точка касания О - s3.amazonaws.com

Урок – изучение нового материала
Александрова Ирина Михайловна
МБОУ "Починковская основная общеобразовательная школа"
http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/prezentatsiya-k-uroku-geometrii-v-8-klasse-po-teme-kasatelnaya-k-okruzhnos
Взаимное расположение
прямой и окружности
 Возможны
три случая
1. Имеют две общие точки ( d<r)
р
р
2. Имеют одну общую точку (d=r)
р
3. Не имеют общих точек (d>r)
r – радиус окружности, d – расстояние от центра окружности до прямой с
Прямая и окружность имеют две
общие точки
d r
OA 
Н
А
В p

d 2  (r 2  d 2 )  r
ОВ 
d<r
О

ОН 2  НА 2 
ОН 2  НВ 2 
d 2  (r 2  d 2 )  r
Точки А и В лежат на
окружности, являются
общими точками прямой р
и окружности
Прямая и окружность имеют одну
общую точку
р
Н
d=r
О
М
d=r
OH=r
Точка Н лежит на
окружности и
является общей
точкой прямой и
окружности
Прямая и окружность не имеют
общих точек
М
Н
d>r
О
р
d>r
OH>r, OM ≥ OH > r
Прямая и
окружность не
имеют общих точек
КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ
Определение. Прямая, имеющая
с окружностью только одну общую
точку, называется касательной
к окружности.
р
А - точка касания
О
А
Это интересно!
.
На рисунке точки А, В, С лежат на одной прямой.
А
В
С
(О свойстве касательной)
Касательная к окружности перпендикулярна к
радиусу, проведенному в точку касания
. р – касательная к
Дано: окр(О,ОА),
окружности, А – точка касания.

О
Доказать: р ОА
А
р
1.Пусть р
Доказательство:
ОА, тогда ОА – наклонная к прямой р.
2. Так как перпендикуляр , проведенный из точки О к прямой р,
меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р
меньше радиуса.
3. Из пп. 1 и 2 следует прямая и окружность имеют две общие
точки, что противоречит условию ( прямая р – касательная ).
Поэтому р
 ОА.
Теорема доказана.
(Признак касательной)
Если прямая проходит через конец радиуса
окружности и перпендикулярна к нему, то она
является касательной.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Из условия теоремы следует, что данный радиус
является перпендикуляром, проведенным из
центра окружности к данной прямой. Поэтому S от
центра окружности до прямой равно радиусу, и,
следовательно, прямая и окружность имеют только
одну общую точку. Но это и означает, что данная
прямая является касательной к окружности.
Теорема доказана.
Свойство отрезков касательных
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной
точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей
через эту точку и центр окружности.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
А
3
В
1
4
2
О
По теореме о свойстве касательной углы 1 и 2 прямые,
поэтому треугольники АВО и АСО прямоугольные. Они
равны, т.к. имеют общую гипотенузу ОА и равные катеты
ОВ и ОС. Следовательно, АВ=АС и угол 3= углу 4, что и
требовалось доказать.
С





Каким может быть взаимное расположение прямой и окружности?
Как называется прямая, которая имеет с окружностью две общих
точки?
Какая прямая называется касательной к окружности?
Какая точка называется точкой касания прямой и окружности?
Сформулируйте теорему о свойстве касательной ( к следующему уроку
попробуй выучить доказательство).
Предлагаем ответить на вопросы теста по изученной теме
1)
На рисунке прямая по отношению к окружности
А секущая
2)
Б касательная С нет правильного ответа
Прямая – касательная по отношению к окружности.
Она образует с радиусом, проведенным в точку касания угол
А острый
Б прямой
С тупой
№ 631
а) d < r, прямая и окружность имеют две общие точки,
б) d > r, прямая и окружность не имеют общих точек,
д) d = r, прямая и окружность имеют одну общую точку
Решите задачу.
В
С
М
Дано: Окр(О; r),
ВМ – касательная,
С – точка касания.
О
5см
Найти: расстояние от
точки О до
прямой ВМ.
Ответ. 5см.
Решите задачу
А
2см
В
Дано: Окр(O; r ),
АВ – касательная,
С
В – точка касания,
3см
СО=3см, СА=2см.
О
Найти: АВ ?
Решение.
1) ОС=ОВ=3см (радиусы одной
окружности).
2) По теореме о свойстве касательной ОВ,
По теореме Пифагора найдём АВ, АВ=4см.
Ответ. 4см.
АОВ – равнобедренный.
Дано: Окр (о; r), р – касательная,
№ 635
АВ – хорда, АВ = r.
В
О
Найти:
В
?
А
ВАО ?
Решение.
ВАО, ОА=ОВ=АВ=r.
Поэтому
ренный, и
р
Ответ.
ВАО – равнобед-
ВАО=60
ВАО=60