Введение в физику дифракции 1. Основы кинематической теории рассеяния

Введение в физику
дифракции
1. Основы кинематической
теории рассеяния
Проф., дфмн Суворов Э.В.
ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
Получение рентгеновских лучей и их спектр
Непрерывный или белый (тормозной)
спектр рентгеновского излучения
Характеристическое (узкие линии) и тормозное
(непрерывный спектр) рентгеновское излучение
КПД рентгеновской трубки

E X ray
Eelectrons
 1,1 ZV 109
W (вольфрам)-анод, V=100kV, e=0,8%
Cu (медь)-анод, V=30kV, e=0,2%
V=100kV, i=10mA, W=1kW
Внешний вид
современной рентгеновской трубки
Блок-схема рентгеновской установки
Общий вид рентгеновского спектра.
а)-характер изменений
рентгеновского спектра
возбуждаемого на мишени из W с
ростом ускоряющего напряжения;
б)-вид спектра для нескольких
значений тока зонда;
в)-рентгеновские спектры для трех
различных материалов мишени.
I white  i  Z  U
eV  h 
hc

E1  E2  h
2
min
I ch  i U  U exit 
n
n  1,6  2
hc 12,395


eU
U
Коротковолновая
граница белого спектра
(граница Дуана-Ханта)
Зонная структура электронных переходов
и характеристические линии рентгеновского спектра
Диаграмма энергетических
уровней атома,
иллюстрирующая возбуждение
К; L, М- и N-оболочек и
образование линий Кa, Кb ,La, Мa
рентгеновского излучения
(показано стрелками).
Закон Мозли
B и C - константы
Ослабление интенсивности
рентгеновского излучения
при прохождении через вещество
dI   Idx
I  I0  e
 x
dI
 
I
dx
Ослабление интенсивности
рентгеновского излучения
при прохождении через вещество
При взаимодействии с веществом амплитуда рентгеновской волны
уменьшается. Это уменьшение амплитуды обусловлено с одной
стороны рассеянием  излучения, а с другой – поглощением излучения
в веществе .
   
 m   m  m
 a   a  a
Линейный коэффициент ослабления
Массовый коэффициент ослабления
Атомный коэффициент ослабления
Массовые коэффициенты
Поглощения - µm и рассеяния - σm
для двух длин волн и некоторых веществ
Так как коэффициент рассеяния σ мал по сравнению с величиной
коэффициента поглощения µ в дальнейшем будем учитывать в
основном только коэффициент поглощение!!!
- линейный коэффициент
I x  I0  e
x
поглощения характеризует
относительное ослабление
интенсивности на единицу пути, xдлина пути
m - массовый коэффициент
I x  I0  e
 m P
поглощения характеризующий
относительное ослабление
интенсивности приходящееся на 1
грамм вещества
I x  I0  e
 a N
a - атомный коэффициент
поглощения или коэффициент
характеризующий относительное
ослабление при перерасчете на
один атом
Связь между этими коэффициентами легко установить. x=mP=aN Здесь
P – количество граммов вещества, N – количество атомов вещества
лежащего на пути пучка т.е. в столбике сечением в s=1см2 и длиной x см.
Следовательно можно написать x=mP=mrxs (r – плотность вещества).
Тогда из этого равенства следует
m   / r
Запишем еще раз соотношение x=mP=aN . Число атомов
N на пути рентгеновского пучка в столбике xs равно числу
грамм-атомов в нем умноженному на число атомов в 1
грамматоме (т.е. на число Авагадро A). Здесь M – атомный
или молекулярный вес, A= 6,022 141 29(27)·1023 моль−1
Тогда из равенства xPaN получим
M
M
a   m    
A
rA
P
N  A
M
Коэффициент поглощения
  cZ 
n
3
Параметры – c и n
зависят от длины волны .
Например для K-полосы
n=4,0; для L-полос n=4,3
Рентгеновские селективные фильтры
Подбирая длину волны края поглощения
можно осекать ненужную часть спектра
выделяя необходимые линии. Если
последовательно использовать материалы с
близким краями поглощения (образуется
щель) можно выделить необходимую длину
воны рентгеновского спектра. Такие пары
фильтров называются дифференциальными
фильтрами.
Спектр электромагнитных колебаний
-лучи 10-11 – 10-9 см
X-ray 10-10 – 10-9 см
УФ 10-7 – 0.4 10-4 см
Видимый свет 0.4 10-4 – 0.7 10-4 см
ИК 0.7 10-4 – 0.01 см
Радио волны 0.01 см – 3-4 км
1Å=10-10 m=10-8 cm=10-7mm=10-4мкм
1м=102сm=103mm=106  =109nm=1010Å
1сm=10mm=104mкm=107nm=108Å
1=10-6 m
1nm=10-9 m
Диаграмма спектра электромагнитных волн
a) Левая колонка цифр – длина волны
в метрах;
b) средняя колонка – общепринятые
обозначения диапазона;
c) диаграмма видимой области спектра
и соответствующая область цветовой
чувствительности.
Сравнительные характеристики длин волн
электромагнитного излучения, электронов и протонов
1m=10-6m,
1pm=10-12m
Длины волн K-серий элементов,
употребляемых в качестве анодов
в рентгеноструктурном анализе
Антикатоды
Длина волны, Å
Элементы
Атомный номер,
символ
Ka1
Ka2
Kb1
Порог
возбуждения
Vk, в
Хром
24 Cr
2,290
2,085
2,085
5950
Железо
26 Fe
1,936
1,757
1,757
7100
Кобальт
27 Co
1,789
1,621
1,621
7700
Никель
28 Ni
1,658
1,500
1,500
8300
Медь
29 Cu
1,540
1,392
1,392
9000
Молибден
42 Mo
0,7093
0,6323
0,6323
20000
Родий
45 Rh
0,6132
0,5456
0,5456
23400
Палладий
46 Pd
0,5854
0,5205
0,5205
24500
Серебро
47 Ag
0,5594
0,4970
0,4970
25600
Вольфрам
74 W
0,2090
0,1844
0,1844
69500
Линии K-серии W (вольфрама) никогда не используются в качестве монохроматического
излучения
Эксперимент М.Лауэ (1912 год)
Источник рентгеновских лучей
Кристалл - образец
Коллиматор
рентгеновского пучка
Детектор –
фотопленка
Что такое дифракция волн
Дифра́кция во́лн (огибание препятствия волнами) —
явление, которое проявляет себя как отклонение от
законов геометрической оптики при распространении
волн. Это универсальное волновое явление. Оно
характеризуется одними и теми же законами при
наблюдении волновых полей разной природы.
Общим свойством дифракции является зависимость
результирующей картины от соотношения между длиной
волны и шириной волнового фронта (либо непрозрачного
экрана на пути его распространения, либо
неоднородностей структуры в которой распространяется
волна.
a
a~

