Перпендикулярность прямой и плоскости

Творческая работа
по теме: «Перпендикулярность прямой и плоскости»
(проблемное обучение)
Факультет математики
IV курс 3 группа
Прохоренкова Мария
Оглавление
- Цели обучения теме
- Логико-математический анализ темы
- Развернутое тематическое планирование
- Анализ задачного материала
- Методика работы с понятием
- Методика работы с теоремой
- Методика работы с задачей
- Набор дополнительных задач, для реализации
дифференцированного подхода в обучении
- Система контроля за состоянием знаний и умений учащихся
- Список использованной литературы
Цели обучения теме:
Развивающие:
- Развитие пространственного мышления при построении прямых
перпендикулярных плоскости;
- Развитие вычислительных навыков при решении задач по теме
«Перпендикулярность прямой и плоскости»;
- Развитие аккуратности при изображении условий различных задач;
- Развитие логического мышления при решении задач на доказательство
по данной теме и при доказательстве утверждений;
- Развитие умения переносить свойства геометрических объектов на
сходные с ними реальные объекты.
Образовательные:
- Сформировать представление о прямых перпендикулярных в
пространстве, а также перпендикулярности прямой и плоскости.
- Сформулировать признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Логико-математический анализ теоретического содержания
темы «Перпендикулярность прямой и плоскости»
Актуализируемые знания и умения Понятия:
точки; прямой; угол между прямыми;
перпендикулярности прямых на плоскости,
параллельности прямых и плоскостей.
Свойства взаимного расположения прямых на
плоскости; параллельных плоскостей.
Умения работать с геометрической задачей,
проводить простейшие логические рассуждения,
пользоваться чертежными инструментами.
Лемма о перпендикулярности двух параллельных
прямых третьей прямой
Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая
перпендикулярна к этой плоскости
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то
они параллельны
Теория построений
Построение перпендикулярных
прямых
Построение угла, равного данному
Задачный материал
Вводимые понятия: перпендикулярность
прямых; перпендикулярность прямой и
плоскости
Признак перпендикулярности
прямой и плоскости
Теорема о прямой,
перпендикулярной к плоскости
Тематическое планирование по теме « Перпендикулярность прямой и
плоскости»
подтема
К-во
часов
3
№
урока
Тема урока
Цели на урок
Теоретический материал
Задачный материал
К/з
Д/з
1
Перпендикулярные прямые
в
пространстве.
Параллельные
прямые,
перпендикулярные к
плоскости.
Ввести понятие
перпендикулярных
прямых в пространстве;
Доказать лемму о
перпендикулярности двух
параллельных прямых к
третьей прямой;
Дать определение
перпендикулярности
прямой и плоскости;
Доказать теоремы,
вкоторых
устанавливается связь
между параллельностью
прямых и их
перпендикулярностью к
плоскости
Определение двух
перпендикулярных прямых;
Обозначение перпендикулярности
прямых;
Лемма о перпендикулярности двух
параллельных прямых к третьей
прямой;
Определение перпендикулярности
прямой к плоскости;
Обозначение перпендикулярности
прямой к плоскости;
Две теоремы, в которых
устанавливается связь между
параллельностью прямых и их
перпендикулярностью к плоскости;
В/з 2
(устно)
В/з 16
(устно)
В/з 17
(устно)
№ 118
120
П.
15-16,
вопр.
1,2
(стр54)
№ 116
(а,б)
2
Признак
перпендикулярности прямой
и плоскости
Доказать признак
перпендикулярности
прямой и плоскости;
Формировать навык
применения признака
перпендикулярности
прямой и плоскости к
решению задач.
Теорема (признак
перпендикулярности прямой и
плоскости)
В/з 3
(устно)
№ 119 (а)
В/з 10
(устно)
№ 121
В/з 11
(устно)
П.17
№ 124
126
3
Теорема о
прямой,
перпендикулярной к
плоскости.
Повторить признак
перпендикулярности
прямой и плоскости;
Доказать теорему
существования и
единственности прямой,
перпендикулярной к
плоскости
Теорема о прямой
перпендикулярной
плоскости
В/з 4
(устно)
№ 122
В/з 12
(устно)
п.18
№ 123
127
В/з 5
Перпендикулярность
прямой и
плоскости
Повторения
В/з 1
(устно)(угол
между
прямыми)
№ 130
(расст-е
между
двумя
точками
и расст-е
от точки
до
прямой)
С/р
УМК
Кон-ль
Учебник
(С/л
№1)
В/з
С/к
Фронт.
опрос
учащихся
Индивид.
