НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА Лекция II

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА
МОДУЛЯЦИОННОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
Рыскин Н.М.
Саратовский госуниверситет
Факультет нелинейных процессов
Модуляционная неустойчивость
2
æ¶ A
ö w¢¢¶ 2A
2
¶
A
÷
0
÷
i çç
+V
+
+
b
A
A = 0
÷
2
çè ¶ t
¶x ÷
ø 2 ¶x
Þ
2
w0¢¢ 2
k - b A0
2
i (Kx - Wt )
a( x , t ) = a + e
+ a- e
v gK )
æw¢¢K 2 ö
2
÷
ç
0
÷
¢
¢
ç
= ç
- bw0 A 0 K 2
÷
÷
÷
çè 2 ø
vg (w, A0 ) = V + w0¢¢k (w, A0 )
A ((xx,,tt))== (AA00 exp
+ a[(ix(,kx
t ))-exp
wt )éêëi](kx - wt )ù
ú
û
w = kV +
(W-
2
нелинейное дисперсионное соотношение
(
- i K *x - W*t
)
K 02 = 4b A 0
2
K m2 = K 02 2
l m = b A0
2
w0¢¢
Переход к хаосу при МН
магнитостатических волн в пленках ЖИГ
• Дудко Г.М., Казаков Г.Т., Кожевников А.В., Филимонов Ю.А. //
Письма в ЖТФ 13, 736 (1987).
• Дудко Г.М., Филимонов Ю.А. // Письма в ЖТФ 15(2), 55 (1989).
• Дудко Г.М., Славин А.В. // ЖТФ 31 (6), 114 (1989).
• Демидов В.Е., Ковшиков Н.Г. // Письма в ЖЭТФ 66, 243 (1997).
Переход к хаосу при МН
магнитостатических волн в пленках ЖИГ
удвоения периода
разрушение квазипериодичности
Два типа неустойчивости
lim u (x , t ) = ¥
t® ¥
Абсолютная неустойчивость
lim u (x , t ) = 0
t® ¥
Конвективная неустойчивость
Л.Д. Ландау (1954), P. Sturrock (1958)
МН — абсолютная или конвективная?
+¥
a (x , t ) =
òa
- ¥
k
exp éëi (Kx - W(K )t )ù
ûdK
2p
f (K )t
a (K s )e s
i W¢¢(K s )t
Вычислим интеграл методом перевала: a (x , t ) ;
f (K ) = i Kx t - W(K ) , K s - точка перевала, d W(K s ) dK = 0
(
)
Нормированные переменные: w = W l m , z = K K m
Характеристическое уравнение:
dw
= 0 Þ
dz
(
)
w = az + i z 2 2 - z 2 ,
a=
vg
A0
2
w0¢¢b
a 2 m a a 2 - 16
zs = ± 1 +
- точки перевала
8
> 0 Þ a 2 > 16
Критерий абсолютной Re éêëf (K s )ùúû
x t= 0
неустойчивости:
или b A0
2
2
2
ö
1væ
gV
÷
ç
> ç
+ w÷
÷
÷
çè2
¢
¢
¢
¢
83w
w
ø
0 0
МН — абсолютная или конвективная?
Дисперсионная характеристика для нелинейного уравнения
Шредингера в случае конвективной (1) и абсолютной (2) МН.
Заштрихован диапазон волновых чисел, в котором имеет
место неустойчивость
Нелинейный эффект перехода от
конвективной неустойчивости к абсолютной
Конвективная МН
Абсолютная МН
Переход к хаосу
С ростом амплитуды входного сигнала происходит переход к
хаосу через разрушение квазипериодического движения
Нелинейное уравнение Клейна–Гордона
w2 = c 2k 2 + wc2 ( A
2
)
2
2ö
¶ 2A
2 ¶ A
2æ
÷
ç
c
+
w
A
A= 0
÷
c ç
2
2
è
ø
¶t
¶x
wc2 = w02 (1 - m A
2
)
w02
w =
2
1+ mA
2
c
Без ограничения общности можно положить w0 = c = m = 1
Нелинейное уравнение Клейна–Гордона
A 0 = 0.3
С ростом амплитуды вначале
происходит переход от конвективной
неустойчивости к абсолютной.
Затем из-за уменьшения дисперсии
происходит обратный переход к
конвективной неустойчивости.
A 0 = 2.0
A 0 = 3.0
Нелинейное уравнение Клейна–Гордона
2
1 — область непропускания;
2 — область автомодуляции (абсолютная МН);
3 — область стационарного распространения
сигнала (конвективная МН)
K0 > k Þ mA >
w2 - w02
2
æ 2ö
w > wc çç A ÷
Þ
m
A
>
è ÷
ø
w2
w02 - w2
w2
Нелинейное туннелирование
Newell A.C. // J. Math. Phys.
19, 1126 (1978).
• Квазилинейное туннелирование
• Солитонное туннелирование
• Туннелирование с потерями
Нелинейное туннелирование
а
A0  0.75
A0  1.15
A0  1.1
A0  1.2
Зависимости амплитуды сигнала от времени в точке L=20 при w  p/4
и различных значениях амплитуды входного сигнала
Нелинейное туннелирование
A0  0.75
A0  1.2
Картины пространственно-временной динамики
Нелинейная динамика МН в
периодической брэгговской структуре
2
w2 = n 0k
+ k2
nl
n 1,2 = n 01,02 + n 1,2
I
æ¶ A
¶ A+ ö
2
÷
i çç + +
+
n
A
+
n
A
+ 2 A÷
0
k
nl
+
÷
çè ¶ t
ø
¶x
æ¶ A
¶ A- ö
2
÷
i çç - +
n
A
+
n
A
+ 2 A+
÷
0k +
nl
è ¶t
ø
¶x ÷
(
2
(
2
)A
+
= 0,
-
= 0.
)A
n 1nl + n 2nl
n nl =
,
2
n - n 02
n 0k = 01
.
p
Численное моделирование методом FDTD
Параметры структуры: толщина одного
слоя 0.5 мкм, число слоев 100, период
структуры 1 мкм, поперечный размер
слоев 1 мкм, линейная часть
показателей преломления слоев
n1=1.45, n2=2.0.
ПВ – подводящий волновод
Дисперсионные характеристики
структуры для различных
значений амплитуды входного
сигнала:
1 – A=1.0, 2 – A=3.0, 3 – A=3.5
Численное моделирование методом FDTD
Ain = 6.0
Ain = 6.7
Ain = 7.0
Численное моделирование методом FDTD
Ain = 10.0
Ain = 15.0
Численное моделирование методом FDTD
Ain = 6.0
Ain = 10.0
Ain = 7.0
Мгновенные распределения
z-компоненты поля вдоль
оси системы