В прямоугольном параллелепипеде (А…D 1 )

Прямоугольный
параллелепипед
Типовые задачи
ЕГЭ - В9
На “3”
1. Найдите квадрат расстояния между
вершинами С и А1 прямоугольного
параллелепипеда, для которого АВ = 5, AD = 4,
AA1 = 3.
На “4”
2. Найдите угол ABD1 прямоугольного
параллелепипеда,
для которого АВ = 5, AD = 4, AA1 = 3. Ответ дайте
в градусах
На “5”
В прямоугольном параллелепипеде
(А…D1) известно, что
АА1 = 21, AВ = 8, АD = 6. Найти синус угла
между прямыми СD и А1С1.
№ 1 Найдите квадрат расстояния между вершинами С и А1 прямоугольного
параллелепипеда, для которого АВ = 5, AD = 4, AA1 = 3.
B1
C1
A1
АВ = 5
AD = 4
AA1 = 3
Найти А1С
D1
А1С = d
диагональ прямоугольного параллелепипеда
B
A
C
d2 = a2 + b2 + hh2
D
Подставляем данные а = 5, b = 4, h = 3
d2 = 25 + 16 + 9 = 50
d = 50 = 52
Ответ: А1С = 52
№ 2 Найдите квадрат расстояния между вершинами А и D1 прямоугольного
параллелепипеда, для которого АВ = 5, AD = 4, AA1 = 3.
B1
C1
A1
АВ = 5
AD = 4
AA1 = 3
Найти АD1
D1
АD1 - диагональ прямоугольника АА1D1D
гипотенуза прямоугольного АD1D
B
A
C
АD12 = AD2 + DD12
D
Подставляем данные AD = 4, DD1 = AA1 = 3
AD12 = 16 + 9 = 25
AD1 = 25 = 5
Ответ: АD1 = 5
№ 3 Найдите угол ABD1 прямоугольного параллелепипеда,
для которого АВ = 5, AD = 4, AA1 = 3. Ответ дайте в градусах
C1
B1
D1
АВ = 5
AD = 4
AA1 = 3
Найти АBD1
A1
Точки А, В и D1 лежат в плоскости АВС1D1
C
D
BD1 диагональ прямоугольника АВС1D1
и
ВD1 – диагональ прямоуг. параллелепипеда
B
A
d2 =
a2 +
b2
+
h2
D1
C1
Подставляем данные а = 5, b = 4, h = 3
d2 = 25 + 16 + 9 = 50
d = 50 = 52
Из ВАD1 (А=900)
находим
AB
5
1
cos АBD1 