Геометрическая оптика
Волновая оптика
Падающая волна
Экран
Изображение
  
~
d  
Дифракция на щели шириной a
Дифракционная картина от двух щелей.
Расстояние между двумя щелями – d, ширина каждой щели – D.
Интерференционная картина
двух когерентных источников волн
Интерференция волн это взаимное
увеличение или уменьшение
результирующей амплитуды двух или
нескольких когерентных волн,
одновременно распространяющихся в
пространстве.
Результатом интерференции является
сложная картина с чередованием
максимумов (пучностей) и минимумов
(узлов) интенсивности в пространстве.
Интерференционная картина зависит от
разности фаз накладывающихся волн.
Волны и возбуждающие их источники называются когерентными, если
разность фаз волн не зависит от времени, т.е.
1  2  f  t 
Интерференция двух когерентный источников волн
k1  k2 
1  2
a1  a 2
2

- волновые числа волн
- циклические частоты волн
-начальные фазы волн
-расстояния от точки наблюдения
до источников волн а1 и а2
r1 , r2
1  1t  k1r1  a1
- фазы волн
2  2t  k2 r2  a 2
a1 
A1
 sin 1t  k1r1  a1 
r1
a2 
A2
 sin 2t  k2 r2  a 2 
r2
A
a  a1  a2   sin 
r
2
2
A  A 
A A
A
  1    2   2 1  2  cos 2  1 
r
r1 r2
 r1   r2 
A1
A
 sin 1  2  sin 2
r
r2
  arctg 1
A1
A2
 cos 1   cos 2
r1
r2
Если волны а1 и а2 когерентны т.е. k1= k2 и следовательно
  2  1  k  r2  r1 
Тогда амплитуда результирующей волны будет
2
2
 A1   A2 
A1 A2
A
     2
 cos k  r2  r1 
r
r1r2
 r1   r2 
Следовательно амплитуда результирующей волны будет максимальна,
если cosk(r2-r1)=1 во всех точках M где
k  r2  r1   2m
m  0, 1, 2,....
Амплитуда волны будет минимальна во всех точках M если
k  r2  r1    2m  1 
m  0, 1, 2,....
Дифракция на круглом отверстии
J1  au 
F u  
u
Дифракция от двумерной сетки отверстий
Каждый вертикальный
ряд отверстий образует
дифракционную картину
в виде горизонтальных
полос (a)
a
b
c
f  x
Каждый другой ряд
отверстий образует
дифракционную картину
в виде полос
перпендикулярных этому
ряду (b)
Вся двумерная сетка
образует дифракционную
картину рефлексы
которой лежат на
пересечении полос
(a) и (b)

F  f  x   F  u    f  x   e2 iux dx

Дифракционная картина это Фурье-образ объекта
Рассеяние на бесконечной периодической решетке
(а) – кинематическое рассеяние; (б) – динамическое рассеяние
Аналогии между световым или электронным микроскопами
и дифракцией рентгеновских лучей
b
n~1,5
Микроскопия
n 1
n~1-10-6
n  
Рентгеновский
структурный анализ
ОСНОВЫ
КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ
РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
Рассеяние на бесконечной периодической решетке
В кинематической теории
учитываются только
однократные акты рассеяния
Кинематическое рассеяние
Рассеяние рентгеновских лучей
на свободных электронах
E  E0  exp  i t 
d 2x
m  2  eE
dt
mx  eΕ x  eE / m
ЗаконТомпсона – заряженная частица
движущаяся с ускорением сама становится
источником электромагнитного излучения
E
2
e
e
sin 
Ee  H e  x  2  sin   E0  2 
c R
mc
R
I0 - интенсивность первичного пучка; R - расстояние до точки наблюдения;
2
e
mc 2
 e 
- классический радиус электрона;
2 
mc


