Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами Бураго Н.Г.

Применение подвижных адаптивных
и наложенных сеток с маркерами
к решению задач механики сплошных сред
Бураго Н.Г.1, Никитин И.С.2
1Институт
проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАН
2Институт автоматизации проектирования РАН
5-июля-2014, Суздаль, Россия
Типы адаптации сетки
1) Описание границ областей сложной переменной формы
2) Минимизация ошибок аппроксимации ( min |hdy/dx| )
Уравнения нелинейной термоупругости для
генерации адаптивных сеток
x  x(x, t ) :
min   (ε, T)dV
x xV  x* (x, t )
V
ε  0.5(F ×F - I)
T
ε  0  0
F x
T
T ||   y ||
ε  0  0
Бураго Н.Г., Иваненко С.А. Применение уравнений теории
упругости к построению адаптивных сеток // Труды Всеросс.
Конф. по прикладной геометрии, построению сеток и
высокопроизводительным вычислениям, М.: ВЦ РАН, 2004,
28 июня- 1 июля. С. 107-118
Изотропная термо-упругая среда:
~
~
 ~
~
min  [K[( I3  1) / 2  I1 T]  2I 2 ]J* dV
~
V
x ~xV~  x* ( ~
x , t)
I1  ~
 :I
  0.5
I 2  ~
 ': ~
'
 '    ( : I)I / 3
~T ~
2
I3  det( F : F)  J
~
J  det( F)
J*  max( J,10 4)
Управление отображением
~
~
 ~
~
min  [K[( I3  1) / 2  I1 T]  2I 2 ]J* dV
~
V
Формоизменение:
0
Сжимаемость:
K0
Эффект «температурного расширения»
~
T || y ||
Метод расчета адаптивных сеток
[
M

x


x

(
L
:

x
)
:


x

f

J
]
d
V

0
t

V
f  J
 (1  )
(...)
  0.5
x ~xV~  x* (~
x, t )
Алгоритм: явная двухслойная схема установления
с масштабированием, уравнивающим вклады от L и J
Подробности: ipmnet.ru/~burago
Уравнения для задач механики жидкости и газа
 





(

u




)


art

dV  0
   t


V
 u


  t    (u  u  pI)  g   u  v :   udV   ( v  n)  udS
V
S
 E


  t    ((E  p)u)  r T  q : TdV    q  nTdS
V
S
σ v  2v (e  (e : I)I / 3)  art   ( u)
q  kT T  art (  E )
p  (   1)U
E  U  u u / 2
e  0.5(  u  (  u)T )
Упрощенная явная схема SUPG FEM1
(Схема уравновешивающей вязкости)
если
n
1k
n
2k
d
d
(k )
 art
  kn
иначе
M
(d )   [   ( u )  k d ]
n 2
1k
n
l 1
n
0 2
kl
M
(d )   [   k  kl ]
n 2
2k
n
l 1
2
| u | /c  1    u  0
то
 kn  0.5
 kn  1.0
M
   k   d kl0  J ( k ,l )
l 1
   , ux , u y , uz ,  E
M
   k    kl J ( k ,l )
l 1
1Brooks A.N.,
Hughes T.J.R. Streamline Upwind Petrov-Galerkin formulations for
convection dominated flows // Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering. 32. (1982) pp. 199-259.
(Искусственная диффузия “уравновешивает” конвекцию)
Коррекция физической вязкости по А.А.Самарскому
(“экспоненциальная подгонка”)
~
~
~
~
q   k T T
σ v  2 v (e  (e : I)I / 3)
~ /   v /   

v
art
v / 
1
 art
~
kT /  
kT / 
  art
kT / 
1
 art
Условие устойчивости (Курант-Фридрихс-Леви)