контроль
(реш.
задачи у
доски)
Учебник
(С/л
№1)
В/з
С/к
С/л
№3
Инд.
контроль
(проверка
д/з по
гот.
чертежам
и
решение
задач по
гот.чертежам)
Учебник
(С/л
№1)
В/з
С/к
Фр.опрос
учащихся
и индивидуальное
реш.
задач у
доски
подтема
Решение
задач по
теме
«Перпендикулярность
прямой
и
плоскоси»
К-во
часов
3
№
урока
Тема урока
Цели на урок
Теоретический материал
Задачный
материал
К/з
Д/з
Повторения
С/р
УМК
Кон-ль
4
Решение задач на
перпендикулярность
прямой и плоскости
Закрепление вопросов теории
по теме
«Перпендикулярность
прямой и плоскости»;
Вырабатывать навыки
решения основных типов
задач на перпендикулярность
прямой и плоскости;
Развитие вычислительных
навыков при решении
уравнений
В/з 6
№ 134
П.
15-18
№ 129
136
№ 125
(Решение
сист с
тремя
неизв.)
И/з
В/з 6
Учебник
(С/л
№1)
В/з
С/к
Индив.
письм.
задания и
самост реш.
задач, с
последующим
обсуждением
5
Решение задач на
перпендикулярность
прямой и плоскости
Закреплять знания, умения и
навыки учащихся по теме
«Перпендикулярность
прямой и плоскости»;
Совершенствовать навыки
решения задач
В/з 8
В/з 9
I ур.
В/з 13
№ 131
В/з 7
(опред.
подобных
треуг.)
М/д
Учебник
(С/л
№1)
В/з
С/к
Инд.
проверка
доп. задачи
из д/з.
Индив.
контроль
реш. задачи
у доски
Инд.
контроль
(проверка
М/д)
Совершенствовать навыки
решения задач;
Проверить теоретические
знания, умение решать задачи
и навыки учащихся по теме
«Перпендикулярность
прямой и плоскости»
В/з 15
С/р
Учебник
(С/л
№1)
В/з
С/к
Разноуровневый
контроль
(проверка
д/з и реш.
задач на
гот.
чертежах
Инд.
контроль
(проверка
С/р)
6
Решение задач на
перпендикулярность
прямой и плоскости
II ур
В/з 14
№ 131
I ур.
С/р
II ур(III)
IIур.
С/р
III ур
Анализ задачного материала
Подтема
Актуализация знаний
Перпендикулярно
сть прямой и
плоскости
В/з 1
В/з 3
В/з 4
Решение задач по
теме
«Перпендикулярность прямой и
плоскости»
В/з 6
В/з 15
Мотивация
введения
нового
материала
В/з 18
В/з 19
Закрепление нового материала
Повторение
Пропедевтика
№119 (а)
первичное
В условиях
компл. примен.
знаний
№ 121
В/з 11
№ 122
№ 120
№ 125
В/з 1
№ 130
№ 130
№ 134
№ 125
В/з 7
Методика работы с понятием
(перпендикулярность прямых в пространстве)
Актуализация знаний В/з 1
Вспомним, какие прямые называют
перпендикулярными на плоскости?
(Две прямые называются перпендикулярными,
если они пересекаются под прямым углом)
Следующее задание, дан параллелепипед и
<BAD = 300 .
Первое, найдите угол между прямыми АВ и A1D1?
(Т.к. A1D1 // AD, то <(АВ ;A1D1)=300)
АВ и B1C1 ?
(Т.к. B1C1 // AD, то <(АВ ; B1C1)=300)
Второе, найдите угол между АВ и CC1, если
<ADD1 = 900?
(Т.к. <ADD1 = 900, то боковые грани
параллелепипеда прямоугольники и следовательно
АВ перпендикулярно BВ1 , а т.к. CC1// BВ1 , то АВ
перпендикулярно CC1)
Назовите несколько пар перпендикулярных
прямых.
(АВ и АD; DC и DC; A1B1 и A1D1 )
B1
C1
D1
А1
B
А
C
D
Дано: ABCDA1B1C1D1
- параллелепипед
1) <BAD = 300
Найти: <(АВ ;A1D1 );
<(АВ ; B1C1).
2) <BAD =900
Найти: <(АВ ; С1C1).
Введение понятия
Рассмотрим модель куба.
Как называются прямые АВ и ВС?
(перпендикулярные)
Найдите угол между прямыми АA1 и DC; ВB1 и
AD.
