 1 2 2 cos y 1 sin y 1 sin (arcsin x) ; y ; ;cos x 0 2 2 1 x 1 2 (arc tgx) 1 1 x2 пусть arc tgx y; tgy x D( y ) ; ; E ( y ) ; 2 2 1 (tgy ) x y x 1; y x cos2 y 2 cos y cos2 y 1 1 tg 2 y ; y x 1 1 1 tg 2 (arctgx) 1 x 2 4. Производная сложной функции Если функция t g ( x) имеет производную в т. x0 , а функция y f (t ) имеет производную в точке t g ( x ) , то сложная функция y f ( g ( x)) F ( x) имеет 0 0 производную в т. x0 F ( x ) f (t ) g( x ) 0 0 0 Примеры: найти производные функций: a) f ( x) (1 x)3 , б ) f ( x) (3 4 x)3 , в) f ( x) (2 x 1) 2 , г ) f ( x) (3 x) 4 , д) f ( x) ( x 3 2 x) 2 , е)(1 x x 2 ) 4 , ж ) f ( x) x 2, з ) f ( x) x 2 3 Выполните самостоятельно: f ( x) (5 x 2 3 x 4) 4 f ( x) (7 x 3)(8 x 4) f ( x) ( x 5 8 x 3 4)3 f ( x) f ( x) x 2 11x 28 f ( x) 4x2 5x 1 x7 7x 5 8x 4 3t 2 8 f (t ) 2t 4 4 x2 5x 1 f ( x) x7 f ( x) sin x 3 f ( x) 3sin 5 x x f ( x) x 2 sin 2 1 f ( x) sin x f ( x) sin 2 x cos 3 x f ( x) tgx ctg x 4 2 f ( x) sin x f ( x) x sin x x f ( x) sin x f ( x) cos 2 x sin 3 x f ( x) ctgx tg x 4 2 f ( x) cos x 1 5 1 4 x x 3x 12 5 4 f ( x) (3 x 5)(2 x 8) x3 f ( x) x4 f ( x) 2 f ( x) sin 2x 3 1 f ( x) x 2 sin x x f ( x) 2sin x f ( x) 3sin(4 x 2 2 x 5) f ( x) 4tg 3x 2 3 Вычислите f ( x) Решите g ( x) 0 , уравнение если g ( x) sin x 0,5sin 2 x Взаимопроверка, самооценка проделанной работы, самоанализ об уровне освоения темы, достижении поставленных целей. Домашняя работа: № 41.1 – 41.16 опорный конспект составить вопросы для взаимоконтроля. Уроки 11, 12 Тема: Вычисление производной функций Цель: отработать теоремы о вычислении производных Уроки – практикумы Содержание уроков І. Актуализация опорных знаний, умений, навыков Взаимоконтроль по составленным дома вопросам, Хорошо подготовленные учащиеся отвечают по опорному конспекту, излагают основные вопросы теории, остальные – задают вопросы. 1. Правила вычисления производных функций Выполнение упражнений (групповая форма работы): № 41.17 – 41.29 2. Геометрический и физический смысл производной (групповая форма работы) № 41.33, 41.34, 41.37, 41.38 341.39- 41.52 3. № 41.53 – 41.59 Самостоятельная работа взаимопроверкой. II. Дома: дифференцированная (ДМ) с последующей № 41.17 – 41.29 (в, г) Вспомните следующие формулы дифференцирования: производные синуса и косинуса, производная сложной функции, производная произведения, формула производной суммы функций. (sin 2 x) 2sin x cos x 2 2 2 2 sin x cos x; или sin x cos x 0; но 2 (cos x) 2sin x cos x sin 2 x cos 2 x 1 В чём ошибка? Урок 13 Урок – консультация по теме «Производная» Цель урока: повторить основные вопросы темы, ликвидировать неясности при выполнении некоторых упражнений, решение разнообразных задач для подготовки к контрольной работе. Дифференциация и индивидуализация. Содержание урока Повторение вопросов теории I. По вопросам для самоконтроля (листы взаимоконтроля готовит каждая группа) повторяем основные вопросы теории, учитель отвечает на вопросы учащихся, рассматриваем задачи домашней работы, вызывающие затруднения у учащихся. II. Тестирование по теме «Производная» 1. Найдите производную функции 1. 