Загрузить - Кафедра общей и экспериментальной физики

1.1 Изучение движения тел при наличии
сил вязкого трения
Цель работы: Знакомство с методом подобия в гидродинамике,
определение коэффициента вязкости некоторых жидкостей
методом Стокса.
Понятие о вязкости
Если твёрдое тело обтекается потоком жидкости или газа, то
относительная скорость жидкости на поверхности твердого тела
в точности равна нулю. Простой пример: лопасти вентилятора
собирают на себе тонкий слой пыли, несмотря на то, что они
вращаются в воздухе. Это происходит потому, что скорость
воздуха, измеренная относительно поверхности лопастей, равна
нулю, так что поток воздуха не возмущает даже мельчайших
пылинок. Аналогично, большие частицы можно сдуть со стола,
а мельчайшие – невозможно.
В идеальном случае жидкость характеризуется тем, что в ней
нет никаких напряжений сдвига. Если к слою жидкости
приложить внешнее напряжение, то она начинает течь, сколь бы
мало ни было это напряжение. Однако это не совсем так. В тот
момент, когда к жидкости приложены определенные силы,
сопротивление сдвигу вполне может быть. Эти силы,
возникающие в движущейся жидкости, описываются при
помощи понятия вязкости. В непосредственной близости от
поверхности твердого тела скорость потока нарастает от
нулевого значения до некоторой величины. Вдали от тела
изменения скорости сравнительно малы, и там влиянием
вязкости можно пренебречь. Слой жидкости, окружающей тело,
в котором нарастает скорость и в котором влияние вязкости
существенно, называется пограничным слоем. Этот слой может
быть очень тонким, и тогда влиянием вязкости можно
пренебречь. В других случаях, например, при течении жидкости
в капиллярах, такой слой может занимать весь объем текущей
жидкости и в этом случае мы должны обязательно учитывать
силы вязкости. Дадим теперь точное определение вязкости.
24
S
z
v0
F
v
h
Рис. 1
Предположим, что имеются две плоские твердые пластинки,
между которыми находится жидкость, причем одна из пластин
неподвижна (рис. 1), а другая движется относительно нее с
малой скоростью v0.
Оказывается, что для поддержания скорости движения
верхней пластины постоянной необходимо приложить
некоторую силу F. Так как жидкость прилипает к этой пластине,
то эта сила равна напряжению сдвига между слоями жидкости.
Эта сила сопротивления жидкости сдвигу называется силой
внутреннего трения или силой вязкости. Как было установлено
Ньютоном, она пропорциональна площади пластин S, обратно
пропорциональна расстоянию между ними h и прямо
пропорциональна скорости верхней пластины v0. Если движется
и нижняя пластина, то эта сила будет пропорциональна
относительной скорости пластин. Начиная от пограничного
слоя, скорость слоев жидкости быстро возрастает, потом
устанавливается картина распределения скоростей, показанная
на рис. 1. Из сказанного следует, что сила внутреннего трения F
равна
v
F  S
h
(1)
Коэффициент
пропорциональности

называется
коэффициентом вязкости жидкости. Он зависит от природы
25
жидкости, а для некоторых жидкостей очень сильно зависит от
температуры. Так для глицерина он уменьшается в 2,5 раза при
возрастании температуры от 10 до 20 С.
Метод подобия
Как ясно из сказанного выше, при движении тела в жидкости
необходимо
учитывать
наличие
сил
сопротивления,
обусловленных вязкостью. Решение такой задачи наталкивается
на значительные математические трудности и часто оказывается
невозможным. Например, не может быть решена в общем виде
задача о движении в жидкости тела даже такой, казалось бы
простой формы, как шар. Однако существуют простые методы,
основанные на соображениях размерностей тех физических
величин, от которых это движение может зависеть.
Рассмотрим равномерное движение твердого шара в
жидкости и попытаемся определить испытываемую шаром силу
сопротивления
F.
Физические
свойства
жидкости,
определяющие движение в ней тел, характеризуются всего
двумя величинами: ее плотностью  и коэффициентом вязкости
. Отметим, что это относится и к движению в газе, если можно
пренебречь изменением его плотности. Как показывает
эксперимент, это можно сделать, если скорость движения тела
значительно меньше скорости звука в этом газе. Кроме этого,
характер движения шара в жидкости должен зависеть еще от
скорости шара v и его радиуса r.
Размерности указанных величин следующие: [] = кг/м3,
[] = кг/мс, [v] = м/с, [r] = м. Составим из этих величин
безразмерную величину. Полученная величина обозначается
символом Re:
Re 
vr

