7. Из цифр 1, ... числа, в которых каждая цифра участвует только один раз. Доказать,
advertisement
XXI республиканский фестиваль юных математиков и физиков общества «Дьогур» Финальный математический бой 6 – 7 классы Высшая лига 1. Два самолета обследуя трассу, одновременно вылетели из пунктов А и В навстречу друг другу. Через 6 часов они встретились. Через несколько дней первый самолет вторично обследовал часть трассы и через 9 часов после вылета вернулся в А. На следующий день из В вылетел второй самолет и за 7 часов обследовал оставшуюся часть трассы. За сколько часов каждый самолет мог бы обследовать всю трассу, полагая, что скорость каждого из них в обоих полетах остается неизменной? 2. Есть ли такое натуральное число n, при котором 2n + n2 оканчивается цифрой 5? 3. Банк ТААТТА меняет рубли на тугрики по 3000 рублей за тугрик, и еще берет 7000 рублей за право обмена независимо от меняемой суммы. Банк МААППА берет за тугрик 3020 рублей, а за право обмена берет 1 тугрик (тоже независимо от меняемой суммы). Турист установил, что ему все равно, в каком из банков менять деньги. Какую сумму он собирается менять? 4. Из чисел A, B и C одно положительно, одно отрицательно и одно равно 0. Известно, что A = B (B – C). Какое из чисел положительно, какое отрицательно и какое равно 0? Почему? 5. ABC – прямоугольный треугольник с гипотенузой AB. На прямой AB по обе стороны от гипотенузы отложены отрезки AK = AC и BM = BC. Найдите угол KCM. 6. Решить уравнение в целых числах (то есть все неизвестные – целые числа): (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 30. 7. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 составляют всевозможные семизначные числа, в которых каждая цифра участвует только один раз. Доказать, что сумма всех этих чисел делится на 9. 8. Молоко одной коровы содержит 5% жира; молоко же другой 3,5%, но удой ее на 30% выше первой. Сколько надо взять молока от первой коровы, чтобы получить жира на 5,4 кг больше, чем дает молока за то же время вторая корова? 9. В параллелограмме OACB проведена прямая, отсекающая четверть стороны OA и треть стороны OB, считая от вершины O. На какие части эта прямая делит диагональ OC? 10. Один из членов кружка «Дьо5ур» назвал целое положительное число. Следующий ученик назвал число, последующее за первым. Таким образом, несколько учеников называли последовательные числа до тех пор, пока сумма чисел не стала равной 2015. Какие числа назвали ребята? XXI республиканский фестиваль юных математиков и физиков общества «Дьогур» Финальный математический бой 6 – 7 классы Первая лига 1. В выпуклом четырехугольнике ABCD выполняется неравенство AB + BD < AC + CD. Докажите неравенство AB < AC. 2. Мичил составил программу, которая вычитает из каждого трехзначного числа сумму кубов его цифр. Какое число нужно задать изначально, чтобы результат оказался максимальным? 3. Дан угол и точка M внутри него. Провести прямую через эту точку так, чтобы её отрезок между сторонами угла делился данной точкой пополам. 4. Последовательность строится по следующему закону. На первом месте стоит число 7, далее за каждым числом стоит сумма цифр его квадрата, увеличенная на 1. Какое число стоит на 2015 месте? 5. Внешние углы треугольника пропорциональны числам 6, 7 и 11. Найти угол между высотами этого треугольника, проведенными из вершин его меньших внутренних углов. 6. У трехзначного числа поменяли местами две последние цифры и сложили новое число с исходным. В результате получилось число 1187. Найдите все такие числа. 7. Один из членов кружка «Дьо5ур» назвал целое положительное число. Следующий ученик назвал число, последующее за первым. Таким образом, несколько учеников называли последовательные числа до тех пор, пока сумма чисел не стала равной 1000. Какие числа назвали ребята? 8. В прямоугольном треугольнике АВС на гипотенузе АВ взяты точки К и М так, что АК=АС, ВМ=ВС. Доказать, что угол МСК равен 45о. 9. В стране Мульти-пульти выпущены в обращение банкноты в 43 сантика. Малыш и Карлсон, имея только такие банкноты, зашли в кафе. Карлсон заказал 5 стаканов газировки и 16 пирожков и заплатил за них без сдачи. Малыш заказал 3 стакана газировки и 1 пирожок. Докажите, что сколько бы ни стоили газировка и пирожки, Малыш тоже может расплатиться без сдачи (все цены в стране МультиПульти – целые числа). 10. Колесо имеет 16 спиц, они пронумерованы. Когда колесо покатилось, спица 1 заняла положение, которое образует с её первоначальным положением угол 67 о 30 . Какая спица на колесе укажет на точку касания колеса и дороги? XXI республиканский фестиваль юных математиков и физиков общества «Дьогур» Финальный математический бой 6 – 7 классы Вторая лига 1. В XIX-XX веках Россией правили 6 царей династии Романовых. Вот их имена и отчества по алфавиту: Александр Александрович, Александр Николаевич, Александр Павлович, Николай Александрович, Николай Павлович, Павел Петрович. Один раз после брата правил брат, во всех остальных случаях после отца – сын. Как известно, последнего русского царя, погибшего в Екатеринбурге в 1918 году, звали Николаем. Найдите порядок правления этих царей. 8. От пункта А до пункта В 15 км. Из А в В в 9 час 30 мин отправился пешеход, идущий со скоростью 4 км в час. На следующий день в 11 часов он отправился в обратный путь и шел со скоростью 5 км в час. Каждый раз он проходил по мосту, находящемуся на этой дороге, в одно и то же время. Определить показание часов при прохождении пешеходом моста. 9. В трех кучках 22, 14 и 12 орехов. Требуется путем трех перекладываний уравнять число орехов в каждой кучке, соблюдая при этом условие: из одной кучки разрешается перекладывать в другую лишь столько орехов, сколько их имеется в этой второй куче. Как это сделать? 10. Может ли число вида 2. Из цифр 1, 2, 3, 4 составляют всевозможные четырёхзначные числа, в которых каждая цифра участвует только один раз. Доказать, что сумма всех этих чисел делится на 6666. 3. Добун желает узнать, сколькими нулями оканчивается произведение первых ста натуральных чисел. Помогите ему. 4. График линейной функции отсекает от четвёртой координатной четверти прямоугольный треугольник с длинами катетов, равными 3 и 9. Найдите эту функцию. 5. Внешние углы треугольника пропорциональны числам 6, 7 и 11. Найти угол между высотами этого треугольника, проведенными из вершин его меньших внутренних углов. 6. Участники кружка «Дьо5ур» нашли двузначное число, которое в сумме с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке дает квадрат натурального числа. И вы найдите все такие числа. 7. Определить наибольшее значение отношения трехзначного числа к сумме его цифр. Павлов А.Н., учитель математики РЛ быть точным квадратом?
