Содержание заданий и методические указания
advertisement
1
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра ИС иПМ
Основы математического моделирования
социально – экономических процессов
Методические указания и задания к выполнению
контрольной работы
для студентов заочной формы обучения
по направлению подготовки 081100.62 «Государственное и муниципальное управление»
Мурманск
2013г
2
ОБЩИЕ ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
1. Методические указания разработаны в соответствии с требованиями ФГОС ВПО
Министерства образования и науки Российской Федерации и соответствует учебному плану
подготовки бакалавров по направлению 081100.62 «Государственное и муниципальное
управление».
2. Цели и задачи учебной дисциплины.
Цель дисциплины:
подготовка студентов в соответствии с квалификационной характеристикой бакалавра,
ознакомить их с современными математическими методами и моделями социально экономических процессов, формирование умения и навыков практического применения
математических методов, позволяющих изучать, анализировать и прогнозировать процессы и
явления, связанные с будущей профессиональной деятельностью.
Задачи дисциплины:
- дать необходимые знания, позволяющие успешно применять математические методы и
модели в целенаправленной практической деятельности;
- обучить навыкам математического моделирования социально – экономических процессов с
доведением до практического результата и развить при этом логическое и аналитическое
мышление;
- выработать умение самостоятельно проводить математические расчеты с применением
математических методов и моделей для решения экономических задач.
3. Требования к уровню подготовки бакалавра в рамках данной дисциплины.
Изучение дисциплины «Основы математического моделирования социально –
экономических процессов» направлено на формирование элементов следующих компетенций в
соответствии с ФГОС ВПО по направлению 081100.62 «Государственное и муниципальное
управление»:
а) общекультурных (ОК):
- знание законов развития природы, общества, мышления и умение применять эти знания
в профессиональной деятельности; умение анализировать и оценивать социально-значимые
явления, события, процессы; владение основными методами количественного анализа и
моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК – 4);
- владение навыками самостоятельной, творческой работы; умение организовать свой труд;
способность порождать новые идеи, находить подходы к их реализации(ОК – 16).
б) профессиональных (ПК):
-умение выявлять проблемы, определять цели, оценивать альтернативы, выбирать
оптимальный вариант решения, оценивать результаты и последствия принятого управленческого
решения (ПК – 3);
- способность принимать решения в условиях неопределенности и рисков (ПК -4);
- умение определять параметры качества управленческих решений и осуществления
административных процессов, выявлять отклонения и принимать корректирующие меры (ПК 12);
- способность адаптировать основные математические модели к конкретным задачам
управления (ПК - 23);
- умение находить основы для сотрудничества с другими органами государственной власти
Российской Федерации, органами государственной власти субъектов Российской Федерации,
институтами гражданского общества, способность определять потребности в информации,
получать информацию из большого числа источников, оперативно и точно интерпретировать
информацию (ПК - 31).
В результате изучения дисциплины студент должен:
Знать:
-основные понятия, принципы, закономерности и основы построения
3
математических моделей социально – экономических процессов;
-основные математические методы и модели экономико – математического моделирования;
Уметь:
-ставить цели и формулировать задачи, связанные с реализацией
профессиональных функций;
-решать задачи по оптимизации планирования производства, перевозок,
инвестиций, выигрышей в парных и кооперативных играх, управления запасами, СМО,
используя средства вычислительной техники;
- формулировать выводы математических решений в экономических
понятиях и терминах;
Владеть:
- навыками применения математической символики для выражения количественных и
качественных показателей математических моделей;
-навыками построения простейших прикладных экономико-математических моделей и
их применения для оптимизации основных управленческих решений;
- методами оптимизации, контроля правильности и анализа решения.
4. Перечень дисциплин и их разделов, усвоение которых необходимо студентам для
изучения данной дисциплины
-математика – в объеме курса средней школы;
-основы линейной алгебры и аналитической геометрии;
-математический анализ;
-теория вероятностей и математическая статистика;
-основы экономических знаний.
4
Тематический план
Общая трудоемкость дисциплины составляет _4 зачетных единиц, ____144____ часа.
№
п\п
1
1
Содержание разделов (модулей), тем
дисциплины
2
Модуль 1
Математическое моделирование
социально – экономических процессов.
1.1.Введение. Основные понятия об
экономико-математических методах и
моделях в социально-экономических
процессах.
Количество часов, выделяемых
на виды учебной подготовки
Лекции
ПР
ЛР
СР
ИР
3
4
5
6
7
0,5
-
-
10
-
3
Сетевое моделирование.
Основные понятия событий и работ.
Геометрический и табличный методы
решения сетевых моделей. Метод
критического пути.
Линейное, целочисленное, динамическое
программирование
3.1 Линейное программирование.
Общая постановка задачи. Двойственность
в задачах линейного программирования.
Теоремы двойственности и их
экономическая интерпретация.
Геометрический и симплексный метод
решения задач линейного
программирования.
Модели транспортных задач.
3.2 Целочисленное программирование.
Постановка задачи целочисленного
программирования. Методы решения задач
целочисленного программирования.
3.3 Динамическое программирование.
Постановка задачи динамического
программирования. Принцип
оптимальности, рекуррентные уравнения
Беллмана.
Задача распределения капитала между
проектами.
Задача управления запасами.
Модуль 2
8
ОК-4
ОК-16
ПК-3
ПК-4
ПК-12
ПК-23
ПК-31
1.2. Методология и методы
математического моделирования.
Классификация методов оптимизации.
2
Компетенци
и
раздела
(модуля)
0,5
2
-
20
-
ОК-4
ОК-16
ПК-3
ПК-4
ПК-12
ПК-23
ПК-31
1
2
-
40
-
ОК-4
ОК-16
ПК-3
ПК-4
ПК-12
ПК-23
ПК-31
5
4
5
6
Элементы теории игр и игровое
моделирование.
1
4.1.Игра – математическая модель
конфликта. Основные понятия теории игр.
Классификация игр.
4.2.Матричные, кооперативные игры. Цена
игры, чистые и смешанные стратегии.
4.3.Графоаналитический метод решения
игр. Решение матричных игр методом
линейного программирования.
4.4 Игры в условиях неопределенности,
игры с «природой». Критерии Вальда,
Гурвица, Сэвиджа, Лапласа и Байеса.
Системы массового обслуживания
5.1. Характеристики СМО с отказами, с
неограниченной длиной очереди, с
отказами и ограниченной длиной очереди.
Экспертные методы оптимизации.
6.1.Современные методы измерения,
классификации и экспертных оценок.
6.2.Основные математические методы
анализа экспертных оценок. Метод средних
арифметических рангов. Метод медиан
рангов. Метод согласования кластерных
ранжировок. Вычисление медианы Кемени.
Итого:
2
-
20
ОК-4
ОК-16
ПК-3
ПК-4
ПК-12
ПК-23
ПК-31
0,5
1
-
20
ОК-4
ОК-16
ПК-3
ПК-4
ПК-12
ПК-23
ПК-31
0,5
1
-
13
ОК-4
ОК-16
ПК-3
ПК-4
ПК-12
ПК-23
ПК-31
4
8
-
123
-
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Красс М.С. Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом
образовании. –М.: Дело 2000.688с.
2. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике - М.: Банки и биржи, 1997. - 408 с.
3. Орлов А.И. Теория принятия решений. Учебное пособие. - М.: Издательство "Март",
2004. - 656 с.
4. Федосеев В.В. Экономико-математические методы и прикладные модели. Москва,
2000. – 391 с.
5. Косоруков О .А., Мищенко А.В.. Исследование операций. Учебник для вузов - М.: Изд.
Экзамен,2003,-445с.
6. Кундышева Е.С.. Математическое моделирование в экономике. Уч. пособие. –М: Изд
«Дашков и К0» , 2004,-350с.
7. Экономико – математическое моделирование .Учебник для студентов вузов.Под
общ.ред.И.Н.Дрогобыцкого. – изд.»Экзамен»,2004. – 800с.
13. Шапкин А.С, Мазаева
Н.П. Математические методы и модели исследования операций:Учебник. – М.:Изд.торговая корпорация «Дашков и К0»,2004.-400 с.
6
8. М.С.Красс, Б. П. Чупрынов. Математические методы и модели для магистрантов
экономики: Учебное пособие. – СПб.:Питер,2006.-496с.
9.Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0. - СПб: BHV, 1997. –
384с.
Программное обеспечение: MS Office Word, Excel.
Содержание заданий и методические указания
к выполнению контрольной работы «Основы математического
моделирования социально – экономических процессов»
Для реализации компетентного подхода при выполнении контрольной работы
предусматривается использование образовательных технологий, опирающихся на применение
лицензионных пакетов MS Office Word, Excel, предполагающих активное применение полученных
знаний теории в самостоятельной работе при решении задач математического моделирования
социально-экономических процессов.
Рекомендуется использование информации сети Internet для поиска, изучения,
информации и обоснования практического применения методов и моделей для исследования в
предметной области.
Для самостоятельной проверки достигнутого уровня освоения дисциплины рекомендуется
использование системы «Интернет-тренажеры в сфере образования», режим – «Самоконтроль»
(http://i-fgos.ru). Данной системой в рамках компетентного подхода используются уровневые
модели педагогических измерительных материалов и оценки результатов обучения.
Методические указания включают задания по следующим темам:
- Сетевое моделирование.
- Линейное программирование.
- Динамическое программирование.
- Модели теории игр и игровое моделирование.
- Системы массового обслуживания.
- Экспертные методы оптимизации.
Первое задание включает задачу построения и расчета параметров сетевых моделей
и их анализа.
Второе задание связано
с решением транспортной задачи линейного
программирования и задачи, которая может быть приведена к форме транспортной задачи.
Третье задание включает задачи динамического программирования
с
использованием принципа Р. Беллмана и рекуррентных формул.
В четвертом задании представлены игровые модели, связанные с принятием
оптимального решения в условиях риска и неопределенности.
В пятом задании нужно решить задачи стохастических систем массового
обслуживания.
Шестое задание включает задачи расчета варианта стратегического развития
социально-экономической системы методом экспертных оценок и математических
методов их анализа.
Задачи можно решать, как
ручным способом, так и на компьютере с
использованием пакета Excel.
Во всех задачах обязательным является построение математических моделей,
приведение расчетов и подробный анализ результата решения.
7
Номер варианта задачи следует выбирать согласно своему номеру зачетной
книжки:
- задачи: 1.1, 2.1,3.1,4.1,5.1 выбираются по предпоследнему номеру зачетной
книжки;
- задачи: 2.2, 4.2, 4.3, 5.2, 6.1 выбираются по последнему номеру зачетной книжки.
По каждой теме в методических указаниях дается пример решения типовой задачи,
где подробно описывается последовательность шагов по ее выполнению. Это поможет
студентам-заочникам разобраться в математических основах решения задач для принятия
управленческого решения, решить конкретные задачи контрольной работы.
.
8
ЗАДАНИЕ 1. Тема: «Сетевое моделирование»
Задача 1.1
Реестр работ и их продолжительность заданы в таблице 1.1.
Варианты задач.
Продолжительность выполнения работ сетевой модели задана в виде минимальных и
максимальных оценок:
таблица 1.1
Работы сетевой модели
вариант (1,3)
(1,4) (1,5) (2,3)
(2,8) (3,4)
(3,6) (4,7)
(5,7) (6,8) (7,8)
1
5-10
2-7
1-6
2-4,5 8-13 1-3,5 9-19 4-6,5 3-8
7-12 5-7,5
2
2-7
5-10 8-13 2-4,5 3-8
1-3,5 7-12 4-6,5 2-7
9-19 5-7,5
3
1-6
2-7
5-10 2-4,5 8-13 1-3,5 9-19 5-7,5 3-8
7-12 4-6,5
4
8-13
2-7
1-6
2-4,5 8-13 1-3,5 9-19 4-6,5 1-6
7-12 5-7,5
5
5-10
2-7
1-6
2-4,5 5-10 1-3,5 9-19 4-6,5 3-8
7-12 2-4,5
6
5-10
1-6
2-7
1-3,5 8-13 4-6,5 9-19 1-3,5 1-6
3-8
5-7,5
7
5-10
2-7
1-6
1-3,5 8-13 1-3,5 9-19 4-6,5 2-7
7-12 1-3,5
8
8-13
2-7
1-6
2-4,5 5-10 1-3,5 9-19 4-6,5 3-8
7-12 5-7,5
9
5-10
2-7
1-6
2-4,5 8-13 1-3,5 9-19 4-6,5 2-7
7-12 1-3,5
10
5-10
2-7
1-6
2-4,5 8-13 1-3,5 9-19 1-3,5 3-8
7-12 5-7,5
11
7-12
2-7
1-6
2-4,5 3-8
1-3,5 9-19 4-6,5 3-8
7-12 1-3,5
12
5-10
2-7
1-6
2-4,5 8-13 1-3,5 9-19 4-6,5 1-6
7-12 5-7,5
13
5-10
2-7
1-6
2-4,5 8-13 1-3,5 9-19 4-6,5 3-8
7-12 1-3,5
14
5-10
2-7
3-8
2-4,5 9-19 1-3,5 9-19 4-6,5 3-8
5-10 5-7,5
15
7-12
2-7
1-6
4-6,5 8-13 1-3,5 9-19 2-4,5 1-6
7-12 2-4,5
16
5-10
2-7
1-6
1-3,5 9-19 2-4,5 5-10 4-6,5 3-8
7-12 5-7,5
17
5-10
2-7
3-8
2-4,5 9-19 1-3,5 9-19 4-6,5 3-8
7-12 2-4,5
Требуется:
1) Построить сетевую модель в графической форме.
2) Вычислить параметры СМ:
-ранние сроки начала и окончания работ,
-поздние сроки начала и окончания работ,
-критический путь и максимально возможный срок выполнения всего
комплекса работ.
3) Определить критические работы, не критические работы и их резервы,
поднапряженные, не напряженные работы.
4) Оценить вероятность выполнения всего комплекса работ за 35 дней, за 30 дней.
5) Оценить максимально возможный срок выполнения всего комплекса работ
с надежностью 95% (т.е. р = 0,95).
Результаты поместить в таблицу.
9
Методические указания
При выполнении работы рекомендуется вначале решить предложенную задачу, а затем
перейти к решению выбранной по своему варианту задачи.
Вычисления произвести в Excel.
Задача:
Структура сетевой модели и оценки продолжительности работ (в сутках) заданы в
таблице.
Требуется:
-вычислить все характеристики СМ и отразить сетевую модель в графической форме.
