Трансляционная симметрия. Пространственные группы 3. симметрии и что они отображают в кристаллах .
advertisement
3. Трансляционная симметрия. Пространственные группы симметрии и что они отображают в кристаллах. Внешняя форма и внутренняя структура кристалла Многогранник Симметрия описывается точечной группой Кристаллическая решетка Симметрия описывается пространственной группой Примеры некоторых кристаллических структур Пространственная симметрия атомной структуры кристаллов Пространственная симметрия атомной структуры кристаллов (кристаллической решётки) описывается пространственными группами симметрии. Характерными для решётки операциями являются три некомпланарных переноса а,b,с, называемых трансляциями, которые задают трёхмерную периодичность атомной структуры кристаллов. Сдвиг (перенос) структуры на векторы a,b,c или любой вектор T= ma + nb + pc, где m, n, p — любые целые положительные или отрицательные числа, совмещает структуру кристалла с собой, и следовательно, является операцией симметрии, удовлетворяющей определению симметрии. Параллелепипед, построенный на векторах а, b и c, называется параллелепипедом повторяемости или элементарной ячейкой кристалла. В элементарной ячейке содержится некоторая минимальная группировка атомов, «размножение» которой операциями симметрии, в том числе трансляциями, образует кристаллическую решётку. Элементарная ячейка и размещение в ней атомов устанавливается методами рентгеноструктурного, нейтроноструктурного и электроструктурного анализ. Основные элементы симметрии пространственных групп m + T ma nb pc Здесь m,n,p – целые числа Трансляционная симметрия T ma Одномерная простая решетка T ma nb Двумерная простая решетка T ma nb pc Трехмерная простая решетка Здесь m,n,p – целые числа Запрет на существование оси симметрии 5-ого порядка в кристаллических решетках Рассмотрим двумерную решетку один из узловых рядов которой A, A’, A’’, A’’’. Вектор трансляции вдоль этого ряда t. Предположим, что n-кратная ось симметрии проходит перпендикулярно плоскости рисунка в узловых точках ряда. Тогда точка A должна повторится в точке B, а точка A’ – в точке B’. Угол поворота определяется кратностью оси симметрии q=2p/n. Точки B и B’ определяют ряд решетки параллельный ряду AA’. Тогда расстояние между точками BB’ должно составлять целое число t, т.е. Nt. t 2t cos Nt 1 N cos 2 1 cos 1 N -1 0 1 2 3 cos 1 0,5 0 -0,5 -1 00 600 900 1200 1800 C1 C6 C4 C3 C2 Возможные решения соответствуют осям симметрии первого, второго, третьего четвертого и шестого порядков. Пространственных (А.Шёнфлис - С.Фёдоров, 1890) групп симметрии всего существует 230, и любой кристалл относится к одной из этих групп!!! Трансляционные компоненты элементов микросимметрии макроскопически не проявляются, например винтовая ось в огранке кристаллов проявляется как соответствующая по порядку простая поворотная ось. Поэтому каждая из 230 групп макроскопически сходственна с одной из 32 точечных групп. Например, точечной группе mmm или D2h сходственны 28 пространственных групп. Совокупность переносов, присущих данной пространственной группе, есть её трансляционная подгруппа, или решетка Браве; таких решёток существует всего 14. 17 двумерных пространственных групп Пересечение двух взаимно перпендикулярных плоскостей всегда порождает ось второго порядка. m/m 2 Это особое положение точки Общие позиции Частные позиции Группа симметрии mm2 m2 i2 i4 2 m1 i1 i3 Две взаимно перпендикулярные плоскости симметрии в общем случае образуют ось симметрии второго порядка Выберем любую точку i1 с координатами (x,y) Ось симметрии второго порядка порождает симметричную точку i2 Плоскость симметрии m1 порождает точку i3 Плоскость симметрии m2 образует точку i4 Рассмотрим плоскую пространственная группа P2mm Элементарная ячейка m и расположение элементов симметрии в этой группе m m y m m m 2 m 2 2 2 2 2 2 i 2 2 2 x Элементы симметрии группы P2m строят всю пространственную сетку кристалла m m m m m m m m m m i Совокупность всех точек i полученных в объеме кристаллической решетки в результате действия всех элементов симметрии называется правильной системой точек m m m m m m i m m m m Эти точки находятся в общих положениях, их координаты x, y, z m m m m m m m i m m m m m m m m m k m m m m Точки типа k - -это тоже правильная система точек, но точки находятся в частных позициях, их координаты x=1/2, y=0 m m m m m m l m m m m Точки типа l - это тоже правильная система точек, но точки находятся в частных позициях, их координаты x=0, y Обозначение пространственных групп Символ Германа — Могена для пространственной группы строится по тем же принципам, что и символ кристаллографической точечной группы, плюс в начало символа добавляется тип центрировки ячейки. Возможны следуюшие типы