оЦЕНКА надежности И вероятности отказов тонкостенных

УДК 621.643.539
ПОЛУЯН Л.В., ТИМАШЕВ С.А.
Научно-инженерный центр «Надежность и ресурс больших систем и машин»
УрО РАН, г. Екатеринбург
ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ И ВЕРОЯТНОСТИ ОТКАЗОВ
ТОНКОСТЕННЫХ ТРУБОПРОВОДОВ, ДЕГРАДИРУЮЩИХ ВО
ВРЕМЕНИ
Для
получения
трубопроводов
достоверных
необходимо
оценок
учитывать,
с
надежности
реальных
максимальной
полнотой,
одновременно все возможные типы отказов, случайный характер свойств
материала трубы, имеющихся в ее стенке дефектов, давления перекачки и
других нагрузок.
Рассматривается метод оценки надежности для поперечного сечения
трубопровода с единичным дефектом произвольных размеров, основанный
на
использовании
разложения
функции
распределения
предельного
состояния в ряд Грама-Шарлье-Эджворта.
Постановка задачи.
Имеется
информация
о
фактических
реализациях процессов (для давления и глубины дефекта) на ограниченном
интервале эксплуатации трубопровода.
Известны также исходные данные: глубина d и длина l дефекта;
толщина стенки t и диаметр D трубопровода; предел текучести материала
 y ; радиальная vrc и аксиальная vac скорости коррозии; рабочее давление
Pop . Эти параметры, от которых зависит целостность трубопроводной
системы, являются случайными величинами (СВ), причем все они, кроме  y ,
функции времени.
Требуется оценить надежность трубопровода, то есть найти вероятность
его безотказной работы в течение определенного времени. Под отказом
(предельным состоянием) понимается потеря целостности трубопроводной
1
системы из-за разрыва в результате выброса внутреннего давления как
случайной величины за допустимый уровень и превышения глубиной
коррозии дефекта заданного предельного значения.
Сформулированная задача сводится к типичной задаче прогноза, когда
по
имеющейся
информации
на
ограниченном
интервале
требуется
спрогнозировать будущее поведение системы во времени вплоть до
достижения предельного состояния по заданным критериям отказа и на
основе этого оценить надежность трубопровода (элемента трубопровода).
В
предлагаемом
комплексном
методе
оценки
надежности
деградирующих трубопроводов используются:
- два критерия потери целостности (течь, разрыв) трубопроводной
системы: вследствие выброса внутреннего давления как стационарного
случайного процесса (или случайной величины) за допустимый уровень и
превышения глубиной коррозии (дефекта) заданного предельного значения;
- независимые методы оценки надежности элементов трубопроводов
(с использованием разложений функции распределения в ряд Грама-ШарльеЭджворта (ГШЭ), моделирование реализаций методом Монте-Карло (МК));
- соответствующие законы распределения оценок статистических
свойств материала, конструкций трубы и характеристик нагрузок;
- условия прочности трубопровода, оцениваемые по методикам B31G
и B31G модифицированной, в которых величины предельного давления
разрушения трубы являются, по определению, случайными, так как зависят
от общей геометрии трубы ( D , t ), прочностных свойств материала трубы, и
геометрии дефекта, ослабляющего рассматриваемое сечение трубопровода.
Оценка надежности трубопроводов при одновременном учете
нескольких критериев отказов. Рассмотрим задачу оценки надежности
поперечного сечения трубопровода с дефектом произвольных размеров, при
учете двух норм прочности ANSI/ASME B31G и ANSI/ASME B31G
модифицированная [1] и случайного характера ряда параметров.
2
Заданные условия прочности. Остаточная прочность трубопровода
оценивается по различным общепринятым в мире методикам (ANSI/ASME
B31G и ANSI/ASME B31G модифицированная, B31G и его модификация,
Battelle, DNV-99, Shell-92 и т.д.).
Условия прочности ANSI/ASME B31G. Согласно базовой методике
ANSI/ASME B31G предельное давление разрушения трубы в зависимости от
формы дефекта имеет вид:

2d (T ) 