(углы между этими прямыми прямые)
Эти прямые тоже перпендикулярные, поскольку
угол между ними равен 900 . Запишите определение:
Две прямые в пространстве называются
перпендикулярными (взаимно перпендикулярными),
если угол между ними равен 900 .
Каково взаимное расположение перпендикулярных
прямых в пространстве?
(Обратите внимание на пары прямых АВ и ВС ,
АA1 и DC)
(В пространстве перпендикулярные прямые могут
пересекаться и могут быть скрещивающимися)
B1
А1
C1
D1
B
А
C
D
ABCDA1B1C1D1 - куб
Подведение под понятие
Рассмотрим наклонную призму в основании
которой лежит прямоугольник.
Какие из пар прямых АС и АВ, ВВ1 и АВ, АС и
А1В1 , АВ и А1С1, АА1 и ВС будут перпендикулярными
в пространстве?
(АС и АВ, АС и А1В1 , АВ и А1С1 )
Почему прямые А1А1 и ВС не являются
перпендикулярными ?
(Т.к. призма наклонная, то <(С1С1; ВС) меньше 900 ,
т.к. А1А1 // С1С1, то и <(А1А1 ; ВС) меньше 900)
Охарактеризуйте взаимное расположение пар
прямых А1В1 и А1С1 , АС и А1В1?
(АС и А1В1 - скрещивающиеся, а А1В1 и А1С1 пересекающиеся)
Какие из названных пар прямых являются
перпендикулярными только в пространстве (только на
плоскости)?
(АС и А1В1 , АВ и А1С1 - перпендикулярные только
в пространстве, а АС и АВ - перпендикулярные только
на плоскости)
B1
А1
C1
В
А
С
ABCA1B1C1 треуг. наклонная
призма;
ABC - прямоуг.
Задача на распознавание В/з 16
Посмотрите на рис.1. Будут ли прямые а и в
перпендикулярны? Ответ обоснуйте.
(Да, будут. Т.к. а перпендикулярно с, а в // с,
следовательно угол между а и в прямой и они
перпендикулярны)
На рис.2, будут ли прямые а и с
перпендикулярны? Ответ обоснуйте.
(Нет, т.к. а перпендикулярно только в, а с
пересекает в)
а
А
Рис.1
в//с
с
в
а
с
Рис.2
В
На рис.3. Будет ли прямая а перпендикулярна
прямой с?
(Да, т.к. а параллельна в, а с перпендикулярно
в, следовательно угол между а и с прямой и они
перпендикулярны)
в
с
в
а
С
Рис.3
а//в
Задача на конструирование понятия В/з 17
m и n - перпендикулярны. Каково должно быть взаимное
расположение прямых n и k, чтобы m и k были
перпендикулярны?
(k должно быть параллельно n, тогда угол между m и k
будет прямым)
Каково должно быть взаимное расположение прямых m
и k, чтобы n и k были перпендикулярны?
(k и m должны быть параллельны, тогда угол между n и
k будет прямой и они будут перпендикулярны)
Мотивация В/з18
В каких объектах реальной жизни можно встретить
перпендикулярные прямые?
Например, кран может быть перпендикулярен дороге
расположенной рядом с ним.
Приведите еще примеры перпендикулярных прямых.
(Не покосившиеся фонарные столбы (деревья)
перпендикулярны рядом проходящим прямым дорогам;
перекрестки дорог)
m
n
k
Методика работы с теоремой
(признак перпендикулярности прямой и плоскости)
Актуализация знаний
Решим задачу № 119(а) из учебника.
Прочитайте задачу, запишите условие.
Сделаем рисунок к задаче.
Доказательство.
Каково взаимное расположение АО и ОВ,
если ОА перпендикулярно плоскости ОВС?
(Они перпендикулярны по определению
перпендикулярности прямой и плоскости)
Рассмотрим треугольник АВD. Чем
является для него отрезок ОВ, если ОА=ОD и
ОВ перпендикулярно АО?
(медианой и высотой)
Тогда каким является треугольник АВD?
(равнобедренным)
И какими будут стороны АВ и BD?
(равными)
Запишите доказательство.
№119(а)
А
С
О
В
Дано:
ОА=ОD,
ОА  ОВС
Доказать:
АВ=DВ.
D
Док - во:
1)ОА  (ОВС )  по опр. перпенд.
прямой и пл.
ОА  ОВ
2)  АВD:
ВО - медиана, высота,
Следовательно
АВD  р / б 
АВ  AD
Введение утверждения
Верно ли утверждение: «Прямая
перпендикулярна плоскости, если она
перпендикулярна какой-нибудь прямой, лежащей в
этой плоскости».Ответ обоснуйте.
