Треугольник Паскаля

Работу выполнила:
Николаева Фаина,
ученица 9 «А» класса
МОУ «СОШ № 4»
Руководитель:
Баева Наталия Ивановна,
учитель математики
 Пополнить интеллектуальный багаж;
 Рассмотреть треугольник, его основные линии и
их свойства;
 Рассмотреть различные виды треугольников;
 Совершить экскурс в историю треугольников.
 Основные линии треугольника и их свойства.
 Виды треугольников.
 Признаки равенства треугольников.
 Треугольники в жизни.
Если популярность треугольника
определяется его триединством, то это
простота, красота и значимость
“Природа говорит языком математики:
буквы этого языка – круги, треугольники и
иные математические фигуры”
Г. Галилей
Треугольник – это простейшая фигура.
Математики его называют двумерным
симплексом.
« Симплекс» по - латыни означает простейший.
Первые упоминания о треугольнике и его
свойствах ученые находят в египетских
папирусах, которым более 4000 лет.
В Древней Греции изучение свойств
треугольника достигает высокого уровня –
это теорема Пифагора и формула Герона,
которым более 2000 лет.
В XV – XVI веках появилось огромное
количество исследований свойств
треугольника.
Это большой раздел планиметрии,
получивший название “Новая геометрия
треугольника”. Большой вклад в изучение
свойств треугольника внес русский ученый
Н.И. Лобачевский.
Его труд «Новое начало геометрии»
получил применение в физике, кибернетике
и математике.
РАВНОБЕДРЕННЫЙ
РАВНОСТОРОННИЙ
ОСТРОУГОЛЬНЫЙ
ТУПОУГОЛЬНЫЙ
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ
Биссектриса
Медиана
Высота
Трисектриса угла — луч, делящий угол на три
равные части.
В 1904 году американский математик Ф.Морли доказал, что если из
каждой вершины треугольника провести трисектрисы угла, то
точки пересечения смежных трисектрис углов являются
вершинами равностороннего треугольника. Доказательство этого
утверждения было под силу и древнегреческим математикам, но
они прошли мимо этого факта, видимо, потому, что тогда было
принято рассматривать лишь построения при помощи циркуля и
линейки, а с помощью этих инструментов такое деление сделать
не возможно.
В Древней Греции изучение свойств треугольника
велось очень активно.
Герон Александрийский нашёл формулу,
выражающую площадь треугольника через его
стороны;
Пифагор открыл свою формулу;
Платон считал, что Вселенная построена из
различного сочетания простейших и
одинаковых элементов. Такими
первоэлементами он считал треугольники.
Мистическое число три. Тройка - первая из
плоских фигур.
Отсюда символ поверхности вообще. Поверхность
состоит из треугольников (Платон).
Равносторонний треугольник символизирует
завершение.
Геометрически четыре стихии изображаются в виде
треугольников:
Треугольник ,обращенный вершиной вверх символ огненной стихии, творческая сила,
вдохновение. Огонь находится на юге; это
стихия лета, тепла.
Треугольник , обращённый вершиной вниз вода, символ лунного могущества, интуиция
и чувства. Она расположена на западе и
ассоциируется с осенью.
Треугольник, обращённый вершиной вверх с
горизонтальной линией - воздушная стихия,
представляет логику и разум. Воздух - стихия
весны, она находится на востоке.
Перевернутый треугольник с горизонтальной
линией - знак Земли, реальность, практическое
начинание, глубинная сущность вещей. Эта стихия
располагается на севере и ассоциируется с зимой.
Треугольник – музыкальный инструмент.
Звонкая трель треугольника оказывается способной
не только возводить на следующую ступень
оркестровое звучание, но она владеет чертами
просветлять любое многосложное сочетание. Пусть
даже трель треугольника потонет в недрах оркестра
и останется неуловимой. Свое дело она сделает!
Она прояснит чрезмерно насыщенную звучность
оркестра и сделает ее величаво-торжественной и
блестящей.
Кроме широко известного «золотого»
равнобедренного треугольника, в архитектуре
широко используется еще один вид
треугольника, основанного на золотом сечении.
Считается, что именно этот прямоугольный
треугольник является главной геометрической
идеей пирамиды Хеопса.
Египетский треугольник
a b c
3
5
15
7
21
9
4
12
8
24
20
40
5
13
17
25
29
41
Так называемая царская
комната в знаменитой пирамиде
Хеопса имеет размеры,
особенным образом, связанные
с числами
3, 4, 5.
Название треугольнику с таким отношением
сторон дали эллины.
В VII - V веках до н. э. греческие философы и
общественные деятели активно посещали
Египет.