-оценить вероятность выполнения всего комплекса работ за 35 дней, за 30 дней;
-оценить максимально возможный срок выполнения всего комплекса работ с
надежностью 95% (т.е. р = 0,95).
Работа (i, j)
(1.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(3.7)
(4.5)
(4.6)
(4.9)
(5.8)
(5.10)
(6.9)
(6.11)
(7.10)
(8.10)
(9.10)
(10.11)
Продолжительность выполнения работ
tmin (i, j)
tmax (i, j)
5
7.5
4
6.5
1
6
3
5.5
0.5
3.5
5
7.5
3
5.5
5
10
2
4.5
7
12
0
0
3
8
4
9
2
7
1
6
8
10.5
10
1) Решение задачи оформим в таблице:
кпр
(i,j)
tож.(i,j) S2(i,j) tрн(i,j)
1
2
3
4
5
0
(1.2)
6
0.25
0
1
(2.3)
5
0.25
6
1
(2.4)
3
1
6
1
(2.5)
4
0.25
6
1
(3.7)
1
0.36
11
1
(4.5)
6
0.25
9
1
(4.6)
4
0.25
9
1
(4.9)
7
1
9
2
(5.8)
3
0.25
15
2
(5.10)
9
1
15
1
(6.9)
0
0
13
1
(6.11)
5
1
13
1
(7.10)
6
1
12
1
(8.10)
4
1
18
2
(9.10)
3
1
16
4
(10.11)
9
0.25
24
tро(i,j)
6
6
11
9
10
12
15
13
16
18
24
13
18
18
22
19
33
tпн(i,j)
7
0
12
6
11
17
9
17
14
17
15
21
28
18
20
21
24
tпо(i,j)
8
6
17
9
15
18
15
21
21
20
24
21
33
24
24
24
33
Rп
9
0
6
0
5
6
0
8
5
2
0
8
15
6
2
5
0
Kн
10
1
0.67
1
0.44
0.67
1
0.47
0.67
0.78
1
0.38
0.38
0.67
0.78
0.67
1
Рассмотрим порядок заполнения столбцов таблицы.
Перечень работ (известных из условия) помещается во вторую графу.
В первой графе поставим число, характеризующее количество непосредственно
предшествующих работ (кпр) тому событию, с которого начинается рассматриваемая работа.
Для работ, начинающихся с номера "1", предшествующих работ нет.
Для работы, начинающейся на номер "к'", просматриваются все верхние строчки второй
графы таблицы и отыскиваются строки, оканчивающиеся на этот номер.
Количество найденных работ записывается во все строчки, начинающиеся с номера "к".
Например, для работы (5, 8) в гр. 1 поставим цифру "2", так как в гр. 2 на номер 5
оканчиваются две работы: (2, 5) и (4, 5).
В третьей графе вычисляется ожидаемая продолжительность работ tож по формуле:
3t (i, j ) 2t max (i, j )
t ож (i, j ) min
5
Например, tож(2, 3) = (3x4 + 6,5х2):5 = 5; tож(1, 2) = (3x5 + 7,5х2):5 = 6.
После заполнения третьего столбца таблицы можно построить сетевой график.
В четвертой графе находится показатель дисперсии работ S2:
t (i, j ) t min (i, j ) 2
S 2 (i, j ) ( max
) 0,04 (t max (i, j ) t min (i, j )) 2
6
11
Например,
S2(l, 2) = 0,04(7,5-5)2 = 0,25, S2(2, 3) = 0,04(6,5 - 4)2 = 0,25
Расчет параметров сетевой модели начинается с раннего срока начала работ. Для работ,
имеющих цифру "ноль" в гр. 1, в гр. 5 также заносятся нули, а их значение в гр. 6
получаются в результате суммирования гр. 3 и 5.
В нашем случае таких работ только одна — (1, 2), поэтому в гр. 5 в соответствующей
ей строке проставим "0", а в гр. 6 —0 + 6 = 6.
Для заполнения следующих строк гр. 5, т. е. строк, начинающихся с номера 2,
просматриваются заполненные строки гр. 6, содержащие работы, которые оканчиваются на этот
номер, и максимальное значение переносится в гр. 5 обрабатываемых строк.
В данном случае такая работа лишь одна (1, 2), о чем можно судить по гр. 1. Цифру "6"
из гр. 6 переносим в гр. 5 для всех работ, начинающихся с номера 2, т.е. в три
последующих строки с номерами (2, 3), (2, 4), (2, 5).
Далее для каждой из этих работ путем суммирования их значений граф 5 и 3
сформируем значение гр.6: tpo(2, 3) = 5+6 = 11, tpo(2, 4) = 3+6 = 9, tpo(2, 5) = 4+6 = 10. Этот
процесс повторяется до тех пор, пока не будет заполнена последняя строка таблицы.
Графы 8 и 7 заполняются "обратным ходом", т. е. снизу вверх.
Для этого просматриваются строки, оканчивающиеся на номер последнего события, и
из гр. 6 выбирается максимальная величина, которая записывается в гр. 8 по всем
строчкам, оканчивающимся на номер последнего события (см. формулу tп(N) = tp(N)).
В нашем случае t(N) = 33. Затем для этих строчек находится содержание гр. 7 как
разность между 8 и 3 графами. Имеем: tпн (10,11) = 33 - 9 = 24.
Далее просматриваются строки, оканчивающиеся на номер события, которое
предшествует завершающему событию (10).
Для определения гр. 8 этих строк (работы (5,10), (7,10), (8,10), (9,10)) просматриваются
все лежащие ниже строчки гр. 7, начинающиеся с номера 10.
В гр. 7 среди них выбирается минимальная величина, которая переносится в гр. 8 по
обрабатываемым строчкам.
В нашем случае она одна (10,11), поэтому заносим во все строки указанных работ
цифру "24".
Процесс повторяется до тех пор, пока не будут заполнены все строки по графам 7 и 8.
Содержимое гр. 9 равно разности граф 7 и 5 или граф 8 и 6.
Учитывая, что нулевой резерв времени имеют только события и работы, которые
принадлежат критическому пути, получаем, что критическим является путь: Lкр=(1, 2, 4, 5,
10, 11), а tкр=33дня.
При расчете коэффициента напряженности работ Кн (гр. 10) целесообразно
пользоваться графиком СМ.
Расчет производят по формуле:
R (i, j )
Кн(I,j) = 1- п i ,
tкр t кр
где
Rп (i,j) — полный резерв времени работы (i, j); t'Kр — продолжительность отрезка
рассматриваемого пути, совпадающего с критическим путем; tKр — продолжительность
(длина) критического пути.
12
Например,
рассмотрим работу (2, 3), которая располагается на пути: (1, 2, 3, 7, 10, 11).
Кн(2, 3)=1-(6:(33-(6+9)))=1-0,33=0,67, где Rп (2,3)= 6, ;
tKр = 33, t'Kр= 6+9 (продолжительность работ (1, 2) и (10, 11), которые совпадают с
критическим путем.
2) Решение данной задачи используют следующую формулу:
p (t кр T ) 0.5 0.5 Ф(Z) ,
где
T t кр
Z=
- нормированное отклонение случайной ветчины,
S кр
Ф(Z) = - заданная надежность,
Sкр — среднеквадратическое отклонение, вычисляемое как корень квадратный из
дисперсии продолжительности критического пути.
Дисперсия критического пути составляет:
S2(Lкр) = S2(1, 2) + S2(2, 4) + S2(4, 5) + S2(5, 10) + S2(10, 11) = 0,25+1+0,25+1+0,25 = 2,75,
тогда среднеквадратическое отклонение, вычисляемое путем извлечения из дисперсии
квадратного корня, равно
S (Lкр) = 1,658.
Тогда имеем:
P{tKp < 35) = 0,5 + 0,5Ф[(35 - 33)/1,658] = 0,5 + 0,5Ф(1,206) = 0,5 + 0,5•0,808 = 0,904,
P(tкр < 30) = 0,5 + 0,5Ф[(30 - 33)/1,658] = 0,5 - 0,5Ф(1,809) = 0,5-0,5•0,930 = 0,035.
Вероятность того, что весь комплекс работ будет выполнен не более чем за 35 дней,
составляет примерно 90.4%, в то время как вероятность его выполнения за 30 дней —
всего 3,5 %.
3) Для решения третьей задачи используют следующую формулу:
T t кр Z S кр .
Найдем значение аргумента Z, которое соответствует заданной вероятности 95 %
(табл. 1).
В графе Ф(Z) наиболее близкое значение (0,9545•100%) соответствует Z = 1,9.
Поэтому при вычислении будем использовать именно это значение.
Тогда получим:
T= tкр + Z • SKp = 33 + 1,9•1,658 =36,2 дн.
Следовательно, максимальный срок выполнения всего комплекса pa6oт при заданном
уровне вероятности р = 95% составляет всего 36.2 дня.
13
Таблица 1
Z
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
Функция стандартного нормального распределения.
Ф(Z)
Z
Ф(Z)
Z
0
1,0
0,6827
2,0
0,0797
1,1
0,7287
2,1
0,1585
1,2
0,7699
2,2
0,2358
1,3
0,8064
2,3
0,3108
1,4
0,8385
2,4
0,3829
1,5
0,8664
2,5
0,4515
1,6
0,8904
2,6
0,5161
1,7
0,9104
2,7
0,5763
1,8
0,9281
2,8
0,6319
1,9
0,9545
2,9
Ф(Z)
0,9643
0,9722
0,9786
0,9836
0,9876
0,9907
0,9931
0,9949
0,9963
0,9973
ЗАДАНИЕ 2. ТЕМА: «ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.
ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА».
Задача 2.1
В пунктах Аi (i=1, 2, 3)производится однородная продукция в количестве аi единиц. Себестоимость единицы
продукции в i-м пункте равна Ci. Готовая продукция поставляется в пункты Вj (j=1, 2, 3, 4), потребности
которых составляют bj ед. стоимость перевозки единицы продукции из пункта Ai в пункт Bj задана
матрицей Cij.
Требуется:
1) Написать математическую модель прямой и двойственной задач с указанием экономического
смысла всех переменных;
2) Составить план перевозки продукции, при котором минимизируются суммарные затраты по ее
изготовлению и доставке потребителям для условия что продукция произведенная в пункте Ai, где
себестоимость её производства наименьшая, распределяется полностью;
3) Вычислить суммарные минимальные затраты Zmin;
4) Узнать в какие пункты развозится продукция от поставщиков;
5) Установить пункты, в которых останется нераспределенная продукция, и указать её объем.
Необходимые исходные числовые данные приведены в таблице 2.1.
14
Таблица 2.1.
Параметр
а1
а2
а3
С1
С2
С3
b1
b2
b3
b4
С11
С12
С13
С14
С21
С22
С23
С24
С31
С32
С33
С34
1
450
230
440
2
3
5
130
190
135
295
4
4
3
2
2
8
7
2
4
2
2
10
2
150
400
360
1
1
1
210
200
145
280
3
8
6
7
6
3
9
6
10
8
5
3
3
490
475
230
5
5
4
165
170
105
210
10
2
9
9
4
5
5
7
6
3
7
5
Номер варианта
4
5
6
285
390
465
440
370
115
120
135
300
2
3
1
5
5
4
1
1
3
195
295
280
230
270
110
135
140
160
165
115
300
8
9
7
2
4
10
7
4
9
8
9
3
6
10
5
2
10
2
7
8
7
2
8
7
10
3
3
4
6
7
4
7
4
6
8
7
7
320
200
305
6
2
1
145
130
200
175
2
9
2
3
9
10
1
2
10
6
3
4
8
475
470
185
2
2
5
145
195
125
170
6
6
1
4
9
3
6
7
2
8
9
10
9
115
470
375
4
3
4
190
150
165
220
9
6
4
3
2
3
5
8
9
10
6
2
10
420
3885
340
4
2
3
290
175
195
115
4
9
1
7
2
2
6
9
4
3
9
3
Задача 2.2.
Трудовые бригады Б1, Б2, Б3 численностью, а1, а2, и а3 человек, сформированы для уборки картофеля.
Для уборки картофеля на четырех полях П1, П2, П3 и П4 необходимо выделить b1, b2, b3, и b4 работников.
Производительность труда работника зависит от урожайности картофеля, а так же от численности бригады
и характеризуется для указанных бригад и полей элементами матрицы Pij (в центнерах на человека за
рабочий день).
Требуется:
1) Распределить работников каждой трудовой бригады по полям так, чтобы за рабочий день было
убрано максимально возможное количество картофеля;
2) Определить сколько центнеров картофеля будет убрано с четырех полей при оптимальном
распределении работников.
Необходимые исходные числовые данные приведены в таблице 2.2.
Таблица 2.2.
Номер варианта
Параметр
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
а1
85
95
95
45
54
70
49
75
92
79
а2
45
34
57
69
73
99
87
51
51
60
а3
65
72
31
76
86
80
75
67
85
33
B1
50
66
77
49
75
47
45
72
79
85
B2
45
32
97
71
43
60
75
65
93
68
B3
41
45
67
58
42
49
74
36
45
84
B4
41
80
95
60
95
43
95
83
52
53
Р11
5
5
4
6
8
3
4
4
6
10
Р12
9
8
3
7
6
7
3
10
7
10
Р13
4
2
7
6
2
2
4
8
8
6
Р14
7
4
6
5
6
5
4
2
1
5
15
Р21
Р22
Р23
Р24
Р31
Р32
Р33
Р34
8
4
2
3
4
8
2
4
7
6
7
1
5
4
3
4
7
9
5
1
6
5
5
8
3
10
4
8
6
8
9
4
5
7
5
6
6
7
8
3
2
3
4
6
6
4
3
5
8
8
2
4
8
8
4
8
2
5
9
3
7
8
8
7
2
2
9
8
3
3
6
7
9
6
7
2
5
7
9
3
17
40
80
75
45
70
70
90
4
3
4
4
8
8
2
4
8
8
4
8
18
70
51
60
70
65
30
80
4
10
8
2
2
5
9
3
7
8
8
7
19
90
50
80
70
90
45
50
6
7
8
1
2
2
9
8
3
3
6
7
20
70
60
30
80
60
80
503
10
10
6
5
9
6
7
2
5
7
9
3
Продолжение таблицы 2.2.
