Стереометрия. Задачи на построение
advertisement
Стереометрия Задачи на построение Геометрия 10 класс Р.О.Калошина, ГБОУ лицей №533 План урока Задача Задача Задача Задача 1’ 1 2 3 Задача Задача Задача Задача 4 5 6 7 Задача 1’ Дано: МАВСD – пирамида. На ребрах МА и МВ, и в грани МСD взяты соответственно точки Р, Q и R линию пересечения плоскости РQR (секущей плоскости) с плоскостью AВС. Построить B A Решение Построим точки Р', Q' и R' — проекции соответственно (Q’)B точек Р, Q и R на плоскость AВС (R’) A(P’) Прямые РQ и Р‘Q‘ лежат в одной плоскости AMB. РQ Р’Q’ = S1 – точка пересечения прямых. Точка S1 РQ, точки Р и Q лежат в плоскости РQR, т.о. по аксиоме 2 точка S1РQR. Аналогично, т.к. точка S1Р’Q’, точки Р' и Q' лежат в плоскости AВС, то точка S1АВС. Итак, точка S1, является общей точкой плоскостей РQR и АВС. Значит, по аксиоме 3 эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку S1 Далее: в точке S2 пересекаются лежащие в одной плоскости прямые QR и Q‘R'. Точка S2 - общая точка плоскостей РQR и АВС. По аксиоме 3 эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку S2. Проведем прямую S1S2. Так как обе ее точки лежат в плоскостях РQR и АВС, то по аксиоме 2 эта прямая лежит и в плоскости РQR, и в плоскости АВС. Таким образом, прямая S1S2 — это искомая линия пересечения плоскости РQR с плоскостью АВС. Линию пересечения двух плоскостей называют также следом одной из них на другой. Построенная прямая S1S2 — это след плоскости РQR на плоскости АВС. Сечения тетраэдра и параллелепипеда Задача 1. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки D, Е, K. Построение: S 1. DE 2. ЕК 3. ЕК ∩ АС = F 4. FD 5. FD ∩ BС = M E K А M D В 6. KM F С DЕKМ – искомое сечение Задача 2. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Р, К, М, М∈ВС Построение: В1 К А1 C1 Р 1. КP 2. EM ║ КP (К1Р1) D1 N 3. EK 4. МN ║ EK М В А 5. РN С Р1 E К1 D KРNМE – искомое сечение Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М∈АВ) Построение: В1 C1 А1 D1 Н Т Выберите верный вариант 1-го шага: 1. НМ 1. МТ 1. НT М А В С D Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М∈АВ) В1 C1 Построение: 1. НМ А1 D1 Н Т М А В Комментарий: Данные точки принадлежат разным граням! С D Назад Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М∈АВ) В1 C1 Построение: 1. МT А1 D1 Н Т М А В Комментарий: Данные точки принадлежат разным граням! С D Назад Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М∈АВ) В1 C1 Построение: 1. НТ А1 Выберите верный вариант: D1 Н Т М А В С D 2. НТ ∩ BС = Е 2. НТ ∩ DС = Е Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М∈АВ) Построение: В1 C1 А1 1. НТ 2. НТ ∩ ВС = Е D1 Н Т М А В С Комментарий: Данные прямые скрещивающиеся! Пересекаться не могут! D Назад Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М∈АВ) В1 Построение: C1 А1 1. НТ 2. НТ ∩ DС = Е D1 Выберите верный вариант: Н Т М А В С D 3. ME ∩ AA1 = F Е 3. ME ∩ CC1 = F 3. ME ∩ BС = F Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М∈АВ) В1 Построение: C1 А1 1. НТ 2. НТ ∩ DС = E D1 3. ME ∩ AA1 = F Н Т М А В С E Комментарий: Данные прямые скрещивающиеся! Пересекаться не могут! D Назад Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М∈АВ) Построение: В1 C1 1. НТ 2. НТ ∩ DС = E А1 D1 3. ME ∩ CC1 = F Н Т М А В С D E Комментарий: Данные прямые скрещивающиеся! Пересекаться не могут! Назад Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М∈АВ) В1 Построение: C1 А1 1. НТ 2. НТ ∩ DС = E 3. ME ∩ ВС = F D1 Н Выберите верный вариант: Т М А В F С D E 4. НF 4. МТ 4. ТF Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М∈АВ) Построение: В1 C1 А1 1. НТ 2. НТ ∩ DС = E 3. ME ∩ ВС = F 4. НF D1 Н Т М А В F С D E Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М∈АВ) В1 