Теорема Пифагора и способы её доказательства
advertisement
Теорема Пифагора и способы её доказательства Пифагор около 570 г. до н.э. Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на B гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах. т.е. BC2 = AB2 + AC2 A C Доказательства, основанные на составлении квадрата, построенного на гипотенузе из частей квадратов, построенных на катетах Простейшее доказательство Треугольник ABC – прямоугольный равнобедренный 1 2 1 1 2 2 3 4 Квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 треугольника, а квадраты, построенные на катетах— по 2 треугольника. Следовательно AC2 = AB2 + BC2 «Египетский» треугольник Квадрат, построенный на гипотенузе и 2 квадрата, построенные на катетах равновелики. (т.е. равны по площади) Доказательство из учебников XIX и XX вв. . В прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе может быть составлен из частей квадратов, построенных на катетах Теорема доказана Доказательство Анайриция Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника может быть сложен из частей двух квадратов, построенных на катетах этого же треугольника. Теорема доказана Доказательство арабского математика Сабита ибн Коры. Два квадрата, построенные на катетах составляют квадрат, построенный на гипотенузе. Теорема доказана Доказательство, основанное на равновеликости шестиугольников Вырежем из равных К «Пифагоровой» шестиугольников фигуре достроим22по равных таких жетреугольника. треугольника А Верхний шестиугольник Получаем равенство состоит из 2 равных частей. оставшихся фигур. Одну из частей повернем относительно точки А. Нижний шестиугольник тоже состоит из 2 Что иже требовалось доказать. таких равных частей. Значит шестиугольники равны. Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора Доказательство, проведенное с помощью теоремы косинусов A B По теореме косинусов ВС2 = АВ2 + АС2– 2АВ*АС*cos А C т.к. угол А = 900, то cos А = cos 900 = 0, Следовательно: ВС2 = АВ2 + АС2. С помощью теоремы Пифагора можно вывести большинство теорем геометрии Назад
