Модуль Юнга при одноосном сжатии стального цилиндра Московский государственный университет.

Московский государственный университет.
Факультет фундаментальной физико-химической инженерии.
Модуль Юнга при одноосном сжатии
стального цилиндра
Выполнил: Абрамов Сергей Николаевич 3 курс группа 301.
Научный руководитель: д.ф.-м.н. Антонов Е. В.
Работа выполнена в 2012-2013 г. в Институте физики твердого тела РАН.
(1) Введение.
В прошлом учебном году в экспериментах по изучению потерь на трение в прессах
усилием 500 тс и выше мы обнаружили, что цилиндр из стали 30ХГСА диаметром 175
мм и высотой 258 мм сжимается примерно в полтора раза сильнее, чем следовало из
табличного значения Е = 215 ГПа модуля Юнга такой стали.
 В этом году нашей задачей было:
 Убедиться, что эффект воспроизводим.
 Оценить влияние шероховатости торцов цилиндра.
 Проверить, изотропен ли модуль Юнга цилиндра.
(2) Экспериментальные методы и образцы.
Первым делом мы проверили, что деформация нашего стального цилиндра не выходит
за пределы упругой области. На Рис. 1а нанесена зависимость показаний микрометра L
от давления масла Р пресса ДО 137А. Как видно из Рис. 1а первый цикл – кружки и
второй цикл – квадратики совпадают. Для пресса ДО 138 (Рис. 1б) первый цикл и
второй цикл тоже совпадают. А так же совпадение двух циклов для пресса ДО 043
(Рис. 1в). В прессе ДО 043 давление масла не превышало 300 атмосфер, что бы не
выйти за пределы упругой области.
Усилие пресса, тс
130
0
100
400
500
110
0
100
Усилие пресса, тс
200
300
400
500
600
700
повышение давления
понижение давления
100
90
110
L, 10 мм
100
80
-2
-2
300
повышение давления
понижение давления
120
L, 10 мм
200
90
80
60
0
50
100
150
200
250 2
P давление масла, кгс / см
300
пресс ДО 138A
Fmax = 630 тс
60
пресс ДО 137A №1
Fmax = 500 тс
70
70
50
350
40
0
50
100
150
200
250
300
350
2
P давление масла, кгс / см
Рис. 1а (слева). Зависимости показаний микрометра L от давления масла в двух циклах повышения и
последующего понижения давления на прессе ДО 137А № 1. Первый цикл – кружки, второй цикл –
квадратики.
Рис. 1б (справа). Зависимости показаний микрометра L от давления масла в двух циклах повышения и
последующего понижения давления на прессе ДО 1378. Первый цикл – кружки, второй цикл – квадратики.
Усилие пресса, тс
130
0
100
200
300
400
500
600
повышение давления
понижение давления
120
110
L, 10 мм
100
-2
90
пресс ДО 043
Fmax = 2000 тс
80
70
60
0
50
100
150
200
250
300
350
2
P давление масла, кгс / см
Рис. 1в. Зависимости показаний микрометра L от давления масла в двух циклах повышения и последующего
понижения давления на прессе ДО 043. Первый цикл – кружки, второй цикл – квадратики.
Торцы цилиндра были шлифованными. Плиты прессов ДО137А и ДО138 тоже. Смазка
торцов цилиндра веретенным маслом и выточка лунок в их центрах не изменили
результатов измерений.
Модуль Юнга вычислялся по формуле 𝐸 =
1
𝑆
1 𝑑𝐿 𝑃𝑜𝑖𝑙
∙ ∙
∙
𝐿 𝑑𝐹 𝐹𝑝
, где
S – площадь торца
цилиндра; L – высота цилиндра; P – давление масла в прессе; Pmax – давление масла,
соответствующее максимальному усилию пресса Fmax. Величина Е зависит от угла
наклона кривой (Рис. 2а и Рис. 2б).