Параметр
А1
А2
А3
B1
B2
B3
B4
Р11
Р12
Р13
Р14
Р21
Р22
Р23
Р24
Р31
Р32
Р33
Р34
11
80
40
60
40
40
40
80
5
9
4
7
8
4
2
3
4
8
2
4
12
90
30
70
60
30
40
95
5
8
2
4
7
6
7
1
5
4
3
4
13
90
50
30
70
90
60
60
4
3
7
6
7
9
5
1
6
5
5
8
Номер варианта
14
15
16
45
50
70
60
70
90
70
80
80
40
75
40
70
43
50
50
40
40
90
40
40
6
8
3
7
6
7
6
2
2
5
6
5
3
5
2
10
7
3
4
5
4
8
6
6
6
6
6
8
7
4
9
8
3
4
3
5
Методические указания
Постановка задачи:
Однородный груз сосредоточен у m поставщиков в объемах а1, а2, …, аm.
Данный груз необходимо доставить n потребителям в объемах, b1, b2, … , bn.
Известен Сij (i= 1, 2, … , m; j=1, 2 ,…, n) – стоимости перевозки единицы груза от каждого i-го поставщика
каждому j-му потребителю.
Требуется составить такой план перевозок, при котором запасы всех поставщиков вывозятся
полностью, запросы всех потребителей удовлетворяются полностью и суммарные затраты на перевозку всех
грузов минимальны.
Исходные данные транспортной задачи записываются в таблице вида:
bj
b1
b2
…
bn
аi
С11
С12
…
С1n
а1
С21
С22
…
С2n
а2
…
…
…
…
…
Cm1
Cm2
...
Cmn
аm
Переменными (неизвестным) транспортной задачи являются xij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n) – объемы
перевозок от каждого i-го поставщика j-му потребителю. Эти переменные могут быть записаны в виде
матрицы перевозок.
x11
x
X 21
...
x
m1
x12
x22
...
xm 2
... x1n
... x2 n
( xij )
... ...
... xmn
16
Математическая модель транспортной задачи
Математическая модель транспортной задачи в общем виде имеет вид:
m
n
Z ( X ) cij xij
min
i 1 j 1
n
x
j 1
ij
m
x
i 1
ij
ai , i 1,2,..., m,
b j , j 1,2,...n,
xij 0.
Целевая функция задачи Z(X) выражает требование обеспечить минимум суммарных затрат на
перевозку всех грузов. Вторая группа из уравнений ограничений записанных в общем виде, выражает
требование, что запасы всех m, поставщиков вывозятся полностью, а также полностью должны
удовлетворятся запросы всех n потребителей. Последнее неравенство является условием неотрицательности
всех переменных.
В рассмотренной математической модели транспортной задачи предполагается, что суммарные
запасы поставщиков равны суммарным запросам потребителей, т.е.
m
n
a b .
i 1
i
j 1
j
Такая задача называется сбалансированной, а её модель закрытой. Если же это равенство не
выполняется, то задача называется несбалансированной (с неправильным балансом), а её модель –
открытой (не решаемой).
Для того чтобы транспортная задача линейного программирования имела решение, необходимо,
чтобы суммарные запасы поставщиков равнялись суммарным запросам потребителей, т.е. задача должна
быть сбалансированной.
Математическая модель двойственной задачи:
m
n
i 1
j 1
Z ' aiU i b jV j
max
U i V j C ij
U i ,V j произвольного знака
если целевая функция Z’ стремится к минимуму то в системе ограничении меняется знак:
U i V j C ij экономический смысл перемененных двойственной задачи:
1)
2)
3)
4)
5)
Ui – условная оценка i-го поставщика (условная плата поставщика перевозчику);
Vj – условная оценка j-го потребителя (условная плата потребителя перевозчику).
Ui, Vj – называются потенциалами.
Определения:
Если задача открыта, то необходимо добавить фиктивного поставщика или потребителя с
недостающим объемом поставки и нулевой стоимостью перевозки. Распределение поставки фиктивному
потребителю (поставщику), идет в последнюю очередь.
Клетка в плане перевозок называется базисной (закрытой), если в нее ставится перевозка.
Количество базисных клеток определяется соотношением r=m+n-1. опорное решение не может
иметь базисных клеток больше, чем r.
План называется вырожденным, если количество базисных клеток меньше r, т.е. базисных клеток не
хватает при выполненном условии, что объем поставок поставщиков распределен полностью и спрос
потребителей также удовлетворен. В этом случае необходимо добавить нулевую перевозку.
Если в задаче указана не только стоимость перевозки, но и стоимость производства товара, тогда
необходимо сложить эти стоимости с учетом перевозки товара от i-го поставщика j-му потребителю. Кроме
того, математическая модель составляется с учетом этой суммарной стоимости.
17
Алгоритм решения транспортных задач.
Составить опорный план, т.е. начальное приближение.
Составить математическую модель исходной прямой и математическую модель двойственной
1)
2)
задач.
3)
Пользуясь методом наименьшего (наибольшего) элемента и методом потенциалов найти улучшение
исходного опорного плана до тех пор, пока он не будет удовлетворять условию оптимальности.
Метод наименьшего элемента.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Сбалансировать задачу (убедиться, что задача сбалансирована).
Определить свободную клетку с наименьшей стоимостью перевозки. Если таких клеток несколько,
то выбрать клетку с наибольшей потенциальной грузоперевозкой. Если и таких клеток несколько, то
выбирается любая из этих клеток.
В выбранную клетку поставить максимально возможную грузоперевозку для потребителя от
поставщика.
Проверить, остался ли нераспределенным груз у этого поставщика.
Если груз распределен не полностью, то применяем п.2 относительно строки этого поставщика.
Продолжать до тех пор, пока груз этого поставщика будет полностью распределен.
Если груз поставщика распределен полностью, проверить, полностью ли удовлетворен объем потребителя.
Если потребитель полностью удовлетворен, то применить пункт 2 относительно оставшихся поставщиков и
потребностей в таблице.
Если объем потребителя полностью не удовлетворен, тогда применяется пункт 2 относительно
соответствующего столбца.
Проверить план на вырожденность. Количество базисных клеток должно быть равным r=m+n-1.
Если план вырожденный, то поставить фиктивное значение груза так, чтобы иметь возможность найти
потенциалы всех базисных клеток (ставить нулевую перевозку).
Проверить на оптимальность и по возможности дальше улучшить, перейдя к методу потенциалов.
Метод потенциалов.
1)
Для всех базисных клеток создать систему уравнений вида U i V j C ij .
Выбрать переменную Ui или Vj, которой соответствует наибольшее количество занятых клеток, приравнять
её к нулю, решить систему уравнений относительно Ui и Vj и найти эти значения.
2)
Для всех свободных клеток составить и проверить выполнение неравенств: U i V j Cij
3)
4)
5)
6)
7)
Условия оптимальности: если для всех свободных клеток выполняется это неравенство, то тогда найден
оптимальный план.
Если хотя бы для одной клетки не выполняется это неравенство, то необходимо улучшить опорный план с
помощью коэффициента перераспределения W.
Находим клетку, где сильнее всего не выполняется неравенство. Если таких клеток несколько, то
выбирается любая. В эту клетку ставим W со знаком «+».
Построить контур перераспределения груза, начиная с выбранной клетки, исходя из следующих
правил:
В строке и столбце должно быть четное число W;
Контур меняет направление только в базисных клетках;
Коэффициент W меняет свой знак с «+» на «-» поочередно в углах контура.
После построения контура отметить, в каких базисных клетках коэффициент W стоит с
отрицательным знаком. Из этих клеток найти клетку с наименьшим значением перевозки, коэффициент W
будет равен перевозке в выбранной клетке.
Найти новый план, перераспределив найденное значение W по контуру с учетом знаков «+» и «-»,
прибавляя или уменьшая стоящую в клетке перевозку.
Проверить новый план в соответствии в п.2. если неравенства для свободных клеток выполняются,
значит найденный план оптимален.
Если в математической модели целевая функция на максимум (Zmax), то задача решается методом
максимального элемента, т.е. грузоперевозка (Xij) распределяется при составлении опорного плана с учетом
наибольшего значения Cij аналогично метода наименьшего элемента. В методе потенциалов проверяется
выполнение неравенства U i V j Cij
18
Рассмотрим задачи:
Задача № 1
План перевозок:
Поставщики Аi
Запасы аi
Себестоимость
А1
А2
А3
2
3
1
400
300
500
Потребители Вj:
В1
В2
350
250
2
6
6
2
6
10
В3
150
4
7
7
В4
250
7
1
5
Решение:
Проверяем на сбалансированность
3
a
i 1
i
400 300 500 1200 ед.
j
350 250 150 250 1000ед.
4
b
j 1
3
4
i 1
j 1
ai b j 200
Задача не сбалансированная. Введем фиктивного потребителя В5 с потребностью в грузе, равной 200 ед.
Стоимость перевозки для фиктивного потребителя определим равной нулю.
В качестве общей стоимости будем брать сумму затрат на доставку единицы продукции из
соответствующего пункта и ее себестоимость в этом пункте.
Математическая модель прямой задачи
Z 4 x11 8x12 6 x13 9 x14 9 x21 5x22 10 x23 4 x24 7 x31 11x32 8x33 6 x34 100 x35
min
при условии что,
x11 x12 x13 x14 x15 400,
x11 x21 x31 350,
x21 x22 x23 x24 x25 300,
x12 x22 x32 250,
x31 x32 x33 x34 x35 500,
x13 x23 x33 150,
xij 0
x14 x24 x34 250,
x15 x25 x35 200,
xij 0
Математическая модель двойственной задачи:
Z ' 400U1 300U 2 500U 3 350V1 250V2 150V3 250V4 200V5
max
U i V j Cij , U i ,V j произвольного знака
Экономический смысл переменных:
Z – целевая функция прямой задачи (суммарные затраты);
Z' – целевая функция двойственной задачи (суммарная потенциальная прибыль от перевозки груза);
Сij – стоимость перевозки единицы продукции из i-го пункта в j-ый;
19
Xij – объем перевозок от i-го поставщика j-му потребителю;
Ui – условная плата перевозчику за вывоз единицы груза из i-го пункта отправления;
Vj – условная плата перевозчику за доставку единицы груза в j-ый пункт назначения.
Потребители
Поставщики
В1
В2
В3
В4
В5
350
250
150
250
200
50
А1
400
U1=-2
+W
350
4
8
100
А2
-W
Ui
6
9
+W
0
200
-W
U2=-6
300
9
5
150
А3
-W
10
100
+W
0
4
250
U3 =0
500
7
Vj
V1=6
8
11
V2=11
V3=8
6
V4=6
0
V5= 6
W=50
Проверяем на вырожденность:
R=m+n-1=3+5-1=7
m= 3 – количество поставщиков;
n = 5 – количество потребителей.
Базисных клеток 7, план не вырожден.
Проверяем план на оптимальность, используя метод потенциалов. Для базисных клеток составляем систему
уравнений Ui + Vj = Сij находим значение потенциалов так как переменных на 1 больше, чем уравнений,
то переменной U3 присваиваем значение 0 и решаем систему уравнений, получаем
U1 V1 4,
U1 V3 6,
U 2 V2 5,
U 2 V5 0,
U 3 V2 11,
U 3 V3 8,
U 3 V4 6.
V1 6, V2 11, V3 8, V4 6, V5 6, U1 2, U 2 6, U 3 0.
Проверяем выполнение неравенства в свободных: клетках Ui + Vj ≤ Сij
U1 V2 8,
U1 V4 9,
U1 V5 0,
U 2 V1 9,
U 2 V3 10,
U 2 V4 4,
U 3 V1 7,
U 3 V5 0.
20
более всего не выполняется условие Ui + Vj ≤ Сij, сюда ставим «+W», строим контур перераспределения W и
находим его значение:
W min 50;150;200 50 Перераспределяем W=50 по контуру.
Составляем следующий план:
Потребители
Поставщики
В1
В2
В3
В4
В5
350
250
150
250
200
350
А1
-W
50
Ui
+W
U1=-6
400
4
8
150
А2
6
9
+W
0
150
-W
300
5
9
+W
А3
100
-W
10
150
U2=-6
0
4
250
U3 =0
500
7
Vj
V1=10
11
V2=11
8
V3=8
6
0
V4=6
V5= 6
W=100
Так как переменных на i больше, чем уравнений, то переменной U3 присваиваем значение 0 и решаем
систему уравнений, получаем
U1 V1 4,
U1 V5 0,
U 2 V2 5,
U 2 V5 0,
U 3 V2 11,
U 3 V3 8,
U 3 V4 6.
V1 10, V2 11, V3 8, V4 6, V5 6, U1 6, U 2 6, U 3 0
проверяем выполнение неравенства в свободных клетках Ui + Vj ≤ Сij,
U1 V2 8,
U1 V3 6,
U1 V4 9,
U 2 V1 9,
U 2 V3 10,
U 2 V4 4,
U 3 V1 7,
U 3 V5 0.
– более всего не выполняется условие Ui + Vj ≤ Сij, сюда ставим «+W», строим контур
перераспределения W и находим его значение: W min 350;150;100 100
перераспределяем W=100 по контуру.
21
Составляем следующий план:
Потребители
Поставщики
А1
400
В1
В2
В3
В4
В5
350
250
150
250
200
250
150
4
А2
300
А3
500
Vj
Ui
6
9
5
10
4
0
6
0
250
0
50
9
100
150
7
V1=7
U1=-3
8
250
11
V2=8
8
V3=8
V4=6
U2=-3
U3 =0
V5= 3
U1 V1 4,
U1 V5 0,
U 2 V2 5,
U 2 V5 0,
U 3 V1 7,
U 3 V3 8,
U 3 V4 6.
V1 7, V2 8, V3 8, V4 6, V5 3, U1 3, U 2 3, U 3 0
Проверяем выполнение неравенства Ui + Vj ≤ Сij, в свободных клетках:
U1 V2 8,
U1 V3 6,
U1 V4 9,
U 2 V1 9,
U 2 V3 10,
U 2 V4 4,
U 3 V2 11,
U 3 V5 0.
Неравенство Ui + Vj ≤ Сij,в свободных клетках выполняется, построенной план является оптимальным.
Анализ решения.
1.
Оптимальный план перевозки продукции:
– от поставщика А1 перевозится 250 ед. продукции потребителю В1; 150 ед. продукции остается у
поставщика;
– от поставщика А2 перевозится 250 ед. продукции потребителю В2; 50 ед продукции остается у поставщика;
– от поставщика А3 перевозится 100 ед.продукции потребителю В1, 150 ед, потребителю В3, 250 ед.
потребителю В4 .
2.Суммарные затраты на изготовление и перевозку продукции:
Zmin 250 4 250 5 100 7 150 8 250 6 5650 ден. ед.