2
2
- сечение рассеяния
электрона (множитель Томпсона).
Рассмотрим два случая: 1. Вектор электрического поля перпендикулярен
0
плоскости рисунка -   90 (поляризация)
2. Вектор электрического поля лежит

в плоскости рисунка -    2 (поляризация)
2
2
 e  sin 2 
I    E × E  I 0  2  
R2
 mc 
2
*
2
2
 e  cos 2 2
 e  1
I   I 0   2   2 I    I 0  2  
2
mc
R
mc
R




2
I
I  I
2
2
2
 e 2  1 1  cos 2 2
 I0   2   2 
2
 mc  R
2
 e 2  1  1  cos 2 2 
Ie  I0   2   2 

2
 mc  R 

Множитель
1  cos2 2 
2
получил название поляризационного множителя.
2
 e2 
24
2
 2   10 см
 mc 
e
 5,31 1017
m
e  4, 77 1010  CGSE 
C  3 1010
me=9,1083x10-28 г
mp=1,65x10-24 г
4  3,14 1,53  10 8 
4
Va   r 3 
3
Vexp  103 sm3
3
103
n

 7 1019
24
Va 14,13 10
Vexp
Радиус атома
8
 1.5  10 см
Облучаемый объем
Число атомов в таком объеме
Доля рассеянной энергии
3
 10 см
3
 4  10
19
5
 4  10  Z
10 5  10 3
3
 14,13 1024 sm3
2

1

cos
2 
26
I e  7,90 10  I 0  

2


2
Электроны
Природные кристаллы
имеют межплоскостные
расстояния d~1-15 Å.
Для получения
дифракционной картины
от таких объектов
необходимо
иметь излучение с длиной
волны ~1 Å

U  вольт;   A
1Å=10-10м
100кV – 0,387Å
Рентгеновские лучи
Нейтроны
h  eE
12,394
min  h / eE 
V (вольт)
Граница Дуана-Ханта
mv 2
eE 
2
2eE
v
m
h
e 
mv
h
12,5
e 

2mE
U

Mo  Ka    0,711A
h
n 
mv
Формула де-Бройля
нейтроны с длиной волны ~1Å
имеют энергию ~0.08эв что
соответствует температуре
нейтронов около 600K.
Источник электронов – электронная пушка
Зависимость тока зонда от тока накала
вольфрамового катода
Схема электронной пушки с автоматическим
смещением
1 – катод;
2 – модулятор;
3 – эквипотенциальные линии электрического
поля;
4 – анод;
5 – омическое сопротивление автоматического
смещения;
6 - высокое напряжение
  


