Поверхности вращения

1.
Образование, задание и изображение
поверхностей на чертежах
- определитель поверхности
- классификация поверхностей
- способы задания поверхностей
2. Поверхности вращения
2.1. Цилиндр
2.2. Конус
2.3. Шар
2.4. Тор
3. Гранные поверхности и многогранники
Содержание
В математике под поверхностью подразумевается
непрерывное множество точек.
В
начертательной
геометрии
поверхность
рассматривается
как
совокупность
всех
последовательных
положений
некоторой
перемещающейся в пространстве линии. Эту
линию
называют
образующей
поверхности.
Движение образующей подчинено какому-либо закону или может
быть произвольным
Закон перемещения образующей может быть
задан тоже линиями, но иного направления,
чем образующая. Эти линии называют
направляющими.
Совокупность нескольких последовательных
положений образующей (а) и направляющих
(m, n) создает каркас поверхности.
m
n
ai
a
В зависимости от формы образующей все
поверхности можно разделить на линейчатые
(образующая – прямая линия) и нелинейчатые
(образующая – кривая линия).
Нелинейчатые поверхности могут быть с
образующей постоянной формы (поверхности
вращения и трубчатые поверхности) и с
образующей переменной формы (каналовые и
каркасные поверхности)
-
Классификация
поверхностей
по закону движения образующей различают
поверхности с поступательным движением
образующей (поверхности параллельного переноса),
вращательным и винтовым;
- по виду образующей поверхности бывают линейчатые
(с прямолинейной образующей) и нелинейчатые
(поверхности с криволинейной образующей);
- по закону изменения формы образующей –
поверхности с образующей постоянного или
переменного вида;
- по признаку развертывания поверхности на
плоскость (возможности совмещения всех точек
поверхности с плоскостью) различают
развертываемые и неразвертываемые поверхности.
Для задания поверхностей выбирают такую
совокупность независимых геометрических
условий, которая однозначно определяет
данную поверхность в пространстве. Эта
совокупность
условий
называется
определителем поверхности. Определитель
состоит из двух частей:
-
геометрической (основные геометрические
элементы и соотношения между ними);
-
алгоритмической
отдельных
точек
поверхности).
(закон
построения
и
линий
данной
Поверхность задана проекциями
геометрических элементов её определителя
i2
a2
х
i1
a1
a)
Способы задания поверхностей
Основные:
-
аналитический – поверхность рассматривается как
множество точек, координаты которых удовлетворяют
заданному уравнению, т.е. поверхность задается
уравнением F(x,y,z)=0;
-
каркасный – поверхность рассматривается как
совокупность плотной сети линий определителя или
других линий, определяющих поверхность. Эта сеть
линий называется каркасом;
-
кинематический – поверхность рассматривается как
совокупность всех положений движущейся линии. В этом
случае поверхность задается её определителем
(образующей и направляющей).
Поверхность вращения
общего вида Это поверхность, которая образуется произвольной кривой
(плоской или пространственной) при ее вращении вокруг
неподвижной оси. Определитель поверхности вращения:
Ф(а, i)[А], где
a – образующая;
i – ось вращения;
[А] – условие о том, что образующая вращается вокруг оси.
Каждая точка образующей а (А, В, С, D, Е) при вращении
вокруг оси i описывает окружность с центром на оси
вращения. Эти окружности называют параллелями.
•
•
•
•
•
Наибольшую и наименьшую параллель называют
соответственно экватором и горлом (шейкой).
Плоскости α, проходящие через ось поверхности
вращения, называют меридиональными, а линии, по
которым они пересекают поверхность —
меридианами.
Меридиональную плоскость α1, параллельную
плоскости проекции, принято называть главной
