Раздел. Ряды

Раздел. Ряды
§1. Числовые ряды.
п.1 Основные понятия числовых рядов
Пусть дана произвольная числовая последовательность
a 1 , a 2 , a 3 , … , a n, …
Определение. Выражение вида

a 1 + a2 + … + an + … =  а n
(1)
n 1
называется числовым рядом.
При этом отдельные слагаемые a1, a2, a3,… называются членами ряда
( 1 ), an – называется n-м членом или общим членом ряда.
Составим суммы
S1 = a1 ,
S 2 = a 1 + a2 ,
………………
Sn= a1 + a2 + a3 +…+ an.
Эти суммы называются частичными суммами ряда.
Сумма
Sn= a1 + a2 + a3 +…+ an
(2)
называется n- частичной суммой данного ряда.
Частичные суммы S1, S2, S3,…, Sn,… образуют числовую
последовательность.
Определение. Если существует предел n- частичной суммы (или
последовательности частичных сумм) при неограниченном
возрастании n
S  lim S n
(3)
n 
то ряд называется сходящимся, а число S называется суммой ряда
(1).
Если предел ( 3 ) не существует или равен бесконечности, то ряд
( 1 ) называется расходящимся.
Пример 1. Пусть дан ряд

1
1
1
1


 ... 
 ...

n(n  1)
n 1 n(n  1) 1  2 2  3
Найти сумму ряда.
Решение. Составим частичную сумму Sn
Sn 
1
1
1
1
 1   1 1
 1

 ... 
 1        ...  
 
1 2 2  3
n(n  1)  2   2 3 
 n 1 n 
1 
1
1
 

1

,

n 1
 n n  1
1 

lim S n  lim 1 
 1
n  1
n 
n 
Следовательно, ряд сходится и его сумма равна S = 1.
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

 a1q
n 1
n 1
 a1  a1q  a1q 2  ...  a1q n 1  ...
Находим частичную сумму Sn , из школьного курса математики
известно, что
S n  a1  a1q  a1q  ...  a1q
2
Если
q 1 ,
то
eсли
q 1 ,
то
если
q 1 ,
то
lim S n 
n 
n 1
a1 (1  q n )
a1 a1q n



.
1 q
1 q 1 q
a1
1 q
lim S n
n 
, то есть ряд сходится,
не существует,
lim S n  lim a1  n   .
n 
n 
Таким образом, данный ряд, представляющий собой геометрическую
прогрессию со знаменателем q, сходится, если q  1 и расходится,
если q  1 .
Пример 3. Исследовать сходимость ряда

 1
 ln1  
n
n 1 
Решение.
 1  n k 1 n
S n   ln1     ln
  (ln(k  1)  ln(k ))  (ln(2)  ln(1)) 
k
k
 k 1
k 1 
k 1
n
 (ln(3)  ln(2))  (ln(4)  ln(3))  ...  ln(n  1),
lim S n  lim ln(n  1)  
n 
n 
Ряд расходится.
Пример 4. Исследовать сходимость ряда
 1

n 1 n
.
Данный ряд называется гармоническим, для него частичная сумма
1 1 1
1
Sn равна
S n    ... 
1 2 3
n
Известно, что ln(1+x )< x, следовательно,
Поэтому
 1 1
ln1   
 n n
 1 n 1
 ln1    
k  k 1 k .
k 1 
n
Но в примере 3 ряд
следовательно, ряд

 1
ln
 1  
n
n 1 
расходится,

1
n 1 n

также расходится.
Гармонический ряд

1
n 1 n

расходится
п 2. Свойства сходящихся рядов
Свойство 1. Если ряд
a1+ a2+ … + an+ …
сходится и имеет сумму S, то ряд, образованный из произведений всех
членов данного ряда на одно и то же число c:
ca1 + ca2 + …+ can+ …
тоже сходится и имеет сумму cS.
Свойство 2. Если сходятся ряды
a1+ a2 + a3 + …+ an+ …,
(А)
b1 + b2 + b3+ …+ bn+ …,
(B)
и имеют суммы S', S", соответственно, то ряд, образованный
сложением соответствующих членов данных рядов:
(a1 + b1 )+ (a2 + b2 )+ …+(an + bn )+ …,
тоже сходится и его сумма равна S' + S".
Свойство 3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из
данного путем приписывания или отбрасывания любого конечного
числа членов.
п 3. Необходимый признак сходимости ряда
Теорема. Если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при
неограниченном возрастании n,
т.е.
lim аn  0 .
n 
Следствие. Если an не стремится к нулю при n→∞ , то ряд
расходится.
Замечание. Рассмотренный признак является только необходимым, но
не является достаточным, т.е. из того, что an стремится нулю, еще не
следует, что ряд сходится, - ряд может и расходиться.