Усилие пресса, тс
0
100
200
300
400
Усилие пресса, тс
500
0
60
пресс ДО 137A
Fmax = 500 тс
300
400
500
600
700
пресс ДО 138
Fmax = 630 тс
120
110
L, 10 мм
40
-2
-2
L, 10 мм
200
130
50
30
20
10
100
50
100
150
200
250
300
2
P давление масла, кгс / см
90
E = 120 ГПа
E = 132 ГПа
0
100
80
350
70
0
50
100
150
200
250
300
350
2
P давление масла, кгс / см
Рис. 2а (слева) пресс ДО 137А. Модуль Юнга от угла наклона кривой.
Рис. 2б (справа) пресс ДО 138. Модуль Юнга от угла наклона кривой.
Плиты пресса ДО043 не были шлифованными, а значение E = 128 ГПа оказалось немного
ниже, чем в случае прессов со шлифованными плитами, хотя ожидался противоположный
эффект. Смазка торцов цилиндра веретенным маслом не изменила его сжимаемость
(Рис 3а). Замена цилиндра на стопку стальных дисков диаметром 250 мм дала заметное
понижение модуля Юнга (Рис 3б).
Усилие пресса, тс
Усилие пресса, тс
130
0
100
200
300
400
500
600
160
пресс ДО 043, Fmax = 2000 тс
120
-2
L, 10 мм
-2
L, 10 мм
100
90
80
600
900
1200
1800
2100
100
80
60
40
E = 128 ГПа
1500
стопка дисков диаметром 250 мм
120
110
300
пресс ДО 043, Fmax = 2000 тс
140
цилиндр диаметром 175 мм
70
0
E = 95 ГПа
20
60
0
50
100
150
200
250
300
0
350
2
P давление масла, кгс / см
200
400
600
800
1000
1200
2
P давление масла, кгс / см
Рис. 3а (слева) пресс ДО 043. Модуль Юнга от угла наклона кривой для цилиндра.
Рис. 3б (справа) пресс ДО 043. Модуль Юнга от угла наклона кривой для стопки дисков.
Модуль Юнга цилиндр из стали 30ХГСА диаметром 175 мм и высотой 258 мм, при
одноосном сжатии в гидравлических прессах усилием 500 тс и выше колеблется в
интервале от 120 ГПа до 140 ГПа (Таблица 1). В Таблице 2 приведены значения Е стопки
дисков диаметром 250 мм.
Таблица 1. Модуль Юнга цилиндра из стали 30ХГСА для прессов.
Е, ГПа
№
ДО 137А №1
ДО 137А №2
ДО 137А №4
ДО 138
ДО 043
1
2
3
4
131
128
132
136
122
128
128
140
137
142
120
123
122
116
111
128
Таблица 1. Модуль Юнга стопки стальных дисков для пресса ДО 043.
Е, ГПа
№
1
2
3
94
95
95
Изначально датчик стоял между плитами пресса, и поэтому у нас возникло
предположение, что заниженная величина модуля Юнга может быть следствием прогиба
стальных плит пресса. Был поставлен эксперимент с двумя стальными пластинами
толщиной 2 мм и ребром жесткости. Зависимости L(P), промеренные на расстояниях 5 см
и 30 см от боковой поверхности цилиндра, совпали в пределах точности измерения.
Следовательно, заниженное значение модуля Юнга не было связано с прогибом плит
пресса.
Возможно, упругие свойства цилиндра были анизотропны? Это вопрос возникает из
соображений того, что вдоль оси цилиндра может быть выделенное направление, т.е.
наличие преимущественной ориентировки (текстуры). В случае поликристаллического
материала
(цилиндра),
это
может
сделать
его
упругие
свойства
существенно
анизотропными.
Что бы узнать насколько анизотропен цилиндр, из него по радиусу были вырезаны кубики
размерами около 1х1х1 см3, и их упругие свойства были изучены с помощью
ультразвуковой установки (Кобелев Н.П., комн. 424 ГЛК ИФТТ РАН).