22
Задача №2
Трудовые бригады Б-1, Б-2 и Б-3 численностью 70, 99 и 80 человек принимают участие в
сельскохозяйственных работах. Для уборки картофеля на полях П1, П2, П3 и П4 необходимо выделить
соответственно 47, 59, 49 и 43 человека. Производительность труда работников зависит от урожайности
картофеля, от численности бригады и характеризуется для указанных бригад и полей в центнерах на человека
за рабочий день и представлена в матрице:
Сумма = 198
Bj
П1
П2
П3
П4
Ai
47
59
49
43
3
7
2
5
Б-1
70
2
3
4
6
Б-2
99
6
4
3
5
Б-3
80
Сумма = 249
Требуется:
Распределить работников по полям так, чтобы за рабочий день было собрано максимально возможное
количество картофеля;
2)
Определить, сколько центнеров картофеля будет убрано с четырех полей при оптимальном
распределении работников.
1)
Решение:
1.Проверяем задачу на сбалансированность.
Общее количество человек в бригадах на 51 больше требуемого общего количества человек для уборки
картофеля.
Задача является не сбалансированной.
Чтобы сбалансировать задачу, добавляем фиктивное картофельное поле, для уборки которого нужно
выделить 51 человека. Производительность труда работников на фиктивном поле принимаем равной
НУЛЮ ( Рij=0).
Составляем исходную таблицу
табл.1
Bj
Ai
Б-1
Б-2
Б-3
Сумма = 249
70
99
80
П1
47
3
2
6
П2
59
7
3
4
П3
49
2
4
3
Обозначения:
П5 – фиктивное картофельное поле;
Рij – производительность труда работника i -й бригады на j – м картофельном поле;
xij – количество рабочих, направляемое из i -й бригады на j-ое картофельное поле;
Ui – условные оценки i -й бригады;
Vj – условные оценки картофельных полей.
П4
43
5
6
5
Сумма = 249
П5
51
0
0
0
23
1.Составляем математическую модель прямой и двойственной задач.
Математическая модель прямой задачи:
Целевая функция (на максимум)
Z max 3x11 7 x12 2 x13 5x14 2 x21 3x22 4 x23 6 x24 6 x31 4 x32 3x33 5x34
Система ограничений:
x11 x12 x13 x14 x15 70,
x11 x21 x31 47,
x21 x22 x23 x24 x25 99,
x12 x22 x32 59,
x31 x32 x33 x34 x35 80,
x13 x23 x33 49,
xij 0
x14 x24 x34 43,
x15 x25 x35 51,
x ji 0
Математическая модель двойственной задачи.
Z min 70U1 99U 2 80U 3 47V1 59V2 49V3 43V4 51V5
U i V j Cij , U i ,V j произвольного знака
Решаем задачу по методу максимального элемента.
Составляем опорный план (табл. 2)
Bj
П1
П2
П3
Ai
47
59
49
Табл.2
П4
43
11
59
Б-1
П5
51
Ui
–W
+W
U1=-1
70
3
18
Б-2
7
-W
2
49
5
32
0
+W
U2= 0
99
2
29
3
4
6
+W
0
51
-W
Б-3
U3 =4
80
6
Vj
V1=2
4
V2=8
Проверяем на вырожденность.
Z= m+n-1=3+5-1=7
Базисных клеток 7. План не вырожден.
Проверяем опорный план на оптимальность.
Задаем U2 = 0 и определяем значения потенциалов.
3
V3=4
5
V4=6
0
V5= -4
W=11
24
U 2 V1 2, V1 2,
U 2 V3 4, V3 4,
U 2 V4 6, V4 6,
U 3 V1 6, U 3 6 V1 6 2 4,
U 1 V2 7, V2 7 U 1 7 (1) 8,
U 1 V4 5, U 1 5 V4 5 6 1,
U 3 V5 0, V5 0 U 3 4,
Вычисляем оценки для всех незаполненных клеток (ij)
11 U 1 V1 3 1 2 3 2
12 U 1 V3 2 1 4 2 1
15 U 1 V5 0 1 (4) 0 5
22 U 2 V2 3 0 8 3 5
25 U 2 V5 0 0 (4) 0 4
32 U 3 V2 4 4 8 4 8
33 U 3 V3 3 4 4 3 5
34 U 3 V4 5 4 6 5 5
Опорное решение не является оптимальным, так как имеются отрицательные оценки.
Переходим к следующему плану.
Для клетки (1,5) с наименьшей оценкой (-5) строим цикл. Ставим в эту клетку коэффициент W со знаком
«+» и применяя метод наибольшего элемента находим цикл, (табл. 2). Определяем из цикла W =11
Осуществляем сдвиг W =11 по циклу
Табл.3
Bj
П1
Ai
47
Б-1
с учетом знаков “+” и “-“, строим следующий план (табл. 3)
П2
59
П4
43
П5
51
3
7
Ui
11
59
70
Б-2
П3
49
7
-W
2
49
U1=4
5
0
+W
43
U2= 0
99
2
40
Б-3
3
4
6
+W
0
40
-W
U3 =4
80
6
Vj
V1=2
4
V2=3
3
V3=4
5
V4=6
Проверяем план на оптимальность методом максимального элемента, как в п.З.
Задаем U2 = 0 и определяем значения потенциалов.
0
V5= -4
25
U 2 V1 2, V1 2,
U 2 V3 4, V3 4,
U 2 V4 6, V4 6,
U 3 V1 6, U 3 6 V1 6 2 4,
U 3 V5 0, V5 0 U 3 4,
U1 V5 0, U1 0 V5 0 (4) 4,
U1 V2 7, V2 7 U1 7 4 3,
Вычисляем оценки для всех незаполненных клеток (ij)
11 U 1 V1 3 4 2 3 3
13 U 1 V3 2 4 4 2 6
14 U 1 V4 5 4 6 5 5
22 U 2 V2 3 0 3 3 0
25 U 2 V5 0 0 (4) 0 4
32 U 3 V2 4 4 3 4 3
33 U 3 V3 3 4 4 3 5
34 U 3 V4 5 4 6 5 5
Определяем из цикла W=7
Осуществляем сдвиг W=7 по циклу и строим следующий план (табл. 4).
Таблица 4
П1
47
Bj
Ai
Б-1
П2
59
П3
49
П4
43
3
7
2
49
99
2
43
3
0
7
4
6
0
U2= 0
0
U3 =0
33
6
80
Vj
U1=0
5
47
Б-3
Ui
11
59
70
Б-2
П5
51
V1=6
4
V2=7
Проверяем план на оптимальность методом максимального
элемента, как в п.З.
Задаем U2 = 0 и определяем значения потенциалов.
3
V3=4
5
V4=6
V5= 0
26
U 2 V3 4, V3 4,
U 2 V4 6, V4 6,
U 2 V5 0, V5 0,
U 3 V5 0, U 3 0,
U 3 V1 6, V1 6,
U1 V5 0, U1 0,
U1 V2 7, V2 7,
Вычисляем оценки для всех незаполненных клеток (ij)
11 U1 V1 3 0 6 3 3
13 U1 V3 2 0 4 2 2
14 U1 V4 5 0 6 5 1
21 U1 V1 2 0 6 2 4
нет отрицательных оценок
22 U1 V2 3 0 7 3 4
32 U 3 V2 4 0 7 4 3
33 U 3 V3 3 0 4 3 1
34 U 3 V4 5 0 6 5 1
план табл. 4 оптимален.
Определяем значение целевой функции прямой и двойственной задачи:
Z max 7 59 4 49 6 43 6 47 1149
Z min 6 47 7 59 4 49 6 43 1149
Исходя из первой теоремы двойственности в условии нашей задачи Zmax=Zmin=1149 (Z=Z’) последний план
оптимален
Анализ решения:
1) Чтобы за рабочий день было убрано максимально возможное количество картофеля, следует
распределить работников по полям следующим образом:
– Из Б-1 выделить 59 человек для уборки картофеля на втором поле П2, а 11 человек останутся в Б-1;
– из Б-2 выделить 49 человек для уборки картофеля на П З и 43 человека для уборки картофеля на П4, а 7
человек останутся в Б-2;
– из Б-3 выделить 47 человек для уборки картофеля на П1, а 33 человека оставить в Б-3.
2) При данном оптимальном распределении работников с четырех полей будет убрано 1149 центнеров
картофеля.
27
Контрольные вопросы.
1.Как сформулировать постановку транспортной задачи ?
2.Какие величины в математической модели транспортной задачи постоянные и какие переменные?
3.Как составить математическую модель прямой и двойственной транспортной задачи?
4.Какая клетка в плане транспортной задачи называется «базисной» и какая «свободной»?
5.Приведите пример сбалансированной и несбалансированной транспортной задачи. Как сбалансировать
исходный план транспортной задачи?
6.Поясните понятие «вырожденность» и «невырожденность» плана. Как построить «невырожденный» план?
7.Алгоритм метода наименьшего (наибольшего) элемента.
8.Метод потенциалов и его алгоритм.
9.Какой план транспортной задачи называется опорным?
10.Какой критерий оптимальности плана транспортной задачи?
11.Поясните понятие «коэффициент перераспределения груза – W» и как он определяется?
12.Как построить контур перераспределения W?
13.Анализ решения транспортной задачи.
ЗАДАНИЕ 3. Тема: «ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ».
Задача 3.1
Для реконструкции и модернизации производства на четырех предприятиях выделены денежные
средства С = 80 ден. ед. По каждому предприятию известен возможный прирост gi(х) (i = 1, 4) выпуска
продукции в зависимости от выделенной суммы. Требуется:
1) распределить средства С между предприятиями так, чтобы суммарный прирост продукции на всех
четырех предприятиях достиг максимальной величины;
2) используя решение основной задачи, найти оптимальное распределение 80 ден. ед. между тремя
предприятиями.
Необходимые числовые данные приведены в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Параметр
f 1(20)
f 1(40)
f 1(60)
f 1(80)
f 2(20)
f 2(40)
f 2(60)
f 2(80)
f 3(20)
f 3(40)
f 3(60)
f 3(80)
f 4(20)
f 4(40)
f 4(60)
f 4(80)
1
9
18
24
38
11
19
30
44
16
32
40
57
13
27
44
69
2
9
17
29
38
11
34
46
53
13
28
37
49
12
35
40
54
3
7
29
37
41
9
19
28
37
17
27
37
48
16
30
42
65
4
9
10
35
44
12
25
34
46
11
20
32
48
14
23
40
50
Номер варианта
5
6
7
9
11
12
18
21
26
29
40
40
41
54
60
8
13
16
19
20
21
30
42
36
47
45
49
12
12
9
25
22
17
51
34
35
58
55
51
7
10
15
15
27
25
52
33
51
59
57
62
8
14
24
37
45
12
30
42
58
13
25
45
62
7
33
46
60
9
16
28
36
49
10
29
42
50
15
27
46
58
17
23
38
53
0
12
28
39
47
14
26
40
51
11
24
43
51
16
21
36
49
Методические указания
ЗАДАЧА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СРЕДСТВ .
Пример:
имеется запас средств, который нужно распределить между предприятиями, чтобы получить
наибольшую прибыль. Пусть начальный капитал S0=100 д.ед. Функции дохода предприятий даны в матрице
прибылей по каждому предприятию.
28
1 предприятие
f (х1)
3
4
9
11
12
Х
20
40
60
80
100
2 предприятие
f (х2)
2
5
8
7
15
3 предприятие
f (х3)
3
4
9
5
12
4 предприятие
f (х4)
3
6
8
7
14
Решение:
математическая модель прямой задачи:
4
Z Fi ( xi )
max
x
i 1
i
100
xi 0, i 1,2,3,4.
Задача решается с использованием принципа Белмана.
Каковы бы ни были начальное состояние на любом шаге и управление, выбранное на этом шаге,
последующие управления должны выбираться оптимальными относительно состояния, к которому придет
система в конце каждого шага. Использование данного принципа гарантирует, что управление, выбранное
на любом шаге, не локально лучше, а лучше с точки зрения процесса в целом.
Схема решения:
4 предприятия
денег всего S0=80
Условная оптимизация-1 этап
So____Iпр________ S1____ IIпр_________ S2__ IIIпр______ S3___
1шаг
2 шаг
3 шаг
х1
х2
х3
f(x1)
f(x2)
f(x3)
IVпр________S4
4 шаг
х4
f(x4)
F4=max{f(x4)}
Безусловная
оптимизация - 2 этап
F3=max{ f(x3)+F4}
F2=max{ f(x2)+F3}
F1=max{ f(x1)+F2}
Экономический смысл обозначений:
xi – количество денег, вкладываемых в i предприятие.
Si – количество денег, оставшихся после вложения в i-предприятие (состояние системы на i-шаге);
F(xi) – прибыль от вложенной суммы денег;
S0 – начальный капитал.
29
Рассмотрим 4 шаг:
Для 4-го предприятия может остаться либо 0, либо 20, либо 40, либо 60, либо 100 д.ед.Тогда
прибыль от вложения денег можно получить следующую.
Х4
0
20
40
60
80
100
S3
0
20
40
60
80
100
f (x4)
0
3
6
8
7
14
F4
0
3
6
8
7
14
Рассмотрим 3-й шаг.
Для 3-го и 4-го предприятия может остаться либо 0, либо 20, либо 40, либо 60, либо 100 д.ед.
Рассмотрим первую возможность. Если 3-му предприятию мы выдаем 20 д.ед. то 4-му предприятию ничего
не остается, и наоборот. Соответственно 40 д.ед.можно поделить так (0;40), (20;20);
60 д.ед. – (0;60), (20;40), (40;20), (60;0).
Прибыль от вложения денег в 3-е предприятие берется в исходной матрице прибылей, а прибыль от
вложений, денег в 4-е предприятие берется из таблицы предыдущего шага
Прибыль на 3-м шаге берется максимальной по каждому вложению.
Вклад
Проект
Остаток
S2
0
Х3
0
0
20
0
20
40
0
20
40
60
0
20
40
60
80
0
20
40
60
80
100
S3
0
20
0
40
20
0
60
40
20
0
80
60
40
20
0
100
80
60
40
20
0
20
40
60
80
100
Прибыль из
матрицы
f (x3)
0
0
3
0
3
4
0
3
4
9
0
3
4
9
5
0
3
4
9
5
12
Прибыль за
шаг
F4
0
3
0
6
3
0
8
6
3
0
7
8
6
3
0
14
7
8
6
3
0
f+F
0
3
3
6
6
4
8
9
7
9
7
11
10
12
5
14
10
12
15
8
12
Прибыль на
шаге
F3
0
3
6
9
12
15
30
Рассмотрим 2 шаг.