центрировки P — примитивная I — объёмноцентрированная (дополнительный узел в центре ячейки). F — гранецентрированная (дополнительные узлы в центрах всех граней). С, А или В — базоцентрированная (дополнительный узел в центре грани C, A или B). A и B ячейки называют также бокоцентрированными. R — дважды объёмноцентрированная (два дополнительных узла на большой диагонали ячейки). Зеркальные плоскости обозначаются так же, как и в точечных группах — символом m. Плоскости скользящего отражения обозначаются в зависимости от направления скольжения по отношению к осям кристаллической ячейки. Если скольжение происходит вдоль одной из осей, то плоскость обозначается соответствующей латинской буквой a, b или c. В этом случае величина скольжения всегда равна половине трансляции. Если скольжение направлено по диагонали грани или пространственной диагонали ячейки, то плоскость обозначается буквой n в случае скольжения, равного половине диагонали, или d в случае скольжения, равного четверти диагонали (такое возможно, только если диагональ центрирована). Плоскости n и d также называются клиноплоскостями. d плоскости иногда называют алмазными плоскостями, поскольку они присутствуют в структуре алмаза (англ. diamond — алмаз). Обозначения правильных систем точек , Точка и зеркальное её изображение + Точка лежит не в плоскости рисунка (+ или – выше или ниже) + 1/2 , ½ или ¼ показывают величину смещения точки по отношению к плоскости рисунка в долях трансляции Обозначения точек расположенных одна над другой Пространственная группа №19 ромбическая 222 P212121 или D24 ½+ + 1/4 + 1/4 + ½+ ½+ _ 1/4 1/4 1/4 1/4 ½- + + Начало координат находится посередине между тремя парами винтовых осей Координаты эквивалентный позиций x,y,z ½-x,y,1/2+z ½+x,1/2-y,z x,1/2+y,1/2-z Число позиций - 4 Запреты на существование рефлексов hkl, 0kl, h0l - нет запретов; h00 – 2n; 0k0 – 2n; 00l – l=2n Пространственная группа Pmc ½+ + + + + ½+ + ½+ + Расположение элементов симметрии в элементерной ячейке ½+ ½+ + ½+ ½+ + + ½+ ½+ + + Правильная система точек в элементарной ячеку Правильная система точек для частной позиции, когда первичная точка располагается на плоскости симметрии ½+ ½+ Координаты точек: в общей позиции - xyz; xyz; xy1/2+z; xy1/2+z В частоной позиции – 0yz; 0y1/2+z; 1/2yz1/2y1/2+z № группы Класс симметри и Число групп Символ ГерманаМогена Символ Шенфлиса Пример изображения Триклинная система 1 2 1 1 1 1 P1 P1 C1 Ci Моноклинная система 3-5 6-9 10-15 2 m 2/m 3 4 6 P2 P21 C2 Pm Pc Cm Cc P2/m P21/m C2/m P2/c P21/c C2/c C2 Cs C2h Внешний облик человека имеет симметрию Cs Ромбическая система 16-24 222 9 25-46 mm2 22 47-74 mmm 28 P222 P2221 P21212 P212121 C222 C2221 F222 I222 I212121 Pmm2 Pmc21 Pcc2 Pma2 Pca21 Pnc2 Pmn21 Pba2 Pna21 Pnn2 Cmm2 Cmc21 Ccc2 Amm2 Aem2 Ama2 Aea2 Fmm2 Fdd2 Imm2 Iba2 Ima2 Pmmm Pnnn Pccm Pban Pmma Pnna Pmna Pcca Pbam Pccn Pbcm Pnnm Pmmn Pbcn Pbca Pnma Cmcm Cmce Cmmm Cccm Cmme Ccce Fmmm Fddd Immm Ibam Ibca Imma D2 C2v Рельсы имеют симметрию C2v Тетрагональная система 75-80 4 6 81-82 83-88 4 4/m 2 6 89-98 422 10 99-110 4mm 12 111-122 42m 12 123-142 4/mmm 20 P4 P41 P42 P43 I4 I41 P4 I4 P4/m P42/m P4/n P42/n I4/m I41/a P422 P4212 P4122 P41212 P4222 P42212 P4322 P43212 I422 I4122 P4mmm P4bm P42cm P42nm P4cc P4nc P42mc P42bc I4mm I4cm I41md I41cd P42m P42c P421m P421c P4m2 P4c2 P4b2 P4n2 I4m2 I4c2 I42m I42d P4/mmm P4/mcc P4/nbm P4/nnc P4/mbm P4/mnc P4/nmm P4/ncc P42/mmc P42/mcm P42/nbc P42/nnm P42/mbc P42/mnm P42/nmc P42/ncm I4/mmm I4/mcm I41/amd I41/acd C4 S4 C4h Симметрия C4 D4 C4v D2d D4h Типичная кристаллическая структура циркония I41/amd Тригональная система 143-146 147-148 149-155 3 3 32 4 2 7 156-161 3m 6 162-167 3m 6 P3 P31 P32 R3 P3 R3 P312 P321 P3112 P3121 P3212 P3221 R32 P3m1 P31m P3c1 P31c R3m R3c P31m P31c P3m1 P31c R3m R3c C3 C3i D3 C3v D3d Типичная структура C3v молекула борана аммиака Гексогональная система 168-173 6 6 174 175-176 177-182 6 6/m 622 1 2 6 183-186 6mm 4 187-190 6m2 4 191-194 6/mmm 4 P6 P61 P65 P62 P64 P63 P6 P6/m P63/m P622 P6122 P6522 P6222 P6422 P6322 P6mm P6cc P63cm P63mc P6m2 P6c2 P62m P62c P6/mmm P6/mcc P63/mcm P63/mmc C6 C3h C6h D6 Симметрия пчелиных сот C6h C6v D3h D6h Симметрия нанотрубки D6h Кубическая система 195-199 23 5 200-206 m3 7 207-214 432 8 215-220 43m 6 221-230 m3m 10 P23 F23 I23 P213 I213 Pm3 Pn3 Fm3 Fd3 Im3 Pa3 Ia3 P432 P4232 F432 F4132 I432 P4332 P4132 I4132 P43m F43m I43m P43n F43c I43d Pm3m Pn3n Pm3n Pn3m Fm3m Fm3c Fd3m Fd3c Im3m Ia3d T Th O Td Oh Структура Алмаза Fd3m Распределение известных кристаллов по классам симметрии № Класс симметрии Относительное количество кристаллов 1 Ромбический 23,1 2 Моноклинный 19,9 3 Гексагональный 17,9 4 Кубический 16,6 5 Тетрагональный 14,9 6 Триклинный 4,7 7 Тригональный 2,9