меридиональной плоскостью, а линию ее
пересечения с поверхностью вращения — главным
меридианом.
Из закона образования поверхности вращения
вытекают два основных свойства:
плоскость перпендикулярная оси вращения,
пересекает поверхность по окружности – параллели;
плоскость, проходящая через ось вращения,
пересекает поверхность по двум симметричным
относительно оси линиям – по меридианам.
Проекции каркаса
поверхности вращения на
комплексном чертеже
выполняются двумя
проекциями
направляющей,
образующей и
очерка
поверхности.
Контур и очерк поверхности
Коническая и
цилиндрическая
поверхности вращения
образуются при
вращении прямой а
вокруг оси i. При этом,
если пересечение
образующей а с осью i
происходит в
собственной точке –
образуется коническая
поверхность, если
точка пересечения
несобственная –
цилиндрическая
поверхность.
Цилиндр Геометрический объект,
ограниченный цилиндрической
поверхностью и двумя
параллельными плоскостями,
называемыми основаниями.
В зависимости от угла наклона
образующих цилиндрической
поверхности к основанию
различают прямой цилиндр
(угол наклона 90) и наклонный.
а
б
а – проекционный чертеж;
б – аксонометрия
Построение проекций
точки, лежащей на
поверхности цилиндра
А2
А1
А3
Конус геометрический объект,
ограниченный
конической
поверхностью и
плоскостью, называемой
основанием или двумя
плоскостями (усеченный
конус). Конус может
быть прямым или
наклонным.
а
б
Прямой круговой конус:
а – проекционный чертеж;
б – аксонометрия
Построение проекций
точки, лежащей на
поверхности конуса
А2
А3
А1
Сфера множество всех точек пространства, одинаково
удаленных на расстояние R от данной точки O.
Сферу обозначают: ω (O, R). Можно
определить сферу и как поверхность,
образованную при вращении окружности
вокруг своего диаметра.
Шар –
геометрический
объект, образованный
вращением круга вокруг
его диаметра.
Шар
При сжатии или растяжении шар
преобразуется в эллипсоиды, которые
могут быть получены вращением
эллипса вокруг одной из осей.
Если вращение происходит вокруг
большой оси, то эллипсоид
называется вытянутым; если
вокруг малой – сжатым, или
сфероидом.
Тор
Поверхность тора может быть
получена при вращении
окружности вокруг оси,
принадлежащей плоскости
этой окружности, но не
проходящей через ее центр. В
зависимости от соотношения
величин R – радиуса
образующей окружности и
расстояния t от центра до оси
вращения, поверхность тора
подразделяют на:
открытый тор (кольцо) – R<
t, окружность не пересекает
ось вращения;
закрытый тор – R≥ t,
окружность пересекает ось
вращения или касается ее.
R
t
а
Тор:
а– проекционный чертеж;
б – аксонометрия
Поверхности вращения,
образованные кривыми
второго порядка:
параболоид вращения –
вращение параболы
вокруг ее оси;
гиперболоид вращения
однополостный –
вращение гиперболы
вокруг мнимой оси;
гиперболоид вращения
двуполостный –
вращение гиперболы
вокруг действительной
оси.
Параболоид вращения
m
Однополостный
гиперболоид вращения
Двуполостный
гиперболоид вращения
Сечение цилиндра
проецирующей
плоскостью
В сечении кругового
цилиндра плоскостью в
зависимости от положения
секущей плоскости могут
получиться:
прямоугольник – секущая
плоскость параллельна оси
цилиндра;
окружность – секущая
плоскость перпендикулярна
оси цилиндра;
эллипс – секущая плоскость
расположена к оси под углом,
отличным от прямого.
Конические сечения плоские кривые, которые получаются пересечением прямого
кругового конуса плоскостью.
За исключением вырожденных случаев, коническими
сечениями являются эллипсы, гиперболы или параболы. С
точки зрения аналитической геометрии коническое сечение
представляет собой геометрическое место точек,
удовлетворяющих уравнению второго порядка.