3 x 0,5 x 2 3x 2 и вычислите её 6 f ( x) Найдите f ( x) производную 3 x 1,5 x 2 5 x 3 и 6 функции вычислите значение при х = -1 значение при х = -2 а)- 2,5; б) 1,5; в) -1,5; г) 2,5 а)-3; б) -5; в) 2; г) 3 2. Найдите f ( x ) , если f ( x) x x Найдите f ( x ) , если f ( x) x x а) 3 2 x ; б) 2 x 2 ; в) ; г) 1,5 x 3 3 x 3. Найдите производную функции g ( x) а) г) 3 2x x5 3 2 x 1 x ( x 5) 2 ; б) - 2 x 2 ; в) ; г) - 1,5 x 3 3 x 3. Найдите производную функции g ( x) 8 5 13 ; б) ; в) ; 2 2 ( x 5) ( x 5) 2 ( x 5) а) 4 3x x2 2 10 10 2 ; б) ; в) ; г) 2 2 2 ( x 2) ( x 2) ( x 2) ( x 2) 2 4. Найдите f (0,5) , если f ( x) 4. Найдите f (0,5) , если f ( x) а)3; б) а) - 4 2 ; в) 2 ; 2г) 9 3 5. Для функции f ( x) 3sin 2 x вычислите f ( ) 3 5 4x её 4 3 2x а) -0,5; б) 4; в) -2; г)0,5 5. Для вычислите f ( функции f ( x) 3cos 2 x 3 ) 4 а) 5; б) -5; в) -10; г) 10 4 6. f ( x) (3x 4) x Найдите: f (1) f (1) а) 6; б) -3; в) -1,5; г) 0,5 а) -7,5; б) -25,5, в) 15,5; г) -0,5 6. f ( x) (2 x 3) x . Найдите: 7. g ( x) 3 x 9 x f (1) f (1) Решите уравнение g ( x) 0 а) 15; б) 7,5; в) 2,75; г) 0,5 7. f ( x) 4 x a ) 3;3; б ) 3; в) 3; 3; г )0; 3 8 x 8. f ( x) ( x 3)( x 2)2 Решите уравнение f ( x) 0 Решите неравенство f ( x) 0 a)0, 2; б ) 2; в) 2; 2; г ) 2; 2 1 1 а) 1 ; 2 ; б) 2;1 ; в) (-2; 3); г) (3 3 8. f ( x) (4 x)( x 3)2 0,5;1) Решите неравенство f ( x) 0 2 2 а) 3;1 ; б) 1 ;3 ; в) ; 3 3 2 г) ; 1 (3; ) 3 9. При каких значениях х функция 9. При каких значениях х функция f ( x) x 8 x 16 4 2 f ( x) x 4 2 x 2 1 не дифференцируема a)1; б )0; в) 1;1; г ) не дифференцируема a) 2; 2; á )2; â) 2; 2; ã) 10. 10. v( x) 3x 2, u ( x) x , f ( x) 5 x 3, g ( x) x , f ( x) u (v( x)) h( x) f ( g ( x)) Решите уравнение f ( x) 0,375 Решите уравнение h( x) 0,5 а) 12; б) 8,54; в) 2,5; г) 6 а) 16; б) 0,25; в) 4; г)25 Домашнее задание: обязательного образовательных повторение уровня, задач, траекториях. вопросов теории запланированных Подготовить и в отчёт решение задач индивидуальных о проделанной самостоятельной работе (индивидуальные задания – тетрадь с решениями задач). Урок 14 Тема: Контрольная работа по теме «Производная» Цель урока: контроль и коррекция знаний, умений учащихся Содержание работы Дифференцированные задания (см. дидактические материалы) (контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10 класса. Освоение данного модуля способствует более глубокому усвоению определения производной, правил дифференцирования. Позволяет создать базу для исследования функции и построения графиков, применения производной к исследованию функции на экстремумы. Модуль 4: Применение производной при решении задач на оптимизацию (прикладные задачи алгебраического) геометрического, физического содержания, 1. Число 24 представьте в виде суммы неотрицательных слагаемых, так, чтобы сумма квадратов чисел была наименьшей. Решение: пусть х и у – искомые числа. S x2 y2 должна быть наименьшей. По условию х + у = 24 x 0; y 0; y 24 x; S S ( x) x2 (24 x)2 по условию x 0;24 .Найдём наименьшее значение функции S ( x ) на отрезке 0;24 D(S ) D( S ) R S ( x) 2 x 2(24 x)(1) 4 x 48 4( x 12) S ( x) 0 x 12 S ( x) На отрезке 0;12 S ( x) - убывает, на 12;24 S ( x) - возрастает, min 0;24 Можно ли обобщить: если сумма двух чисел постоянна, то при каких значениях сумма квадратов будет наименьшей? Ответ: когда эти числа равны (числа неотрицательны). 