(2)
и называется числом Рейнольдса. Всякая другая безразмерная
величина может быть только функцией числа Рейнольдса. По
порядку величины число Рейнольдса есть отношение
кинетической энергии жидкости к ее потерям, обусловленным
26
работой сил вязкости на характерной длине r. Ясно, что это же
число должно характеризовать обтекание жидкостью любого
предмета, имеющего некоторые характерные размеры r.
Действительно, кинетическая энергия жидкости K 0,5 v2r3.
v 2
r  ηvr. Работа этой силы F  r  vr 2 .
r
rv
Отсюда K A 
, а это и есть число Рейнольдса. Таким

Сила вязкости 
образом, число Рейнольдса определяет относительную роль
инерции и вязкости жидкости при течении. При больших числах
Рейнольдса основную роль играет инерция, при малых –
вязкость. При этом характер движения тела в жидкости будет
совершенно различным.
Вернемся к определению силы сопротивления. Она имеет
размерность кгм/с2. Величиной с такой размерностью является
v2r2. Всякая другая величина с такой размерностью может быть
представлена только как произведение этой величины на
безразмерную, характеризующую свойства жидкости. Именно
F  v 2 r 2 f (Re).
(3)
Отсюда видно, что определение силы свелось к определению
неизвестной функции f(Re), которая, исходя из физических
соображений, должна быть однозначно определена, например,
экспериментально.
Таким образом, движения, отличающиеся значениями
параметров , , v, r при одинаковых числах Рейнольдса
должны быть в некотором смысле одинаковыми. Такие
движения называют подобными. Вся картина движения
жидкости в таких случаях отличается лишь масштабами всех
величин. Физическая картина движения остается той же самой,
меняются только числа. Изложенный выше метод позволяет
определить общие физические закономерности какого-либо
движения.
Как известно из эксперимента, при малых скоростях
движения тела в жидкости или в газе сила сопротивления
пропорциональна скорости v. Для того, чтобы получить такую
27
зависимость из формулы (3), мы должны предположить, что
f Re   const Re .
Используя (20) мы сразу получаем, что
F = constvr
(4)
Из этой формулы непосредственно следует, что сила
сопротивления пропорциональна вязкости, линейным размерам
тела и скорости. Из изложенных выше соображений,
естественно, невозможно определить значение константы, но
это можно сделать, используя более общие законы. Как показал
Стокс, она равна 6, т.е. сила сопротивления, обусловленная
вязкостью жидкости, при небольших скоростях равна
F = 6vr
(5)
Это соотношение известно как формула Стокса.
Все изложенное выше справедливо при небольших скоростях
движения v. Поскольку формула (5) была получена из более
общей формулы (3), то, естественно, она будет справедлива
только тогда, когда функцию f(Re) можно разложить в ряд
Тейлора. Для этого Re должно быть много меньше единицы.
Отсюда ясно, что условие малости скорости должно быть
представлено в виде
Re 
vr
≪1