Вклад
Проект
Остаток
S1
0
Х2
0
0
20
0
20
40
0
20
40
60
0
20
40
60
80
0
20
40
60
80
100
S2
0
20
0
40
20
0
60
40
20
0
80
60
40
20
0
100
80
60
40
20
0
20
40
60
80
100
Прибыль из
матрицы
f (x2)
0
0
2
0
2
5
0
2
5
8
0
2
5
8
7
0
2
5
8
7
15
Прибыль за
шаг
F3
0
3
0
6
3
0
9
6
3
0
12
9
6
3
0
15
12
9
6
3
0
Прибыль из
матрицы
f (x2)
0
3
4
9
11
12
Прибыль за
шаг
F3
15
12
9
6
3
0
f+F
0
3
2
6
5
5
9
8
8
8
12
11
11
11
7
15
14
14
14
10
15
Прибыль на
шаге
F2
0
3
6
9
12
15
Рассмотрим 1 шаг.
Вклад
Проект
Остаток
S1
Х2
0
20
40
60
80
100
S2
100
80
60
40
20
0
100
f+F
15
15
13
15
14
12
Прибыль на
шаге
F2
15
Анализ результатов:
Максимальная прибыль равна 15 д.ед. Расположить денежные средства между проектами можно
несколькими способами:
1)
2)
3)
4)
5)
1 проект – 0 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 60 д.ед., 4 проект – 40 д.ед.
1 проект – 0 д.ед., 2 проект – 100 д.ед., 3 проект – 0 д.ед., 4 проект – 0 д.ед.
1 проект – 20 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 60 д.ед., 4 проект – 20 д.ед.
1 проект – 60 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 20 д.ед., 4 проект – 20 д.ед.
1 проект – 60 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 0 д.ед., 4 проект – 40 д.ед.
31
ЗАДАНИЕ 4. Тема: "Игровые модели в задачах принятия решений."
АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ
Задача 4.1
Из платежной матрицы вариантов решений найти нижнюю и верхнюю цену игры.
Упростить платежную матрицу, решить задачу геометрическим методом.
Найти оптимальную стратегию игрока А и его выигрыш. Данные платежной матрицы
представлены в таблице 4.1.
Таблица
4.1
Параметр
а11
а12
а13
а21
а22
а23
а31
а32
а33
1
5
4
7
5
9
9
2
1
5
2
2
2
5
1
0
3
2
4
4
3
7
10
4
2
5
2
3
8
3
4
4
4
9
7
4
5
9
2
9
Номер варианта
5
6
2
4
1
1
4
5
7
3
3
6
4
6
5
4
3
5
3
1
7
2
4
1
4
3
2
5
5
4
8
2
6
4
8
7
5
5
6
2
9
7
6
5
8
1
3
3
6
2
10
4
10
2
9
1
2
7
8
1
Стохастические модели теории игр
Задача 4.2
Найти оптимальные стратегии 1-го игрока (игрок А) исходя из различных критериев в игре с
полной неопределенностью относительно второго игрока (игрок В- природа). Данные даны в
таблице 4.2
Таблица 4.2
Параметр
а11
а12
а13
а21
а22
а23
а31
а32
а33
γ
р1
р2
р3
1
4
2
6
3
6
10
1
5
9
0,9
0,36
0,53
0,11
2
4
2
6
3
7
10
1
5
9
0,2
0,67
0,15
0,18
3
8
2
2
3
7
6
6
6
4
0,7
0,40
0,08
0,52
4
5
7
7
10
4
5
6
6
9
0,6
0,23
0,54
0,23
Номер варианта
5
6
4
7
7
3
1
2
6
1
4
6
4
3
4
7
2
9
5
2
0,8
0,1
0,31
0,16
0,12
0,40
0,57
0,44
7
5
2
3
7
6
4
8
1
5
0,5
0,37
0,37
0,26
8
8
2
9
8
8
4
8
2
9
0,6
0,70
0,03
0,28
9
1
7
6
4
7
1
4
5
2
0,7
0,13
0,74
0,13
10
5
4
5
1
6
6
2
7
6
0,9
0,25
0,35
0,40
32
Задача 4.3
Предприятие имеет возможность самостоятельно планировать объемы выпуска
сезонной продукции А1, А2, А3. Не проданная в течение сезона продукция позже
реализуется по сниженной цене. Данные о себестоимости продукции, отпускных ценах и
объемах реализации в зависимости от уровня спроса приведены в таблице:
Вид продукции
А1
А2
А3
Себестоимость Цена единицы продукции
в течение
сезона
p1
p2
p3
d1
d2
d3
после уценки
Объем
реализации
при уровне
спроса
1
2
3
q1
q2
q3
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
Требуется:
1) придать описанной ситуации игровую схему, указать допустимые стратегии сторон,
составить платежную матрицу игры.
2) дать рекомендации об объемах выпуска продукции по видам, обеспечивающих
предприятию наивысшую прибыль.
(a) При условии, что вероятности известны.
(b) При условии, что вероятности того или иного спроса одинаковы.
(c) При условии, что про вероятности неопределенны.
Указание1. Для уменьшения размерности платежной матрицы считать, что одновременно
на все три вида продукции уровень спроса одинаков: повышенный, средний или
пониженный.
Указание2. Использовать критерии Байеса( вероятности равны 0,25, 0,4, 0,35
соответственно), Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица (значение параметра в критерии
Гурвица равно 0,6).
Исходные данные приведены в табл. 4.3.
Таблица 4.3
d1
d2
d3
p1
p2
p3
q1
q2
q3
a1
a2
a3
1
0,4
1,0
0,8
2,4
2,0
2,9
1,5
1,0
1,3
13
17
13
2
0,1
0,1
0,6
2,7
2,1
2,5
1,5
1,6
1,3
16
15
14
3
0,6
0,7
0,2
2,7
2,2
3,0
1,6
1,5
1,7
12
17
12
4
0,9
0,8
0,4
2,4
2,4
2,3
1,0
1,5
1,9
20
16
19
5
0,9
1,0
0,6
2,1
2,4
2,2
1,9
1,9
1,4
10
14
16
6
1,0
0,5
0,7
2,1
2,2
3,0
1,1
1,4
1,3
10
19
19
7
0,0
0,3
0,6
2,4
2,8
2,8
1,9
1,3
1,2
20
10
20
8
0,4
0,8
0,2
2,9
2,0
2,2
1,3
1,8
1,8
15
20
19
9
0,9
0,4
1,0
2,3
2,1
2,8
1,9
1,6
1,4
17
17
11
0
0,1
0,8
0,7
2,9
2,1
2,8
1,7
2,0
1,1
16
19
13
33
b1
b2
b3
c1
с2
c3
6
6
9
3
2
2
10
9
5
2
3
5
5
9
8
5
3
2
7
6
8
1
5
3
7
8
9
5
3
4
7
8
9
5
7
5
6
9
8
3
4
5
9
9
9
6
2
3
5
5
6
2
6
3
8
6
9
5
4
6
Методические указания
Рассмотрим задачу.
Предприятие может выпускать три вида продукции – A1, A2 и A3, получая при этом прибыль,
зависящую от спроса, который может быть в одном из четырех состояний – B1, B2, B3, B4. Дана матрица, ее
элементы aij характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске i-й продукции при j-м
состоянии спроса.
Продукция
A1
A2
A3
B1
3
9
7
Состояние спроса
B2
B3
3
6
10
4
7
5
B4
8
2
4
Определить оптимальные объемы выпускаемой продукции, гарантирующие среднюю величину
прибыли при любом состоянии спроса, считая его неопределенным.
Ознакомимся с основными понятиями теории игр.
Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в
конфликте, – игроками, а исход конфликта – выигрышем.
Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая:
1) варианты действий игроков;
2) объем информации о поведении партнеров, которой владеет каждый игрок;
3) выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий. Как правило, выигрыш (или проигрыш) может быть задан количественно.
Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков
больше двух. Мы будем рассматривать только парные игры. В них участвуют два игрока: А и В, интересы
которых противоположны, а под игрой будем понимать ряд действий со стороны игроков А и В.
Игра называется игрой с нулевой суммой или антагонистической, если выигрыш одного из игроков
равен проигрышу другого, т.е. для полного "задания" игры достаточно указать величину выигрыша первого
игрока. Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока.
Стратегией игрока называется совокупность принципов, определяющих выбор его действий при
каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Игра называется конечной, если у каждого
игрока имеется конечное число шагов.
Для того чтобы найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая
удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш,
когда второй игрок придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь
минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются
оптимальными. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т.е. любому
из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.
Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе
оптимальной стратегии естественно полагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих
интересов.
Матрица, элементы которой характеризуют прибыль первого игрока при всех возможных стратегиях,
называется платежной матрицей игры.
Рассматриваемая задача сводится к игровой модели, в которой игра предприятия А против спроса В
задана платежной матрицей
34
A1
A2
A3
βj
B1
3
9
7
9
B2
6
4
5
6
B3
8
2
4
8
αi
3
2
4
B4
8
2
4
8
Обозначим через ai наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии А. для всех возможных
стратегий игрока В (наименьшее число в i-й строке платежной матрицы), т.е. ai = min aij.
Среди всех чисел ai (i = 1, 2, ..., m) Выберем наибольшее: α = max αi. Назовем α нижней ценой игры или
максимальным выигрышем (максими-ном). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии
игрока В. Следовательно, α = max min aij.
Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией. Игрок В заинтересован
в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А. Выбирая стратегию B j, он учитывает максимально возможный
при этом выигрыш для игрока А. Обозначим βj = max aij
Среди всех чисел βj выберем наименьшее: β = min βj и назовем β верхней ценой игры или
минимаксным выигрышем. Это гарантированный проигрыш игрока В.
Следовательно, β = min max aij. Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной
стратегией.
Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" минимаксной и максиминной стратегий,
называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок
стремится достичь цели, противоположной цели противника. Определим нижнюю и верхнюю цену игры и
соответствующие стратегии в задаче: α = 4, β = 6. Так как , то седловая точка отсутствует и
оптимальное решение следует искать в смешанных стратегиях игроков.
Смешанной стратегией SA игрока А называется применение чистых стратегий A1, A2, …, Ai, …, Am c
p i 1 . Смешанные стратеги
вероятностями p1, p2, …, pi, …, pm, причем сумма вероятностей равна 1:
игрок А записываются в виде строки SA = (p1, p2, …, pi, …, pm).
Аналогично смешанные стратегии игрока В обозначаются в виде строки SB = (q1, q2, …, qi, …, qm), где
q i 1 . Итак, SA* = (p1, p2, p3) и SB*= (q1, q2, q3, q4).
сумма вероятностей появления стратегий равна 1:
Обозначив xi = pi /v, i= 1, 2, 3, 4 и yj = pj,/v, j = 1, 2, 3, 4, составить пару двойственных задач линейного
программирования.
прямая задача
двойственная задача
MIN ( Z x1 x 2 x 3 )
MAX ( Z ' y1 y 2 y 3 y 4 )
3 x1 9 x 2 7 x 3 1
3 y1 3 y 2 6 y 3 8 y 4 1
3 x1 10 x 2 7 x 3 1
9 y1 10 y 2 4 y 3 2 y 4 1
6 x1 4 x 2 5 x 3 1
7 y1 7 y 2 5 y 3 4 y 4 1
8 x1 2 x 2 4 x 3 1
y j 0,
j 1, 2, 3, 4
x i 0, i 1, 2, 3
Затем привести математическую модель задачи к каноническому (стандартному) виду и решить
симплексным методом .Из симплексной таблицы с оптимальным решением взять значения параметров (-Z),
xi и вычислить цену игры v, и вероятности применения стратегий pi. Сделать анализ решения.
35
Игры в условиях неопределенности.
Для того чтобы можно сделать вывод о том какую именно стратегию выбирать игроку в зависимости от
имеемой информации о возможной стратегии второго игрока , необходимо использовать критерии Вальда,
Гурвица, Сэвиджа, Лапласа, Байеса.
1. Критерий Вальда. Рекомендуется применять максиминную стратегию.
Она достигается из условия HA= max min αij и совпадает с нижней ценой игры.
j
i
i-строка,
j- столбец.
Критерий является пессимистическим, считается, что природа будет действовать наихудшим для человека
образом, агрессивно, делать все, чтобы помешать нам достигнуть успеха.
Рассмотрим задачу.
Ежедневный спрос на булочки в продовольственном магазине может принимать следующие значения
1
2
3
4
5
100
150
200
250
300
Если булочка не продана днем, то она м.б. реализована за 15 центов к концу дня. Свежие булочки
продаются по 49 центов за штуку. Затраты магазина на одну булочку 25 центов.
Используя игровой подход, определить, какое число булочек надо заказывать ежедневно.
Составим платежную матрицу. Сначала вычислим прибыль (49-25=24) и убыток (15-25=-10).
100
150
200
250
100*24
100*24
100*24
100*24
100
100*24-50*10
150*24
150*24
150*24
150
100*24-100*10
150*24-50*10
200*24
200*24
200
100*24-150*10
150*24-100*10
200*24-50*10
250*24
250
100*24-200*10
150*24-150*10
200*24-100*10
250*24-50*10
300
Платежная матрица примет вид
100
2400
100
1900
150
1400
200
900
250
400
300
150
2400
3600
3100
2600
2100
200
2400
3600
4800
4300
3800
250
2400
3600
4800
6000
5500
300
100*24
150*24
200*24
250*24
300*24
300
2400
3600
4800
6000
7200
Вычислим критерий Вальда - максиминный. Он отражает принцип гарантированного результата:
Олицетворяет позицию крайнего пессимизма: надо ориентироваться всегда на худшие условия, зная
наверняка, что хуже этого не будет. Этот перестраховочный подход для того, кто очень боится проиграть.
Оптимальной считается стратегия, при которой гарантируется выигрыш в любом случае, не меньший,
чем нижняя цена игры с природой:
Нa = max min αij
j
i
Подсчитать min по строкам и выбрать ту стратегию, при которой минимум строки максимален.
А1
2400
А2
1900
А3
1400
А4
900
А5
400
Критерий Вальда рекомендует выбирать стратегию А1.
36
2. Критерий Гурвица (оптимизма - пессимизма). Критерий рекомендует при выборе решения не
руководствоваться ни крайним пессимизмом (всегда рассчитывай на худшее), ни крайним легкомысленным
оптимизмом (авось кривая выведет). Критерий рекомендует стратегию, определяемую по формуле
Ha = Max {γmin aij + (1- γ)max aij}
j
i
i
где γ - степень оптимизма - изменяется в диапазоне [0, 1].