2  kT 
J 0  AT e
( A / см 2 )
Закон Ричардсона,
Работа выхода для
вольфрамого катодам w~4,5эв
Плотность тока
J0=1,75A/см2 T=2700oC
ПОЛУЧЕНИЕ ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНОВ
Нейтроны образующиеся в результате ядерных реакций
имеют энергию порядка 0,1 - 1МэВ
ТЕПЛОВЫЕ НЕЙТРОНЫ
Медленные нейтроны с кинетич. энергией в интервале 0,1 эв - 5
Кэв. называются тепловыми, т. к. получаются при замедлении
нейтронов до теплового равновесия с атомами замедляющей
среды (термализация нейтронов). Распределение т. н. в
замедлителе по скоростям определяется в соответствии
с распределением Максвелла для молекул газа. Скорость т. н. с
энергией 0,025 эв равна 2200 м/сек и длина волны де Бройля
лямбда = 1,8 А.
Длина волны тепловых нейтронов близка к величинам
межатомных расстояний в твёрдых телах. Следовательно
дифракция т. н. может использоватьтся для изучения структуры
твёрдых тел. Наличие у нейтрона магнитного момента позволяет
методом когерентного магнитного рассеяния т. н. изучать
магнитную структуру твёрдых тел. Изменения энергии при
неупругом рассеянии т. н. в конденсированных средах сравнимы с
их начальной энергией, поэтому неупругое рассеяние т. н.
является методом исследования движения атомов и молекул в
твёрдых телах и жидкостях (см. Нейтронография). Т. н. имеют
огромное значение для работы ядерного реактора, т. к. вызывают
цепную реакцию деления U и Рu. Велика также роль т. н. в произве радиоактивных изотопов.
Схема ядерного реактора:
1 - ядерное топливо,
2 - замедлитель,
3 - отражатель нейтронов,
4 - защита,
5 - регулирующие стержни.
1 г. угля – 2,9x1011 эрг=2,9x104Дж
1 г. U235 – 8,1x1017 эрг =8,1х1010Дж!!!
Схематическое устройство реактора
на тепловых нейтронах
1 — управляющий стержень;
2 — биологическая защита;
3 — теплоизоляция;
4 — замедлитель;
5 — ядерное топливо;
6 — теплоноситель.
Единицы измерения энергии
1 Дж = 1 кг·м²/с² = 1 Н·м = 1 Вт·с.
1 Дж = 107 эрг
1 Дж ≈ 6,2415·1018 эВ
1 МДж = 0,277(7) кВт·ч
1 кВт·ч = 3,6 МДж
1 Дж ≈ 0,238846 калориям
1 калориям (международная) = 4,1868 Дж[5].
1 термохимическая калория = 4,1840 Дж[5]
Событие
Энергия, соответствующая
температуре 1 K:
Энергия фотона красного видимого
света:
Энергия Ферми металлического
золота:
Атомная единица энергии
(энергия Хартри):
Дульная энергия пули при выстреле
из АКМ:
Энергия, необходимая для нагрева 1
литра воды от 20°C до 100°C:
Величина энергии
1,380·10−23 Дж
2,61·10−19 Дж
8,8·10−19 Дж
4.360·10−18 Дж.
2,3·103 Дж.
3,35·105 Дж.
Энергия, выделяемая при взрыве
1 тонны тринитротолуола
(тротиловый эквивалент):
4,184·109 Дж.
Энергия, выделенная при атомной
бомбардировке Хиросимы :
~6·1013 Дж.
Единицы измерения энергии
Таблица перевода единиц
Единица/
Дж
эрг
кал
эВ
1 Дж
1
107
0,238846
0,624146·1019
1 эрг
10−7
1
2,38846·10−8
0,624146·1012
1 кГм
9,80665
9,80665·107
2,34227
6,12078·1019
1 кВт ч
3,60000·106
3,60000·1013
8,5985·105
2,24693·1025
1 кал
4,1868
4,1868·107
1
2,58287·1019
Эквивалент
1 эВ
1,60219·10−19 1,60219·10−12 3,92677·10−20
1
Открытие деления атомных ядер 1938 год Щ.Ган, Г.Штрассман (Германия)
U
235
92
+n  Ba
1
0
145
56
88
36
1
0
+Kr +3n +200МэВ+γ
Барий
Криптон
1г-U
235
 2,3кВт×ч  3т-угля
Цепная реакция – результат бомбардировки ядер U235 тепловыми
нейтронами. Для поддержания реакции необходимо чтобы число
нейтронов возникающих при расщеплении было больше числа
поглощенных нейтронов.
Цепная реакция деления будет происходить при условии если быстрые нейтроны
образовывающиеся при спонтанном распаде ядер U235 будут достаточно
медленными (тепловыми) и могут быть захвачены другими ядрами U235
Спектр длин волн электромагнитного излучения,
электронов, протонов
1nm=10-9m
1pm=10-12m
Множительные приставки (префиксы)
к единицам измерения
(названия и обозначения)
Приставка
Множитель
Приставка
Наименование
Обозначение
русское,
международное
1018
экса
Э, E
1015
пета
1012
Множитель
Наименование
Обозначение
русское,
международное
10-1
деци
д, d
П, P
10-2
санти
с, с
тера
Т, T
10-3
милли
м, m
109
гига
Г, G
10-6
Микро
мк, 
106
мега
М, M
10-9
Нано
н, n
103
кило
к, k
10-12
Пико
п, p
102
гекто
Г, h
10-15
фемто
ф, f
10
дека
да, da
10-18
атто
а, a
Длины волн электромагнитного излучения
-лучи
10-11 – 10-9 см
X-ray
10-10 – 10-9 см
УФ
10-7 – 0.4 10-4 см
Видимый свет
0.4 10-4 – 0.7 10-4 см
ИК
0.7 10-4 – 0.01 см
Радио волны
0.01 см – 3-4 км
Длины волн электронов различных энергий
E(kV)
e (Å)
классическая
e (Å)
релятивистска
я
1
0,3876
0,3876
10
0,1226
0,1220
100
0,0387
0,0370
400
0,0193
0,0164
1Å=10-10 m=10-8 cm=10-7mm
1=10-6 m
1nm=10-9 m
Рассеяние на бесконечной периодической решетке
кинематическое рассеяние
E  E0  exp  i t 
Рассеяние на
одном электроне
I  E  E
Рассеяние на атоме
f()-атомный фактор
рассеяния
Интерференционная функция ЛАУЭ
a, b, c
где m,n,p - целые числа; Rj – расстояние от точки наблюдения до текущего
узла решетки (R много больше размеров кристалла);
k 
2

k
Волновое число –
модуль волнового
вектора
i t  
E  E0  e
s0
s
Единичный вектор
определяющий нормаль
к волновому фронту
Единичный вектор
определяющий направление
на точку наблюдения M
Падающая плоская волна
Положим, что в точке А0 фаза равна нулю т.е.
 j  k  s 0 ,rj 
  k Rj
M
0  0


i t  k s0 ,rj 


EA j  E0  e
E0 t k  s0 ,rj k R j 
E 
e
Rj
M
j
R j  R  s, r j 
E
M
j
i t  k  s0 ,rj   kR j 
E

e

Rj
E i t k  s0 ,rj kR  k s,rj  E i t kR k s0 s,rj 
 e
 e
R
R
E0 it kR 
ik  s-s0 ,rj 
E 
e
 e
R
j
M