(Нет, можно привести пример)
Приведем контрпример.
Как видим, а перпендикулярно в, но не
перпендикулярна плоскости.
По каким тогда признакам можно определить что
прямая перпендикулярна плоскости?
Если прямая перпендикулярна двум
параллельным прямым лежащим в плоскости, будет
ли она перпендикулярна этой плоскости?
(Нет, можно привести пример)
А если двум пересекающимся прямым?
(похоже, что верно)
Сформулируйте признак перпендикулярности
прямой и плоскости.
Теорема (признак перпендикулярности прямой и
плоскости).
Если прямая перпендикулярна двум
пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то
она перпендикулярна к этой плоскости.
а
в

k
kn

n // m
km
В
n
с
а
в

m
ас  В
ва
вс
Таким образом, рассмотрим две пересекающиеся (в
точке О) прямые p и q в плоскости  . И прямую а
перпендикулярную этим прямым, нужно показать, что
прямая а перпендикулярна плоскости  .
Что должно выполнятся, чтобы прямая была
перпендикулярна плоскости?
(Она должна быть перпендикулярна любой прямой
лежащей в этой плоскости)
Т.о. нам нужно показать, что прямая а
перпендикулярна к произвольной прямой m данной
плоскости.
Каково может быть взаимное расположение
пересекающихся прямых p и q и прямой а?
(Прямая а может пересекать или не пересекать эти
прямые)
Рассмотрим случай когда а пересекает плоскость в
точке О, точке пересечения прямых p и q.
a
a
а  p, a  q
p  , q 
pq O
Доказать :
а 
Доказательство:
I пункт
1. а   О

О
m
Дано:
p
q
Чтобы показать, что прямая а перпендикулярна
произвольной прямой m, проведем через точку О
прямую l параллельную m. Если же прямая m проходит
через точку О, то в качестве l возьмем саму прямую m.
Вспомним задачу которую решали в начале урока.
Нам была дана прямая перпендикулярная плоскости, а
следовательно и прямой лежащей в этой плоскости.
Нам надо было доказать равенство двух отрезков. Входе
доказательства мы построили треугольник и поскольку
одна из прямых содержала медиану треугольника и
была перпендикулярна к другой прямой, то мы
заметили что медиана является высотой треугольника.
Т.о. мы доказали, что треугольник равнобедренный.
Поэтому при доказательстве нашего утверждения
можно попробовать такой прием: построить
треугольник, основание которого принадлежит прямой
а, а l содержит его медиану. Тогда если мы докажем что
этот треугольник равнобедренный, то медиана будет
являться его высотой. Почему?
(по свойству равнобедренного треугольника)
И тогда мы и докажем, что l и а перпендикулярны.
Если прямая l содержит медиану треугольника, как
тогда выберем вершины треугольника на прямой а?
(Возьмем точки равноудаленные от точки О)
Таким образом отметим на прямой а точки А и В так,
чтобы точка О была серединой отрезка АВ.
a

О
m
p
q
2. l: l // m
a А
О
p
q
l
В
3. AO=OB,
А  а, В  а
В качестве третьей вершины на прямой l, выберем
точку L и проведем в плоскости  через нее прямую,
пересекающую прямые p, q в точках, Q и Р. Будем
считать для определенности, что точка Q лежит между
точками L и P.
Соединим точки А и В с точками L, Q и Р. Получим
несколько треугольников.
И тогда равнобедренность какого треугольника мы
будем доказывать, чтобы показать, что l перпендикулярна
а?
(ALB)
Чем являются прямые p и q для отрезка АВ?
(по условию а перпендикулярно p и q)
(p и q - серединные перпендикуляры к отрезку АВ)
Следовательно АР=ВР и AQ=BQ. Тогда какими
треугольниками будут треугольники APQ и BPQ? Ответ
объясните.
(Они будут равны по трем сторонам)
И какими будут углы APQ и BPQ?
(равными)
Теперь сравним треугольники APL и BPL. Есть ли у
них равные элементы? И какие?
(Да, АР=ВР, PL - общая сторона и <APL=<BPL)
Какой можно сделать вывод?
(Эти треугольники равны по двум сторонам и углу
между ними)
a А
О
P
p
Q
L
q
l
В
4. a  p, p  a  O
AO  OB  AP  BP
a  q, q  a  O
AO  OB  AQ  BQ
APQ  BPQ
(по трем сторонам,
PQ - общая) 
<APQ = <BPQ
5. APL  BPL
( AP  BP ,  APL  BPL ,
PL  общая)
Если треугольники APL и BPL равны, то какими
будут стороны AL и BL?
