Подобие.

Подобные
треугольники.
Выполнили: Карташов Алексей
Пучков Евгений
Пропорциональные отрезки


AB
CD
Говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1 B1и C1,D1
если AB = CD.
Отношение отрезков АВ и СD называется отношение их длин, т.е.
A1 B1 C1 D1

Например, отрезки AB и CD, длины которых равны 2см и 1см,
пропорциональны отрезкам A1 B1и C1 D1 , длины которых равны 3см и 1,5см.
2
В самом деле, AB = CD = .
A1 B1 C1 D1 3

Понятие пропорциональности вводится и для большего числа отрезков.
Так, например 3 отрезка АВ, CD и EF пропорциональны трем отрезкам A1 B1
,C1 D1 и E1 F1 , если справедливо равенство , AB = CD = EF.
A1 B1
C1 D1
E1 F1
Что хотим узнать???
Подобные треугольники
Определение
подобных
треугольников
Признаки подобия
1-ый признак
2-ой признак
конец
Отношение
площадей
подобных
треугольников
3-ий признак
Определение подобных
треугольников
 Пусть в двух треугольниках АВС и A1 B1C1углы
соответственно равны: A  A1, B  B1 , C  C1. В этом
случае стороны АВ и A1 B1 , ВC и B1C1, CA и C1 A1 называются
сходственными.
Два треугольника называются подобными, если их углы
соответственно равны и стороны одного треугольника
пропорциональны сходственным сторонам другого.
Другими словами 2 треугольника называются подобными если:
1) A  A1 , B  B1 , C  C1
2)
AB
BC
CA


k
, где k коэффициент подобия
A1 B1
B1C1
C1 A1
Отношение площадей подобных
треугольников
ТЕОРЕМА
Отношение двух подобных треугольников
равно квадрату коэффициента подобия
В
B1
S ABC
 k2
S A1B1C1
А
С
A1
C1
1-ый признак
ТЕОРЕМА
Если 2 угла одного треугольника соответственно равны двум углам
другого ,то такие треугольники подобны
B1
В
А
С
A1
Доказательство
C1
2-ой признак
 ТЕОРЕМА
 Если две стороны одного треугольника пропорциональны
двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные
между этими сторонами, равны, то такие треугольники
подобны
B1
В
А
A  A1 И
С
CA
AB
=
A1 B1 C1 A1
A1
C1
Доказательство
3-ий признак
 Теорема
 Если три стороны треугольника пропорциональны трем
сторонам другого, то такие треугольники подобны
B1
В
А
AB
BC
AC


A1 B1 B1C1 A1C1
С
A1
C1
Доказательство
Доказательство 1
B  180   A  C
B1  180   A1  C1
В
Следовательно B  B
1
Углы треугольника АВС соответственно равны
углам треугольника A1 B1C1 .
Т.к.
A  A1
и
S ABC
AC  BC

S A1B1C1
A1C1  B1C1
B  B1
С
A  A1
А
C  C1
S ABC
AB  AC

и
то
S A1B1C1
A1 B1  A1C1
B1
BC
=
A1 B1 B1C1
 AB
Аналогично для A  A1 и C  C1
CA
BC
Получим
=
B1C1 C1 A1
A1
C1
Доказательство 2
1)
С
CA
AB
=
2) A  A1
C
A
A1 B1
1 1
Учитывая первый признак подобия можно доказать, что
B  B1
А 1
Рассмотрим ABC 2 у которого 1  A1 и 2  B1
Треугольники ABC 2 и A1 B1C1 подобны по первому признаку
AC
AB
 A B  A C2 и AB = CA  AC  AC
2
1 1
1 1
A1 B1 C1 A1
Треугольники АВС и ABC 2 равны (СУС)
 B  2 и 2  B1  B  B1
A1
2
В
C2
C1
B1
Доказательство 3
C1
AB
BC
AC


A1 B1
B1C1
A1C1
Учитывая второй признак подобия можно доказать что
2) A1
A  A1
Рассмотрим ABC 2 у которого 1  A1 и
2  B1
Треугольники АВС и ABC 2 Подобны по первому признаку

BC 2 C 2 A
AB


A1 B1 B1C1 C1 A1

BC  BC 2 и CA  C2 A
Треугольник АВС= ABC 2 (3 стороны)
Т.к. 1  A1 и A  1
 АВС подобен A1 B1C1

B1
1
2
B1
C2
В
 A  1
A  A1
1)
А
С
Спасибо за внимание!!!!!
ВЫХОД