Критерий придерживается некоторой промежуточной позиции, учитывающей возможность как
наихудшего, так и наилучшего поведения природы. При γ = 1 критерий превращается в критерий Вальда,
при γ = 0 - в критерий максимума. На γ оказывает влияние степень ответственности лица, принимающего
решение по выбору стратегии. Чем хуже последствия ошибочных решений, больше желания застраховаться,
тем γ ближе к единице.
Рассмотрим платежную матрицу.
Параметр Гурвица возьмем равным 0,6.
min
max
γmin aij + (1- γ)max aij
2400
2400
2400*0.6+0.4*2400=2400
А1
1900
3600
1900*0.6+3600*0.4=2580
А2
1400
4800
1400*0.6+4800*0.4=2760
А3
900
6000
900*0.6+6000*0.4=2940
А4
400
7200
400*0.6+7200*0.4=3120
А5
Критерий Гурвица рекомендует стратегию А5.
3. Критерий Сэвиджа. Суть критерия состоит в выборе такой стратегии, чтобы не допустить чрезмерно
высоких потерь, к которым она может привести. Находится матрица рисков, элементы которой показывают,
какой убыток понесет человек (фирма), если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей
стратегии.
Элементы матрицы рисков находится по формуле (rij):
rij = max aij - aij
где max aij - максимальный элемент в столбце исходной матрицы.
Оптимальная стратегия находится из выражения
Ha = Min {max(max aij - aij)}
j
i
j
Составим матрицу риска, (max aij - aij).
j
Выберем максимальный элемент в столбце и вычитаем из него остальные элементы столбца, получим
max(max aij - aij).
100
150
200
250
300
Мax
0
1200
2400
3600
4800
4800
А1
500
0
1200
2400
3600
3600
А2
1000
500
0
1200
2400
2400
А3
1500
1000
500
0
1200
1500
А4
2000
1500
1000
500
0
2000
А5
Из максимальных значений последнего столбца выбираем минимальную величину, получим Min {max(max
aij - aij)}.
Критерий Сэвиджа рекомендует стратегию А4.
4. Критерий Лапласа. Этот критерий основывается на принципе недостаточного обоснования. Поскольку
вероятности состояния не известны, необходимая информация для вывода, что эти вероятности различны,
отсутствует. Поэтому можно предположить, что они равны. Выбор стратегии осуществляется по формуле
Ha = Max {1/n·∑ aij}
где 1/n вероятность реализации одного из состояний р = 1/n.
(2400+2400+2400+2400+2400)/5=2400
А1
(1900+3600+3600+3600+3600)/5=3260
А2
(1400+3100+4800+4800+4800)/5=3780
А3
(900+2600+4300+6000+6000)/5=3960
А4
(400+2100+3800+5500+7200)/5=3800
А5
Критерий Лапласа рекомендует нам стратегию А4.
37
Таким образом, рассмотрев одну платежную матрицу, мы получили, что критерии Лапласа и Сэвиджа
рекомендует стратегию А4. То есть необходимый заказ булочек составит 250 единиц ежедневно.
5. Критерий Байеса. Принятие решения в условиях риска.
Если в рассмотренных выше критериях, необходимая информация о вероятностях какого-либо состояния
отсутствовала, то критерий Байеса действует в условиях не полной информации, т.е. в условиях риска
(имеется информация о вероятностях применения стратегий второй стороной). Эти вероятности называются
априорными вероятностями.
Выбор стратегии осуществляется по формуле
Ha = Max {∑pi aij}
Ежедневный спрос на булочки в продовольственном магазине задается следующим распределением
вероятностей
1
2
3
4
5
100
150
200
250
300
0,2
0,25
0,3
0,15
0,1
Подставив значение aij и pi в формулу, получим:
А1
А2
А3
А4
А5
2400*0,2+2400*0,25+2400*0,3+2400*0,15+2400*0,1=2400
1900*0,2+3600*0,25+3600*0,3+3600*0,15+3600*0,1=3260
1400*0,2+3100*0,25+4800*0,3+4800*0,15+4800*0,1=3695
900*0,2+2600*0,25+4300*0,3+6000*0,15+6000*0,1=3620
400*0,2+2100*0,25+3800*0,3+5500*0,15+7200*0,1=3290
Критерий Байеса рекомендует стратегию А3
В условиях полной неопределенности теория не дает однозначных принципов выбора того или иного
критерия.
Оптимальные стратегии, выбранные по различным критериям, различны.
Таким образом, окончательный вывод зависит от предпочтений человека, который принимает решение.
ПРИМЕР №1
Найти оптимальные стратегии 1-го игрока, исходя из различных критериев, в игре с полной
неопределенностью относительно второго игрока, заданной платежной матрицей:
А=
а11
а21
а31
а41
а12
а22
а32
а42
а13
а23
а33
а43
а14
а24
а34 ; А =
а44
5
8
21
20
Решение.
1. Максиминный критерий Вальда.
10
7
18
22
18
8
12
19
25
23
21
15
HA =
max min аij
j
i
Вычислим минимальные значения по строкам min аij, а далее из них выберем максимальное.
А=
5
8
21
20
10
7
18
22
18 25
8 23
12 21
19 15
5
7
12
15
38
Таким образом, получаем НA = max min аij = 15 при применении стратегии А4.
J i
Ответ: оптимальной стратегией 1-го игрока А является
стратегия А4.
2. Критерий Гурвица.
Параметр Гурвица возьмем равным γ=0,6: H = Max {γmin aij + (1- γ)max aij}
j
i
i
5
8
21
20
А=
10
7
18
22
18 25
8 23
12 21
19 15
5
7
12
15
25
23
18
22
5*0,6+0,4*25=13
7*0,6+0,4*23=13,4
12*0,6+0,4*18=14,4
15*0,6+0,4*22=17,8
Получаем HA = max[0.6 min аij+(1-0.6) max аij]=17.8
j
i
i
Ответ: оптимальной стратегией первого игрока является
стратегия А4.
3. Критерий Сэвиджа (критерий минимаксного риска).
Необходимо построить матрицу рисков.
Для этого:
1) вычислить максимальные значения по столбцам
А=
5
8
21
20
21
10
7
18
22
22
18
8
12
19
19
25
23
21
15
25
2) вычислить матрицу рисков: rij= max аij- аij
rij=
21-5
21-8
21-21
21-20
22-10
22-7
22-18
22-22
19-18
19-8
19-12
19-19
25-25
25-23
25-21
25-15
=
16 12 1 0
13 15 11 2
0 4 7 4
1 0 0 10
3) вычислить максимальные значения по строкам и из них выберем строку с минимальным значением:
16 12 1 0
13 15 11 2
rij= 0 4 7 4
1 0 0 10
16
15
7
10
Получаем HA = min max rij = 7 при применении стратегии А3.
j
i
Ответ: оптимальной стратегией первого игрока является
стратегия А3.
4. Критерий Лапласа.
n
Вычислить средние арифметические по строкам [1/n ∑ аij]
j=1
5 10 18 25 0.25 (5+10+18+25)=14.5
A=
8 7 8 23 0.25 (8+7+8+23)=11.5
21 18 12 21 0.25 (21+18+12+21)=18
20 22 19 15 0.25 (20+22+19+15)=19
n
Получаем HA = max [1/n ∑ аij] =19 при применении стратегии А4.
j
j=1
Ответ: оптимальной стратегией первого игрока является стратегия А4.
39
Выбор стратегии в условиях риска (при наличии вероятностной информации).
В1 В2 В3 В4
n
А1
5 10 18 25
H A= max∑Pj аij
j
j=1
А2
8
7 8 23
А3
21 18 12 21
А4
20 22 19 15
Вероятности стратегий второго игрока.
В1
В2
В3
В4
0.2
0.15
0.35
0.3
5*0.2+10*0.15+18*0.35+25*0.3=16.30
8*0.2+7*0.15+8*0.35+23*0.3=12.35
21*0.2+18*0.15+12*0.35+21*0.3=17.40
20*0.2+22*0.15+19*0.35+15*0.3=18.45
Получаем НA = 18,45 при применении стратегии А4.
Ответ: оптимальной стратегией первого игрока является стратегия А4.
ПРИМЕР №2
Предприятие имеет возможность самостоятельно планировать объемы выпуска сезонной продукции А1,
А2, А3. Не проданная в течении сезона продукция позже реализуется по сниженной цене. Данные о
себестоимости продукции, отпускных ценах и объемах реализации в зависимости от уровня спроса
приведены в таблице:
Цена единицы
Объем реализации
Вид продукции
СебестоПродукции
При уровне спроса
имость
В
После
Повысреднем
Понитечение
уценки
шенном
женном
сезона
А1
d1
р1
q1
a1
b1
c1
А2
d2
р2
q2
a2
b2
c2
А3
d3
р3
q3
а3
b3
c3
Требуется:
1) придать описанной ситуации игровую схему, указать допустимые стратегии сторон, составить
платежную матрицу
2) дать рекомендации об объемах выпуска продукции по видам, обеспечивающих предприятию
наивысшую прибыль.
Указание. Для уменьшения размерности платежной матрицы считать, что одновременно на все три вида
продукции уровень спроса одинаков:
повышенный, средний или пониженный.
Вид продукции
Себестоимость
а1
а2
а3
2,6
3,7
1,5
Цена единицы
Продукции
В
После
течение
уценки
сезона
3,4
2,8
4,2
3,2
2,8
1,7
Объем реализации
При уровне спроса
Повысреднем
Понишенном
женном
14
38
24
8
22
13
5
9
7
40
Решение.
Игровая схема:
В игре участвуют 2 игрока: А - производитель, В - потребитель.
Игрок А стремится реализовать свою продукцию так, чтобы получить максимальную прибыль. Стратегиями
игрока А являются:
А1 - продавать продукцию при повышенном состоянии спроса
А2 - продавать продукцию при среднем состоянии спроса
А3 - продавать продукцию при пониженном состоянии спроса
Игрок В стремится приобрести продукцию с минимальными затратами. Стратегиями игрока В являются:
В1 - покупать продукцию при повышенном состоянии спроса
В2 - покупать продукцию при среднем состоянии спроса
В3 - покупать продукцию при пониженном состоянии спроса
Интересы игроков А и В - противоположны.
Определим прибыль от реализации продукции в течение сезона и после уценки:
Вид продукции
себестоимость
прибыль в течение сезона
прибыль после уценки
А1
2,6
3,4-2,6=0,2
2,8-2,6=0,2
А2
3,7
4,2-3,7=0,5
3,2-3,7= -5
А3
1,5
2,8-1,5=1,3
1,7-1,5=0,2
Предложение
Рассчитаем элементы платежной матрицы (матрицы прибыли):
Спрос
стратегии
Повышенный спрос
Средний спрос
14+38+24
8+22+13
Повышенный спрос
14*0,8+38*0,5+
8*0,8+(14-8) *0,2+
14+38+24
24*1,3=61,4
22*0,5+(38-22)*(-5)
+13*1,3+(24-13)*0,2
=29,7
Средний спрос
8*0,8+22*0,5+
8*0,8+22*0,5+
8+22+13
13*1,3=34,3
13*1,3=34,3
Пониженный спрос
5+9+7
5*0,8+9*0,5+7*1,3
=17,6
Составляем платежную матрицу игры.
Платежная матрица примет вид
Стратегии
В1
В2
5*0,8+9*0,5+
7*1,3=17,6
В3
Пониженный спрос
5+9+7
5*0,8+(14-5)*0,2+
9*0,5+(38-9)*(-5)+
7*1,3+(24-7)=8,3
5*0,8+(8-5)*0,2+
9*0,5+(22-9)*(-5)+
7*1,3+(13-7)*0,2 =12,9
5*0,8+9*0,5+
7*1,3=17,6
αi=min аij
j
А1*
А2*
А3*
βj=max аij
61.4
34.3
17.6
61.4
29.7
34.3
17.6
34.3
8.3
12.9
17.6
17.6
8.3
12.9
17.6
i
Рассчитываем нижнюю и верхнюю цену игры.
α = max αi = 17.6
β = min βj = 17.6
Так как α = β = ν = 17,6, то найдена седловая точка (А3В3).
Значит оптимальное решение: А3; В3
Производитель (игрок А) получит гарантированную прибыль в размере 17,6 ден.ед., если будет
реализовывать свою продукцию при пониженном уровне спроса в объеме 5,9 и 7 ед. соответственно
продукции а1, а2 и а3
41
Контрольные вопросы:
1.Дайте определение конфликтной ситуации.
2.Как называется математическая модель конфликтной ситуации?
3.Как называются заинтересованные стороны в теории игр?
4.Какая игра называется антагонистической? Приведите пример.
5.Дайте определение понятию «стратегия».
6.Что понимается под исходом конфликта?
7.Дайте определение понятию «выигрыш».
8.На какие классы делятся игры в зависимости от числа игроков?
9.В чем состоит цель игрока А при выборе стратегии ?
10. В чем состоит суть максиминного принципа оптимальности и как называется выигрыш, полученный в
соответствии в этим принципом?
11.Почему максимин α называют нижней ценой игры?
12.В чем состоит цель игрока В при выборе стратегии?
13.Почему минимакс β называют верхней ценой игры?
14.Почему справедливо неравенство α < β ?
15.Дайте определение цены игры в чистых стратегиях.
16.Какая игра называется игрой в смешанных стратегиях?
17.Как найти оптимальную смешанную стратегию игрока А и цену игры 2 х n геометрически?
18.Что в теории игр понимается под термином «природа»?
19.Приведите примеры в которых решение принимается в условиях неопределенности, связанной с
неосознанным принятием различных факторов.
20.Чем отличается выбор оптимальных стратегий игроков в играх с природой от антагонистических игр?
21.Что понимается под риском игрока в игре с природой, и каким образом формируется матрица рисков,
22.Дайте определение критерия Вальда и как по нему определяется выигрыш?
23. Дайте определение критерия Севиджа и как по нему определяется выигрыш?
24. Дайте определение критерия Лапласа и как по нему определяется выигрыш?
25. Дайте определение критерия Байеса и как по нему определяется выигрыш?
26. Какой принцип выбора оптимальной стратегии лежит в основе критерия пессимизма –оптимизма
Гурвица относительно выигрышей?
ЗАДАНИЕ 5. Тема: «Системы массового обслуживания"
Задача 5.1
Определить характеристики системы массового обслуживания
с отказами (kN) и сделать ее анализ.
В таблице 5.1 приведены необходимые данные:
– интенсивность входного потока;
– интенсивность обслуживания;
к – число требований;
N – число узлов обслуживания.