E t  
N
N
N
EM  E  t    e
m 0 n 0 p 0
E0
 ei t  kR 
R
ik  ss0 , am  bn cp 
 E  t   L  s  s0 
3
N
L  s  s0     e
ikm( s s0 ),a
Функция Лауэ
a ,b , c m  0
Введем новые переменные
Тогда функцию Лауэ можно переписать в виде
3
N
3
N
L  s  s0    eikm( ss0 ),a   e2ima
a ,b,c m 0
a ,b,c m 0
В этом выражении сумма стоящая под знаком произведения
есть геометрическая прогрессия
В результате суммирования ряда геометрической прогрессии получим
Тогда суммарное значение амплитуды электрического
поля в точке М будет иметь вид
3
N
E  L  s - s0     e
M

ikm  s-s0 ,a 
a ,b ,c m 0
1  exp  2iN  a 

a ,b ,c 1  exp  2i  a 
3
Перейдем теперь от вектора электрического поля к более
привычной величине к интенсивности излучения в точке М т.е.
I
M

 E E
M
M
В результате несложных преобразований получим
 eix  e  ix
 cos x
 2
 ix ix
 e  e  sin x
 2i
Таким образом интенсивность волнового поля наблюдаемая в точке М
в результате суммирования волн рассеянных на всех узлах j
кристаллической решетки будет иметь вид
I
M

E
 
R
2
sin  N  a 

2
a ,b ,c sin   a 
3
2
k
 s - s0  , a 
2
k
 b   s - s0  , b 
2
k
 c   s - s0  , c 
2
a 
Положения главных максимумов
 sin Nx 
 sin x  


2
hkl – целые числа
Амплитуды главных максимумов
Положения побочных максимумов
В диапазоне видимого света
отраженный от зеркала луч
существует для любого угла
падания. Причем угол падения
всегда равен углу отражения.
~0.4 10-4 – 0.7 10-4 см
Видимый свет
  a
Угол отражения
 может быть любой
Для рентгеновского излучения
угол отражения от плоскости (hkl)
всегда строго фиксирован
и определяется соотношением Брегга

a ~ 1A
~1Å
Рентгеновское
излучение
 a
2d sin   
Геометрическая интерпретация условий Лауэ
Условия максимумов
функции Лауэ
Докажем такое тождество
Пусть
вектора прямой
и обратной решеток
тогда выполняется
тождество
пусть
также
любой вектор
обратной решетки
Условия максимумов
функции Лауэ
Введем
обозначение
r
s - s0

Используя доказанное выше тождество подставим значение вектора r
a  s  s0 / , a   b  s  s0 / , b   c s  s0 / , c   r
Однако согласно условиям Лауэ скалярные произведениях стоящие в
скобках равняются соответственно h, k, l. Следовательно можно
переписать написанное выше уравнение в виде



a hb k c l  r  H
Геометрия дифракции по Эвальду.
Сфера Эвальда
Уравнение Лауэ
Уравнение Вульфа-Брегга
2d sin   
Геометрическая интерпретация условий Лауэ.
Схема Эвальда
Уравнение Лауэ в
векторной форме
K0 - KH = H
Что означает это
векторное равенство?
1/
P
K0
2
KH
Q(hkl)
H
2
K0
KH
O000
H
Связь уравнений Лауэ с формулой Вульфа-Брегга

H / 2 1 / 2d hkl

 sin 
K
1/ 
2d sin   
Геометрия дифракции в прямом и
обратном пространстве
Поворот (покачивание) кристалла
вблизи Брегговского угла вокруг
оси  в прямом пространстве
Поворот (покачивание) кристалла на угол 
вблизи Брегговского положения в
обратном пространстве вокруг узла
(000)
Поворот кристалла вокруг точки O приводит к смещению узла
обратной решетки H со сферы Эвальда и появляется возможность
исследовать окрестности узла обратной решетки H.

2-сканирование
-сканирование
KH
2
H
K0

O
Приложение
Фурье-преобразование, образ функции
f  x
- любая функция в пространстве {x}
x – пространство - это прямое пространство

F  f  x   F  u    f  x   e
2 iux
dx

Это выражение определяет Фурье-образ этой функции в пространстве {u}
U – пространство - это обратное пространство
f  x  F
1
 F  f  x  

 F  u  e

- обратное Фурье-преобразование функции f(x)
2 iux
du
ВАЖНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ФУРЬЕ-АНАЛИЗА
Дельта функция (функция Дирака)


 0  если  x  a
  x  a  
  если  x  a
   x dx  1


  x 
2 ixy
e
 dy

Функция Хевисайда (единична ступенчатая функция)
0
  x  a  
1
xa
xa
d
  x  a    x  a
dx
Свертка функций
f  x g  x 

 f  X   g  X  x  dX

f  x   x  f  x
f  x   x  a  f  x  a
Фурье-образ функции

f  x
F  f  x   F  u    f  x   e2 iux dx

f  x   F  F  f  x  
1



F  u  e 2 iux dx
Фурье-образы некоторых важных функций
f x
F  u 
 x
F   u 
f

f  ax 
1
F u / a 
a
f  x  g  x
F u   G u 
f  x g  x
F f  x  F g  x
f  x  a
e 2 iau F  u 