2. Кусок проволоки длиной 48 см сгибают так, чтобы образовался прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей? Решение: пусть х см и у см – стороны S xy,2 x 2 y 48 y 24 x; S ( x) x(24 x); x 0;24 S ( x) 24 2 x 2( x 12) max S ( x) S (12) 0;24 Ответ: наибольшее значение S с данным периметром имеет квадрат со сторонами 12 см. 3. В полукруг R 12 см вписан прямоугольник так, что две его вершины лежат на окружности, а две другие на диаметре. Какими должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? PL QK 2 x; PQ KL y; x2 y 2 R2 (изOLK ); S 2 xy; S 2 x R 2 x 2 S ( x) Из геометрического смысла задачи x 0; R найдём наибольшее значение функции S ( x ) на отрезке 0; R . S ( x ) дифференцируема на 0; R и непрерывна на 0; R 1 1 S ( x) 2 R 2 x2 2 x (2 x) 2 R2 x2 2( R 2 x2 ) S ( x) 0 R S ( x) ; x 2 R 2 x2 x (0; R) 2 R 2R 2 R R 2 ; S (0) S ( R) 0; max S ( x) S R R 2 2 2 2 0;R S PL 2 x R 2; KL R 2 Ответ: размеры прямоугольника наибольшей площади, вписанного в полукруг R 2; R 2 4. В прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см вписан прямоугольник наибольшей площади так, что одна из его сторон на гипотенузе, а две вершины на катетах. Найти стороны этого прямоугольника. Решение: АВ = 3 см; ВС = 4 см AC 32 42 5 пусть PL x; RL y из ABC sin из BHC AB 3 AC 5 3 12 BH BC sin 4 ; из подобия треугольников RQB и 5 5 CAB получим QR BM x BH y x 5 ; 1 y AC BH 5 BH 5 12 x 12 x 12 y 1 ; S S xy S ( x) x 1 PQRL 5 5 5 5 12 12 x x2 5 25 Из геометрического смысла задачи x 0;5 S ( x ) - непрерывна и дифференцируема на (0;5) . Найдём критические точки функции S ( x ) S ( x) 12 2 x 12 5 5 ; S ( x) 0; x ; S (0) S (5) 0 max S ( x) S 5 25 2 2 0;5 Ответ: размеры прямоугольника 5 6 и 2 5 5. Каким должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника с заданной площадью, чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга была наибольшей? Решение: р – полупериметр, высота треугольника у, площадь – величина постоянная 2 x 2 x2 y 2 S S xy; S r p; p x x2 y 2 ABC 2 S S S r ; y ; r r ( x) x x x2 y 2 S2 x x2 x2 Из геометрического смысла задачи x (0; ) . Рассмотрим функцию S2 2 и найдём её наименьшее значение на f ( x) x x x2 S2 x3 ; f ( x) 0 ; f ( x) 0 , возведя в квадрат, получим (0; ) f ( x) 1 S 2 x (0; ) 2 x x2 x x S S , тогда min f ( x ) f т.е. 4 (0; ) 4 3 3 S S4 3 max r ( x) r S 4 3 ; y 4 S (0;) 3 Ответ: tg 2 S 1 ; S 4 3 ; 43 3 2 6 3 6. В равнобедренный треугольник с основанием 60 см и боковыми сторонами, равными 50 см, вписан прямоугольник наибольшей площади. Две вершины лежат на основании, а две другие – на боковых сторонах. Найти длины сторон прямоугольника. BH 502 302 40 ; PQ x; QR y x BH y y 1 60 BH 40 x 2 2 y 40 1 40 x; S x 40 x 3 3 60 S xy; OQB ACB Найдём наибольшее значение функции S ( x) на 0;60 4 S ( x) 0 S ( x) 40 x; x 30 3 x 0;60 max S ( x) S (30); S (60) S (0) 0 0;60 Ответ: прямоугольник имеет наибольшую площадь, когда стороны 20 и 30 см 8. В фигуру, ограниченную параболой y x2 и прямой у = 4 вписаны прямоугольники (2 смежные вершины лежат на параболе, а 2 другие – на прямой). Из всех указанных прямоугольников найти тот, который имеет наибольшую площадь. АВСД – искомый прямоугольник S ABCD 2 x(4 x2 ) S ( x) Найдём наибольшее значение функции S ( x) на 0;2 ; 