ОБ ЭВОЛЮЦИИ ОРБИТ ИСЗ ПОД ВЛИЯНИЕМ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПРОБЛЕМЕ ВЫБОРА ДОЛГОЖИВУЩИХ

Институт Космических Исследований
Российской Академии Наук
Памяти Павла Ефимовича ЭЛЬЯСБЕРГА
ОБ ЭВОЛЮЦИИ ОРБИТ ИСЗ ПОД
ВЛИЯНИЕМ ГРАВИТАЦИОННЫХ
ВОЗМУЩЕНИЙ ОТ ЛУНЫ И СОЛНЦА И
ПРОБЛЕМЕ ВЫБОРА ДОЛГОЖИВУЩИХ
ВОСОКО АПОГЕЙНЫХ ОРБИТ
Виктория И. ПРОХОРЕНКО
ИКИ РАН Семинар «Механика, Управление, Информатика, 25 марта 2004
Аннотация (1из 2)
• Речь идет о практической задаче выбора долгоживущих орбит
ИСЗ с большим эксцентриситетом и наклонением. Орбиты ИСЗ
серии ПРОГНОЗ, запущенные с 1972 по 1995 г.г. послужили
экспериментальным материалом для исследований.
• На первой стадии исследований были использованы
аналитические решения двукратно-осредненной ограниченной
круговой проблемы Хилла, полученные М.Л. Лидовым [1961].
Геометрическая интерпретация этих решений позволила
разработать геометрический метод анализа долгопериодической
эволюции, и времени существования орбит ИСЗ.
•Предположение о компланарности орбиты Луны и плоскости
эклиптики позволило применить упомянутые решения задачи
трех тел к задаче четырех тел (Земля, Спутник, Луна Солнце).
2
Аннотация (2 of 2)
• Сравнение аналитических решений с результатами численного
интегрирования с учетом реальных гравитационных возмущений
от Луны и Солнца позволило обнаружить существенную роль
некомпланарности орбит рассматриваемых возмущающих тел.
• Результаты исследования влияния прецессии орбиты Луны на
характер эволюции и время существования орбит ИСЗ
представлены во второй части доклада
3
П.Е. ЭЛЬЯСБЕРГ и М.Л. ЛИДОВ
Введение
Эволюция эллиптической орбиты точки P (спутник нулевой массы)
рассматривается в рамках ограниченной круговой проблемы трех
тел. Точка P движется в поле притяжения центральной точки S
(массы M) под влиянием гравитационных возмущений со стороны
третьей точки J (массы M1), которая движется вокруг точки S по
круговой орбите радиуса a1.
М.Л. Лидов [1961] получил аналитическое решение двукратноосредненной системы дифференциальных уравнений движения
точки P в приближении Хилла, полагая что отношение большой
полуоси a орбиты точки P удовлетворяет соотношению:
 = a/a1 << 1. Это позволило использовать первый член
разложения возмущающей функции по параметру . Полученное
аналитическое решение включает три первых интеграла и две
независимых квадратуры.
5
Полученные М.Л. Лидовым [1961] аналитические решения двукратно
осредненной ограниченной задачи трех тел в хилловском приближении
c0  a; c1   cos 2 i; c2  (1   )( 2 / 5  sin 2  sin 2 i );
(1)
3

1
d
15 M 1  a  3 / 2
  1 ; (2)
N  N0   
; A 
1/ 2
2
A  0 (1   ) sin i sin 2
2 M  a1 
N
  0   A 
No
cos i ((1   ) sin 2    / 5)dN