1
расходится, хотя
n 1 n
Например, гармонический ряд 
.
1
0
n  n
lim аn  lim
n 
§ 2. Знакопостоянные ряды. Достаточные признаки
сходимости.
Ряд, все члены которого, начиная с некоторого номера k больше
или равны нулю, называется знакоположительным. Аналогично,
определяется знакоотрицательный ряд. Знакоположительные и
знакоотрицательные ряды называются знакопостоянными.
п 1. Признак сравнения
Пусть даны два ряда с положительными членами:

 аn  а1  а2  ...  аn  ...
n 1

 bn  b1  b2  ...  bn  ...
(1)
(2)
n 1
Теорема. Если, начиная с некоторого номера k, каждый член ряда
(1) не больше соответствующего члена ряда (2), т.е.
an ≤ bn ( n = k, k+1, k+2, …),
то а) если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1);
б) если расходится ряд (1), то расходится и ряд (1).
Эта теорема называется признаком сравнения знакопостоянных
рядов.
Теорема. (признак сравнения в предельной форме)
Если существует конечный предел
a
lim n  C
n bn
причем С ≠ 0 , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
п.2. Признак Даламбера
Пусть дан знакоположительный ряд

 an .
n 1
Теорема. Если
если
(1)
an1
 q  1 , то ряд (1) сходится;
an
an1
 1 , то ряд (1) расходится.
an
На практике признак Даламбера употребляется в предельной форме:
Теорема. Если при n → ∞ существует предел отношения последующего
члена к предыдущему, равный L :
a
lim n1  L
n a
n
то при L < 1 ряд сходится, при L > 1 ряд расходится.
При L = 1 ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Пример 5. Исследовать сходимость ряда
.
n2
 n
n 1 2

Решение. Общий член ряда имеет вид
n2
an  n
2
.
В данном случае удобнее использовать признак Даламбера . Для
этого запишем
an+1 :
n3
an1  n1
2
и вычислим предел
an1
n  3 2n 1
 n  2 n  3
lim
 lim n : n1   lim
 n1 
n a
n 2
n


n2 2
2
2 
n
.
Т. к. значение предела меньше 1, то по признаку Даламбера
числовой ряд сходится.
п.3. Радикальный признак Коши
Пусть дан знакоположительный ряд

 an
(1)
n 1
Теорема. Если для ряда ( 1) величина
предел L при n→∞ , т.е.
n
an
имеет конечный
lim n an  L
n
то: а) при L < 1 ряд сходится;
б) при L > 1 ряд расходится;
в) при L = 1 ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Пример 6. Исследовать сходимость ряда
n
 6n  1




n 1 5n  3 
.
Решение. Общий член этого ряда имеет вид
n
 6n  1 
an  

.
 5n  3 
Т.к. общий член ряда есть некоторое выражение в степени n, то в
данном случае удобнее использовать радикальный признак Коши .
Вычислим предел
6  1/ n 6
 6n  1 
 6n  1 
lim n аn  lim n 

lim

lim



 n 
n 
n  5n  3 
n 5n  3 
5  3/ n 5
n
Т. к. значение предела больше 1, то по признаку Коши числовой
ряд расходится.
п.4. Интегральный признак Коши
Пусть дан ряд
a1+ a2 + a3 + … (ai >0),
члены которого являются значениями непрерывной функции f(x)
при целых значениях аргумента х:
a1 = f(1), a2 = f (2), …, an = f(n), …
и пусть f(x) монотонно убывает в интервале (1, +∞ ).

Теорема. Ряд
 an сходится, если сходится несобственный
n 1

интеграл
 f ( x ) dx
1
и расходится, если этот интеграл расходится
Пример 7. Рассмотрим ряд, который называется обобщенным
гармоническим
 1
 
.
n 1 n
Решение. Возьмем функцию
1
,
f ( x)  
х
она убывает и положительна на полупрямой х ≥1 и удовлетворяет
условию
1
f ( n)  
.
n
Так как несобственный интеграл


1
dx

x
1
 f ( x)dx  
1
сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1, то данный ряд по
интегральному признаку сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1.
Обобщенный гармонический ряд

1
 
n 1 n
сходится при α > 1,
расходится при α ≤ 1.
Замечание 1. Сходимость знакоотрицательных рядов рассматривается
аналогично, достаточно поменять знак перед всеми членами ряда на
противоположный.
Замечание 2. Признак Даламбера применяется, если аn содержит nk и
n! , bn или nk и n! или nk и bn или n!. Признак Коши применяется,
если аn имеет вид (…)n. В остальных случаях применяют признаки
сравнения и интегральный признак.
§3. Знакопеременные ряды
п.1. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
Определение. Числовые ряды вида