(6)
Таким образом, условие малости скорости носит
относительный характер. Например, при очень малых размерах
частиц формулу Стокса можно применять и для частиц,
совершающих быстрые движения.
Отметим, что все выше сказанное относится к движению с
малыми числами Рейнольдса (6). При больших числах
Рейнольдса движение меняется кардинальным образом. В этом
случае преобладающую роль играет инерция, а не силы
вязкости. Вязкостью жидкости можно вообще пренебречь.
Струи жидкости (или газа) как бы отрываются друг от друга, и
начинается интенсивное перемешивание жидкости. Если
следить за отдельными точками жидкости, то они совершают
28
сложное вихревое движение, происходит отрыв потока от
обтекаемого тела. Такое движение называется турбулентным,
для него формула Стокса не выполняется. При таком движении
вязкость вообще не оказывает влияния на движение, так как
энергия движущейся жидкости много больше работы, которую
совершают силы вязкости. Опыт показывает, что такое
движение устанавливается при числах Рейнольдса больших
1700. При меньших значениях числа Рейнольдса ламинарное
движение вполне устойчиво и любое возмущение потока не
приводит к явлению срыва.
При очень больших числах Рейнольдса позади обтекаемого
тела возникает так называемый турбулентный след – полоса
турбулентно движущейся жидкости. В этих условиях формула
(5) оказывается несправедливой. Однако для определения силы
сопротивления снова можно воспользоваться соображениями
размерности. Сила сопротивления может зависеть лишь от
размеров тела r, его скорости v и плотности жидкости . Из этих
величин можно составить лишь одну комбинацию с
размерностью силы – произведение v2r2. Поэтому, можно
утверждать, что
F = cv2r2
(7)
где c – коэффициент, зависящий от формы тела. Таким образом,
при очень больших числах Рейнольдса сила сопротивления
пропорциональна квадрату скорости (это известно как закон
сопротивления Ньютона). Наконец, сила сопротивления
пропорциональна плотности жидкости (инерция) и квадрату
линейных размеров тела. Отметим, что в обратном случае
малых числах Рейнольдса, сила сопротивления не зависит от
плотности жидкости и пропорциональна вязкости. Таким
образом, при малых значениях числа Рейнольдса на первый
план выдвигаются силы вязкости, при больших – инерция.
Следовательно, при определении коэффициента вязкости мы
должны обеспечить движение тела в жидкости с Re ≪ 1. Это
можно сделать, если для любой жидкости подобрать
соответствующие размеры тела r. Эти размеры определяются
плотностью жидкости  и ее вязкостью . Одним из способов
определения вязкости плотных тел с достаточно большим
29
значением коэффициента вязкости является метод Стокса.
Метод Cтокса
Если небольшой шарик падает в вязкой жидкости (рис. 2), то
на него кроме силы вязкости Fc (5) действует сила тяжести mg =
Vg ( – плотность материала, из которого сделан шарик, V –
его объем, g –- ускорение свободного падения) и архимедова
сила FA = 0Vg (рис. 2), где 0 – плотность жидкости.
Уравнение движения запишется тогда
следующим образом:
FA
V
dv
 Vg  0Vg  6rv
dt
(8)
Это дифференциальное уравнение
решается
методом
разделения
переменных. Однако формулу для
определения коэффициента вязкости
легко найти из следующих простых
соображений. При увеличении скорости
возрастает сила сопротивления. В
результате в некоторый момент времени
mg
сила вязкости достигает такого значения,
что результирующая сила, действующая
на шарик, станет равна нулю:
Рис. 2
Vg  0Vg  6v 0  0
(9)
После этого шарик начнет двигаться равномерно. Измерив
скорость этого движения, легко найти и коэффициент вязкости.
Действительно, из (9) имеем:
Fc

  0
Vg
6rv 0
Учитывая, что
V 
(10)
4 3 1 3
r  d , где
3
6
d – диаметр
шарика, получим:

gd 2    0 
,
18v 0
(11)
30
где v – скорость установившегося движения шарика. Эта
скорость движения устанавливается через некоторый
промежуток времени, называемый временем релаксации. Его
можно определить как экспериментально, так и теоретически
решив дифференциальное уравнение (8).
Решение этого уравнения дает следующий результат:

t

vt   v 0  v 0  v0 e ,
(12)
где v0 – скорость установившегося движения шарика, v(0) –
скорость шарика в момент опускания его в жидкость, а  –
время релаксации, равное
V
2r
.