 1
2 yt  1  3t

l (T ) 2
 20,
 Pf  1.11

 для
D  1  2d (T ) M 1 
Dt


3t



2 yt  d (T ) 
l (T ) 2
 1
P

1.11
1

для
 20,


 f
D
t
Dt



(1)
где
l (T ) 2
M  1  0.893
,
Dt
j
Pf  – предельное давление разрушения трубы; j=1,2 – номер методики;
D – диаметр трубы;
t – толщина стенки;
 y – предел текучести материала трубы;
M – фактор Фолиаса;
T – время эксплуатации;
d (T ) – глубина дефекта в момент времени Т;
l (T ) – длина дефекта в момент времени Т.
Первое выражение в (1) представляет предельное давление разрушения
трубы с дефектом параболической формы, а второе – прямоугольной и
3
используется при протяженной коррозии (за пределами применения первого
уравнения), так как в этом случае приближение параболической формой не
подходит.
Условия прочности по ANSI/ASME B31G (модифицированной). Для
модифицированной методики B31G имеем:
d (T ) 

1  0.85
2(


68.95
MПa)
t


2
y
t
,
Pf  

d (T ) 1 
D
 1  0.85
M 
t


(2)
где

1.255 l (T ) 2 0.0135 l (T ) 4
l (T ) 2

для
 50,
M  1 

2
Dt
4 D 2t 2
Dt
,

2
2
l (T )
l (T )

 M  0.032 Dt  3.3 для Dt  50.
Модификации заключаются в том, что изменены определения предела
текучести, Фолиас-фактора, а предположение о параболической форме
дефекта заменено введением коэффициента коррекции произвольной формы,
взятого равным 0,85. Считается, что для оценки коррозионных дефектов
модифицированный B31G критерий более предпочтителен.
Решение задачи оценки надежности. Для решения задачи оценки
надежности сечения трубы в текущий момент времени T при заданных
условиях прочности используем разложение функции надежности в ряд
Грама-Шарлье-Эджворта [2]. Введем обозначения для указанных выше
параметров,
являющихся
входящих
в
условия
СВ,: xi , i  1,..,6 ,
где
прочности
x1  t ,
и
рабочего
x2  D ,
x3  l0 ,
давления,
x4  d 0 ,
x5   y , x6  Pop .
4
Функция предельного состояния (ФПС) единичного поперечного
сечения трубопровода имеет вид:
Y
 j
Y
 j
 Pf j  ( x1,..., x5 )  Pop , ( j  1,2)
,
 x1,..., x6 ,T   
kx

d
T
 
 1
(3)
где k – параметр, имеющий смысл предупреждающего (тревожного) отказа
(обычно равен 0,8).
j
Величины Pf  ( j  1,2) являются случайными, так как зависят от
общей геометрии трубы ( D, t ) , прочностных свойств материала трубы и
геометрии дефектов, ослабляющих рассматриваемое сечение трубопровода.
Для решения задачи оценки надежности произвольного сечения трубы
j
в текущий момент времени функция распределения Y   представлена рядом
Грама-Шарлье-Эджворта:
P
 j
z j   z j 
S  2
E  3
10S 2  5
 
zj  
zj 
 zj
3!
4!
6!
 
 
 
(4)
где
  z   Ф  z  
 
 z2 
1
exp    .
2
 2
 
 
2
3
здесь функции Ф z j ,   z j ,   z j
(5)
определяются в зависимости от
параметра
zj 
T 
.
 Y   T 
Y j m
j
Y 
(6)
j
5
 
 
Функции   2 z j , 3 z j определяются как
 
( z )   3 z  z  ( z ) ,
 (2) ( z )  z 2  1  ( z ) ,
 (3)
3
(7)
где  ( z )   z ( z ) ,
матожидание случайной величины в текущий момент времени T :
m
j
Y 
T   Y  j   x1  mx1, x2  mx 2 ,..., x6  mx6 ; T  ,
(8)
j
среднеквадратическое отклонение для СВ Y   :
 Y  j  T   2Y  j  T  ,
(9)
j
асимметрия закона распределения СВ Y   :
S
3Y  j  T 
 Y3 j  T 
(10)
j
эксцесс закона распределения СВ Y   :
   j  T 