(Равные)
Исходя из этого каким будет треугольник ABL?
(равнобедренным)
И чем тогда будет являться отрезок LO для
треугольника ABL?
(медианой и высотой)
Каково тогда взаимное положение прямых l и а?
(они перпендикулярны)
А т.к. l // m , каково взаимное положение m и а?
(перпендикулярны, по лемме о
перпендикулярности двух параллельных прямых
третьей)
Изначально прямую m мы какой брали?
(произвольной)
Какой тогда можно сделать вывод?
(прямая а перпендикулярна к любой прямой m
плоскости  )
Мы рассмотрели случай когда а пересекает
плоскость в точке О, точке пересечения прямых p и q.
(следовательно надо рассмотреть случай, когда а
не проходит через точку О)
a А
О
P
p
Q
L
q
l
В
6. AL=BL
 ABL  р / б
Т .к. АО  ОВ , то
LO- медиана
и высота.
7. OL  l , AB  a
 a  l,
8. т.к. l // m  a  m
II пункт
1.
а   О
Если а не проходит через точку О, то проведем через
точку О прямую а1 , параллельную прямой а. Тогда а1
перпендикулярно p и q.
Почему?
(по условию а перпендикулярна p и q, а а1 ей
параллельна)
Тогда по доказанному ранее (в первом случае) а1
перпендикулярно плоскости  .
Тогда можно ли утверждать, что а перпендикулярна
плоскости  ? Ответ обоснуйте.
(Да, по теореме: если одна из двух параллельных
прямых перпендикулярна плоскости , то и другая прямая
перпендикулярна к этой плоскости)
Теорема доказана
Первичное закрепление С/з № 11
Можно ли утверждать, что прямая, проходящая через
центр круга и перпендикулярная его диаметру будет
перпендикулярна плоскости круга?
(Нет, т.к. прямая перпендикулярна только одной
прямой, лежащей в плоскости)
Перпендикулярная двум радиусам?
(Нет, т.к. радиусы могут лежать на диаметре)
Перпендикулярная двум диаметрам?
(Да, по признаку перпендикулярности прямой
плоскости)
a
а1

О
p
q
2. а1: а1 //а
а  p, a  q,
a1 // a  a1  p, a1  q
3. По п.1
a1   , т.к.
a1 // а  а  
Мотивация
Зададимся вопросом: « Зачем же мы доказывали этот признак?» Зачем же нужно
уметь проверять, перпендикулярна ли данная прямая к данной плоскости?
Этот вопрос имеет практическое значение, например, при установке матч, колонн
зданий и т.д., которые нужно ставить прямо, т.е. перпендикулярно к той плоскости, на
которую они ставятся. Так вот, благодаря этому признаку, нет надобности проверять
перпендикулярность по отношению к любой прямой, как о том говорится в
определении, а достаточно проверить перпендикулярность лишь к двум
пересекающимся прямым, лежащим в плоскости.
Методика работы с задачей
Задача № 120 : Через точку О пересечения диагоналей квадрата со стороной а
проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите
расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК=b.
Работа с условием задачи
Прочитайте задачу.
Что нам дано?
(Квадрат со стороной а и точка О, точка
пересечения диагоналей)
Что еще известно?
(Что через точку О проведена прямая ОК,
перпендикулярная к плоскости квадрата и
что ОК=b)
Каково требование задачи?
(Нужно найти расстояние от точки К до
вершин квадрата)
Запишите условие и требование задачи
самостоятельно, сверяясь с доской. А также
сделайте чертеж к задаче.
К
В
С
О
А
D
Дано :
ABCD  квадрат ,
АВ  а,
АС  BD  O,
ОК  ( АВС ),
ОК  b
Найти :
АК , ВК , СК , DК
Поиск решения задачи
Составим план решения задачи.
Какой можно сделать вывод из того, что ОК
перпендикулярно плоскости (АВС)?
(ОК перпендикулярно двум пересекающимся прямым
BD и АС)
Что мы знаем о точке пересечения диагоналей квадрата?
(она равноудалена от вершин квадрата)
Тогда что можно сказать об отрезках АО, ВО, CО, ОD?
(они равны)
Рассмотрим треугольники АОК, ВОК, СОК, DOК. Какие
это треугольники?
(прямоугольные)
Есть ли у них равные элементы? Какие?
(Да, ОК - общая сторона и АО=ОС=ОВ=OD)
Исходя из этого какой можно сделать вывод?