Построение: C1 А1 1. НТ 2. НТ ∩ DС = E 3. ME ∩ ВС = F 4. MT D1 Н Т М А В F С E Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! D Назад Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М∈АВ) В1 Построение: C1 А1 D1 Н Т М А В F С D E 1. НТ 2. НТ ∩ DС = E 3. ME ∩ ВС = F 4. ТF Выберите верный вариант: 5. ТF ∩ А1 А = K 5. ТF ∩ В1В = K Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М∈АВ) В1 Построение: C1 А1 1. НТ 2. НТ ∩ DС = E 3. ME ∩ ВС = F 4. ТF 5. ТF ∩ А1 А = K D1 Н Т М А В F С D E Комментарий: Данные прямые скрещивающиеся! Пересекаться не могут! Назад Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М∈АВ) В1 Построение: C1 А1 1. НТ 2. НТ ∩ DС = E 3. ME ∩ ВС = F 4. ТF 5. ТF ∩ В1В = K D1 Н Т М F В А С D K E Выберите верный вариант: 6. НK ∩ АD = L 6. ТK ∩ АD = L 6. МK ∩ АА1= L Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М∈АВ) В1 Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ DС = E 3. ME ∩ ВС = F 4. ТF 5. ТF ∩ В1В = K 6. НK ∩ АD = L C1 А1 D1 Н Т М F В А С D E Комментарии: Данные прямые скрещивающиеся! Пересекаться не могут! K Назад Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М∈АВ) Построение: В1 C1 А1 1. НТ 2. НТ ∩ DС = E 3. ME ∩ ВС = F 4. ТF 5. ТF ∩ В1В = K 6. TK ∩ АD = L D1 Н Т М F В А С D E Комментарии: Данные прямые скрещивающиеся! Пересекаться не могут! K Назад Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М∈АВ) Построение: В1 C1 А1 D1 Н Т М L F В С E 1. НТ 2. НТ ∩ DС = E 3. ME ∩ ВС = F 4. ТF 5. ТF ∩ В1В = K 6. МK ∩ АА1= L Выберите верный вариант: 7. LF 7. LT А D K 7. LH Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М∈АВ) Построение: В1 C1 А1 1. НТ 2. НТ ∩ DС = E 3. ME ∩ ВС = F 4. ТF 5. ТF ∩ В1В = K 6. МK ∩ АА1= L 7. LТ D1 Н Т F В L С М А D K E Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М∈АВ) Построение: В1 1. НТ 2. НТ ∩ DС = E 3. ME ∩ ВС = F 4. ТF 5. ТF ∩ В1В = K 6. МK ∩ АА1= L 7. LF C1 А1 D1 Н Т F В L С М А D K E Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М∈АВ) В1 Построение: C1 А1 D1 Н Т F В L С М А D K E 1. НТ 2. НТ ∩ DС = E 3. ME ∩ ВС = F 4. ТF 5. ТF ∩ В1В = K 6. МK ∩ АА1= L 7. LН НТFМL – искомое сечение Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки Е, F, K. Построение: В1 F А1 C1 D1 E N В С А L К М 1. KF 2. FE 3. FE ∩ АB = L 4. LN ║ FK 5. LN ∩ AD = M 6. EM 7. KN EFKNM – искомое сечение Пояснения к построению: Пояснения построению: Пояснения кк построению: 3. Прямые FE и АВ, лежащие в одной плоскости АА1В1В, Пояснения к построению: 2. Соединяем точки FL и. F, E, принадлежащие принадлежащиеодной одной 1. Соединяем точки K пересекаются в точке 4. Проводим прямую LN параллельно FK (если секущая Пояснения к построению: D плоскости А АА плоскости С11В. D1. 1В11В плоскость противоположные грани, 5. Прямая пересекает LN пересекает ребро AD в точке M. то она Пояснения к построению: пересекает ихточки по параллельным отрезкам).одной 6. Соединяем Е М, принадлежащие принадлежащие одной плоскости плоскости 7. К и N, АА ВСС ВD. 1D 11 1. Задача 5. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки К, М, Р, Р∈АВС Построение: S 1. КМ 2. КМ ∩ СА = Е К М Е А F С Р N В 3. EР 4. ЕР ∩ АВ = F ЕР ∩ ВC = N 5. МF 6. NК КМFN – искомое сечение Задача 6. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки К, L, М. T К В1 C1 F E А1 L А D1 В P С G М D N Построение: 1. ML 2. ML ∩ D1А1 = E 3. EK 4. EK ∩ А1B1 = F 5. LF 6. LM ∩ D1D = N 7. ЕK ∩ D1C1 = T 8. NT 9. NT ∩ DC = G NT ∩ CC1 = P 10. MG 11. PK МLFKPG – искомое сечение Задача 7. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки F, K, L В1 К А1 C1 D1 L В С А F D Задача 7. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки F, K, L. Проверка: В1 М А1 К C1 D1 L В N С FМKLN – искомое сечение А F D