E   44Y
 3 .
   j  T 

 Y

(11)
6
j
Центральные моменты 2-го, 3-го и 4-го порядка для СВ Y   в формулах
j
(9), (10), (11), полученные с использованием линеаризации функций Y   [2],
имеют соответственно вид:


2
j
  Y   

2Y  j  T    
 2 xi T  



i 1   xi 

mx1 ,..,mx6


(12)
3


 Y  j 

3Y  j  T    
  3 xi T  



i 1   xi 


mx1 ,..,mx 6
(13)


 j  4


Y
4Y  j  T    
  4 xi T   


i 1   xi 


mx1 ,..,mx 6
2
2


6
 Y  j 
 Y  j 

6  

  2 xi T   2 xk T  




  xk 
i ,k 1   xi 

 m ,..,m


mx1 ,..,mx 6
ik 
x1
x6
(14)
6
6
6
Ряд (4) позволяет в произвольный момент времени T эксплуатации
трубы определить численное значение показателя надежности для m-го
поперечного сечения трубопровода с дефектом произвольных размеров при
заданной функции предельного состояния (3).
Надежность i-ого элемента трубопровода при двух типах отказов по
критериям течи и разрыва рассчитывается по формуле:
R di (T )  1  Pf ( j ) (T )  1  [ Pfb (T , d )  Pfl (T , d )  Pfb (T , d ) Pfl (T , d )]
(15)
7
где Pf ( j ) (T ) – вероятность отказа произвольного поперечного сечения
трубопровода с дефектом определяемая как
Pf( j ) (T )
 P(Y
( j)
 Pf( j ) (T )  Pop (T )  0; 0  T  T 

(T ))  0  P 

kt  d (T )  0.
(16)
Вероятности отказа из-за разрыва Pfb (d , T ) и течи Pfl (d , T ) находятся
соответственно по формулам:
Pfb  d , T    f ( Pop , Pfd )dPop dPfd ,
(17)


Pfl
 d ,T    f ( x)dx,
(18)
kt
где f ( Pop , Pfd ) - совместная плотность распределения для двух СВ - рабочего
давления и давления разрыва сечения трубы с дефектом случайного размера,
f(x) – ФПВ глубины дефекта,  – область интегрирования.
Проверка адекватности метода ГШЭ проведена независимым методом
Монте-Карло (МК) с моделированием реализаций роста параметров дефекта
при активной коррозии, изменяющихся во времени случайным образом и
представляемых алгебраическими уравнениями [3]:
d T   d 0  vrc  T  T0 
(19)
l T   l0  vac  T  T0  ,
где T0 - время инспекции/диагностики; d 0 , l0 - начальные значения
параметров
(глубина,
длина)
дефектов,
vrc ,
vac
-
соответственно
8
детерминированные или случайные радиальная и продольно-осевая скорости
коррозии. ФПВ величин d(T) и l(T) находятся по ФПВ входящих в выражения
(4) случайных величин при фиксированных Т.
Алгоритм
оценки
надежности
поперечного
сечения
трубопровода с использованием разложения в ряд ГрамаШарлье-Эджворта
Для реализации метода оценки надежности m-го поперечного сечения
трубопровода с дефектом произвольных размеров, запишем условия
прочности (1), (2), входящие в ФПС единичного поперечного сечения
трубопровода (3), в следующих обозначениях: x1  t , x2  D , x3  l0 , x4  d 0 ,
x5   y , x6  Pop .
Согласно В31G имеем Pf(1) (T )  Pf(1) ( x1, x2 , x3 , x4 , x5 ,T ) :
2d (T )

1

 2,22 x  x
3x1
1
5

, для G  4,

2
d
(
T
)
x

2
1
Pf(1) ( T )  
3x1M1

d (T )
 2,22 x1  x5
 (1 
), для G  4,

x2
x1

(20)
где
d (T )  x4  vrc (T  T0 ),
l (T )  x3  vac (T  T0 ),
G
0,893  l (T )
,
x1  x2
vrc и vac - радиальная и продольно-осевая скорости коррозии соответственно;
9
0,893  l 2 (T )
M1  1 
.
x1  x2
По норме В31G модифицированной - Pf(2) (T )  Pf(2) ( x1, x2 , x3 , x4 , x5 ,T ) :
0,85  d (T )
2( x5  68,95 МПа)  x1
x1
Pf2 (T ) 

