elem

VII
МАКСВЕЛЛ Джеймс
Клерк (1831-79),
английский физик.
Создатель классической электродинамики, один из
основоположников статистической физики, организатор и
первый директор (с 1871) Кавендишской лаборатории.
Развивая идеи М. Фарадея, создал теорию
электромагнитного поля (уравнения Максвелла); ввел
понятие о токе смещения, предсказал существование
электромагнитных волн, выдвинул идею
электромагнитной природы света..
§ 1.Плоские электромагнитные волны
(ЭМВ) и их свойства.
Существование электромагнитных волн вытекает
из уравнений Максвелла, докажем это.
Пусть среда однородна, нейтральна ( = 0) и
непроводящая ( ј = 0 )
с постоянными проницаемостями  и , не
зависящими
ни
от
координат,
ни
от
времени(например, диэлектрик).
1
закон полного тока
(1)
закон электромагнитной индукции
(2)
2
H x
Е z E y

   0
,
y
z
t
H y
Е x E z

   0
,
z
x
t
Е y E x
H z

   0
,
x
y
t
(3)
3
E x
H z H y

 0
 jx ,
y
z
t
E y
H x H z

 0
 jy ,
z
x
t
H y H x
E z

 0
 jz ,
x
y
t
(4)
4
Ограничимся простым случаем: пусть E и H
зависят от одной координаты (х) и от времени (t)
(одномерная задача).
Для одномерного случая система уравнений (3) и
(4) упрощается, т.к. все производные по y и z равны
нулю. Уравнения (3) и (4) принимают вид:
5
E y
H z
  0
x
t
(5)
H y
Ez
 0
x
t
(6)
Из уравнений (5) и (6) следует, что меняющееся во
времени эл-кое поле Еy вызывает появление
только магнитного поля Hz , направленного по оси
z, а переменное во времени магнитное поле Hz
влечет появление Eу , направленного только по
оси y.
6
E y
H z
  0
x
t
(7)
H y
Ez
  0
x
t
Из уравнений (7) и (8) следует, что Ez
появление Hy , а
H y  E.z
(8)
взывает
Исключим из уравнений (5) и (7) магнитное поле H.
Для этого продифференцируем уравнение (5) по x:
7
E y
H z
  0
x
t
 Ey
2
x
2
(5)
 Hz
  0
t x
2
(9)
Ур-ние (7) умножим на μμ0
и продифференцируем по t:
E y
H z
  0
x
t
(7)
8
 Ey
 Hz
0
  0 0
2
xt
t
2
2
(10)
Из сравнения (9) и (10) следует:
 Ey
2
t
2

1
 Ey
2
 0 0 x
2
(11)
9
Аналогичное уравнение мы получили бы и
для H, если бы из уравнений (6) и (8)
исключили бы E.
Уравнение вида:
 f  f  f
1  f
 2  2  2 2
2
x
y
z
 t
2
2
2
2
(12)
представляет собой волновое уравнение.
10
Вспомним уравнение (19) из радела «Волны».
 ξ  ξ  ξ 1  ξ



2
2
2
2
2
x
y
z
υ t
2
2
2
2
(19)
Функция, удовлетворяющая такому уравнению,
описывает некоторую волну, причем корень
квадратный
из 2 величины,
обратной

f
коэффициенту при
t 2
дает фазовую скорость этой волны.
11
Таким образом, уравнение (12) указывает
на то, что электромагнитные поля
могут существовать в виде
электромагнитной волны, фазовая
скорость которых
1

 0 0
1

(13)
В вакууме
    1, 
1
 0 0
 c  3 10 м с
8
(14)
12
Простейшим уравнением (11) является функция
Е = А Sin (t – kx).
В одномерном случае, электромагнитная волна
движется вдоль х. Фронт волны плоский (тонкий
плоский слой), внутри которого Е и Н имеют
одинаковое значение во всех точках.
Если векторы Е и Н колеблются в одной
плоскости, то такую волну называют
плоско-поляризованной.
13
Электромагнитные волны – поперечные
волны: векторы Е и Н поля
электромагнитной волны взаимно
перпендикулярны так, что υ,Е и Н образуют
правую тройку векторов.
E

Н
Е


Взаимно перпендикулярные
векторы Е и Н колеблются
в одной фазе –
они одновременно
обращаются в нуль и
одновременно достигают
максимальных значений.
14
Модули их связаны соотношением:
 0 E  0 H ,
(15)
которое справедливо для любой бегущей
электромагнитной волны независимо от формы ее
волновых поверхностей.
15
16
На рис показаны значения векторов Е и Н поля плоской
линейно поляризованной монохроматической волны в
различных точках луча (оси ОХ), взятые в один и тот же
момент времени.
17
Монохроматической волной называется
электромагнитная волна одной определенной
частоты , то есть синусоидальная
электромагнитная волна, описываемая
уравнением типа
Е = А Sin (t – kx).
В каждой точке электромагнитного поля
монохроматической волны проекции векторов
Е иН
на оси координат совершают гармонические
колебания одинаковой частоты, равной частоте
волны .
18
Например, в случае монохроматической
плоской волны, распространяющейся вдоль
положительного направления оси ОХ
 0
E y  A1Sin(t  kx), H y  
Ez ,
0
Ez  A2 Sin(t  kx),
 0
Hz  
Ey ,
0
где  = 2 - циклическая частота волны,
- волновое число .
(16)
k
19
При произвольном значении  плоская
монохроматическая волна эллиптически
поляризована, то есть в каждой точке поля
волны вектора Е и Н
оставаясь
взаимно
перпендикулярными,
изменяются с течением времени так, что их
концы описывают эллипсы, лежащие в
плоскости, перпендикулярной к направлению
распространения волны:
20
2
y
2
1
E
2
z
2
2
2 E y Ez
E
2