(треугольники равны по двум сторонам и углу между
ними)
Тогда что можно сказать о сторонах АК, ВК, СК, DК ?
(Они равны, т.к. треугольники равны)
К
В
С
О
А
D
1.
Рассм. треуг.
АОК, ВОК, СОК, DOК
Если треугольники АОК, ВОК, СОК, DOК - равны, тогда
сколько расстояний от точки К до вершин квадрата нам
достаточно найти?
(Одно)
Какое расстояние будем находить? И какой треугольник
нам надо будет рассматривать?
(Будем находить АК и тогда будем рассматривать
треугольник АОК)
Что нам нужно знать, чтобы найти АК?
(АО и ОК, чтобы найти АК по теореме Пифагора)
Что уже известно?
(ОК по условию равняется b)
Остается найти АО. Чем является АО для квадрата АВСD?
(Половиной его диагонали)
Значит, чтобы найти АО, надо знать диагональ квадрата.
Мы можем ее найти? Как?
(Да, по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
АВС, в котором АВ=ВС=а)
Если мы найдем АК, мы найдем остальные расстояния?
(Да, т.к. они все равны)
Мы обозначили план решения задачи, само решение
оформите в тетрадях, самостоятельно.
К
В
С
О
А
D
2.
3.
4.
Рассм. треуг. АОК
АО - ? (АС - ?)
АК - ?
Запись решения задачи
2.
ОК перпендикулярно ВD и АС, т.к. ОК
перпендикулярно (АВС)
АОК  ВОК  СОК  DОК
3.
(равны по двум катетам). Следовательно
АК=ВК=СК=DК
Рассмотрим АОК - прямоуг. АК  АО 2  ОК 2
1.
АО 
4.
5.
1
АС
2
Рассмотрим АВС - прямоуг., р/б, АВ=ВС=а
1
а 2
АС  2 АВ2  2а 2  а 2 , АО  АС 
2
2
2а 2
4b 2  2а 2
2
АК  АО  ОК 
b 
4
2
Ответ:
К
2
4b 2  2а 2
2
2
В
С
О
А
D
Система вспомогательных задач
1)
B1
C1
D1
А1
B
C
А
D
2)
B1
А1
I)
Что такое перпендикулярные прямые на
плоскости?
II) Дано: ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед
1) <BAD = 300
Найдите угол между прямыми АВ и A1D1 ; АВ и B1C1 .
2) <BAD =900
Найдите угол между прямыми АВ и С1C1 .
Назовите несколько пар перпендикулярных прямых.
C1
Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб
D1
.
N
А
B
C
М
D
Найдите угол между прямой АA1 и прямыми плоскости
(АВС): АВ, AD, АС, BD, МN.
а
А
3) Устная работа по готовым чертежам.
1.Дано: ОА  
Найдите <АОС, <АОВ, <АОD.
Найдите <(a, b)

О
b
D
B
С
М
2. Дано: АМ  ( АВС ),
ВН – медиана
Найдите <(ВН, АМ)
А
АВС
B
Н
С
3. Дано: АВ   , СD   , АВ  СD
Определите вид четырехугольника
АВСD
B

С
А
D
4. Дано: ABCD – параллелограмм,
BD   , AB  6
Найти: РABCD
А
D

B
С
4) Фронтальный опрос учащихся по формулировкам из пунктов 1 – 5 и
работа по готовому чертежу
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Сформулировать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к
третьей прямой.
Какая прямая называется перпендикулярной к плоскости?
Сформулировать теоремы, которые устанавливают связь между
параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
Сформулировать признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Можно ли утверждать, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она
перпендикулярна лежащим в этой плоскости: двум сторонам треугольника;
двум сторонам квадрата; диагоналям параллелограмма.
Дано: ABCD – куб
Заполните пропуски о взаимном расположении прямых и плоскостей:
СС1…(DCB); AA1…(DCB); D1C1…(DCB); B1C1…(DD1C1); B1C1…DC1;
A1D1…DC1; BB1…AC; A1B…BC; A1B…DC1
B1
А1
C1
D1
B
А
C
D
5) Точка А принадлежит окружности, АК – перпендикуляр к ее плоскости, АК=1
см, АВ – диаметр, ВС – хорда окружности, составляющая с АВ угол 450. Радиус
окружности равен 2 см. Докажите, что треугольник КВС прямоугольный, и
найдите КС.
6) 1) Индивидуальные письменные задания:
-
-
Доказать теорему о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей (1
ученик);
Доказать теорему, устанавливающую связь между параллельностью прямых и их
перпендикулярностью к плоскости (1 ученик);
Доказать теорему, обратную к теореме, устанавливающей связь между
параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости (1 ученик);
Доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости (1 ученик).