 

d
f  x
dx
dn
f  x
n
dx
 2 iu   F  u 
 2 iu 
n
 F u 
  x
1
  x  a
e2 iau
2 x2

a
e
0
f  x  
1
f  x 
 N 1 / 2
x  a/2
x  a/2
   x  na 
 N 1 / 2

a
2 2
 u2
e a
sin  au 
u
sin  Nau 
sin  au 
Открытие рентгеновских лучей (1896 г.)
Вильгельм Конрад Рентген
(Wilhelm Conrad Röntgen 27.03.1845 – 10.02.1923)
Линнепе, Германская империя, Университет
Мюнхена (научный руководитель Август Кундт)
Нобелевская премия (1901) по
физике за открытие
X-излучения.
Вильгельм Конрад Рентген родился в Линнепе (Ремшайд). Отец был купцом и
производителем одежды. Мать, Шарлотта Констанца (в девичестве Фровейн),
родом из Амстердама. Первое образование В.Рентген получает в частной школ.
С 1861 он посещает Утрехтскую Техническую школу, однако в 1863 его
отчисляют из-за несогласия выдать нарисовавшего карикатуру на одного из
преподавателей. В 1865 году Рентген пытается поступить в Утрехтский
университет. Позже он сдаёт экзамены в Федеральный политехнический
институт в Цюрихе на отделение механической инженерии, в 1869 году
получает степень доктора философии.
В1870 году Рентген переходит учиться в университет в Цюрихе. После
успешной защиты диссертации он приступает к работе в качестве ассистента
на кафедре физики в Цюрихе, а потом в Гиссене. В период 1871 – 1873 годы
Вильгельм работает в Вюрцбургском университете. В 1874 году перешёл в
Страсбургский университет, в котором проработал пять лет в качестве
лектора, а затем в качестве профессора. Уже в 1879 году он был назначен на
кафедру физики в университете Гессена. С 1888 года Рентген возглавляет
кафедру физики в Университете Вюрцбурга, где в 1894 году, его избирают
ректором. В 1900 году Рентген стал руководителем кафедры физики
университета Мюнхена — она стала последним местом его работы. Позже, по
достижении предусмотренного правилами предельного возраста, он передал
кафедру Вильгельму Вину , но всё равно продолжал работать до самого конца
жизни. Умер Вильгельм Конрад Рентген 10.02.1923 года.
Эксперименты с катодными лучами и газовым разрядом 1896 год
Трубка Крукса
Открытие дифракции рентгеновских лучей
(1912 г.)
Лауэ Макс Теодор Феликс фон
(Max von Laue; 09.10.1879 –
24.04.1960) — немецкий физик,
лауреат Нобелевской премии по
физике в 1914 г. «за открытие
дифракции рентгеновских лучей
на кристаллах».
После окончания школы в 1898 году, фон Лауэ служил один год в армии по призыву. Затем он поступил
в Страсбургский университет, где приступил к изучению математики, физики и химии. Вскоре он
перешёл в Гёттингенский университет. После этого он провёл один семестр в Мюнхенском
университете и затем перешёл учится в Берлин, под руководством Макса Планка. В 1903 году он
защитил диссертацию по теории интерференции на параллельных пластинках и стал в 1905 г.
ассистентом у Макса Планка. После защиты второй диссертации в 1906 г. он занялся теорией
относительности и при помощи оптических опытов получил в 1907 г. важные экспериментальные
подтверждения релятивистского правила сложения скоростей. В 1909 г. он получает в Мюнхенском
университете место приватдоцента теоретической физики.
В 1912 г. фон Лауэ переходит в Цюрих. Там он предсказал дифракцию рентгеновских лучей на
кристаллах, что было экспериментально подтверждено двумя его студентами — Фридрихом и
Книпингом. Таким образом был подтверждён волновой характер рентгеновского излучения. Кроме того
при помощи этого метода удалось выяснить структуру многих кристаллов. За эти достижения фон
Лауэ получил в 1914 г. Нобелевскую премию по физике.
В 1919 г. фон Лауэ возвращается в Берлин, где дорабатывает свою первоначальную «геометрическую
теорию» интерференции рентгеновских лучей до так называемой «динамической теории». В 1921 г. он
получает памятную медаль Адольфа фон Байера и в 1932 г. медаль имени Макса Планка. Во время
нацизма он выступает в защиту Эйнштейна и т. н. «еврейской физики», за что его досрочно отправляют
в 1943 г. на пенсию. После войны он подвергается интернированию в Англии и пишет в это время
«Историю Физики».
После окончания войны он активно участвует в восстановлении немецкой научной отрасли. Он
основывает «Немецкое физическое общество в британской оккупационной зоне» и участвует в
восстановлении «Сообщества немецких физических обществ», в основании «Федеративного физикотехнического учреждения» в городе Брауншвейг, а также «Немецкого исследовательского сообщества»
(главного распределителя исследовательских грантов ФРГ). В 1951 г. фон Лауэ становится директором
института Фрица Габера общества Макса Планка в Западном Берлине (район Далем). Кроме того он
был почётным членом свободного университета Берлина, от которого он получил звание почётного
доктора в 1958 г. Институт имени Лауэ — Лонжевена в Гренобле носит его имя. Незадолго до смерти в
автоаварии его именем была названа гимназия в городе Кобленц.
Андерс Йонас Ангстрем (Anders Jonas Ångström; 13
августа 1814, Лёгдё, Медельпад – 21 июня 1874,
Уппсала) - шведский ученый - астрофизик, один из
основателей спектрального анализа. В 1839 году
окончил университет в г. Уппсале, с 1858 - профессор,
заведующий кафедрой физики, в 1870-1871 годах ректор Уппсальского университета. С 1843 года
работает в Уппсальской обсерватории. В 1862 году
обнаружил наличие водорода на солнце. Основным
трудом учёного является «Исследование солнечного
спектра» (1868) - атлас, представивший измерения
1000 спектральных линий с разрешением в одну
десятимилионную часть миллиметра (величину,
которая впоследствии получила название «ангстрем»).
Впервые исследовал спектр северного сияния. Также
изучал теплопроводность и магнетизм. В честь
Ангстрема назван кратер на Луне. В 1872 году был
награждён медалью Румфорда. Член Лондонского
королевского общества (1870), член-корреспондент
Парижской АН.
1 =10-10 m=10-8 cm=10-7mm=10-4мкм
Источники информации в структурном анализе
Источник
рентгеновского излучения
коллиматор
Образец
Детектор
1. Геометрия дифракционной картины
2. Интенсивности дифракционных
пятен - рефлексов
Элементарная ячейка кристалла,
Параметры a, b, c, a, b, ,
симметрия решетки
Функция распределения
электронной плотности
r  r    F  H   e  i H,r 
H
3. Тонкая структура дифракционных
рефлексов и диффузного рассеяния
Реальная структура кристаллов дефекты, нарушения совершенства
кристаллов
Уильям Генри Брэгг и
Уильям Лоренс Брэгг
получили Нобелевскую премию
по физике, 1915,
за создание метода рентгеноструктурного
анализа
сэр Уильям Генри Брэгг
Sir William Henry Bragg
02-07-1862 – 12-03-1942 (79 лет)
- Английский физик, лауреат
Нобелевской премии по
физике за 1915 год
(совместно со своим сыном У.Л.Бреггом)
Брэгг учился в колледже короля Вильгельма на острове Мэн и в колледже
Тринити в Кембриджском университете, который закончил в 1884 году
(магистр гуманитарных наук). В 1886 в возрасте 24 лет он становится
профессором в Аделаидском университете в южной Австралии, где
возглавляет кафедру математики и физики. В 1906 г. становится членом
королевского научного общества. После 20 лет жизни в Австралии
возвращается в 1909 г. в Англию и получает место профессора в
университете Лидса. Спустя 6 лет, в 1915 г., Брэгг становится профессором
физики в университете в Лондоне.
В 1913 г. совместно с сыном Брэгг занялся изучением дифракции
рентгеновских лучей, годом ранее открытой М. фон Лауэ. Предположив,
что атомы в кристаллах образуют семейства параллельных плоскостей,
отец и сын предложили формулу, связывающую длину волну излучения,
расстояние между параллельными плоскостями кристалла и угол, под
которым наблюдается дифракционный максимум. Это же условие в том
же году было независимо получено русским кристаллографом
Ю.В.Вульфом и в отечественной научной литературе получило название
уравнения Вульфа-Брэгга (в западной литературе имя Вульфа не
используется). Это уравнение легло в основу рентгеноструктурного
анализа. Помимо уравнения, описывающего закон дифракции, Брэгг
создал первый прибор для регистрации дифракционной картины и вместе
с сыном разработал основы метода определения структуры кристаллов по
дифракционной картине рентгеновских лучей. Использование этого
прибора позволило Брэггам установить структуру многих простых
кристаллов, первым из которых был NaCl.
 