Таблица 5.1
1 2
16 14
17 13
к
6 6
N
8 6
3
20
18
6
6
4
12
14
6
6
5
19
19
9
10
6
15
19
7
7
7
15
17
10
7
8
11
17
10
7
9
13
15
5
9
10
14
14
8
6
11
16
16
10
5
12
12
16
5
8
13
15
17
8
8
14
13
13
6
8
15
13
13
9
7
16
14
19
9
7
17
17
13
7
6
18
20
18
6
6
19
19
16
6
9
20
20
20
8
5
42
Задача 5.2
Вариант 1.
Дежурный по администрации города имеет 8 телефонов. Телефонные звонки поступают с
интенсивностью 120 заявок в час. Средняя продолжительность разговора составляет 2
мин.
Определить характеристики данной СМО и сделать анализ.
Вариант 2.
На стоянке автомобилей возле магазина имеются 3 места, каждое из которых отводится
под один автомобиль. Автомобили прибывают на стоянку с интенсивностью 20
автомобилей в час. Продолжительность пребывания автомобилей на стоянке составляет в
среднем 15 мин. Стоянка на проезжей части не разрешается.
Определить среднее количество мест, не занятых автомобилями, и вероятность того, что
прибывший автомобиль не найдет на стоянке свободного места.
Вариант 3.
В службе «Скорой помощи» поселка круглосуточно дежурят 3 диспетчера,
обслуживающие 3 телефонных аппарата. Если заявка на вызов врача к больным
поступает, когда диспетчеры заняты, то абонент получает отказ. Поток заявок составит 4
вызова в минуту. Оформление заявки длится в среднем 1,5 мин.
Определить основные показатели работы службы «Скорой помощи» как объекта СМО и
рассчитать, сколько потребуется телефонных аппаратов, чтобы удовлетворить не менее
90% поступающих вызовов врачей.
Вариант 4.
АТС предприятия обеспечивает не более 5 переговоров, одновременно. Средняя
продолжительность разговоров составляет 1 мин. На станцию поступает в среднем 10
вызовов в секунду.
Определить характеристики АТС как объекта СМО и сделать анализ.
Вариант 5.
В морской порт поступает в среднем 6 сухогрузов в сутки. В порту имеются 3 крана,
каждый из которых обслуживает 1 сухогруз в среднем за 8 часов. Краны работают
круглосуточно.
Определить характеристики работы порта как объекта СМО и в случае необходимости
дать рекомендации по улучшению его работы.
Вариант 6.
В магазине покупателей обслуживают 2 продавца. Среднее время обслуживания одного
покупателя – 4 мин. Интенсивность потока покупателей – 3 человека в минуту.
Вместимость магазина такова, что одновременно в нем в очереди могут находиться не
более 5 человек. Покупатель, пришедший в переполненный магазин, когда в очереди уже
стоит 5 человек, не ждет снаружи и уходит.
Определить вероятность того, что пришедший в магазин покупатель покинет магазин
необслуженным.
Вариант 7.
Морской вокзал г. Североморск обслуживает касса с двумя окнами. В выходные дни,
когда население активно морским сообщением, интенсивность потока сообщений
составляет 0,9 человек/мин. Кассир затрачивает на обслуживание пассажира в среднем 2
мин.
Определить среднее число пассажиров у кассы и среднее время, затрачиваемое
пассажиром на приобретение билета.
43
Вариант 8.
На АЗС имеются 3 колонки. Площадка при станции, на которой машины ожидают
заправку, может вместить не более одной машины, и если она занята, то очередная
машина, прибывшая к станции, в очередь не становится, а проезжает на соседнюю АЗС. В
среднем машины прибывают на станцию каждые 2 мин. Процесс заправки одной машины
продолжается в среднем 2,5 мин.
Определить вероятность отказа, абсолютную пропускную способность АЗС, среднее
число машин, ожидающих заправку, среднее время ожидания машины в очереди, среднее
время пребывания машины на АЗС (включая обслуживание).
Вариант 9.
Салон – парикмахерская имеет 4 мастера. Входящий поток посетителей имеет 5 человек в
час. Среднее время обслуживания одного клиента составляет 40 мин.
Определить среднюю очередь на обслуживание, считая ее неограниченной.
Вариант 0.
В мастерской бытового обслуживания работают 3 мастера. Если клиент заходит в
мастерскую, когда все мастера заняты, то он уходит из мастерской, не ожидая
обслуживания.
Среднее число клиентов, обращающихся в мастерскую за 1 час, равно 20. Среднее время,
которое затрачивает мастер на обслуживание одного клиента, равно 6 мин.
Определить вероятность того, что клиент получит отказ, будет обслужен, а также среднее
число клиентов, обслуживаемых мастерской в течении 1 часа, и среднее число занятых
мастеров.
Методические указания
Перед решением задачи следует рассмотреть модели систем массового обслуживания,
формулы для расчета характеристик СМО и предлагаемые примеры.
СМО с отказами.
Основные понятия
Заявка, поступившая в систему с отказами и нашедшая все каналы занятыми,
получает отказ и покидает систему не обслуженной. Показателем качества обслуживания
выступает вероятность получения отказа. Предполагается, что все каналы доступны в
равной степени всем заявкам, входящий поток является простейшим, длительность
(время) обслуживания одной заявки (tобс) распределена по показательному закону.
Формулы для расчета характеристик СМО:
1. Вероятность простая каналов обслуживания, когда нет заявок (k=0):
n
P0=1/(Σ ρk / k!)
k=0
2. Вероятность отказа в обслуживании, когда поступившая на обслуживание заявка найдет
все каналы занятыми (k=n):
Pотк= Pn =P0 ρn / n
44
3. Вероятность обслуживания:
Робс= 1- Pотк
_
4. Среднее число занятых обслуживанием каналов:
_
n3=ρ Робс.
5. Доля каналов, занятых обслуживанием:
k3= n3/n .
6. Абсолютная пропускная способность СМО: A=λ Робс.
СМО с неограниченным ожиданием
Основные понятия
Заявка, поступившая в систему с неограниченным ожиданием и нашедшая все каналы
занятыми, становится в очередь, ожидая освобождения одного из каналов.
Основной характеристикой качества обслуживания является время ожидания (время
пребывания заявки в очереди).
Для таких систем характерно отсутствие отказа в обслуживании, т.е.
Pотк=0 и Робс=1.
Для систем с ожиданием существует дисциплина очереди:
1)обслуживание в порядке очереди по принципу «первым пришел – первым
обслужен»;
2)случайное неорганизованное обслуживание по принципу «последний пришел первым обслужен»;
3)обслуживание с приоритетами по принципу «депутаты - вне очереди».
Формулы для расчета характеристик СМО:
1. Вероятность простоя каналов, когда нет заявок (k=0):
n
P0=1/Σ(ρк/к!)+ρn+1/n!(n-ρ)
k=0
Предполагается, что ρ/n<1, т.е. интенсивность нагрузки меньше числа каналов.
2. Вероятность занятости обслуживанием k заявок: Pk= ρк P0/k!, 1≤ k≤ n
3. Вероятность занятости обслуживанием всех каналов: Pn =P0ρn / n!
4. Вероятность того, что заявка ожидается в очереди: Роч= ρn+1/n!(n-ρ)* P0
5. Среднее число заявок в очереди:
_
Lоч= ρn+1/(n+λ)!(n-ρ)2* P0
6. Среднее время ожидания заявки в очереди:
_
_
tоч= Lоч/λ
7. Среднее время ожидания заявки в СМО:
_
_
tсмо= tоч+ tобс
8. Среднее число занятых обслуживанием каналов:
_
n3=ρ
9. Среднее число свободных каналов:
_
_
nсв= n- n3
_
10. Коэффициент занятости каналов обслуживания: k3= n3/ n
11. Среднее число заявок в СМО:
_ _
_
z= Lоч+ n3
45
СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди
Основные понятия
Заявка, поступившая в систему с ожиданием с ограниченной длиной очереди и нашедшая
все каналы и ограниченную очередь занятыми, покидает систему не обслуженной.
Основной характеристикой качества системы является отказ заявке в обслуживании.
Ограничения на длину очереди могут быть из-за:
1)ограничения сверх времени пребывания заявки в очереди;
2)ограничения сверх длины очереди;
3)ограничения общего времени пребывания заявки в системе.
Формулы для расчета характеристик СМО:
1. Вероятность простоя каналов, когда нет заявок (k=0):
P0=1 : {Σ ρк/к!+ρn+1/n!(n-ρ)[1-(ρ/n)m]}
n – число каналов;
m – длина накопителя;
ρ – интенсивность нагрузки;
К – число заявок, поступивших на обслуживание за промежуток времени t.
2. Вероятность отказа в обслуживании: Pотк= ρn+m/n!n m*P0
3. Вероятность обслуживания: Робс= 1- Pотк
4. Абсолютная пропускная способность: A=λ Робс
5. Среднее число занятых каналов: _
n3=A/μ= λ Робс/μ=ρ Робс, где ρ=λ/ μ
6. Среднее число заявок в очереди:
_
Lоч= ρn+1/n*n! * 1-(ρ/n)m(m+1-mρ/n) / (1-ρ/n)2 * P0
7. Среднее время ожидания обслуживания:
_
_
tоч= Lоч/λ
_ _
_
8. Среднее число заявок в системе: z= Lоч+ n3
_
9. Среднее время пребывания в системе: tсмо= z/λ
Примеры решения задач.
Пример № 1.
Дежурный администратор города имеет 5 телефонов. Звонки поступают с интенсивностью
90 звонков/час. Средняя продолжительность разговора составляет 2 мин.
Определить характеристики дежурного администратора и сделать анализ СМО.
Решение:
1. Классифицировать СМО:
-с отказами (нет накопителя);
-многоканальная (5 телефонов = 5 каналов).
46
2. Обозначения:
λ – интенсивность потока заявок (λ=90зв/60мин=3зв/2мин)
n – число каналов (n=5);
μ – интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в
единицу времени (μ=1/ tобс)
tобс – среднее время обслуживания (tобс=2мин)
ρ – интенсивность нагрузки;
k – номер заявки (количество заявок), k=n=5;
Р0 – вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок;
Ротк – вероятность отказа в обслуживании, когда поступившая на обслуживание заявка
найдет все каналы занятыми;
Робс – вероятность обслуживания.
nз = ρ* Робс - среднее число занятых обслуживанием каналов.
кз = nз / n - для каналов, занятых обслуживанием.
А = λ Робс - абсолютная пропускная способность СМО.
3. Определяем характеристики данной СМО:
а) ρ = λ/μ = λ/(1/tобс) = λ tобс = 3/2 * 2 = 3
n
б) Ро= 1/ (Σρк/к!) = 1/ (ρ0/0!)+(ρ1/1!)+(ρ2/2!)+(ρ3/3!)+(ρ4/4!)+(ρ5/5!)=
к=0
=1/ (1+3/1)+(3*3/1*2)+(3*3*3/1*2*3)+(3*3*3*3/1*2*3*4)+
+(3*3*3*3*3/1*2*3*4*5)=1/ 1+3+(9/2)+(27/6)+(81/24)+(243/120)=0,054
в) Ротк= ρn/ n!* Ро= (35/ 1*2*3*4*5)*0,054=(3*3*3*3*3/1*2*3*4*5)*0,054=
= (243/120)*0,054=0,12
г) Робс = 1- Ротк= 1-0,12=0,88
д) nз = ρ*Робс= 3*0,88=2,6
е) кз = nз / n = 2,6/5=0,52
ж) А = λ Робс = (3/2)*0,88 = 1,31.
Анализ решения:
Несмотря на низкую вероятность отказа (Ротк=0,12) и достаточно высокую вероятность
обслуживания (Робс=0,88) всего постоянно занято 52% каналов из 5-ти.
Система напряженная, т. к. вероятность простоя каналов очень низкая (Ро=0,054).
СМО необходимо улучшать, т. к. абсолютная пропускная способность низкая и
составляет – А=1.31 заявок, хотя занято nз =2,6 канала и более 2-х каналов свободны.
Для улучшения данной СМО необходимо сокращать время обслуживания заявки
проведением организационных и технических мероприятий.
Пример № 2
На автомобильной стоянке возле магазина имеется 2 места. Рядом находится площадка
на 2 а/м. На стоянку прибывает 1 машина в 3 мин. Среднее время нахождения водителя в
магазине 2 мин.
Определить характеристики этой СМО и сделать анализ СМО.
47
Решение:
1) Классифицируем СМО:
- с ограниченной длиной очереди
- с накопителем
- многоканальная
- с ограничением общего времени пребывания заявки в системе СМО с ожиданием и с
ограниченной длиной очереди.
2) Обозначения:
m=2 - длина накопителя
n=2 - число каналов
Остальные обозначения - как в Примере № 1.
3) Определяем характеристики данной СМО:
а) λ = 1/3;
б) tобс = 2 мин;
в) ρ = λ/μ = λ/(1/tобс) = λ tобс = (1/3)*2=2/3.
г) Вероятность простоя каналов:
n
Ро= 1/(Σρк/n!)+ρn+1/n!(n-ρ)*[1-(ρ/n)m]= 1/ ((ρ0/0!)+(ρ1/1!)+(ρ2/2!)+
к=0
+(ρ2+1/1*2(2-ρ))*[1-(ρ/2)2]=1/ ( (2/3)/0! )+2/3+( (2/3)2/(1*2) )+
+( (2/3)3/ 2(2-2/3) ) [1- ( (2/3)/2 )]= 1/ 1+2/3+2/9+1/9[1-1/9]=0,52
д) Вероятность отказа в обслуживании:
Ротк= ρn+m/ n!nm*Ро= ( (2/3)4/1*2*22 )*0,52=(16/81)/8*0,52=0,013
е) Вероятность обслуживания:
Робс = 1- Ротк= 0,987
ж) Абсолютная пропускная способность:
А = λ Робс= 0,987*1/3=0,33
з) Среднее число занятых каналов:
nз = ρ*Робс= 2/3*0,987=0,658
Для каналов, занятых обслуживанием:
кз = 0,658/2=0,329.
и) Среднее число заявок в очереди:
_
Loч= ρn+1/n*n! * ( 1-(ρ/n)m(m+1-mρ/n) )/(1-ρ/n)2 * Ро
_
Loч =( (2/3)3/(2*2) )* 1-( (2/3)/2)2 )*( 2+1-2*((2/3)/2) )/ (1-(2/3)/2)2) *0.52
=(8/27)/4* * (1-1/9*7/3) /(4/9)= 2/27*((20/27)/(4/9))*0.52=2/27*5/3*0.52=0.14
к) Среднее время ожидания обслуживания:
_
tor= Loч/ λ = 0.14/0.33=0.42
л) Среднее число заявок в системе:
_
Z= Loч+ nз =0,14+0,66=0,8
м) Среднее время пребывания в системе:
tсмо= Z/ λ = 0,8/0,33=2,42 или tсмо= toч+ toбс= 0,42+2=2,42 мин
Анализ провести по аналогии примера №1.
