Теорема Пифагора.

Теорема Пифагора
Кроссворд
О великом Пифагоре
Доказательство теоремы
Пифагора
11
22
3
44
5
5
66
77
Ответ
Ответьте на вопросы:
1 Отрезок
прямой, образующей прямой угол с данной
прямой и имеющий одним из своих концов их точку
пересечения, есть … к данной прямой.
2 Элемент прямоугольного треугольника.
3 Треугольник есть геометрическая …
4 Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой
противоположной стороны.
5 Два луча, исходящие из одной точки.
6 Перпендикуляр,
опущенный
плоскость основания.
из
вершины
конуса
на
7 Замкнутая плоская кривая, все точки которой находятся на
одинаковом расстоянии от заданной точки.
п е р п е н д и к у л я р
г и п о т е н у з а
ф и г у р а
м е д и а н а
у г о л
в ы с о т а
о к
р у
ж н о с т ь
Теорема Пифагора
Пребудет вечной истина, как
скоро её познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора верна,
как и в его далёкий век.
Немецкий писатель-романист
Шамиссо
О великом Пифагоре
Великий ученый Пифагор
родился в 570 г. до н.э. на
острове
Самосе.
Отцом
Пифагора
был
Мнесарх,
резчик
по
драгоценным
камням.
Имя
матери
Пифагора не известно. По
многим
античным
свидетельствам, родившийся
мальчик
был
сказочно
красив, а вскоре проявил и
свои
незаурядные
способности.
Среди
учителей
юного
Пифагора
называет
имена
старца
Гермодаманта
и
Ферекида Сиросского (хотя и
нет твердой уверенности в
том, что именно они были
первыми
учителями
Пифагора).
Целые
дни
проводил юный Пифагор у
старца Гермодаманта, внимая
мелодии
кифары
и
гекзаметрам Гомера. Страсть к
музыке и поэзии Пифагор
сохранил на всю жизнь. И
будучи признанным мудрецом,
окруженным толпой учеников,
Пифагор начинал день с песен
Гомера.
Гомер.
Ферекид был философом и считался основателем
италийской школы философии. Таким образом, если
Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, то Ферекид
обратил его ум к логосу. Он направил взор Пифагора к
природе и в ней одной советовал видеть своего первого и
главного учителя. Но как бы то ни было, неугомонному
воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на
маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где
встречается с другим ученым - Фалесом. Фалес советует
ему отправится за знаниями в Египет, что Пмфагор и
делает.
В 548 г. до н.э. Пифагор прибыл в
Навкратис - самосскую колонию, где было
у кого найти кров и пищу. Изучив язык и
религию египтян, он уезжает в Мемфис.
Несмотря на рекомендательное письмо
фараона, хитроумные жрецы не спешили
раскрывать
Пифагору
свои
тайны,
предлагая ему сложные испытания. Но
влекомый жаждой к знаниям, Пифагор
преодолел их все, хотя по данным
раскопок египетские жрецы не многому
могли его научить, т.к. в то время
египетская геометрия была прикладной
наукой (удовлетворявшей потребность
того времени в счете и в измерении
земельных
участков).
Поэтому,
научившись всему, что дали ему жрецы,
он, убежав от них, двинулся на родину в
Однако, проделав часть пути, Пифагор
решился на сухопутное путешествие, во
время которого его захватил в плен Камбиз,
царь Вавилона, направлявшийся домой. Не
стоит драматизировать жизнь Пифагора в
Вавилоне, т.к. великий властитель Кир был
терпим ко всем пленникам. Вавилонская
математика
была,
бесспорно,
более
развитой (примером этому может служить
позиционная система исчисления), чем
египетская,
и
Пифагору
было
чему
поучится. Но в 530 г. до н.э. Кир двинулся в
поход против племен в Средней Азии. И,
пользуясь переполохом в городе, Пифагор
сбежал на Родину.
Вавилон. 500 г. до н.э
«пифагорейцы»
А на Самосе в то время царствовал
тиран Поликрат. Конечно же, Пифагора
не устраивала жизнь придворного раба,
и он удалился в пещеры в окрестностях
Самоса. После нескольких месяцев
притязаний со стороны Поликрата,
Пифагор переселяется в Кротон. В
Кротоне Пифагор учредил нечто вроде
религиозно-этического братства или
тайного
монашеского
ордена
("пифагорейцы"),
члены
которого
обязывались вести так называемый
пифагорейский образ жизни. Это был
одновременно и религиозный союз, и
политический
клуб,
и
научное
общество. Надо сказать, что некоторые
из
проповедуемых
Пифагором
принципов достойны подражания и
сейчас.
Прошло
20
лет.