, для G<4,
0,85  d (T )
x2
1
x1M 21
1
(21)
где

0,6275  l 2 (T ) 0,003375  l 4 (T )
l 2 (T )

, для
 50,
 1
x1  x2
x1  x2
x12  x22


M2  
0,032  l 2 (T )
l 2 (T )
 3,3, для
 50.

x

x
x

x
1
2
1
2


Приближенная
оценка
надежности
трубопровода
проводится
с
использованием разложения плотности вероятности в ряд Грама-ШарльеЭджворта.
Для вычисления центральных моментов 2-го, 3-го и 4-го порядка для
j
СВ Y   в формулах (9), (10), (11), используемых при проведении расчетов
Y ( j )
оценки надежности, определяются частные производные
функций
xi
предельного состояния Y ( j ) , j  1,2 .
Пример 1. Оценка надежности поперечного сечения трубы с одним
дефектом по методу Монте-Карло и Грама-Шарлье-Эжворта. Занумеруем
применяемые в расчетах нормы прочности: 1–B31G; 2–B31Gmod. Исходные
данные для детерминированных величин даны в табл. 1, для СВ – в табл. 2.
10
Таблица 1 - Исходные данные для детерминированных величин
Обозначение, размерность
Значение
T0 , годы
0
vrc , м/год
0.0006
vac , м/год
0.0005
T , годы
0 – 10
Таблица 2 - Исходные данные для СВ
Обозначение,
размерность
t,м
Матожидание, 
0.021
Коэффициент вариации,
V=  / 
0.02
D, м
0.900
0.02
l0 , м
0.200
0.02
d0 , м
0.4 t
0.02
 y , MПа
358
0.07
Pop , MПа
7.8
0.1
Принятые в подрисуночных названиях обозначения: POF (probability of
failure) – вероятность отказа; Pop - рабочее давление; V - коэффициент
вариации.
Для детерминированных исходных параметров при начальных глубине
d 0  0,5 t и длине l0  200 мм дефекта получены зависимости давления
j
отказа Pf  ( j  1,2) от безразмерных параметров - глубины d/t (рис. 1) и
длины l /(Dt)1/2 (рис. 2).
11
Pf , МПа 25
20
15
1
10
2
5
0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
d/t
Рис. 1. Давление отказа как функция безразмерной глубины дефекта
Pf , МПа 22
20
18
16
14
2
12
10
1
8
0
5
10
15
20
l /(Dt)1/2
Рис. 2. Давление отказа как функция безразмерной длины дефекта
Результаты оценки надежности по ГШЭ и МК методам для
поперечного сечения трубы в случае, когда все СВ распределены нормально,
приведены на рис. 3, 4, 5.
12
Rj(t) 1.0
0.8
0.6
1
0.4
0.2
0.0
2
0
5
10
15
20
25
T, годы
Рис. 3. Оценка надежности как функция времени эксплуатации трубы
(МК метод)
Rj(t) 1.0
1
0.8
0.6
0.4
0.2
2
0.0
0
5
10
15
20
25
T, годы
Рис. 4. Оценка надежности как функция времени эксплуатации трубы
(ГШЭ метод)
13
lg(POF) 0
-2
-4
-6
1
-8
-10
2
-12
0
2
4
6
8
10
12
T, годы
Рис. 5. lg (POF) как функция времени эксплуатации трубы
(ГШЭ метод)
Проведенные вычисления показывают, что при T  21 год глубина
дефекта будет больше, чем толщина стенки трубы ( t  d (T )  0 ). Время
достижения
второго
предельного
состояния
составляет
Tt  14
лет
( 0.8  d (T )  0 ).
Далее при оценке надежности трубопровода рассмотрим норму
прочности B31G mod. При проверке метода ГШЭ вычисления производились
и для случая, когда все СВ распределены нормально, за исключением
рабочего давления, распределенного логнормально. Коэффициент вариации
для рабочего давления равен 0.2. Остальные исходные данные приведены в
табл. 1, 2.
Результаты расчета показаны на рис. 6, 7. Видно, что оба метода дают
близкие результаты, независимо от нормы прочности, используемой в оценке
надежности. Отклонение начинается на уровне надежности ниже 0.5, не
представляющем интерес для рассматриваемых задач.