1/ 2
,
c0  a0 ; c1  ε 0 cos 2 i0 ; c2  (1  ε 0 )( 2 / 5  sin 2 ω0 sin 2 i0 ).
a - большая полуось,  = 1 - e2, e – эксцентриситет;
i, , и  - наклонение, аргумент перицентра и прямое восхождение
восходящего узла орбиты ИСЗ, отнесенные к плоскости орбиты
возмущающего тела; N – номер витка; 1 – параметр  орбиты
возмущающего тела; M, M2 – масса центрального и возмущающего тел
Критическое значение * , соответствующее
соударению спутника с центральным
телом радиуса R: * = 1- (1-R/a)2
(3)
С1
С2
Область возможных значений интегральных констант с1, с2
I. Основные закономерности
эволюции высоты перицентра,
использованные в процессе
проектирования орбит серии
«ПРОГНОЗ»
Короткопериодическая эволюция высоты перицентра за виток
Изменение высоты перицентра орбиты спутника за виток hp зависит от
значений большой полуоси спутника, эксцентриситета, и положения вектора
возмущающего ускорения относительно орбитальной системы координат
O*)
Знак изменения высоты перицентра за виток hp зависит от угла  между
осью  и проекцией вектора возмущающего ускорения на плоскости O :
0 < hp при   I или III четверти
hp < 0 при   II или IV четверти
В книге П.Е. Эльясберга [1965] приведены оценки модуля максимального
отклонения высоты перицентра за виток hpmax под влиянием
гравитационных возмущений от Луны и Солнца для орбит с высотой апогея
(перигея) от 2 000 до 100 000 км (от 200 до 50 000 км).
*) Правая система координат O: начало координат совпадает с притягивающим центром,
плоскость O совпадает с плоскостью орбиты спутника, ось  направлена в точку перицентра,
ось  - по нормали к плоскости орбиты.
Долгопериодическая эволюция высоты перицентра
Знак долгопериодического изменения высоты перицентра зависит от
значения аргумента перицентра , измеренного относительно линии узлов
орбиты спутника на плоскости орбиты возмущающего тела:
~ при   II или IV четверти
0< 
hp
~
h p < 0 при   I или III четверти
~
В книге П.Е. [1965] показано, что h p max = ½ hpmax
Эволюция радиуса перицентра rp и время существования орбит ИСЗ серии
«ПРОГНОЗ» (1972 –1995)
Численное интегрирование полной системы дифференциальных уравнений
выполнено с учетом гравитационных возмущений от Луны и Солнца
Типичные начальные значения орбитальных элементов:
• 16.12 < a (RE) < 16.74; 0.930 < e0 < 0.936;
• ie0 = 65(до P10); e0 = 290(до P7).
Угловые элементы измерены относительно плоскости
земного экватора
P1
P8
P6
P2
P10
P3
P4,5,7
I-1
II. Геометрическое
исследование первых
интегралов задачи Хилла в
сферической системе
координат Oi:
•  = 1 - e2 (0    1) - радиус;
• i (0  i  180) - коширота ;
•  (0  i  360) - широта 
Геометрическая интерпретация первых интегралов c1, c2
 = 180
 = 0
Сечения поверхностей
вращения
 = 270
 = 90
c1 =  cos2i
а
c
плоскостями
 = 0, 180(а)
и  = 90, 270(b).
Серым тоном здесь
и далее выделена область,
соответствующая
значениям c2 < 0
Интегральные кривые,
соответствующие линиям
пересечения
поверхностей
c2 = (1- ) (2/5- sin2  sin2i)
с поверхностями
c1 = 0 (i = 90) (c)
и c1 = 0.2 (d)
b
d
12
Геометрическая интерпретация соударения спутника с центральным
телом конечного радиуса R
* = (2a* - 1)/a*2, a* = a/R
a*
a* = 8,
* = 0.234,
c1=0.1, c2=0.1;
c2= -0.1
Косой штриховкой показана область, соответствующая орбитам с конечным
временем баллистического существования для a* = 8, определяемая
неравенствами: c1 < 0.6 *2 или c2 > (1 - *)(c1 / * - 0.6) Гордеева [1968] 13
Соотношение между областями возможных значений начальных
орбитальных элементов 0, i0, 0 и интегральных констант c1, c2
Сферическая поверхность
0=0.4
c1 = 0 cos2i0, c2 = (1 - 0) (2/5 - sin2i0 sin20)
a
c
0 = 0.6
d
0  0  1
superposition
b
0 = 0.4
14
III. Параметрический анализ
периодов долговременной
эволюции элементов , i и
мажоранты времени
баллистического
существования
Зависимость эволюции орбитальных элементов от времени
Время эволюции орбитальных элементов можно представить в виде
произведения независимых параметров, используя квадратуру (2) и
теорию подобия и размерностей
4 3 / 2 L(c1, c2 ,  0 , , 0 )
t*  t*0 
a*
,
15
LD

