y(n)

Digital Signal Processing
Валерий Иванович
Кривошеев
РФ, ННГУ
DSP
Введение
DSP
Литература по курсу
• Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М., Сов. Радио, 1973.
• Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.,
Мир,1978.
• Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов.М.,Связь,1979.
• Пелед А., Лиу Б. Цифровая обработка сигналов. Киев, Вища школа, 1979.
• Каппелини В., Константинидис А., Эмилиани П. Цифровые фильтры и их
применение. М., Радио и связь, 1983.
• Антонью А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование. М., Радио и Связь,
1983.
• Гольденберг Л.М. , Матюшкин В.Д. , Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов:
Учебное пособие для вузов. М., Радио и связь, 1990.
• Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М., Мир, 1990.
• Карташев В.Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильтров. М.,
Высшая школа, 1982.
• Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. М., Радио
и связь, 1986.
• Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. М., Высшая
школа, 1988.
• Цифровые фильтры в электротехнике и радиотехнике. Под ред. Л.М.Гольденберга
. М., Радио и связь, 1982.
• Применение цифровой обработки сигналов. Под ред. Оппенгейма А. М., Мир,
1980.
• Сверхбольшие интегральные схемы и современная обработка сигналов. Под ред.
Гуна С. и др. М., 1989.
Дискретные сигналы и системы
•
•
•
•
•
•
DSP
Классификация сигналов и систем
Дискретные сигналы (последовательности)
Дискретные линейные системы с постоянными параметрами
Устойчивость и физическая реализуемость ДЛС
Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами
Представление дискретных сигналов и систем в частотной области
Дискретные сигналы и системы
Определения сигналов:
• Сигнал – функция переносящая информацию о состоянии
или поведении физической системы
• Сигнал в непрерывном времени – определяется на
континууме моментов времени и, следовательно,
представляется как функция непрерывной переменной
• Дискретные сигналы (сигналы в дискретном времени) –
определяются в дискретные моменты времени и
представляются последовательностью чисел.
Амплитуда (мгновенное значение) сигнала также может
быть величиной как непрерывной так и дискретной.
DSP
Дискретные сигналы и системы
T
Рис 1.1. Сигналы в непрерывном и дискретном времени
• Цифровые сигналы – это сигналы у которых дискретно и
время и амплитуда
• Аналоговые сигналы – это сигналы в непрерывном времени
и с непрерывным диапазоном амплитуд
DSP
Дискретные сигналы и системы
Определения систем:
Системы обработки сигналов могут классифицироваться точно также,
как и сами сигналы.
• Системы в непрерывном времени – это системы, у которых на
входе и выходе имеются имеются сигналы в непрерывном
времени
• Дискретные системы (системы в дискретном времени) – это
системы, у которых на входе и выходе дискретные сигналы
• Аналоговые системы – это системы с аналоговыми сигналами на
входе и выходе
• Цифровые системы – системы с цифровыми сигналами на входе
и выходе
DSP
Дискретные сигналы и системы
Свойства систем:
Цифровые системы обработки дискретных сигналов обладают рядом
полезных качеств:
• Они могут быть реализованы с большой гибкостью на
универсальных ЦВМ или с помощью цифровой аппаратуры;
• Функции обработки могут легко изменяться и управляться;
• Может быть достигнута высокая точность и достоверность
обработки;
• Возможна реализация гораздо более сложных функций обработки,
чем в аналоговых системах
DSP
Дискретные сигналы и системы
x(nT)
U(t)
АФ1
АЦП
ЦВУ
y(nT)
ЦАП
V(nT)
АФ2
V(t)
Рис 1.2. Блок – схема цифровой обработки аналогового сигнала
Блоки:
• АФ1 – аналоговый фильтр нижних частот, ограничивающий ширину
спектра входного сигнала;
• АЦП - аналого-цифровой преобразователь, осуществляющий
дискретизацию во времени и квантование по уровню временных отсчетов
(выборок) т.е. представление их в форме периодической
последовательности двоичных чисел (цифровой сигнал x(nT));
• ЦВУ - цифровое вычислительное устройство, выполняющее
соответствующее преобразование сигнала x(nT) в цифровой сигнал y(nT);
• ЦАП - цифро-аналоговый преобразователь, выполняющий преобразование
цифрового сигнала y(nT) в сигнал дискретного времени V(nT);
• АФ2 - аналоговый фильтр, преобразующий дискретный сигнал V(nT) в
аналоговый V(t);
DSP
Дискретные сигналы и системы
Дискретизация по времени
Квантование по уровню
A
6
5
4
3
2
1
0
B
C
D
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
3
5
4
1
0
1
2
1
3
0
Рис 1.3. Дискретизация по времени и квантование по уровню
b – полученная последовательность цифр
c – полученная последовательность двоичных кодовых групп
d – ошибки квантования
DSP
Дискретные сигналы и системы
Квантование по уровню
Digital
0
1
2
3
4
3
2
1
4
5
6
7
111
110
101
Analog
-4
-3
-2
-1
0 100
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
011
010
001
000
Рис 1.3.а. Получение двоичных кодовых групп
DSP
Дискретные последовательности
Формальная запись последовательности:
x  x(n),
  n  
Более удобно говорить о «последовательности x(n)»
x(n)
x(0)
x(-1)
x(-2)
x(1)
x(2)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Рис 1.4. Графическое представление дискретного сигнала
DSP
n
10 11
Дискретные последовательности
Примеры последовательностей, играющих важную роль при
дискретной обработке:
а
в
б
г
Рис. 1.5. Примеры последовательностей:
а) единичный импульс;
б) единичная ступенчатая последовательность;
в) действительная экспоненциальная последовательность;
г) синусоидальная последовательность.
DSP
Дискретные последовательности
Примеры последовательностей:
а) Единичный импульс:
1, n  0;
0 , n  0;
 ( n)  
б) Единичный ступенчатая последовательность:
1, n  0
u ( n)  
;
0 , n  0
 ( n)  u ( n)  u ( n  1);