6r 9
2
(13)
Таким образом, измерив скорость установившегося движения
шарика после истечения времени релаксации, можно найти
вязкость жидкости. Формула (11) используется в данной работе
для определения коэффициента вязкости.
Ход работы
На рис. 3 приведён кадр из данной лабораторной работы.
Справа изображён сосуд, в котором падает в вязкой жидкости
небольшой шарик. Слева имеются кнопки для управления
экспериментом и окно для изменения диаметра шарика, а также
табло виртуального секундомера.
31
32
Рис. 3
32
Рекомендуется следующий ход работы
1. Выбрать вещество.
Для выбора вещества на окне с его названием нужно нажать левую кнопку мыши. Появится
список возможных вариантов. Из этого списка нужно выбрать растительное масло, при этом его
плотность и вязкость отобразятся в окне "Начальные условия". Дело в том, что вязкость этого
вещества такова, что для него сравнительно легко можно проследить за установлением скорости.
Выбрав рабочее вещество, нажмите кнопку "Условия заданы".
2. Для выбранного вещества найти зависимость пройденного пути от времени.
Следует нижнюю метку поставить в положение 1 см, затем нажать кнопку "Новое измерение".
Записать время, за которое шарик прошел это расстояние, переместить данную метку вниз (шаг 1
см) и повторить опыт, и т. д. Проделать опыт для двух диаметров шарика (лучше взять 1 мм и 2
мм). Диаметр устанавливается путем введения числа в соответствующее окно.
3. Построить графики зависимости пути от времени.
4. Определить вязкость вещества.
Воспользоваться графиком, соответствующим большему шарику. На этом графике изобразите
линию установившегося движения (наклонную асимптоту) и по наклону этой прямой определите
вязкость жидкости. Полученный результат сравните с табличным.
5. Проделать опыт для другого вещества.
Для выбора нового вещества нажмите кнопку "Изменить условия". Выбрав рабочее
вещество, нажмите кнопку "Условия заданы". Выполните с данным веществом операции,
описанные в пунктах 2, 3, и 4. Обратите внимание на график зависимости пройденного пути от
времени для этого вещества. Если на графике не будет участка прямой, соответствующей
установившемуся движению, то вязкость данной жидкости по графику определить нельзя.
6. Определить вязкость вещества, наблюдая установившееся движение.
Для наиболее вязкого вещества определите вязкость, наблюдая установившееся движение. Для
этого поставьте верхнюю метку на некотором расстоянии (около 3 см) от уровня жидкости, чтобы
на этом участке успело установиться равномерное движение. Бросьте в жидкость шарик, измерьте
скорость его равномерного движения до нижней метки, находящейся на уровне 15 см, и
вычислите вязкость. Этот опыт с данным шариком можно провести 1 раз, так как время падения
определяется автоматически и при одинаковых условиях всегда получится одинаковым.
Проделайте этот опыт с четырьмя шариками разных диаметров (например, 0,5; 1; 1,5 и 2 мм).
7. Для последнего эксперимента определите погрешность измерения коэффициента вязкости
как среднеквадратичное отклонение по формуле
N
 
 (
i 1
i
  )2
N
,
где  i – результат i-го измерения коэффициента вязкости,  – среднее значение этой величины,
N – число измерений (в нашем примере N = 4)
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Что такое силы вязкости?
Что такое коэффициент вязкости? От чего он зависит?
В чем заключается метод подобия в физике?
Каков физический смысл числа Рейнольдса?
Что такое пограничный слой?
Что такое ламинарное и турбулентное течения?
Как зависит сила сопротивления движению тела в жидкости от скорости? Почему?
Что такое время релаксации?
Имеется 2 шарика из одинакового материала, но различного размера. Какой шарик будет
быстрее падать в вязкой жидкости?
Когда шарик быстрее падает в вязкой жидкости: в узком сосуде или в широком?
33