Методика:
Измеряется время прохождения импульса между 2 последующими пиками, на
осциллографе, при этом первый пик не рассматривается. Особенность первого пика в том,
что это запускающий импульс, т.е. импульс по электрической наводке, он проходит не
через образец, а через электрические связи. Значит, время между двумя первыми пиками
будет зависеть не только от состава образца. Таким образом, зная длину образца и время
прохождения радиоимпульса, можно вычислить скорость прохождения радиоимпульса
через образец. Принципиальная схема установки была следующей. Сигнал с встроенного
высокочастотного кварцевого генератора поступал на схему формирования тактового
синхроимпульса, схему формирования задержки запуска осциллографа и схему
формирования зондирующего импульса, который представлял собой короткий (≈1 μs)
радиоимпульс с частотой заполнения 5 МГц и синхронизированной с ней по фазе
огибающей, по форме близкой к гауссовой. Этот радиоимпульс подавался на подклеенный
к одному из торцов образца широкополосный низкодобротный пьезопреобразователь,
служащий для возбуждения ультразвуковых колебаний. Принимаемый недектированный
сигнал с аналогичного пьезодатчика, подклеенного к противоположному торцу образца,
поступал на вход осциллографа. С помощью схемы задержки по положению на экране
осциллографа
вершины
центрального
полупериода
принимаемых
эхоимпульсов
определялось время их распространения в образце. Данная схема позволяла опредедлить
время прохождения ультразвука через образец с точностью ≈ 0.01 μs. Результаты
измерений скоростей звука и геометрические характеристики образцов приведены ниже в
таблицах.
Про установку. 300 гц - это частота развертки осциллографа. Одновременно она же частота повторения импульсов. Т.е. с блока 300 гц идет импульс на блок синус и далее,
который формирует зондирующий импульс. И с 300 гц идет импульс на запуск
осциллографа. Правильнее - этот импульс идет не прямо на осциллограф, а через блок
задержки, который сдвигает начало развертки осциллографа в плюс или минус с шагом
0.01 мкс (там, кроме задержки по 0.1 мкс - это 10 мгц, есть еще аналоговый блок, который
делит ее на 10).
2𝐿
Расчетная формула скорости 𝑣 =
∆𝑡
, где L – длина ребра кубика вдоль осей x, y или z;
∆𝑡 – время между двумя пиками. Из Таблиц 2а и 2б, видно, что стальной цилиндр
полностью изотропен.
(3) Результаты и их обсуждение.
Таблица 2а. Зависимость продольной скорости от длины ребра кубика.
Кубик
Центральный
2-ой по радиусу
Крайний
Продольная скорость
L, мм
11.064
10.640
10.063
11.074
10.652
9.573
11.070
10.649
9.061
∆t, мкс
3.69
3.54
3.34
3.68
3.54
3.19
3.68
3.53
3.00
V, км/c
6.000
6.045
6.026
6.018
6.018
6.002
6.016
6.033
6.041
Таблица 2б. Зависимость поперечной скорости от длины ребра кубика.