u ( n)    ( n  k ) 
k 0
в) Экспоненциальная последовательность (действительная):
x ( n)  a n ,
где
e t
 e nT  a n ,
t  nT
а - действительное число
где
a  e T
г) Синусоидальная (косинусоидальная) последовательность:
x(n)  A cos(0 n   );
x(n)  A cos(0 t   ) t nT  A cos(0 nT   )  A cos(0n   ),
где
DSP
 0  0T
- цифровая частота
n
  (k );
k  
Дискретные последовательности
Примеры последовательностей:
д) Комплексная экспоненциальная последовательность:
e (  j0 ) n  en (cos  0 n  j sin  0 n)
Периодические последовательности:
Последовательность х(n) по определению называется периодической с
периодом N, если х(n) = х(n+N) для всех n.
Пример:
e j0 n  e j0 ( n  N )  e j0 n e j0 N ;
e j 0 N  1;  0 N  2k (k  целое);
Если (2 /  0 )  N (целое) - период
Если (2 / 0 )  рациональное число,
то период больше чем 2 /  0
Если
e j 0 n
DSP
(2 / 0 )  нерациональное число,
- непериодическая функция n
Дискретные последовательности
Цифровая частота:
0  0T - цифровая частота
Диапазон задания
0   0  2
0
или
- ограниченный;
   0   ,
e j ( 0  2k ) n  e j 0 n e j 2kn  e j 0 n
Энергия последовательности:
E 


n  
DSP
x ( n)
2
поскольку
Дискретные последовательности
Преобразования:
• Произведение
• Сумма
x  y  {x(n)  y (n)};
x  y  {x(n)  y (n)};
• Умножение на число
• Сдвиг
x  a  {a  x(n)};
y(n)  x(n  n0 ) - задержанный на n0 x(n)
Представление произвольной последовательности:
x ( n) 

 x(k ) (n  k ).
k  
DSP
(1.4)
Дискретные последовательности
Представление произвольной последовательности:
p(n)
a1
a-3
a-7
a7
a2
Рис. 1.6.1 Пример последовательности, представляющей сумму
взвешенных и задержанных единичных импульсов .
p(n) = а-7(n+7)+а-3(n+3)+а1 (n-1)+а2(n-2) +a7(n-7)
DSP
Дискретные последовательности
Представление произвольной последовательности:
Рис. 1.6.2 Пример последовательности, представляющей сумму взвешенных и
задержанных единичных импульсов .
DSP
Дискретные системы
Дискретные линейные системы с постоянными
параметрами (инвариантные к сдвигу).
Система – однозначное преобразование или оператор, отображающий
х(n) (вход) в y(n) (выход): y(n) = T[х(n)]
x(n)
y(n)
T[ ]
Рис. 1.7. Представление преобразования, отображающего входную
последовательность х(n) в выходную последовательность y(n).
Класс линейных систем определяется справедливостью для них
принципа суперпозиции:
T[ax1 (n)  bx2 (n)]  aT[ x1 (n)]  bT[ x2 (n)]  ay1 (n)  by2 (n)
Импульсная характеристика линейной системы:
hk (n)  T [ (n  k )]
DSP
(1.5)
Дискретные системы
из (1.4) следует:
y ( n) 


 x(k )T [ (n  k )]   x(k )h (n).
k  
k  
k
(1.6)
Для инвариантных к сдвигу линейных систем справедливо:
если y(n) = T[x(n)], то y(n-k) = T[x(n-k)]; k – целое.
Если n связывается со временем, то система инвариантна во времени. Это
дискретная линейная система с постоянными параметрами.
y ( n) 

 x(k )h(n  k )  x(n) * h(n).
k  
поскольку, если
h(n)  T [ (n)]
h(n  k )  T [ (n  k )]
то
(n)
ЛПП
система
Другое выражение свертки:
y ( n) 
h(n)

 h(k ) x(n  k )  h(n) * x(n).
k  
DSP
(1.7)
(1.8)
Дискретные системы
x(n)
y(n)
h1(n)
h2(n)
x(n)
y(n)
h2(n)
h1(n)
x(n)
y(n)
h1(n)*h2(n)
Рис. 1.8. Три линейные инвариантные к сдвигу системы с одинаковыми
импульсными характеристиками.
x(n)
h1(n)
y(n)
+
x(n)
y(n)
h1(n)+h2(n)
h2(n)
Рис. 1.9. Параллельное включение линейных инвариантных к сдвигу
систем и эквивалентная система.
DSP
Дискретные системы
Пример:
a n , n  0;
h( n)  
 0, n  0,
Найдем реакцию на входной сигнал х(n)=и(п) - и(п-N)
Рис. 1.10. Последовательности, входящие в свертку [h(n—k)], показаны
для нескольких значений п.
DSP
Дискретные системы
Пример (продолжение):
y(n)=0 при n<0
При 0n<N-1
n
y(n)   a nk  a n [(1  a ( n1) ) /(1  a 1 )]  (1  a n1 ) /(1  a);
k 0
при N-1n
N 1
y (n)   a nk  a n [(1  a  N ) /(1  a 1 )].
k 0
an  a1q n 1 - общий член геометрической прогрессии
a1 (1  q n )
- сумма n - членов геометрической прогрессии
Sn 
1 q
y(n)
N-1
Рис. 1.11. Реакция системы с импульсной характеристикой h(n)=anu(n) на входной
сигнал u(n)—и(п—N).
DSP
Дискретные системы
Примеры свертки:
DSP