Равносторонний треугольник




Провести исследование, можно ли построить
равносторонний треугольник на листе
клеточной тетради с помощью линейки
найти и изучить различные соотношения в
равностороннем треугольнике
выбрать наиболее интересные и представить
их одноклассникам, и показать в своей работе




Посетили библиотеку, нашли необходимую
научно-популярную литературу, прочли статьи
в журналах «Квант» и «Математика в школе».
Научились искать информацию в Интернете.
Выбрали разные способы доказательства
некоторых соотношений.
Создали презентацию.
Можно ли построить равносторонний
треугольник только при помощи линейки?
Оказывается, можно,
расположив его вершины в
узлах клеточной бумаги. В таком
случае возникает ещё один
вопрос: на самом ли деле
стороны равны
Правда, изображенный на
рисунке треугольник очень
близок к равностороннему –
длины его сторон различаются
меньше, чем на 3%.
К сожалению, нарисовать
равносторонний треугольник в
узлах клеточной бумаги, нельзя.

. Возьмём т. Р внутри равностороннего
треугольника и отпустим из неё на стороны
перпендикуляры PE, PL, PF. Оказывается, что
сумма этих отрезков не зависит от выбора т. Р и
равняется высоте треугольника.
1
C
L
E
Дано: ∆ АВС – равносторонний
h – высота, a - сторона
РЕ, РL, PF – перпендикуляры
Доказать: h = РF + PL + PE
P
A
B
F
Соединим точку Р с вершинами треугольника, и
наш равносторонний треугольник разделится на
три треугольника. Тогда площадь треугольника
АВС равна сумме площадей его частей
S = SAPC + SABP + SBPC.
Площадь равностороннего треугольника
вычислим по формуле S= 12 ah, а площади его
1
1
частей равны соответственно 2 аРЕ, 2 аРF,
1
aPL. И мы получим
2
1
2
1
2
1
2
1
2
аh= a PE + a PF + a PL
обе части равенства разделим на
получим h = PE + PF + PL
Что и требовалось доказать.
1
2
a и
2 . Внутри равностороннего треугольника взята
точка Р, и проведены перпендикуляры PE, PF,
PL к сторонам этого треугольника. Сумма длин
отрезков AF, BE и CL равна сумме длин
отрезков CF, BL и AE.
В
Дано:
∆ АВС – равносторонний
Доказать: AF + CL + BE = CF + BL + AE
L
Е
P
А
F
С
Доказательство:
Обозначим AF = AC – FC;
CL = BC – LB;
BE = AB – AE.
Возьмем данное равенство
AF + CL + BE = CF + BL + AE и подставим
( AC – FC) + ( BC – LB) + ( AB – AE) = CF + BL + AE
Обозначим: AC = AF + FC;
BC = CL + BL;
AB = AE + EB.
AF + FC – FC + CL + BL – LB + AE + EB – AE = =
CF + BL + AE
AF + CL + BE = CF + BL + AE.
Что и требовалось доказать.
Равносторонние треугольники мы видим и в
переплетении стержней, образующих
строительные конструкции – такие формы
являются наиболее прочными среди
конструкций с заданным расходным
материалом.
.
«Представление о
мире»
«Звезды»
.
 Скопец З.А. «Геометрические
миниатюры», М. «Просвещение», 1991
г.
Биографический указатель
ХРОНОСа
http://www.hrono.ru/da/cd_rom.html
 Ж.«Квант» №5, М, «Наука», 1991 г.
Н. Лэнгдон, Ч. Снейп, «С
математикой в путь», М. «Педагогика»,
1987 г.
К. У. Шахно, «Сборник задач по
элементарной математике
повышенной трудности», Минск
«Вышэйшая школа», 1968 г.