Деление угла циркулем и линейкой

Деление угла циркулем
и линейкой.
Шувалова Ю.Г. – учитель математики
МОУ школы №10 г.о. Тольятти
Задание 1:
 АВ
– прямая.
 Проведем окр.(А;АВ) С – точка
пересечения окружности и прямой АВ.
 Проведем окр.(С;R) и окр.(В;R) Р –
точка пересечения окружностей.
 Проведем СР.
Ответ:
 построение
прямого угла
Задание 2:
 АВ
– отрезок.
 Проведем окр.(А;R) и окр.(В;R) Р, Н –
точки пересечения окружностей.
 Проведем РНАВ=О
Ответ:
 построение
серединного
перпендикуляра РН к АВ
Задание 3:
 Угол
САВ
 Проведем окр.(А;R) Р, Н – точки
пересечения окружности и сторон угла.
 Проведем окр.(Р;РН) и окр.(Н;РН) К –
точка пересечения окружностей.
 Проведем АК.
Ответ:
 построение
биссектрисы угла
Задание 4:
АВ – отрезок.
 Проведем окр.(А;АВ) и окр.(В;АВ) С –
точка пересечения окружностей.
 Проведем АС и ВС

Ответ:
 построение
равностороннего
треугольника
Вопросы:
 Как
вы считаете, какое стандартное
построение позволит нам выполнить
деление угла на 2, 4, 8, 16, … равных
угла?
 Можно ли разделить произвольный угол
на 3 равных угла?
 Можно ли разделить произвольный угол
на 5, 7, 11, … равных углов?
Задача о трисекции угла

Французский математик П. Ванцель в 1837г. первым строго доказал,
что невозможно осуществить трисекцию циркулем и линейкой.

Гиппий Элидский, знаменитый софист, живший около 420 г. до н.э.,
пользовался для трисекции угла квадратрисой.

Александрийский математик Никомед (II в. до н.э.) решил задачу о
трисекции угла с помощью одной кривой, названной конхоидой
Никомеда, и дал описание прибора для черчения этой кривой.

Интересное решение задачи о трисекции угла дал Архимед в своей
книге «Леммы».

Деление прямого угла на три равные части умели производить ещё
пифагорейцы, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике
каждый угол равен 60о.
Задача 1: Трисекция прямого
угла.

Пусть требуется разделить на три
равные части прямой угол MAN.

Откладываем на луче АN
произвольный отрезок АК, на котором
строим равносторонний треугольник
AКB.
Так как угол КAB равен 600, то угол МАВ= 300.
Построим биссектрису угла КАВ.
Получаем искомое деление прямого угла MAN на три равных
угла.
Задача 2: Разделить угол 660 на 11
равных частей (при условии, что этот угол построен и его
величина известна).

Решение:
Т.к. 660: 11=60, то для решения этой задачи
опять воспользуемся углом 600 –
равносторонним треугольником. При
построении равностороннего треугольника
получаем 660–600 = 60, строим дважды по
углу 60 (600–60–60 = 480), затем делим угол 480
на равных углов (т.е. проводим биссектрисы).
При этом получаем 11 углов по 60.
Самостоятельная работа
в парах

«5» - за 3 правильно выполненные и
оформленные задачи.

«4» - за 2 правильно выполненные и
оформленные задачи или за 3 задачи с
недочетами в оформлении.

«3» - за 1 правильно выполненную и
оформленную задачу или за 2 задачи с
недочетами в оформлении.
Ответить на вопросы:

Всегда ли выполнима трисекция угла?
 Что
нового узнали на уроке?
 Можно
ли разделить произвольный угол
на 5, 7, 11, … равных углов?
Домашнее задание:
 Трисекция
угла в 1350.
 Построить
угол 530, если построен угол
1040.