Кубик
Центральный
2-ой по
радиусу
Крайний
L, мм
11.065 x
10.640 y
10.063 z
11.074 x
10.652 y
9.573 z
11.070 x
10.649 y
9.061 z
6.78 xz
6.53 yx
6.19 zy
6.82 xy
6.54 yx
6.89 zx
6.78 xy
6.51 yz
5.56 zx
Поперечная скорость
∆t, мкс
V, км/c
6.79 xy
3.264 xz
3.259 xy
6.53 yz
3.259 yx
3.259 yz
6.79 zx
3.251 zy
3.251 zx
6.82 xz
3.248 xy
3.248 xz
6.55 yz
3.257 yx
3.253 yz
5.90 zy
3.251 zx
3.245 zy
6.79 xz
3.265 xy
3.261 xz
6.52 yx
3.272 yz
3.267 yx
5.55 zy
3.259 zx
3.265 zy
Уравнение движения изотропного упругого тела в отсутствии объемных сил имеет вид:
𝜕2 𝑈
⍴ 𝜕𝑡 2 = (𝜆 + µ)𝑔𝑟𝑎𝑑𝑑𝑖𝑣𝑈 + µ∆𝑈
Где λ,µ – коэффициенты Ламе; 𝑈 – смещение
𝑉𝑙2 =
Обозначаем:
𝜆+ 2µ
⍴
и
𝑉𝑡2 =
µ
⍴
То получаем решение уравнения 1 в виде суммы двух уравнений:
𝜕2 𝑈1
𝜕𝑡 2
− 𝑉𝑙2 ∆𝑈1 = 0
𝜕2 𝑈2
𝜕𝑡 2
− 𝑉𝑡2 ∆𝑈2 = 0
𝑈1 – продольное смешение; 𝑉𝑙2 – продольная скорость;
𝑈2 – поперечное смещение; 𝑉𝑡2 – поперечная скорость.
Матрица из коэффициентов Ламе для изотропного упругого тела имеет вид:
𝜆+2µ
𝜆
𝜆
0
0
( 0
𝜆
𝜆+2µ
𝜆
0
0
0
𝜆
𝜆
𝜆+2µ
0
0
0
0
0
0
µ
0
0
0
0
0
0
µ
0
0
0
0
0
0
µ)
Система связывающая модули
𝜈=
µ=
𝜆=
𝐸=
𝐵=
𝐸−2µ
2µ
=
𝜆
2(µ + 𝜆)
3𝐵 −2µ
=
2(3𝐵 + µ)
𝐸
(2)
2(1+ 𝜈)
𝜈𝐸
(1+ 𝜈)(1−2𝜈)
µ(3𝜆 + 2µ)
µ+ 𝜆
3𝜆 +2µ
3
(1)
=
=
=𝜆+
2𝜈µ
(3)
1−2𝜈
9µ𝐵
3𝐵 +µ
2
3
= 2µ(1 + 𝜈)
µ
(4)
(5)
E – модуль Юнга; ν – модуль Пуассона; B –модуль объемной упругости
Выразив µ и 𝜆 через ⍴𝑉𝑡2 и ⍴𝑉𝑙2 , и подставив в 4, получим основную расчетную формулу
модуля Юнга: 𝐸 = ⍴𝑉𝑡2
(3𝑉𝑙2 −4𝑉𝑡2 )
(𝑉𝑙2 −𝑉𝑡2 )
. Плотность ρ = 7.85 г/cм3.
Как видно из Таблицы 3, Модуль Юнга использовавшегося цилиндра из стали 30ХГСА
оказался изотропен и с точностью 0.7% совпал с табличным значением Е = 215 ГПа.
Таблица 3. Зависимость модуля Юнга от направления и расстояния от оси цилиндра.
Кубик
Центральный
2-ой по радиусу
Крайний
x
215.5
215.5
215.9
Модуль Юнга вдоль осей, ГПа
y
z
215.9
214.8
215.1
214.1
216.7
216.2
(4) Заключение.
 Подтверждено наличие эффекта сильного (в полтора-два раза) занижения значений
модуля Юнга при его определении из результатов измерения в условиях
одноосного сжатия образца в форме цилиндра.
 Показано, что эффект слабо зависит от шероховатости поверхностей, передающих
усилие на цилиндр.
 Показано, что эффект не связан с прогибом плит пресса и не определяется
анизотропией модуля Юнга изучавшегося стального цилиндра.
Описание и объяснение эффекта в литературе не найдены.
Предварительный план работы на следующий учебный год:
Выполнить компьютерное моделирование одноосного сжатия цилиндра из изотропного
материала.