с1  с2  с3  ...  (1) сn  ...   (1) n сn
n
n 1
,
где с1 , с2 , с3 …- положительные числа, называются знакочередующимися.
Пример знакочередующегося ряда

1
1
1
1
n 1 1
1


 ...  (1)
 ...   (1) n1
n 1
2
3
4
n
n
Теорема(Лейбница). Если в знакочередующемся ряде, начиная с
некоторого номера k, абсолютные величины членов ряда убывают
и общий член an стремится к нулю, т.е. выполняются условия
а)
сk  сk 1  ...  сn ...,
б)
lim cn  0,
n
то ряд сходится, причем его сумма по абсолютной величине
меньше с1, а остаток ряда
rn  cn1  cn2  cn3  ...
по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого из
отбрасываемых членов:
rn установить
cn1.
Теорема Лейбница позволяет
не только сходимость
ряда, но и оценить ошибку, допускаемую при отбрасывании
какого-либо числа его членов ряда.
п2. Ряды с членами произвольного знака. Абсолютно и условно
сходящиеся ряды
Пусть дан ряд

 аn
n 1
,
(1)
где a1, a2, …, an,…, могут быть как положительными, так и и
отрицательными, причем расположение положительных и отрицательных
членов в ряде совершенно произвольно. Наряду с рядом (1) рассмотрим ряд,
составленный из абсолютных величин членов этого
ряда :

 аn  а1  а2  ...  аn ...
(2)
n 1
Определение. Ряд ( 1 ) называется абсолютно сходящимся, если
сходится ряд ( 2 ).
Определение. Ряд ( 1 ) называется условно сходящимся, если этот ряд
сходится, в то время как соответствующий ряд из модулей ( 2 ) расходится.
Условно сходящиеся ряды называют также сходящимися неабсолютно
или просто сходящимися.
Теорема. Абсолютно сходящийся ряд сходится, т.е. из сходимости
ряда ( 2 ) вытекает сходимость ряда ( 1 ) .
Члены абсолютно сходящихся рядов можно переставлять
местами, сумма ряда от этого не изменяется.
Пример 8. Исследовать сходимость ряда
2 3
n 1
1    ...  (1) n1
 ...
1! 2!
n!
и установить характер сходимости.
Решение. Данный ряд является знакочередующимся. Для
исследования его сходимости воспользуемся признаком Лейбница
(теорема п.1). Сравним члены ряда по абсолютной величине. Начиная
со второго члена ряда выполняется
3 4
n 1
  ... 
 ...
2 6
n!
т.е. члены ряда убывают по абсолютной величине.
2
Найдем предел общего члена ряда
n 1
1
n 1
lim сn  lim
 lim

 0.
n
n n!
n ( n  1)!
n
Таким образом, условия теоремы Лейбница выполняются и
следовательно, знакочередующийся ряд сходится.
Исследуем этот ряд на абсолютную сходимость. Для этого
рассмотрим ряд составленный из абсолютных величин членов исходного
ряда и исследуем его сходимость.
Получим знакопостоянный числовой ряд
2 3
n 1
1    ... 
 ...
1! 2!
n!
Для исследования его сходимости применим признак Даламбера.
Получим
n2
n 1
, an1 
an 
(n  1)!
n!
n  2 n 1
n! (n  2)
n2
:
 lim
 lim
 0 1
2
n ( n  1)!
n


n


n!
(n  1)! (n  1)
(n  1)
L  lim
Ряд составленный из абсолютных величин сходится по признаку
Даламбера, следовательно, исходный знакочередующийся ряд сходится
абсолютно.
Замечание 1. Знакопеременные ( знакочередующиеся ) ряды могут
иметь либо абсолютную либо условную сходимость. При этом
абсолютная сходимость сильнее условной. Поэтому как правило ряд
вначале исследуют на абсолютную сходимость, и если ряд абсолютно
не сходится его исследуют на условную сходимость.
Замечание 2. На абсолютную сходимость знакопеременные
( знакочередующиеся ) ряды исследуются с помощью достаточных
признаков §2.
§4. Функциональные ряды.
Определение. Функциональным называется ряд, членами которого
являются функции