d
2d  sin   
угол дифракции; d-расстояние между плоскостями
Гео́ргий (Ю́рий) Ви́кторович Вульф (1863 - 1925) советский кристаллограф, член-корреспондент АН СССР (1921).
В 1913 открыл закон интерференции рентгеновских лучей,
отражённых атомными плоскостями кристаллов.
Георгий Викторович Вульф родился в 1863 г. в Чернигове.
Окончил мужскую классическую гимназию в Варшаве в
1881 г. и поступил в Варшавский университет, на
естественное отделение физико-математического
факультета. По окончании университета в 1885 г. он был
оставлен при университете на кафедре минералогии, где
занимался изучением теплоемкости минералов. В 1888 г.
он переезжает в Петербург, где работал в
Минералогическом кабинете Петербургского
университета. Возвратившись в Варшаву в1990 г., Георий
Викторович открыл приватдоцентский курс по
кристаллографии, защитил дессертацию «Свойства
некоторых псевдосимметрических кристаллов». В 1895 г.
им была закончена и опубликована работа «К вопросу о
скоростях роста и растворения кристаллических граней»,
которую он представил на физико-математический
факультет как диссертацию на степень доктора
минералогии и геогнозии. В 1897 г. он был назначен
профессором в Казанский университет, откуда в начале
1899 г. перешел в Варшавский университет на кафедру
минералогии. С 1907 г. Георгий Викторович Вульф
перенес свою деятельность в Москву. Здесь он стал
приватдоцентом Московского университета, в котором
благодаря вниманию проф. В. И. Вернадского он получил
возможность основать в помещении Минералогического
института свою лабораторию. В настоящее время это
Минералогический музей Московского университета (27
этаж главного здания на Воробьевых горах).
Таблица перевода единиц енергии
Джоуль
Ватт-час Электронвольт
Калории
1 Дж
1
2,78x10-4 6,241x1018
0,239
1 кВт-час
3,6x106
1 эВ
1 кал
103
1,602x10-19 4,45x10-23
4,187
2,247x1025
8,6x105
1
3,827x10-20
1,163x10-3 2,613x1019
1
Энергетический акт
Величина
энергии
Энергия, соответствующая температуре 1 K
1,380·10−23 Дж
Энергия фотона красного видимого света
2,61·10−19 Дж
Энергия Ферми металлического золота
8,8·10−19 Дж
Атомная единица энергии (энергия Хартри)
4.360·10−18 Дж
Дульная энергия пули при выстреле из АКМ
2,3·103 Дж
Энергия, необходимая для нагрева 1 литра
воды от 20°C до 100°C
3,35·105 Дж
Энергия, выделяемая при взрыве 1 тонны
тринитротолуола (тротиловый эквивалент)
4,184·109 Дж
Энергия, выделенная при атомной
бомбардировке Хиросимы
~6·1013 Дж
Энергия Хартри равна абсолютному значению электрической
потенциальной энергии атома водорода в основном состоянии.
— редуцированная постоянная Планка,
me— масса электрона,
a02— боровский радиус
Eh 
2
me a02
Дифракция на щели
F u  


