Урок2

УРОК 2: Окружность, описанная около правильного
многоугольника, вписанная в правильный
многоугольник.
Цель: Изучить теоремы об окружности, описанной около правильного
многоугольника и вписанной в правильный многоугольник
Окружность называется описанной около многоугольника, если все
вершины многоугольника лежат на этой окружности
Теорема: Около любого правильного многоугольника
можно описать окружность, и притом только одну.
Доказательство:
А3
А4
А2
3
1
А1
2
Аn
4
А5
Пусть А1 А А2 А3 …… А n - правильный многоугольник, О- точка
пересечения биссектрис углов А1 и А2
Соединим точку О отрезками с остальными вершинами
многоугольника и докажем, что ОА1= ОА2 = …ОАn…Соединим
точку О отрезками с остальными вершинами многоугольника и
докажем, что ОА1= ОА2 = …ОАn. Так как  А1 =  А2, то  1 =  3,
поэтому треугольник А1 А2 О1 равнобедренный, и,
следовательно, ОА1 = ОА2 .. А1А2О=  А3А2О ( I признак),
следовательно, ОА3 = ОА1 . Итак, точка О равноудалена от всех
вершин многоугольника. Поэтому окружность с центром О и
радиусом ОА1 является описанной около многоугольника.
Описанная окружность только одна. Рассмотрим какиенибудь три вершины многоугольника, так как через них
проходит только одна окружность, то около многоугольника
можно описать только одну окружность.
Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны
многоугольника касаются этой окружности
Теорема: В любой правильный многоугольник можно вписать
окружность, и притом только одну.
А2
А3
H1 H2 H3
А1
Hn
Аn
О
Пусть А1 А 2 …А n - правильный многоугольник, О –
центр описанной окружности. При доказательстве
теоремы 1 мы выяснили, что ∆ ОА1А2 =∆ОА2А3=
∆ОАnА1 , поэтому высоты этих треугольников,
проведённые из вершины О, так же равны. Поэтому
окружность с поэтому окружность с центром О и
радиусом ОН проходит через точки H ,H , H и
касается сторон многоугольника в этих точках, т.е.
окружность вписана в данный многоугольник.
Докажем, что вписанная окружность только одна.
Предположим, что существует другая вписанная окружность с центром О
и радиусом ОА. Тогда её центр равноудалён от сторон многоугольника., т.е.
Точка О1 лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника, и
поэтому совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис.
2.Закрепление теорем 1 и 2:
задачи 1086 и 1084
обсудить решения задач 1080 и 1082
Задача: Докажите, что все диагонали правильного многоугольника равны.
Самостоятельная работа:
Вариант1.
1.Впишите в данную окружность правильный шестиугольник.
2.Докажите, что три вершины правильного восьмиугольника,
взятые через одну, служат вершинами правильного квадрата.
Вариант 2.
1.Впишите в данную окружность правильный восьмиугольник
2.Докажите, что четыре вершины правильного восьмиугольника,
взятые через одну, служат вершинами квадрата.
Домашняя работа:
1.Повторить материал пунктов 105-107, 109.
2.Решить задачи 1085,1131,1130 (Объяснить)