Открывателем конических сечений предположительно считается
Менехм (IV в. до н. э.). Менехм использовал параболу и
равнобочную гиперболу для решения задачи об удвоении куба.

Трактаты о конических сечениях, написанные Аристеем и
Евклидом в конце IV в. до н. э., были утеряны, но материалы из
них вошли в знаменитые «Конические сечения» Аполлония
Пергского, которые сохранились до нашего времени.
В частных случаях: окружность,
прямая, две пересекающиеся прямые
и точка.
φ>α Эллипс
ФП 2
Эллипс
φ
S2
Гипербола
Окружность

φ=90
Эллипс
φ>α - Эллипс
α
φ<α
Гипербола
Парабола φ=α
Конические сечения
 Если плоскость Ф пересекает

все образующие конической
поверхности, т.е. если φ>α,
то линией сечения является
эллипс. В этом случае
секущая плоскость не
параллельна ни одной из
образующих конической
поверхности.
В частном случае (φ=90)
такая плоскость пересекает
поверхность конуса по
окружности; и сечение
вырождается в точку, если
плоскость проходит через
вершину конической
поверхности.
Конические сечения
 Если плоскость Ф параллельна одной образующей
поверхности конуса, т.е. φ = α, то линией пересечения
является парабола. В частном случае (плоскость
является касательной к поверхности конуса) сечение
вырождается в прямую.
 Если плоскость Ф параллельна двум образующим
поверхности конуса (в частном случае параллельна
оси), т.е. φ < α, то линией сечения является гипербола.
В случае прохождения плоскости через вершину
поверхности конуса линией сечения могут быть сами
образующие, т.е. гипербола вырождается в две
пересекающие прямые.
Пересечение шара
фронтально
проецирующей
плоскостью
Пересечение шара
фронтально
проецирующей
•
плоскостью
Окружность, по которой плоскость
α пересекает шар, проецируется на
плоскости П1 и П3 в виде эллипса, а
на плоскость П2 – в прямую линию,
ограниченную очерком
сферической поверхности.
Обозначим опорные для
построения точки и
охарактеризуем их:
– точки 1 и 8: это две вершины
эллипса, определяющие
положение малой оси; их
фронтальные проекции
определяют пересечение следа
плоскости α с очерком сферы, а
горизонтальные проекции
являются соответственно высшей
и низшей точками сечения;
– точки 2 и 3: фронтальные проекции
их лежат на вертикальной оси
шара, а профильные проекции – на
очерке сферы и определяют зону
видимости при построении
эллипса на П3;
 точки 4 и 5: это две вершины эллипса, указывающие