Так, например, Пифагор в 535 до н. э. по
настоянию Фалеса для изучения астрономии
и математики отправился в Египет - и, судя
по всему, именно попытка обобщения
отношения квадратов, характерного для
египетского треугольника, на любые
прямоугольные треугольники и привела
Пифагора к формулировке и доказательству
его знаменитой теоремы.
Применялся египетский треугольник в
архитектуре средних веков для построения
схем пропорциональности и для построения
прямых углов землемерами и архитекторами.
Египетский треугольник является
простейшим (и первым известным) из
Героновых треугольников - треугольников с
целочисленными сторонами и площадями.
Треугольник Паскаля является, пожалуй, одной из наиболее
известных и изящных числовых схем во всей математике.
Блез Паскаль, французский математик и философ, посвятил
ей специальный "Трактат об арифметическом треугольнике".
Треугольник Паскаля - это просто бесконечная
числовая таблица "треугольной формы",
в которой на вершине и по боковым
сторонам стоят единицы,
каждое из остальных чисел равно
сумме двух чисел, стоящих над ним слева
и справа в предшествующей строке.
Эта треугольная таблица была
известна задолго до 1665 года –
даты выхода в свет трактата.
основый треугольник
Треугольник в природе
Все в жизни имеет завершение
По словам архитекторов, треугольная форма
здания позволяет минимизировать затененность
соседних зданий, а так же уменьшает ветровую
нагрузку и воздействие солнечных лучей.
Треугольные купала башен и отделка, делают здания
ещё привлекательнее.
Жизнь треугольников
треугольники
Невозможные
Астрономы при нахождении расстояний до планет и
звёзд используют свойства треугольников.
Через площадь треугольника выражается площадь
любого многоугольника: достаточно разбить этот
многоугольник на треугольники, вычислить их площади и
сложить результаты.
Инженеры любят треугольник за его «жесткость»:
даже если стержни, образующие треугольник,
соединить шарнирно, то его невозможно изменить, в
отличие от четырехугольников и многоугольников с
большим числом сторон, где такое соединение
допускает изменение формы многоугольника.
Составляющие балки мостов образуют треугольники.
Задача № 1
Определение расстояния до
недоступной точки
Как найти расстояние от пункта А
до недоступного пункта В?
Измерительные работы
Дано:
A=71, C=9945', АС=50м
Найти:
АВ
D
Недоступная точка В это
основание столба ВD
B
Ответ:АВ=306м
A
C
Задача № 2
Определение высоты предмета
Как найти высоту дерева?
Как найти высоту столба?
Измерительные работы
Дано:
ВС=34,5м
ABH==320' для дерева
ACH==3 для дерева
ABH==136' для столба
ACH==126' для столба
Найти:
AH- высоту дерева и
высоту столба
Ответ:АН=8,2м
A


C
B
H
• Первые упоминания о треугольнике и его свойствах были
найдены в египетских папирусах.
• Свой вклад в изучение треугольников внесли такие
великие ученые, как Пифагор, Герон, Евклид, Паскаль, Н.И.
Лобачевский и др.
• В математике существуют удивительные треугольники:
треугольник Паскаля, Египетский треугольник, «золотой»
треугольник.
• Треугольник имеет огромное мистическое значение.
• Треугольники существуют вокруг нас.
• Треугольник используется в архитектурных сооружениях.
• Измерительные
материала
о
работы
свойствах
тригонометрические
на
местности,
подобных
формулы
теоретический
треугольников
помогают
и
решать
практические задачи реальных процессов в природе и
обществе.
Причина популярности треугольника:
это простота, красота и значимость.
В ходе исследования моя гипотеза
подтвердилась полностью.
•Александров А.Д. и др. Геометрия для 8-9 классов:
Учебное пособие для учащихся школ и классов с
углубленным изучением математики. – 3-изд.
•Выпуск 1. – М.: Бюро Квантум, 1998, с. 23. (Приложение к
журналу «Квант». – 1998. - № 1)
•Готман Э. Прямая Эйлера //Приложение к журналу «Квант»
№ 1/1998. – М.: Бюро «Квантум», 1998, с. 23.
•Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка. – 4-е
изд. – М.: Просвещение, 1984, с. 120.
•Факультативный курс по математике: Учебное пособие
для 7-9 классов средней школы /Сост. И.Л. Никольская. –
М.: Просвещение, 1991, с.96.
•Шарыгин И.Ф. и др. Окружность девяти точек и прямая
Эйлера //Приложение к журналу «Квант» № 1/1998. – М.:
Бюро «Квантум», 1998, с. 31.
•Шарыгин И.Ф. Узнайте точку /Математический кружок. –
М.: Бюро Квантум, 1999, с. 46. (Приложение к журналу
«Квант». – 1999. - № 3).
•Энциклопедия для детей. Математика. Том 11. – М.:
Аванта+, 2001, с. 381