2) Самостоятельное решение задач по готовым чертежам с последующей
проверкой и обсуждением по необходимости.
(I уровень: № 1,2,5 ; II уровень: № 3, 4, 6.)
Задачи:
Точка М лежит вне плоскости АВС.
1. (рис.1) Доказать: прямая АС перпендикулярна плоскости АМВ.
2. (рис.2) BMDC – прямоугольник. Доказать: прямая CD перпендикулярна
плоскости АВС.
3. (рис.3) ABCD – прямоугольник. Доказать: AD  AM .
4. (рис.4) Доказать: ВС  DE .
5. (рис.5) ABCD – параллелограмм. Доказать: прямая МО перпендикулярна
плоскости АВС.
6. (рис.6) ABCD – ромб. Доказать: прямая BD перпендикулярна плоскости АМС.
М
М
М
А
А
М
С
В
С
D
Рис.3
В
D
М
А
Рис.2
А
С
С
Е
Рис.4
В
М
В
В
Рис.1
D
В
С
О
О
Рис.5
А
С
D
Рис.6
А
D
7) Отрезок АВ пересекает некоторую плоскость в точке О. Прямые АD и ВС,
перпендикулярные этой плоскости, пересекают ее в точках D и C
соответственно.
AD=6 см, ВС=2 см, ОС=1,5 см. Найдите АВ.
8) Прямые АВ и CD перпендикулярны некоторой плоскости и пересекает ее в
точках В и D соответственно. Найдите АС, если АВ=9, CD=15, BD= 8.
Следует сообщить учащимся, что в задаче возможны два варианта расположения точек
А, С и плоскости:
а) точки А и С лежат по одну сторону от плоскости ( у доски работает один ученик,
выполняет полное решение со всеми необходимыми обоснованиями);
в) точки А и С лежат по разные стороны от плоскости (у доски работает один ученик,
самостоятельно выполняя решение. Можно составить только план решения).
9) Диагональ BD параллелограмма ABCD перпендикулярна плоскости 
.
Найдите периметр параллелограмма, если АВ=7 см, точки А и С лежат в
плоскости  .
10) Верно ли утверждение: «Прямая называется перпендикулярной плоскости,
если она перпендикулярна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости».
Ответ обоснуйте.
11) Можно ли утверждать, что прямая, проходящая через центр круга и
перпендикулярная:
а) диаметру;
в) двум радиусам;
с) двум диаметрам, перпендикулярна плоскости круга?
12) Смоделируйте в кабинете описанную ниже ситуацию: Три луча ОМ, ОК, ОТ
попарно перпендикулярны. Как расположен каждый из лучей по отношению
к плоскости, определяемой двумя другими лучами?
13) Отрезок МН пересекает некоторую плоскость в точке К. Через концы отрезка
проведены прямые НР и МЕ, перпендикулярные плоскости и пересекающие ее
в точках Р и Е. Найдите РЕ, если НР=4 см, НК=5 см, МЕ=12 см.
14) ABCD – прямоугольник. Отрезок АЕ перпендикулярен к плоскости АВС.
ЕВ=15, ЕС=24, ЕD=20. Докажите, что треугольник EDC прямоугольный, и
найдите АЕ.
15)
Решение 4-х задач на готовых чертежах (для учащихся,
справившихся с домашним заданием).
М
М
А
В
А
D
С
300
М
В
В
С
В
Рис. 1
Рис. 3
С
А
Дано:
<АСВ=900,
АС=4,
MD=3.
Найти: МС.
Рис. 2
С
450
600
Найти: МВ.
А
Рис. 3
Дано:
Дано:
 АВС – р/с,
АВ= 2 3
MD=4.
АВСD – прямоуг.,
MD=8.
Найти: МС.
Найти: АВ и AD.
D
16)
Устно ответьте на вопросы.
1. рис.1. Будут ли прямые а и в перпендикулярны? Ответ обоснуйте.
2. рис.2, будут ли прямые а и с перпендикулярны? Ответ обоснуйте.
3. рис.3. Будет ли прямая а перпендикулярна прямой с?
А
а
а
с
Рис.1
в//с
в
В
с
с
в
Рис.3
С
а//в
а
в
Рис.2
17) Устно ответьте на вопросы.
m и n - перпендикулярны.
Каково должно быть взаимное расположение прямых n и k, чтобы m и k были
перпендикулярны?