BD1 5 2
2
А
Ответ: АВD1 = 450
В
№ 4 Найдите угол CBC1 прямоугольного параллелепипеда,
для которого АВ = 5, AD = 4, AA1 = 4. Ответ дайте в градусах
C1
D1
B1
АВ = 5
AD = 4
AA1 = 4
Найти СВС1
A1
Точки С, В и С1 лежат в плоскости ВСС1В1
BС1 диагональ прямоугольника ВCС1B1
и
C
D
B
A
BC1 – гипотенуза ВСС1 (С=900)
ВС = AD = 4 - катет,
CC1 = AA1 = 4 - катет
т.к. в ВCC1 катеты равны, то он равнобедренный
В прямоугольном равнобедренном треугольнике острые углы равны 450
Ответ: СВС1 = 450
№ 5 Найдите угол DBD1 прямоугольного параллелепипеда,
для которого АВ = 5, AD = 4, AA1 = 4. Ответ дайте в градусах
C1
D1
B1
АВ = 4
AD = 3
AA1 = 5
Найти DВD1
A1
BDD1 – прямоугольный (D=900)
т.к. DD1  ABCD,  DD1  BD
C
D
B
ABD – прямоугольный,
A
BD = 5, т.к. в прямоугольном AВD катеты равны АВ=4, AD = 3
т.к. в ВDD1 катеты BD = 5 и DD1 = AA1 = 5, то он равнобедренный
В прямоугольном равнобедренном треугольнике острые углы равны 450
Ответ: DВD1 = 450
№ 6 В прямоугольном параллелепипеде (А…D1) известно, что
ВD1 = 3, AD = 2, CD = 2. Найдите длину ребра АА1.
B1
ВD1 = 3
C1
A1
AD = 2
CD = 2
Найти AА1
D1
AА1 = h - высота параллелепипеда
h
BD1 = d – диагональ прямоуг. параллелепиеда
B
C
d2 = a2 + b2 + h2
b
A
a
D
Подставляем данные а = 2, b = 2, h = 3
9 = 4 + 4 + h2
h=1
Ответ: AА1 = 1
№ 7 В прямоугольном параллелепипеде (А…D1) известно, что
DD1 = 1, AD = 2, CD = 2. Найдите длину длину диагонали СА1.
B1
C1
A1
DD1 = 1
AD = 2
CD = 2
Найти CА1
D1
DD1 = h - высота параллелепипеда
h
CA1 = d – диагональ прямоуг. параллелепиеда
B
C
d2 = a2 + b2 + h2
b
A
a
D
Подставляем данные а = 2, b = 2, h = 1
d2 = 4 + 4 + 1
d=3
Ответ: CА1 = 3
№ 8 В кубе (А…D1) точка К – середина ребра АА1, точка L – середина А1В1,
Точка М – середина А1D1 . Найдите угол MLK. Ответ дайте в градусах
B1
C1
L
A1
Найти MLK
D1
M
Рассмотрим MLK - равносторонний
К
B
C
ПОЧЕМУ ?
КМ = ½ AD1 – средняя линия треугольника АА1D1
A
D
МL = ½ B1D1 – средняя линия треугольника B1А1D1
КL = ½ AB1 – средняя линия треугольника АА1B1
AD1 = B1D1 = AB1
как диагонали равных квадратов
В равностороннем треугольнике все углы по 600
Ответ: MLK = 600
№ 9 В прямоугольном параллелепипеде (А…D1) известно, что
АА1 = 2, AВ = 2, АD = 5. Точка К – середина ребра ВВ1. Найдите
площадь сечения, проходящего через точки D1 , K и А1.
B1
C1
AD = 5
АА1 = 2
АВ = 2
A1
D1
M
K
Точки D1, K и А1 – лежат в плоскости KА1D1M
КА1D1M - прямоугольник
B
A
Найти SD1KA1
Построим сечение
C
S = A1D1 . MD1
D
A1D1 = AD = 5
D1M (гипотенуза) найдем из D1C1M (C1 = 900)
C1M = 0,5CC1 = 0,5 . 2 = 1
C1D1 = AB = 2
D1M  C1D1  C1M 2  5
2
S = 5 . 5 = 5
Ответ: Sсеч = 5
№ 10 В прямоугольном параллелепипеде (А…D1) известно, что
АА1 = 22, AВ = 24, АD = 10. Найдите площадь сечения,
проходящего через точки А, С и А1.
B1
C1
АА1 = 22
AD = 10
АВ = 24
Найти SACA1
A1
D1
Точки А, С и А1 – лежат в плоскости АА1С1С
АА1С1С - прямоугольник
B
C
S = AC . AA1
A
D
AC (гипотенуза) найдем из ADC (D = 900)
АС2 = AD2 + DC2
АС = 26
Подставляем данные АС = 26, АА1 = 22
S = 26 . 22 = 572
Ответ: Sсеч =572
№ 11 В кубе (А…D1) найдите угол между прямыми AD1 и B1D1.
Ответ в градусах
Найти (AD1,B1D1)
B1
C1
A1
Точки А, D1 и B1 лежат в плоскости АD1B1
D1
(AD1,B1D1) = AD1B1
B
C
АD1B1 - равносторонний
AD1 = B1D1 = AB1 – диагонали равных квадратов
A
D
В равностороннем треугольнике все углы по 600
Ответ:  AD1B1 = 600
№ 12
В прямоугольном параллелепипеде (А…D1) известно, что
АА1 = 21, AВ = 8, АD = 6. Найти синус угла между прямыми СD и А1С1.
B1
C1
A1
D1
АА1 = 21
AD = 6
АВ = 8
(СD, A1C1) = (CD, AC) = ACD
M
Найти: sin(ACD)
B
A
C
D
АСD (D = 900)
AD – катет противолежащий ACD
СD = АВ – катет прилежащий ACD
АС2 = AD2 + CD2
AC2 =36 + 64 = 100
AC = 10 - гипотенуза
sin ACD 
AD 6

 0,6
AC 10
Ответ: sin(ACD) = 0,6