f  x   e 2 ixu dx 

e
x

1

 a /2

e 2 ixu dx
 a /2
x
e
 a /2

e 2 ixu dx 
 a /2
 a /2
1
 1
2 iux 

e

e

 2 iu
  a /2 2 iu
2 iu
a
2
1

e
2 iu
2 iu
a
2

1  2 iu a2 2 iu a2 
1  e iu  e iu 

e
e



2 iu 
2i

 u 
 eix  e  ix
 cos x
 2
 ix ix
 e  e  sin x
 2i
 iu
1 e

u 
e
2i
 iu
Формулы Эйлера
 sin  au 

 au

Второй способ решения задачи дифракция на шеле
0.при. x  a / 2
f  x  
1.при. x  a / 2
f(x)
1
a/2
-a/2
0
x
f  x     x  a / 2    x  a / 2
2
g(x)
d
f  x     x  a / 2    x  a / 2  g  x 
dx
a/2
-a/2
x
d
f  x   g  x     x  a / 2    x  a / 2
dx
F  g  x   e
 eix  e  ix
 cos x
 2
 ix ix
 e  e  sin x
 2i
a
2 iu 
2
e
a
2 iu 
2
 2i  sin  ua 
d

F
f  x     2 iu   F  u 
 dx


d
d

f  x   g  x  F  f  x    F  g  x 
 dx

dx
 2 iu   F u   2i  sin  ua 
2i sin  au  sin  au 
F u  

2 iu
u
Дифракция на периодической решетке
f  x 
 N 1 /2
   x  na 
 N 1 /2
sin  Nau 
F u  
sin  au 
Функция Лауэ
Её Фурье-образ
Функция
  x  a
f  x 
F u  
e
2 iau
 N 1 /2
   x  na 
 N 1 /2
 N 1 /2

 N 1 /2
exp 2 iuna
F u  
 N 1 /2

N 1
 N 1 /2
exp 2 iuna  exp  iu  N  1 a  exp 2 iuna
0
N
e
e
nx
 Nx
N
3
e
Nx
3
e
3 x
e
6
x
e
2 x
x
e e e e e 
0
x
e e e e e
 e 3 x   enx
0
e
nx
0
3 x
1  e
2N
2x
3x
4x
5x
2x
6x
3x

Выражение под знаком суммы в предыдущем выражении
есть не что иное как геометрическая прогрессия
N 1
 exp 2 iuna
0
qe
2 iua
a1  q  1
n
Sn 
exp i 2 uNa  1
0 exp 2 iuna  exp i 2 ua  1
N 1
q 1
F u  
 N 1 /2

 N 1 /2
exp 2 iuna 
N 1
 exp  iu  N  1 a  exp 2 iuna 
0
exp i 2 uNa  1
0 exp 2 iuna  exp i 2 ua  1
N 1
exp 2 iuNa  1
 exp  iu  N  1 a

exp 2 iua  1
exp 2 iuNa  1 exp   iua 
 exp  iu  N  1 a


exp 2 iua  1 exp   iua 
 eix  cos x  i sin x
 ix
e  cos x  i sin x
 eix  e  ix
 cos x
 2
 ix ix
 e  e  sin x
 2i
exp  iuNa   exp   iuNa  sin  Nua 


exp  iua   exp   iua 
sin  ua 
Дифракция на периодической решетке
f  x 
 N 1 /2
   x  na 
 N 1 /2
sin  Nau 
F u  
sin  au 
Обратное пространство Фурье {U,V}
Прямое пространство {X,Y}
f  x, y 
F  f  x, y 