Лекция 2 Формальные системы. Аксиоматический метод

Лекция 2
Формальные системы.
Аксиоматический метод
Аксиоматический метод
 Аксиоматический метод - способ
построения научной теории, при котором
в её основу кладутся некоторые
исходные положения (суждения) —
аксиомы, из которых все остальные
утверждения этой науки должны
выводиться чисто логическим путём,
посредством доказательств.
 Построение науки на основе
аксиоматического метода обычно
называется дедуктивным.
 Все понятия дедуктивной теории
вводятся посредством определений,
выражающих их через ранее введённые
понятия.
3 стадии развития аксиоматического метода
 Первая : построение геометрии в Древней Греции.
 Основное сочинение этого периода — «Начала»
Евклида ( и до него Пифагор, которому приписывается
открытие аксиоматического метода, а затем Платон
немало сделали для развития геометрии на основе
аксиоматического метода).
 В то время считалось, что в качестве аксиом должны
выбираться
суждения,
истинность
которых
«самоочевидна».
 Евклиду не удалось ограничиться чисто логическими
средствами при построении геометрии на основе
аксиом. Он прибегал к интуиции в вопросах,
касающихся непрерывности, взаимного расположения
и равенства геометрических объектов.
 Начало второй стадии в истории
аксиоматического метода связывают обычно с
открытием Н. И. Лобачевским, Я. Больяй и К. Ф.
Гауссом возможности построить
непротиворечивым образом геометрию, исходя
из систем аксиом, отличной от евклидовой.
 аксиомы - исходные положения, вопрос же об
их истинности (и выбор в качестве аксиом)
выходит за рамки аксиоматической теории и
относится к её взаимоотношению с фактами,
лежащими вне её.
2 стадия
 Эта стадия развития аксиоматического
метода завершилась созданием
аксиоматических систем:
 арифметики (Дж. Пеано, 1891),
 геометрии (Д. Гильберт, 1899),
 исчисления высказываний и предикатов
(А. Н. Уайтхед и Б. Рассел, Англия, 1910)
 аксиоматической теории множеств (Э.
Цермело, 1908).
Метод Гильберта
 Основная идея Гильберта — полная формализация
языка науки, при которой её суждения
рассматриваются просто как последовательности
знаков (формулы), не имеющие как таковые никакого
смысла .
 Для вывода теорем из аксиом (и вообще одних формул
из других) формулируются специальные правила
вывода ( т. н. правило modus ponens — «правило
зачёркивания», позволяющее получить В из А и «А
влечёт В»).
 Доказательство в такой теории это просто
последовательность формул, каждая из которых либо
есть аксиома, либо получается из предыдущих формул
последовательности по какому-либо правилу вывода.
 гильбертовская программа в целом (её обычно
называют формализмом) невыполнима, т. к.,
согласно важнейшему результату К. Гёделя
(1931), всякая достаточно богатая
непротиворечивая формальная система
непременно неполна (т. н. теорема о
неполноте).
 Оказывается, в сколько-нибудь сложной
аксиоматической системе существуют
формулы, которые нельзя ни доказать, ни
опровергнуть.
'''Теорема Гёделя о неполноте'''
 Любая непротиворечивая формальная
теория, включающая арифметику целых
чисел, неполна .
 Идея доказательства заключается в том,
чтобы построить пример формулы,
которая была бы недоказуема и, вместе с
тем истинна. т.е. невыводимость из
аксиом рассматриваемой формальной
системы
Пример
 В качестве языка можно объявить любые "слова" из
последовательности буквы Я.
 Букву Я объявим аксиомой.
 Правило вывода будет удваивать букву Я.
То есть придумана теория, в которой выводимы любые
последовательности (слова), состоящие из буквы Я.Я
ЯЯ
ЯЯЯ
...
ЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯ ...
Теория, созданная из буквы Я, не привязана к понятию
истинности. Поэтому она бессмысленна.
Разрешимость для логики высказываний
 Проблемой разрешимости для логики высказываний называют
следующую проблему:
 существует ли алгоритм, который позволил бы для произвольной
формулы в конечное число шагов определить, является ли она
тавтологией?
 Теорема. Формула является тавтологией в том и только том
случае, если в ее КНФ в любую из элементарных дизъюнкций в
качестве дизъюнктивных членов входит какая-нибудь переменная
и ее отрицание.
 Теорема. Формула является противоречием в том и только том
случае, если в ее ДНФ каждая элементарная конъюнкция
одновременно содержит в качестве конъюнктивных членов какуюнибудь переменную и ее отрицание
Замечание к теоремам
 приведя формулу равносильными
преобразованиями к КНФ, можно
установить, является ли она
тождественно-истинной,
 приведя ее к ДНФ, можно установить,
является ли она тождественно-ложной
Формальные теории.
Аксиоматический метод
 Формальная теория считается заданной, если
известны следующие четыре составляющих:
 1.Алфавит – конечное или счетное множество
символов.
 2.Формулы, которые по специальным правилам
строятся из символов алфавита.
 3.Аксиомы
 4.Правила вывода – множество отношений,
позволяющие из аксиом получать теоремы
формальной теории.
 Вывод формальной теории - последовательность
формул , , …, , в которой все формулы – либо аксиомы,
либо получаются из предыдущих по правилам вывода.
Система аксиом исчисления
высказываний
 На сегодняшнее время известно
 20 ИВ,
 которые отличаются друг от друга
аксиомами (схемами аксиом) и
правилами выводов.
 Система аксиом современной
исчисления высказываний состоит из 11
аксиом (тавтологии), которые делятся на
4 группы
Система аксиом Уйтхеда и
Рассела (19201930), Англия
 Пример
Современная система аксиом
Правила вывода
 Основных правил вывода в исчислении
высказываний два: правило подстановки
и правило простого заключения.
1 Правило подстановки(ПП).
 Если формула А выводима (доказуема) в
исчислении высказываний, хпеременная, В- произвольная формула
исчисления высказываний, то формула ,
полученная в результате замены в
формуле А переменной х всюду , где она
входит, формулой В, является также
выводимой(доказуемой) формулой.
 Операция замены в формуле А
переменной х формулой В, носит
название подстановки
B
 ( A)
X
 и символически записывается так. :
Уточнение правила
2 Правило заключения (ПЗ).
Определение выводимой
(доказуемой ) формулы.
 а) Всякая аксиома является доказуемой
формулой.
 б)Формула, полученная из доказуемой
формулы путем применения подстановки
вместо переменной х произвольной формулы
В, есть доказуемая формула.
 в) Формула В, полученная из доказуемых
формул А и путем применения ПЗ, есть
доказуемая формула.
 г) Никакая другая формула исчисления
высказываний не считается доказуемой .
 Процесс получения доказуемых формул
будем называть доказательством
(выводом) формул.
 Это процесс последовательного перехода
от одной доказуемой формулы к другой с
помощью аксиом, правила подстановки и
правила заключения на каждом шаге
Производные правила вывода.
 Производные правила вывода, как и
рассмотренные правила подстановки и
заключения, позволяют получать новые
доказуемые формулы.
 Они получаются с помощью правил
подстановки и заключения, а поэтому
являются производными от них
Правило сложной (одновременной) подстановки
(СПП).
Правило сложного заключения.
Правило силлогизма. Правило контр позиции.
Правило снятия двойного отрицания.
Понятие выводимости формул
из совокупности формул.