h nk
t  min  n

k 1, N 2 (c  | u n | (D  1)! n / h n
k
k
k
 k
n
Резюме численного метода.
Формулировка Галеркина. Симплекс-элементы. Адаптивная
подвижная сетка. Все неизвестные в узлах.
МКЭ аналог центрально-разностных схем.
Явная схема (сжимаемая среда):
“Уравновешивающая” конвекцию искусственная вязкость.
Экспоненциальная подгонка физической вязкости.
Неявная схема (несжимаемая среда):
Метод штрафа или метод коррекции давления
Явная схема для конвекции & неявная схема для диффузии.
Адаптация: отдельный этап на каждом шаге по времени
Течение идеального газа в канале М=3; =1.4; t = 0; 0.5;
Течение идеального газа в канале М=3; =1.4; t = 1.0; 2.0;
Течение идеального газа в канале М=3; =1.4; t = 3.0; 4.0;
Течение идеального газа в канале М=3; =1.4; t = 4.0;
Изолинии плотности; Адаптация по дивергенции скорости
Адаптивные сетки для сверхзвуковых течений
в каналах с препятствиями
Адаптивные сетки для течений несжимаемой жидкости
1. Термогравитационная конвекция вязкой несжимаемой
жидкости Gr=1O7. Квазистационарное течение.
Адаптация по
градиенту
завихренности.
2. Нестационарное
течение
Дорожка Кармана
Адаптивные сетки для течений несжимаемой жидкости
Течения расплава в процессах роста кристаллов
Адаптивная сетка для штамповки лопатки турбины.
K  
T0
поддержание равномерного распределения узлов
Подвижные адаптивные сетки в задаче Стефана
о намерзании льда на холодную стенку
Сквозной счет межфазной границы по А.А.Самарскому
Наложенные сетки – зачем они?
Примеры расчета сверхзвукового обтекания тел
Сетка с вырезом
Наложенные сетки
Метод наложенных сеток
(Overlapping or Chimera grids)
Основная
окаймляющая сетка
+
Наложенные сетки
Расчет проводится шагами по явной
схеме или итерациями по неявной
схеме отдельно на основной сетке и на
наложенных сетках, при этом после
каждого шага (итерации) с помощью
интерполяции проводится обмен
расчетными данными между сетками
в зоне наложения.
Упрощенный метод наложенных сеток
Цель: простое решение проблемы сложной геометрии
Основная
окаймляющая сетка
+
Наложенные сетки
Наложенные сетки используются
только для приближенного задания
границ и граничных условий на
основной сетке
==========================
Вместо наложенных сеток можно
использовать наложенные области,
определяемые набором условий
Фрагмент области решения около наложенной сетки
поле скоростей (t=0)
Фрагмент области решения около наложенной сетки
поле скоростей (t=0.1)
Фрагмент области решения около наложенной сетки
поле скоростей (t=0.2)
Фрагмент области решения около наложенной сетки
поле скоростей (t=0.3)
Фрагмент области решения около наложенной сетки
изолинии вертикальной скорости
Фрагмент области решения около наложенной сетки
изолинии вертикальной скорости (t=0.1)
Фрагмент области решения около наложенной сетки
изолинии вертикальной скорости (t=0.2)
Фрагмент области решения около наложенной сетки
изолинии вертикальной скорости (t=0.3)
Фрагмент области решения
изолинии местного числа Маха (t=0.45)
Полная область решения
изолинии местного числа Маха (t=0.45)
Полная область решения
изолинии местного числа Маха (t=7.00)
Полная область решения
Основные искомые функции (t=7.0)
Зонтик и капли дождя (непрерывные маркеры)
t C  u C  0
С=0 – пусто, С=1 - вода
Диффузия границ и нарушения консервативности в методах
непрерывных маркеров
Консервативная антидиффузия маркерфункции на свободных границах
Метод непрерывных маркеров
Задачи о падении капли в бассейн
о стекании воды через дыру
об обрушении водяной колонны
Генерация и уничтожение дискретных маркеров
Интерполяция на свободных границах
Метод дискретного маркера для задач о падении водяных
струй в водоем и о фонтане (обрушение вертикальной струи)
Дискретные маркеры
Фонтан и лужа. Падение струй в бассейн
Задачи соударения упругопластических тел
Разрушение и спекание
Развитие трещины отрыва при
растяжении образца
Спекание порошкового
композита
Течения мелкой воды
Уединенная волна в
бассейне с углублением
Приливная волна в Онежском
заливе Белого моря
Распространение дыма по комнате от горящей свечи
Перенос загрязнений подземным фильтрационным потоком
Выводы
•
•
•
•
•
•
Адаптивные сетки позволяют получать численные решения повышенной
точности при малом числе узлов.
Уравнения нелинейной термоупругости пригодны и удобны для управления
адаптацией сетки.
Коррекция решения по методу адаптивных и наложенных сеток
оформляется в виде отдельной подпрограммы
Наложенные области можно задать аналитически набором условий.
Преимущества: повышенная точность решений, простота задания
геометрии, простые робастные алгоритмы сквозного счета с простой
логикой.
Недостатки: сетки должны обеспечивать хорошее разрешение, то есть
иметь большую размерность.
Копия данной презентации и публикаций по теме доступны
на сайте
http://www.ipmnet.ru/~burago
Конец