 Определенный интеграл

Определенный интеграл
Опр. Под определенным интегралом
b

f ( x)dx
a
от данной непрерывной функции f
на отрезке [ a; b] понимается
соответствующее приращение ее
первообразной.
b

a
f ( x)dx  F (b)  F (a)
(x )
b

f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
Опр. Данная формула называется
формулой Ньютона-Лейгенца.
Для того, чтобы найти определенный
интеграл, надо найти одну из
первообразных функции f (x ), т.е.
функцию F (x ) и найти разность
F (b)  F (a).
Схематично правило выглядит так:
b
b

f ( x)dx  F ( x)  F (b)  F (a )
a
a
f (x ) - подынтегральная функция;
f ( x)dx - подынтегральное выражение;
a - нижний предел интегрирования;
b - верхний предел интегрирования.
Теорема. Определенный интеграл не
зависит от выбора первообразной
для интегрирования функции.
Теорема. Для всякой, непрерывной на
отрезке [ a; b] функции, существует
соответствующий определенный
интеграл.
Доказательство основано на теореме
Коши, т.е. существует определенный
интеграл, значит, существует разность
значений первообразной.
Свойства определенного интеграла
Пусть на отрезке (a; b) существует
определенный интеграл
b

a
f ( x)dx  F (b)  F (a), где F ' ( x)  f ( x)
b
b
a
a
a
1. f ( x)dx   f (t )dt
2. f ( x)dx  0
a
b
a
a
b
3. f ( x)dx   f ( x)dx
4. Константу как множитель можно
выносить за знак определенного
интеграла.
5. Определенный интеграл от
суммы конечного числа
непрерывных функций равен сумме
определенных интегралов от этих
функций.
6. Если подынтегральная функция f
неотрицательна, то и определенный
интеграл от нее неотрицателен.
(x )
7. Теорема о среднем
Если f (x ) - непрерывная функция, то
определенный интеграл равен:
b

a
f ( x)dx  (b  a)  f (c), c  (a; b)
8
Геометрический смысл определенного
интеграла
b
Теорема. Определенный интеграл
 f ( x)dx от
a
непрерывной неотрицательной f (x )на отрезке
[иa; b] численно равен площади прямолинейной
трапеции, ограниченной осью ОХ, прямыми x с a,
xи  b и графиком функции y  f (x).
y
y  f (x)
a
x
0
b
Следствие.
Если линейная трапеция ограничена графиком
функции y  f (x), y  g (x), прямыми x  aб, xббb,
бf ( x)  g ( x) для x  ( a; b), площадь
вычисляется по формуле:
b
S   ( f ( x)  g ( x))dx
y
a
y  f (x)
y  g (x)
x
0
a
b
Связь и отличие определенных и
неопределенных интегралов
Связь:
Как в неопределенном, так и
в определенном интеграле
нужно находить
первообразную для функции
f (x ).
Отличие:
Неопределенный интеграл –
общее выражение для всех
первообразных, определенный
интеграл – это число.
Определенный интеграл с
переменным верхним пределом
'


  f (t )dt   f ( x),


a

x
x   ;  .
Интегрирование по частям в
определенном интеграле
Если u  u (x), v  v (x ) на отрезке (a; b) непрерывные дифференцируемые
функции, то на этом отрезке
справедлива формула:
b
b
a
a
b
udv

u

v

vdu


a
Замена переменной в определенном
интеграле
b
Теорема. Дано:

f ( x)dx, f ( x)  (a; b).
a
Введем новую переменную,
связанную с
 (tb)
x формулой x   (t ),
непрерывна на отрезке
при этом
 ;  ,
 ( )  a,  (  )  b,
тогда
b

a
x   (t )
dx   ' (t )  dt
f ( x)dx 

x a b
t  




  f ( (t )) ' (t )dt  F (t )  F (  )  F ( )
Приложение определенного интеграла
Вычисление площадей плоских фигур
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной
кривой y  f (x) ( f ( x )  0, непрерывна), прямыми
тx  a, x  b и осью Ox, вычисляется по формуле:
b
b
S   ydy   f ( x)dx
a
y
y  f (x)
a
a
0
x
b
Площадь фигуры, ограниченной кривой
y  f (x) ( f ( x)  0, непрерывна), прямыми
р
оx  a, x  b и осью Ox равна
b
y
a
S   f ( x)dx
a
0
b
y  f (x)
x
Площадь фигуры, ограниченной двумя
непрерывными кривыми y  f1 ( x) и y  f 2 ( x),
 a, x  b
м
 f1 ( x)  f 2 ( x) и двумя прямыми xнаходится
по формуле
b
S    f1 ( x)  f 2 ( x) dx
a
y
y  f1 ( x)
a
0
b
y  f 2 ( x)
x
Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то
прямыми, параллельными оси Oy, её следует разбить на
части так, чтобы можно было бы применить уже известные
формулы:
y
y  f (x)
y  g (x)
0
x
c
b
a
Здесь непрерывные и неотрицательные функции y  f (x)
и y  g (x) пересекаются в точке с абсциссой x  c.
c
b
S   f ( x)dx   g ( x)dx
a
c
Вычисление длины дуги
Если плоская кривая отнесена к
прямоугольной системе координат и задана
уравнением y  f (x ), то
b
2
l   1   f ' ( x)  dx
a
где
a, b - абсциссы начала и конца дуги
a  b.
Если кривая задана уравнением
то
d
l

x  g ( y ),
1  g ' ( y )  dy,
2
c
где
c, d - ординаты начала и конца дуги
c  d .
Если кривая задана параметрическими
уравнениями x  x(t ), y  y (t ), то
длина дуги выражается формулой
t2
l
x   y  dt
2
'
t
2
'
t
t1
где t1 , t 2 - значения параметра,
соответствующие концам дуги t1

 t2 .
Вычисление объема тела вращения
плоской фигуры
Если тело образуется при вращении вокруг оси
т криволинейной трапеции, то любое его
Ox
плоское сечение, перпендикулярное к оси Oy,
будет круг, радиус которого равен
соответствующей ординате кривой y  f (x ).
Объем тела вращения определяется формулой:
x2
2
1
2
ox
V    y ( x)dx
x1
x
x

Если тело образуется при вращении
криволинейной трапеции, принадлежащей
к оси Oy, то объем тела вращения
определяется формулой:
y2
Voy    x ( y )dy
2
y1
 y1  y2 