2 4 2 32 32 3 4 3 3 3 3 9 3 S 2 32 3 9 3 S ( x) S S (0) S (2) 0 ; max 0;2 AD 2 x; AD 4 8 ; BD 4 x 2 3 3 Ответ: наибольшую площадь будет иметь прямоугольник со сторонами 4 и 3 8 3 8. Найти кратчайшее расстояние от точки М (2; 0)до графика функции f ( x) x2 1 2 Решение: AB ( x x )2 ( y y )2 1 1 Построим график. Пусть K x; x2 1 точке М(0; 2), тогда KM ( x 2)2 0 2 2 x2 1 - ближайшая к 2 2 Рассмотрим x2 1 и функцию f ( x) ( x 2)2 2 найдём её наименьшее значение на 0; x2 1 2 x 3 x 3x 4 2 2 f ( x) x3 x 4 x 4 x( x2 1) 4( x 1) ( x 1)( x 2 x 4) f ( x) 2( x 2) 2 т.к f ( x) - непрерывная на 0; и дифференцируема на 0; и на 0;1 f ( x) - убывает min f ( x) f (1) 2 0; Ответ: наименьшее расстояние KM 2 9. Буровая вышка расположена в поле в 9 км от ближайшей точки шоссе. С буровой вышки надо направить курьера в населённый пункт, расположенный по шоссе. Весь путь и по полю и по шоссе 15 км. Скорость по полю 8 км/ч, а по шоссе 10 км/ч. К какой точке шоссе ему надо ехать, чтобы в кратчайшее время достичь населённого пункта. Решение: пусть расстояние по шоссе до искомой точки х км, тогда время движения по 15 x 81 x2 полю t , а по шоссе t ; всё время движения 1 2 8 10 t ( x) 81 x 2 15 x , где х0;15 по смыслу задачи. 8 10 2 1 2 x 1 t ( x) 0 ; 5 x 4 81 x x 12км 2 81 x2 8 10 x (0;15) x (0;15) min t ( x) t (12) t ( x) Ответ: К отстоит от Н на расстояние 12 км ax x3 10. При каких а график функции f ( x) пересекает ось абсцисс под 4 углом 45 ? ax x3 0 x( x 2 a ) 0 Решение: f ( x) 0; 4 Учитывая геометрический смысл производной f ( x ) tgкас.; tg 45 1; f ( xп ) 1 ; xп - абсцисса точки пересечения, т.е. либо 0 a 0 xп 0 xп 0 f ( xп ) 1 , либо xп a т.к. a 0 xп a f ( xп ) 1 1 4 f (0) a; f ( a ) 0; f ( a ) 0 , то первая система не имеет решения, а вторая – а = 4 в т. xп 0 11. В фигуру, ограниченную параболой y x2 2x и прямой y 3x 4 вписаны прямоугольники (две смежные вершины лежат на прямой, две – на параболе). Среди всех прямоугольников найти прямоугольник с наибольшей площадью. Дома: 1.[ 4] № 15.181, 15.182, 15.184, 15.188 Освоение данного модуля способствует развитию творческих способностей учащихся, математического мышления, личностных качеств учащихся, математической компетенции; практическому применению изученного материала, интеграции изучаемого материала. Применение модульного обучения положительно влияет на развитие самостоятельной деятельности учащихся, на саморазвитие, на повышение качества знаний. Учащиеся умело планируют свою работу, умеют пользоваться учебной литературой. Активная познавательная деятельность учащихся способствует развитию таких качеств знаний, как прочность, осознанность, глубина, оперативность, гибкость. Используемая литература: 1. Лернер И.Я. Дидактические основы методов обучения – М.: Педагогика, 1981. – 186с. 2. Научно методические журналы «Математика в школе», методические приложения «Первое сентября» 2012-2015. 3. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10 класс, 11 класс. – М., Издательство «Мнемозина», 2012. 4. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. 5. Третьяков П.И., Сенновский И.Б. Технология модульного обучения в школе: практико-ориентированная монография Третьякова. – М.: Новая школа, 2001. – 352 с. /Под ред. П.И.