Слава
о
братстве
разнеслась
по всему миру. Однажды к Пифагору
пришёл Килон, человек богатый, но злой,
желавший спьяну вступить в братство. Но
получив отказ, Килон начинает борьбу с
Пифагором и поджигает его дом. При
пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему
учителю, вскоре после этого Пифагор
покончил жизнь самоубийством.
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора
Доказательство
Евклида
Дано: ABC-прямоугольный треугольник
Доказать: SABDE=SACFG+SBCHI
Доказательство:
Пусть ABDE-квадрат, построенный на гипотенузе
прямоугольного треугольника ABC, а ACFG и BCHI-квадраты,
построенные на его катетах. Опустим из вершины C прямого
угла перпендикуляр CP на гипотенузу и продолжим его до
пересечения со стороной DE квадрата ABDE в точке Q;
соединим точки C и E, B и G. Очевидно, что уголы
CAE=GAB(=A+90°); отсюда следует, что треугольники ACE и
AGB(закрашенные на рисунке) равны между собой (по двум
сторонам и углу, заключённому между ними). Сравним далее
треугольник ACE и прямоугольник PQEA; они имеют общее
основание AE и высоту AP, опущенную на это основание,
следовательно
SPQEA=2SACE
Точно так же квадрат FCAG и треугольник BAG имеют
общее основание GA и высоту AC; значит,
SFCAG=2SGAB
Отсюда и из равенства треугольников ACE и GBA
вытекает равновеликость прямоугольника QPBD и квадрата
CFGA;
аналогично
доказывается
и
равновеликость
прямоугольника QPAE и квадрата CHIB. А отсюда, следует,
что квадрат ABDE равновелик сумме квадратов ACFG и BCHI,
т.е.
теорема
Пифагора.
Алгебраическое
доказательство
Дано: ABC-прямоугольный треугольник
Доказать: AB2=AC2+BC2
Доказательство:
1) Проведем высоту CD из вершины прямого
угла С.
2) По определению косинуса угла
соsА=AD/AC=AC/AB, отсюда следует
AB*AD=AC2.
3) Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB, значит
AB*BD=BC2.
4) Сложив полученные равенства почленно,
получим:
AC2+BC2=АВ*(AD + DB)
AB2=AC2+BC2.
Древнекитайское
доказательство
В IX книге "Математики"- главном из
сохранившихся
математикоастрономических сочинений Древнего
Китая- помещен чертеж (рис. а),
доказывающий
теорему
Пифагора.
Четыре
равных
прямоугольных
треугольника с катетами a, b и
гипотенузой c уложены так, что их
внешний контур образует квадрат со
стороной a+b внутренний - квадрат со
стороной c, построенный на гипотенузе
(рис. б). Если квадрат со стороной с
вырезать
и
оставшиеся
4
затушеванных треугольника уложить в
два прямоугольника (рис. с), то ясно,
что образовавшиеся пустота, с одной
стороны, равна с², а с другой - a²+b², т.е.
с²=a²+b². Теорема доказана.
•
Древнеиндийское
доказательство
Доказывая эту теорему
просто говорили:«Смотри!» Квадрат,
сторона которого имеет
длину а + в , можно
разбить на части . Ясно,
что невыделенные части
на обоих рисунках
одинаковы .
Геометрическое
доказательство
Дано: ABC-прямоугольный треугольник
Доказать: BC2=AB2+AC2
Доказательство:
1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на
продолжении катета AC прямоугольного треугольника
ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD,
равный отрезку AC, соединим точки B и E.
2) Площадь фигуры ABED можно найти, если
рассматривать её как сумму площадей трёх
треугольников:
SABED=2*AB*AC/2+BC2/2
3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь
равна:
SABED=(DE+AB)*AD/2.
4) Если приравнять левые части найденных выражений,
то получим:
AB*AC+BC2/2=(DE+AB)(CD+AC)/2
AB*AC+BC2/2= (AC+AB)2/2
AB*AC+BC2/2= AC2/2+AB2/2+AB*AC
BC2=AB2+AC2.
Доказательство
теоремы Пифагора
предложенное в
учебнике:
В
прямоугольном
треугольнике
квадрат
гипотенузы
равен сумме
квадратов
катетов.
Самостоятельно
составить: дано и
доказать
Дополнительное
построение
Итог:
• Не
поднимай
пыли
на
своём
жизненном пути.
• Делай лишь то, что впоследствии не
огорчит
тебя
и
не
принудит
раскаиваться.
• Не делай никогда того, чего не
знаешь, но научись всему, что следует
знать, и тогда ты будешь вести
спокойную жизнь.
• Не закрывай глаза, когда хочешь
спать, не разобравши всех своих
поступков в прошлый день.