(1)
 un ( x)  u1 ( x)  u2 ( x)  ...  un ( x)  ...
n1
где все un(x) определены на одном и том же множестве E.
Ряд ( 1 ) для некоторых значений переменной х может сходиться, а
для других - расходится.
Определение. Значение x = x0, при котором числовой ряд
u1(x0 ) + u2(x0 ) + … + un(x0 ) + …
сходится, называется точкой сходимости ряда ( 1 ).
Множество всех точек сходимости ряда называется областью
сходимости ряда.
Сумма n первых членов ряда обозначается через Sn(x) и
называется n-ой частичной суммой, а сумма всех остальных членов rn(x) остаток ряда.
Если ряд сходится при некотором значении x, то
lim Sn ( x)  S ( x), lim rn ( x)  0.
n
n
24
Это означает, что сумма функционального ряда является функцией
точек сходимости ряда.
При некоторых условиях эта сумма является непрерывной функцией и
функциональные ряды можно почленно интегрировать и
дифференцировать.
§5. Степенные ряды
п.1. Определение степенного ряда. Область его сходимости.
Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд
вида
a0 + a1 x + a2 x2 + …+ anxn + …
(1)
где a0 , a1 , …, an , … - постоянные числа, называемые коэффициентами
ряда.
Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторый
интервал, который может вырождаться в точку.
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при некотором
значении x0, не равном нулю, то он абсолютно сходится при всяком x, для
которого | x|<|x0|; если ряд расходится при значении x1, то он расходится
при всяком x, для которого | x|>|x1|.
25
Из теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного
ряда является интервал с центром в начале координат.
Определение. Интервалом сходимости степенного ряда
называется такой интервал от -R до R, что для всякой точки x, лежащей
внутри интервала, ряд сходится и притом абсолютно, а для точек x,
лежащих вне его, ряд расходится.
Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.
На концах интервала, т.е. при x = ± R, вопрос о сходимости или
расходимости данного ряда решается индивидуально.
Отметим, что у некоторых рядов интервал сходимости вырождается в
точку (R = 0), у других - охватывает всю числовую ось Ox (R = ∞ ).
Пусть дан степенной ряд

 an x
n 1
n
.
Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов:

 an  xn
n
n1
26
Для определения области сходимости последнего ряда применим
признак Даламбера. Допустим, что существует предел:
un1
an1 x n1
an1
lim
 lim

lim
x
n un
n a x n
n an
n
По признаку Даламбера ряд сходится, если
an1
 x 1
n  a n
lim
т.е. если
.
an
x  lim
n an 1
Таким образом, радиус сходимости степенного ряда равен
an
n an 1
R  lim
27
Аналогичным образом для определения радиуса сходимости можно
воспользоваться признаком Коши:
1
.
R  lim
n n a
n
Замечание. Степенной ряд вида
a0 + a1 ( x - х0) + a2 (х - x0 )2+ …+ an ( x – x0)n+ …
называется обобщенным степенным рядом.
Интервал сходимости обобщенного степенного ряда имеет вид
( х0 – R ; х0 + R ).
п.2. Некоторые свойства степенных рядов.
1. На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости,
сумма степенного ряда есть непрерывная функция.
2. Если пределы интегрирования α и β лежат внутри интервала
сходимости, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от
членов ряда.
3. Степенной ряд можно почленно дифференцировать и притом сколько
угодно раз, при этом радиус сходимости продифференцированного
ряда равен радиусу сходимости исходного ряда, а сумма производной от суммы данного ряда.
28
§ 6 Разложение основных элементарных функций в степенной
ряд.
Если функция f(x) имеет производные любого порядка в
некоторой окрестности точки x = a , то f(x) в указанной
окрестности может быть представлена степенным рядом
xa
( x  a) n ( n)
f ( x)  f (a) 
f (a)  ... 
f (a)  ...
1!
n!
Этот ряд называется рядом Тейлора для функции f(x).
Если а = 0, то степенной ряд имеет вид
x
x n ( n)
f ( x)  f (0)  f (0)  ... 
f (0)  ...
1!
n!
и называется рядом Маклорена.
Ряд Тейлора и Маклорена используются в приближенных
вычислениях значений функций, интегралов, при решении
дифференциальных уравнений.
29
Поэтому для всех элементарных функций выведены формулы
разложения в ряд Маклорена:
х х2
хn
е  1    ...   ... , x  (;);
1! 2!
n!
х
2 n1
х3 х5
n1 х
sin x  x    ...  (1)
 ... , x  (;);
3! 5!
(2n  1)!
2n
х2 х4
n х
cos x  1    ...  (1)
 ... , x  (;);
2! 4!
(2n)!
(1  x) m  1  mx 
m(m  1) 2
m(m  1)(m  n  1) n
x  ... 
x  ...,
2!
n!
x  (1;1);
n
х 2 х3 x 4
n1 х
ln(1  x)  x     ...  (1)
 ... , x  (1;1].
2 3 4
n
30