на положение большой оси эллипса; положение их
фронтальных проекций определяется
перпендикуляром, опущенным из центра шара к следу
плоскости α;
точки 6 и 7: фронтальные проекции их лежат на
горизонтальной оси шара, т.е. принадлежат экватору;
их горизонтальные проекции лежат на очерке сферы и
определяют зону видимости при построении эллипса
на П1.
линия пересечения плоскости α и шара на
фронтальной плоскости проекций совпадает со
следом плоскости α2 , на котором, отмечаем точки
12,..,82.
 для нахождения горизонтальных проекций этих точек
в общем случае используется метод вспомогательных
секущих плоскостей (β – горизонтальные плоскости
уровня). Например, через точки 22 и 32 проведем след
плоскости β12; на горизонтальной плоскости проекций
линией пересечения плоскости β1 и сферы будет
окружность β11, точки 21 и 31 лежат на этой
окружности, их положение определяется по линиям
связи (в данном случае это осевая линия). Таким
образом находятся все точки, кроме 11 и 81, которые,
ввиду своего положения на очерке фронтальной
проекции сферы, принадлежат горизонтальной
осевой линии на плоскости П1. Построенные точки
11,..,81соединяем плавной кривой линией с учетом
видимости.
Гранные поверхности и
многогранники
Гранные поверхности образуются
перемещением прямолинейной образующей l
по ломаной направляющей m.
S - вершина
Ребро
l
Грань
l
m
m
S
Определитель пирамидальной поверхности: l э S; l ∩m.
Определитель призматической поверхности: l //S; l ∩m.
Многогранник
–
геометрический
объект,
ограниченный
замкнутой
поверхностью,
образованной
совокупностью
плоских
многоугольников, у которых каждая сторона одного
является одновременно стороной другого (но только
одного).
Из всего многообразия многогранников наибольший
практический
интерес
представляют
призмы,
пирамиды, правильные многогранники и их
разновидности.
Многогранник, все грани которого представляют
собой правильные и равные (конгруэнтные)
многоугольники, называют правильными. Углы при
вершинах такого многогранника равны между собой.
Тела Платона
Тетраэдр – правильный четырехгранник. Он
ограничен
четырьмя
равносторонними
треугольниками.
Это
правильная
треугольная
пирамида.
Гексаэдр – правильный шестигранник. Это куб,
ограниченный шестью равными квадратами.
 Октаэдр
– правильный восьмигранник,
ограниченный восемью равносторонними и
равными между собой треугольниками,
соединенными по четыре у каждой вершины.
 Додекаэдр – правильный двенадцатигранник,
ограниченный двенадцатью правильными и
равными пятиугольниками, соединенными по
три у каждой вершины.
 Икосаэдр
– правильный двадцатигранник,
ограниченный двадцатью равносторонними и
равными треугольниками, соединенными по
пять у каждой вершины.
Чертежи призмы и пирамиды
Призма – многогранник, две
грани которого (основания
призмы) представляют собой
равные многоугольники с
взаимно
параллельными
сторонами, а все другие
грани – параллелограммы.
Призма называется прямой,
если
ее
ребра
перпендикулярны плоскости
основания.
X
а
б
Призма:
а – проекционный чертеж;
б – аксонометрия
Пересечение многогранников плоскостью и прямой
линией
При пересечении гранной поверхности с плоскостью
получается плоская ломаная линия. Для ее
построения достаточно определить точки пересечения
ребер и сторон основания, если имеет место
пересечение основания, и соединить построенные
точки с учетом их видимости. Фигуру, полученную от
пересечения многогранника плоскостью, называют
многоугольником (фигурой) сечения. Число сторон
многоугольника сечения равно числу граней
многогранника, пересекаемых секущей плоскостью.
Пирамида
–
это
многогранник, одна грань
которого
многоугольник
(основание), а остальные
боковые
грани
треугольники
с общей
вершиной.
Пирамида
называется
правильной,
если
в
основании
лежит
правильный многоугольник
и
высота
пирамиды
проходит
через
центр
многоугольника.
X
а
б
Пирамида:
а– проекционный чертеж;
б – аксонометрия
4
2
5
1
P2
3
32 (42) 43
2
22 52
33
23
53
12
13
Px
51
P1
4
41
z
3
5
11
21
2
31
1
x
y
S2
S3
P2
33
32
22 (42)
43
13
12
Px
4
41
1
3
11
2
S1
31
21
P1
z
4
3
2
1
x
y
23
Чтобы построить точку (точки) пересечения
прямой с поверхностью, нужно
- заключить прямую во вспомогательную
плоскость,
- определить линию пересечения плоскости и
поверхности,
- а затем точку (точки), в которой заданная
прямая пересекается с линией пересечения.
Развертки многогранников
Разверткой
называется
плоская
фигура,
полученная
при совмещении поверхности
геометрического тела с одной плоскостью.
Развертки
пирамидальных
поверхностей
строятся способом триангуляции (способом
треугольников).
Построение разверток сводится к
многократному построению истинных
величин треугольников, из которых
состоит поверхность развертываемой
пирамиды.
РАЗВЕРТКА
ПОВЕРХНОСТИ
МНОГОГРАННИКОВ








Разверткой называется плоская фигура,
полученная при совмещении поверхности
геометрического тела с одной плоскостью (без
наложения граней или иных элементов
поверхности друг на друга).
Приступая к изучению развертки поверхности,
последнюю целесообразно рассматривать как
гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из
представленных таким образом поверхностей
можно путем изгибания совместить с плоскостью.
При этом, если отсек поверхности может быть
совмещен с плоскостью без разрывов и
склеивания, то такую поверхность называют
развертывающейся.
Основные свойства развертки:
длины двух соответствующих линий поверхности
и ее развертки равны между собой;
угол между линиями на поверхности равен углу
между соответствующими им линиями на
развертке;
прямой на поверхности соответствует также
прямая на развертке;
параллельным прямым на поверхности
соответствуют также параллельные прямые на
развертке;
если линии, принадлежащей поверхности и
соединяющей две точки поверхности,
соответствует прямая на развертке, то эта линия
является геодезической.
4
3
4
1
3
2
1
3
2
4
1
1
5
3
2
1