14
Rj(t 1.
0
)
МК
ГШЭ
0.
8
0.
6
0.
4
0.
2
0.
00
5
10
15
20
25
T, годы
Рис.6. Надежность как функция времени эксплуатации трубы
(МК и ГШЭ метод)
lg(POF) 0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
0
5
10
15
20
T, годы
Рис.7. lg (POF) как функция времени эксплуатации трубы (ГШЭ метод)
Результаты расчета показаны на рис. 8, 9. На рис. 10 показано влияние
распределения ФПВ рабочего давления на вероятность отказа POF(V), где
аргументом является коэффициент вариации V. Вычисления функции
надежности
R(V)
и
вероятности
отказа
POF(V)
выполнены
для
15
детерминированного
случая
и
логнормального
распределения
(при
 /  =0.2). Результаты вычислений показаны на рис. 8-11.
Rj(t) 1.0
МК
ГШЭ
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
5
10
15
20
Коэффициент вариации,V
Рис. 8. Надежность как функция времени эксплуатации трубы;
Pop распределено логнормально (ГШЭ и МК методы)
lg(POF) 0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0
5
10
15
20
T, годы
Рис.9. log(POF) как функция времени эксплуатации трубы;
Pop распределено логнормально (ГШЭ и МК методы)
16
Rj(t) 1.0
МК
ГШЭ
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
5
10
15
20
T, годы
Рис. 10. Надежность как функция времени эксплуатации трубы;
Pop – детерминированная величина (ГШЭ и МК методы)
lg(POF) 0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
0
5
10
15
20
T, годы
Рис. 11. log(POF) как функция времени эксплуатации трубы;
Pop – детерминированная величина (ГШЭ и МК методы)
Расчеты выполнены программистом А.В. Бушинской.
17
Выводы
Разработан метод оценки надежности для поперечного сечения
трубопровода с единичным дефектом произвольных размеров, основанный
на
использовании
состояния
в
разложения
ряд
функции
распределения
Грама-Шарлье-Эджворта.
Он
предельного
позволяет
давать
двустороннюю оценку надежности деградирующих трубопроводов. При этом
используется
два
критерия
потери
целостности
(разрыв
и
течь)
трубопроводной системы: вследствие превышения глубиной коррозии
(дефекта) заданного предельного значения толщины стенки трубы и выброса
внутреннего давления как случайной величины за допустимый уровень.
Условия прочности трубопровода оцениваются по методикам ANSI/ASME
B31G (базовой) и B31G модифицированной.
Анализ статистических и детерминированных расчетов показал, что
надежность трубопровода:
- весьма чувствительна к толщине стенки трубы и глубине дефекта;
- размеры
небольшого
числа
коррозионных
дефектов
сильно
действуют на надежность соответствующего участка трубопровода, причем
эта зависимость разная для мелких и глубоких дефектов;
- почти не чувствительна к длине дефекта;
- вероятностное распределение давления существенно влияет на
изменение надежности трубы со временем.
Литература
1. ASME-B31G. Manual for determining the remaining strength of corroded pipelines, A
supplement to ASME B31G code for pressure piping // New York: American Society for
Mechanical Engineers. – 1991.
2. Вентцель, Е.С. Теория случайных процессов и её инженерные приложения [Текст] / Е.С.
Вентцель. – М.: Наука, 1991. – 384 с.
3. Ahammed, M. Probabilistic estimation of remaining life of a pipeline in the presence of active
corrosion defects [Text] / M. Ahammed // Int. J. Pres Ves Piping. – 1998. – № 75. – p.p. 321329.
18