Каково должно быть взаимное расположение прямых m и k, чтобы n и k были
перпендикулярны?
m
n
k
18) В каких объектах реальной жизни можно встретить перпендикулярные
прямые?
Например кран, может быть перпендикулярен дороге проходящей рядом с ним.
Приведите еще примеры перпендикулярных прямых.
19) Зададимся вопросом: « Зачем же мы доказывали этот признак?» Зачем
же
нужно уметь проверять, перпендикулярна ли данная прямая к данной плоскости?
Этот вопрос имеет практическое значение, например, при установке матч,
колонн зданий и т.д., которые нужно ставить прямо, т.е. перпендикулярно к той
плоскости, на которую они ставятся. Так вот, благодаря этому признаку, нет
надобности проверять перпендикулярность по отношению к любой прямой, как о
том говорится в определении, а достаточно проверить перпендикулярность лишь к
двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости.
Система контроля за состоянием знаний и умений
учащихся
Математический диктант
1. Закончите предложение, чтобы получилось верное утверждение. Сделайте рисунок.
1.1 прямая называется перпендикулярной к плоскости, если …
1.2 Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она …
1.3 Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости …
2. Ответьте на вопрос
2.1 Сколько перпендикуляров можно провести через данную точку к данной прямой в
пространстве?
3. Выпишите
B1
А1
C1
D1
B
А
3.1 Ребра, перпендикулярные плоскости (DСС1).
3.2 Плоскости, перпендикулярные ребру ВВ1.
C
D
4. Используя символы // и  , запишите, как расположены прямые и плоскость.
Докажите.
4.1 СС1 и DCB
4.2 В1С1 и DCB
5. АВ   , CD // АВ( В  , D  ), E  ,  ECD  400. Тогда чему равен <CED?
Ответ обоснуйте.
Цели:
- закрепление знаний, умений и навыков учащихся по теме «Перпендикулярность
прямой и плоскости»
Критерии оценки:
1-5 задания - «5» ; 1-3/1-4 - «4» ;1-2- «3»
Самостоятельная работа
I уровень
1. Отрезок АВ не пересекает плоскость  . Через точки А и В проведены прямые к
плоскости  и пересекающие ее в точках А1 и В1 соответственно. Найдите АВ,
если А1В1 =13 см, А1А1 3 см, ВВ1 =8 см.
2. Через вершины А и В прямоугольника ABCD проведены параллельные прямые А1А
и В1В, не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что В1В
перпендикулярно ВС и В1В перпендикулярно АВ. Найдите А1А, если А1С =13 см,
BD=16 см, Ав=10 см.
II уровень
1. Отрезок АВ не пересекает плоскость  в точке О. Прямые АА1 и ВВ1
перпендикулярны к плоскости  и пересекают ее в точках А1 и В1
соответственно. Найдите АВ, если А1А=4 см, <А1АО=600 , А1О:ОВ1=1:2.
2. Прямая МВ перпендикулярна к плоскости квадрата АВСD. Докажите
перпендикулярность прямых МС и CD.
III уровень
Через вершины B и D прямоугольника ABCD проведены прямые D1D и В1В
перпендикулярные к плоскости прямоугольника.
а) Докажите параллельность плоскостей DAА1 и СВВ1
в) Отрезок В1D1 пересекает плоскость АВС, причем D1D =В1В =12 см,
В1D1 =26 см. Найдите площадь прямоугольника ABCD, если АВ:ВС=3:4.
2. Квадраты ABCD и AECF расположены так, что BD перпендикулярно EF.
а) Докажите, что прямая EF перпендикулярна к плоскости АВС.
в) Найдите угол между прямыми Ас и ED.
1.
Цели:
-
Осуществление контроля и оценки знаний, умений и навыков учеников;
Развитие внимательности и ответственности.
Критерии оценки:
III ур. 1(а,б)-2(а,б) задачи - «5» ; 1 (а,б)-2(а)- «4» ; 1(а,б)- «3»;
II ур. 1-2 задачи - «4 - 5» ; 1- «3»;
I ур. 1-2 задачи - «4» ; 1 - «3».
Список использованной литературы
1. Учеб. Для 10 - 11 кл. сред. Шк./ Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов,С. Б.
Кадомцев и др. - М.: Просвещение, 1992.
2. Геометрия: Учеб. Для 7 - 11 кл. сред. Шк./ Погорелов А.В. - М.:
Просвещение, 1990.
3. Геометрия. 10 класс: поурочные планы по учебнику Л. С.
Атанасяна, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева и др./авт.-сост. Г.И.
Ковалева. - Волгоград: Учитель, 2007.