48
Контрольные вопросы:
1.Что понимается под системами массового обслуживания (СМО) и для чего они
предназначены?
2.Какие блоки включает схема СМО?
3.Что понимается под характеристикой эффективности работы СМО?
4.На какие классы делятся СМО в зависимости от :
а) характера потоков,
б) числа каналов,
в) дисциплины обслуживания,
г) ограничения потока заявок,
д) количества этапов обслуживания?
5.Что понимается под «потоком обслуживания заявок»?
6.Что представляет собой интенсивность входящего потока и какова единица
измерения этого показателя?
7.Перечислите основные характеристики эффективности функционирования
многоканальной СМО с отказами ?
8.Перечислите основные характеристики эффективности функционирования
многоканальной СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди?
9.Перечислите основные характеристики эффективности функционирования
многоканальной СМО с неограниченным ожиданием?
ЗАДАНИЕ 6. Тема: «Принятие решений методом экспертных оценок»
Задача 6.1
Руководству фирмы представлено 8 проектов ее стратегического развития:
Д,Л,М,Б,Г,С,Т,К (они обозначены по фамилии авторов проекта).
Руководство поручило Правлению фирмы создать экспертную комиссию из 12
экспертов и выдать каждому представленные проекты для их рассмотрения.
Каждый эксперт присвоил каждому проекту ранг в соответствии с его приоритетом,
причем ранг 1 присваивался самому лучшему, ранг 2-второму по привлекательности и т.д.
Ранги 8 проектов по степени привлекательности приведены в обобщенной таблице 1.
Аналитическому подразделению Рабочей группы поручено провести математические
расчеты методом средних арифметических и методом медиан рангов и анализ результатов
работы экспертов (таблицу 1. 1) и представить предложение по наилучшему проекту и
ранги остальных.
Требуется представить предложение для принятия решения по стратегическому развитию
фирмы.
49
таблица 6.1
вариант 1
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Д
5
5
8
4
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
4
4
7
5
2
6
1
5
1
3
1
6
М
2
1
6
2,5
3.5
4
2
3
3
2
3
5
Б
1
3
4
2,5
6
3
3
2
2
1
2
3
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
6
8
С
8
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
4
4
Т
6
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
7
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
7
Д
5
5
5
4
8
7.5
6
1
3
4.5
7
1
Л
4
3
7
5
2
6
1
4
1
3
1
6
М
2
1
6
2,5
3.5
4
2,5
3
8
2
3
5
Б
1
4
4
2,5
6
3
2,5
2
2
1
2
3
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
6
7
С
8
2
2
1
5
1
4
5
4
4.5
4
4
Т
7
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
6
7
8
6
1
5
7
8
6
7
8
8
вариант 2
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
50
вариант 3
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Д
5
5
8
4
8
7.5
6
7
8
4.5
7
1
Л
4
4
6,5
5
2
6
1
5
1
3
1
6
М
2
1
6,5
2
3.5
4
2
3
3
2
2,5
5
Б
1
3
4
3
6
3
3
2
2
1
2,5
3
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
1
5
8
6
8
С
7,5
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
4
4
Т
6
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
7,5
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
7
Д
5
5
8
4
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
4
4
7
5
2
6
1
5
1
3
1,5
6
М
2
1
3
2,5
3.5
4
2
3
3
2
3
5
Б
1
3
4
2,5
6
3
3
2
2
1
1,5
3,5
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
6
8
С
8
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
4
3,5
Т
6
6
6
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
7
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
7
вариант 4
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
51
вариант 5
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Д
5
5
8
4,5
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
4
4
7
4,5
2
6
1
5
1
3
1
6
М
1,5
1
6
2,5
3.5
4
2
3
3
1,5
3
5
Б
1,5
3
4
2,5
6
3
3
2
2
1,5
2
3
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
6
8
С
8
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
4
4
Т
6
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
7
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
7
Д
7
5
8
4
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
4
4
6,5
5
2
6
1
5
1
3
1
6
М
2
1
6,5
2
3.5
4
2
3
3
2
3
5
Б
1
3
4
3
6
3
3
2
2
1
2
3
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
6
8
С
8
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
4
4
Т
6
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
5
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
7
вариант 6
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
52
вариант 7
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Д
5
5
8
4
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
3,5
4
7
5
2
6
1
5
1
3
1
6
М
2
1
6
2,5
3.5
4
2
2
3
2
3
8
Б
1
3
4
2,5
6
3
3
3
2
1
2
3
Г
3,5
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
6
5
С
8
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
4
4
Т
6,5
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
6,5
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
7
Д
5
5
8
4
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
4
4
7
5
2
6
1
5
1
3
1
8
М
2
1
6
2,5
3.5
4
2
3
3
2
3
5
Б
1
3
4
2,5
6
3
8
2
2
1
2
3
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
8
5
8
6
4
С
8
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
4
6
Т
6
6
3
7
7
7.5
3
6
7
6
5
2
К
7
7
5
6
1
5
7
7
6
7
8
7
вариант 8
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
53
вариант 9
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Д
5
5
8
4
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
3,5
4
7
5
2
6
1
4,5
1
3
1
6
М
2
1
6
2,5
3.5
4
2
3
3
2
3
5
Б
1
3
4
2,5
6
3
3
2
2
1
2
3
Г
3,5
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
6
8
С
8
2
2
1
5
1
4
4,5
4
4.5
4
4
Т
6
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
7
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
7
Д
4,5
5
8
4
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
4,5
4
7
5
2
6
1
5
1
3
1
6
М
2
1
6
2,5
3.5
4
2
3
3
2
4
5
Б
1
3
4
2,5
6
3
3
2
2
1
2
3
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
6
8
С
7
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
3
4
Т
6
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
8
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
7
вариант 0
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
54
Методические указания
Рассмотрим задачу сравнения восьми проектов. По заданию руководства фирмы
анализировались восемь проектов, предлагаемых для включения в план стратегического
развития фирмы. Они обозначены следующим образом: Д, Л, М-К, Б, Г-Б, С, В, К (по
фамилиям менеджеров, предложивших их для рассмотрения). Все проекты были
направлены 12 экспертам, включенным в экспертную комиссию, организованную по
решению Правления фирмы. В приведенной ниже табл.1 приведены ранги восьми
проектов, присвоенные им каждым из 12 экспертов в соответствии с представлением
экспертов о целесообразности включения проекта в стратегический план фирмы. При
этом эксперт присваивает ранг 1 самому лучшему проекту, который обязательно надо
реализовать. Ранг 2 получает от эксперта второй по привлекательности проект, ... ,
наконец, ранг 8 - наиболее сомнительный проект, который реализовывать стоит лишь в
последнюю очередь.
Таблица 1.
Ранги 8 проектов по степени привлекательности для включения в план стратегического
развития фирмы
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Д
5
5
1
6
8
5
6
5
6
5
7
1
Л
3
4
7
4
2
6
1
1
1
3
1
6
М-К
1
3
5
2,5
4
4
2
3
3
2
3
5
Б
2
1
4
2,5
6
3
3
2
2
1
2
3
Г-Б
8
8
8
8
3
2
5
7
5
8
6
8
С
4
2
2
1
5
1
4
4
4
4
4
4
В
6
6
3
7
1
7
8
6
7
6
5
2
К
7
7
6
5
7
8
7
8
8
7
8
7
Примечание. Эксперт № 4 считает, что проекты М-К и Б равноценны, но уступают лишь
одному проекту - проекту С. Поэтому проекты М-К и Б должны были бы стоять на втором
и третьем местах и получить баллы 2 и 3. Поскольку они равноценны, то получают
средний балл (2+3)/ 2 = 5/ 2 = 2,5.
Анализируя результаты работы экспертов (т.е. упомянутую таблицу), члены
аналитической подразделения Рабочей группы, анализировавшие ответы экспертов по
заданию Правления фирмы, были вынуждены констатировать, что полного согласия
между экспертами нет, а потому данные, приведенные в таблице, следует подвергнуть
более тщательному математическому анализу.
55
Метод средних арифметических рангов.
Сначала следует подсчитать сумму рангов, присвоенных проектам (см. табл. 1). Затем эту
сумму разделить на число экспертов, в результате рполучим средний арифметический
ранг (именно эта операция дала название методу).
По средним рангам строится итоговая ранжировка (в другой терминологии упорядочение), исходя из принципа - чем меньше средний ранг, тем лучше проект.
Наименьший средний ранг, равный 2,625, у проекта Б, - следовательно, в итоговой
ранжировке он получает ранг 1. Следующая по величине сумма, равная 3,125, у проекта
М-К, - и он получает итоговый ранг 2. Проекты Л и С имеют одинаковые суммы (равные
3,25), значит, с точки зрения экспертов они равноценны (при рассматриваемом способе
сведения вместе мнений экспертов), а потому они должны бы стоять на 3 и 4 местах и
получают средний балл (3+4) /2 = 3,5. Дальнейшие результаты приведены в табл. 2 ниже.
Итак, ранжировка по суммам рангов (или, что то же самое, по средним арифметическим
рангам) имеет вид:
Б < М-К < {Л, С} < Д < В < Г-Б < К . (1)
Здесь запись типа "А<Б" означает, что проект А предшествует проекту Б (т.е. проект А
лучше проекта Б). Поскольку проекты Л и С получили одинаковую сумму баллов, то по
рассматриваемому методу они эквивалентны, а потому объединены в группу (в фигурных
скобках). В терминологии математической статистики ранжировка (1) имеет одну связь и
проект Б – приоритетный.
Метод медиан рангов.
Следует учесть, что ответы экспертов измерены в порядковой шкале, а потому для них
недостаточно проводить усреднение методом средних арифметических. Надо также
использовать метод медиан.
Для этого надо взять ответы экспертов, соответствующие каждому из проектов, затем их
надо расположить в порядке неубывания (проще было бы сказать – «в порядке
возрастания», но поскольку некоторые ответы совпадают, то приходится использовать
непривычный термин «неубывание») и из полученной последовательности по каждому
проекту найти медиану.
Например, проект Д имеет ранги 5, 5, 1, 6, 8, 5, 6, 5, 6, 5, 7, 1. Получим
последовательность: 1, 1, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8. На центральных местах - шестом и
седьмом - стоят 5 и 5. Следовательно, медиана равна 5.
Результаты расчетов по методу средних арифметических и методу медиан свести в
таблицу 2.
56
Таблица 2. Результаты расчетов по методу средних арифметических и методу медиан для
данных, приведенных в таблице 1.
Сумма рангов
Среднее арифметическое рангов
Итоговый ранг по среднему
арифметическому
Медианы рангов
Итоговый ранг по медианам
Г-Б
76
6,333
7
Д
60
5
5
Л М-К
Б
С
В
К
39 37,5 31.5 39
64
85
3,25 3,125 2,625 3,25 5,333 7,083
3,5
2
3,5
6
8
1
7,5
8
5
5
3
2,5
3
2,5
2,25
1
4
4
6
6
7
7
Медианы совокупностей из 12 рангов, соответствующих определенным проектам,
приведены в предпоследней строке табл.2. (При этом медианы вычислены по обычным
правилам статистики - как среднее арифметическое центральных членов вариационного
ряда.) Итоговое упорядочение комиссии экспертов по методу медиан приведено в
последней строке таблицы.
Ранжировка (т.е. упорядочение - итоговое мнение комиссии экспертов) по медианам
имеет вид:
Б < {М-К, Л} < С < Д < В < К <Г-Б . (2)
Поскольку проекты Л и М-К имеют одинаковые медианы баллов, то по рассматриваемому
методу ранжирования они эквивалентны, а потому объединены в группу (кластер), т.е. с
точки зрения математической статистики ранжировка (2) имеет одну связь.
Сравнить ранжировки по методу средних арифметических и методу медиан для
принятия решеня о их приоритете:
Сравнение ранжировок (1) и (2) показывает их близость (похожесть). Можно принять, что
проекты М-К, Л, С упорядочены как М-К < Л < С, но из-за погрешностей экспертных
оценок в одном методе признаны равноценными проекты Л и С (ранжировка (1)), а в
другом - проекты М-К и Л (ранжировка (2)). Существенным является только расхождение,
касающееся упорядочения проектов К и Г-Б: в ранжировке (3) Г-Б < К, а в ранжировке (2),
наоборот, К < Г-Б. Однако эти проекты - наименее привлекательные из восьми
рассматриваемых, и при выборе наиболее привлекательных проектов для дальнейшего
обсуждения и использования на указанное расхождение можно не обращать внимания.
57
Вопросы к экзамену по дисциплине «Основы математического моделирования социально –
экономических процессов» для направления подготовки 0801100.62 «Государственное и
муниципальное управление» - бакалавр.
1. Методология и методы математического моделирования, построение математических моделей.
2. Сетевое моделирование. Расчет характеристик событий и работ. Геометрический метод расчета
сетевой модели.
3. Сетевое моделирование. Построение сетевой модели. Табличный метод расчета сетевой модели.
4. Линейное программирование. Понятие двойственности в задачах линейного программирования,
правила построения математической модели двойственной задачи.
5.Теоремы двойственности и их экономический смысл.
6. Решение задач линейного программирования геометрическим методом.
7. Решение задач линейного программирования симплексным методом. Алгоритм симплекс метода.
8. Анализ решения задач линейного программирования.
9. Решение задач целочисленного программирования методом ветвей и границ.
10. Транспортные задачи. Методы решения транспортных задач.
11. Задачи динамического программирования. Общие уравнения алгоритма, реализующие
принципы Беллмана.
12. Задача о распределении инвестиций между проектами. Задача управления запасами.
13. Метод теории игр. Основные понятия теории игр.
14. Классификация игр.
15. Решение игры с нулевой суммой в смешанных стратегиях.
16. Решение игры с нулевой суммой в чистых стратегиях.
17. Решение игры с нулевой суммой геометрическим методом.
18. Решение игр в условиях неопределенности, с «природой».
19.Системы массового обслуживания. Основные характеристики СМО.
20. Характеристики СМО с отказами.
21. Характеристики СМО с неограниченной длинной очереди.
22. Характеристики СМО с отказами и ограниченной длинной очереди.
23.Методы измерения, классификации и экспертных оценок.
24.Математические методы анализа экспертных оценок.
25. Метод средних арифметических анализа экспертных оценок.
26.Метод медиан рангов анализа экспертных оценок.
27. Метод согласования кластерных ранжировок. Вычисление медианы Кемени.