Cos  Sin 
A
A
A1 A2
2H y H z
 0
H
2


Cos 
Sin 
A
A
A1 A2
0
2
y
2
2
H
2
z
2
1
(17)
(18)
В частности если A1  A2 и   (2n  1)  2
где n = 0,1,…,
то эллипсы превращаются в окружности:
21
E E  A ,
2
y
2
z
2
1
 0 2
H H 
A1
0
2
y
2
z
Такая
волна
называется
циркулярнополяризованной (поляризованной по кругу).
  n , где n = 0,1,2,…, то эллипсы
Если
вырождаются в прямые:
Ey
Ez

0
A1 A2
Hy
Hz

0
A2
A1
Такая волна называется линейно-поляризованной
(плоско-поляризованной).
22
§ 2. Энергия электромагнитных
волн.
Объемная плотность энергии электромагнитного
поля в линейной изотропной среде:
w
 0 E
2
2

0 H
2
(19)
2
Модули Е и Н связаны соотношением:
 0 E  0 H ,
(15)
Отсюда следует, что в каждый момент времени
wЕ = wН
23
Поэтому:
w = 2wЕ =
2
εεE
w  0 E   0 H  0  0 EH 
2
2
=1/υ Е Н
(20)

c
EH , =
(21)
где с – скорость электромагнитных волн в вакууме.
В случае плоской линейно поляризованной
монохроматической волны, распространяющейся
вдоль положительного направления оси ОХ,
напряженность поля Е = А Sin (t–kх).
24
Соответственно объемная плотность энергии
этой волны:
w   0 A Sin (t  kx).
2
2
(22)
Значение w в каждой точке поля периодически
колеблется с частотой / в пределах от 0 до
wmax = εε0А2. Среднее за период значение w
пропорционально квадрату амплитуды
напряженности поля:
(23)
25
Вектор плотности потока энергии S
электромагнитной волны называется вектором
Умова–Пойнтинга (иногда его называют
вектором Пойтинга).
С учётом (21)
S = w υ = ЕН
В векторной форме
S = EH
(24)
(25)
26
В случае плоской линейно поляризованной
монохроматической волны вектор Умова–
Пойнтинга
направлен
в
сторону
распространения волны и численно равен:
(26)
27
Интенсивность электромагнитной волны равна
модулю среднего значения вектора Умова–
Пойнтинга за период его полного колебания:
(27)
Где υ - фазовая скорость волны, <w> - среднее
значение объемной плотности энергии поля
волны.
28
Интенсивность плоской линейно поляризованной
монохроматической бегущей волны прямо
пропорционально квадрату амплитуды А2
колебаний вектора Е поля волны:
1  0 2
I
A.
2 0
(28)
Под интенсивностью света, то есть
рассматриваемых в оптике электромагнитных
волн, обычно понимают просто квадрат амплитуды
колебаний напряженности Е2 поля световой
волны.
29
§ 3.Экспериментальное
исследование ЭМВ.
Раздвигал конденсатор
30
Вибратор Герца (1888г.)
Приёмник
λ = 0,6÷10м
ν = 108 Гц
31
+
~
-
○+ ○+ В
Е
+
○ ○+
I
Направление
распространения
32
Длина вибратора выбиралась равной ½ λ.
Пучность тока
Узел
33
Стоячие электромагнитные волны
34
Эксперименты:
1. Преломление и отражение (призма: основание
1.2м, высота 1.5м, вес 1.2т из асфальта).
2. Вогнутое зеркало => стоячая волна => υ = c
35
3. На пути луча решетка из медной проволоки =>
волна плоско - поляризованная.
4. Лебедев 1894г. – пропускал ЭМВ через
кристаллы =>=> двойное лучепреломление
(λ=6мм).
5. Попов 1896г. – осуществил передачу с помощью
ЭМВ на 250м, потом на 5км, в 1899г. на 50км.В
1901г. осуществил связь через Атлантический
океан.
6. Лебедев в 1900г. экспериментально доказал
давление света.
36
§ 4.Излучение диполя.
P  ql
r
+
Pe  P0 Sin(t )
(29)
(30)
При r ~ λ => картина поля
сложная.
В волновой области диполя
r >> λ картина упрощается.
37
Пусть фронт волны сферический. В каждой точке
Е и Н колеблются по закону Cos(ωt - kr),
амплитуды Емах и Нмах зависят от r до излучателя
и от угла θ.
Эта зависимость в вакууме имеет вид:
1
Ем ~Нм ~ Sin
r
(31)
Среднее значение плотности потока энергии:
(32)
38
Полярная диаграмма
направленности
излучения диполя
max на
P  qr ,
2
  2
2
d P
d r
 q 2  qa,
2
dt
dt
(33)
где а – ускорение.
Р~ q a
2
2
=> мощность изменения диполя Р
39
Знать:
1. Вывод волнового уравнения из уравнений
Максвелла.
2. Какую волну называют монохроматической,
плоско, эллиптически поляризованной?
3. Что такое вектор Умова, его физический смысл?
4. Опыты Герца, Лебедева, Попова и д.р. по
исследованию ЭМВ.
5. Свойства ЭМВ.
40
Уметь:
1. Получать выражение для фазовой скорости ЭМВ.
2. Вывести формулу для объёмной плотности
энергии ЭМВ.
3. Объяснить диаграмму направленности
излучения диполя.
4. Графически изобразить ЭМВ, стоячие ЭМВ.
41