d
L(c1, c2 ,  0 , , 0 )   
,
1/ 2
2
(1 )  sin i sin 2
0
L D  1*a1*313 / 2 *1/ 2  параметр подобия воз мущений;
a*  a / l , t*  t /  , *   2 / l 3  безразмерн ые параметры;
l  R,  , m  R 3 / f 2  характерные размер, время и масса;
f  гравитационная константа, R - радиус центрального тела
Ю.Ф. Гордеева [1968] выразила квадратуру L через
эллиптический интеграл первого рода
16
Период T* долгопериодической эволюции орбитальных элементов (, i) и
безразмерный конфигурационный параметр подобия орбит LC (c1, c2)
T* = 4/15 a*-3/2 LC (c1, c2)/LD,
LC (c1, c2) = 2L(c1, c2, min, max, /2)
LC(c1,c2)
сечение
плоскостями
c1 (c1<0.6)
9
8
6
8
9
6
Конфигурационный
параметр подобия орбит
LC (c1, c2) зависит только
от c1, c2, его знак
совпадает со знаком
параметра c2, а
абсолютное значение
равно удвоенной
квадратуре L,
вычисленной в пределах
min, max
Изолинии поверхности LC (c1, c2)показаны для уровней
от 6 до 13 с единичным шагом
17
Мажоранта TB* времени баллистического существования и безразмерный
конфигурационный параметр подобия орбит LB (c1, c2, a*)
TB* = 4/15 a*-3/2 LB (c1, c2, a*)/LD,
LB (c1, c2 , a*)= 2L(c1, c2, *, max, 0(*))
LB определено только для c1, c2 , при которых min< *< max
Изолинии для
поверхностей
LC (c1, c2)
и
LB (c1, c2 , a*)
при a* = 16
Конфигурационный параметр LB
(c1, c2 , a*) имеет тот же знак, что
и c2, а абсолютное значение,
равное удвоенной квадратуре L
вычисленной в пределах *, max,
с начальным значением 0,
определенным как функция от
* (при sin 20(*) < 0)
Линии соответствуют значениям уровня
от 5 to 13 с единичным шагом
18
Свойства функций LC(c1,c2)иLB(c1,c2,a*)
• Острый пик при c2 = 0 (при c1 < 0.6)
• Зеркальная квазисимметрия относительно
плоскости c2 = 0 в окрестности c2 = 0 (при
c1<0.6)
• LB(c1, c2, a*) < LC(c1, c2)при любых a*
• Выражаются через эллиптические интегралы
первого рода [Гордеева, 1968]
19
IV. Анализ семейства
орбит ИСЗ серии
ПРОГНОЗ
(a* = 16.6, * = 0.117)
и метод выбора долгоживущих
орбит
Для каждой орбиты значения
параметров
c1, c2 показаны черными
точками и маркированы
номером ИСЗ
Геометрический метод выбора долгоживущих орбит
Большая
полуось
Lc(c1,c2)
a = 8 RE
* = 0.234
Высота
перигея
hp0 = 5000 km
e0 = 0.777
0 = 0.4
LB(c1,c2, a*)
Область значений с1, с2,
соответствующих
орбитам с конечным
временем
существования
21
V. Сопоставление аналитических
решений с результатами численного
интегрирования полной системы
дифференциальных уравнений с
учетом реальных возмущений от
Луны и Солнца
Безразмерный параметр подобия возмущений LD для
системы тел: Земля, Спутник, Луна, Солнце
Использованы следующие характерные размер l, время , и динамические
параметры центрального и возмущающих тел:
L D   *1a*13 13 / 2  *1/ 2

l =RE = 6371200 m,  =365 сут.;



 = 0.39860044 1015 m3/s2 (Земля);
1 = 0.4902799 1013 m3/s2, a1 = 0.3844109 m, 1 = 1 (Луна);
2 = 0.13271244 1021 m3/s2, a2 = 0.1495979 1012 m, 2 = 1 (Солнце).
Система тел
LD
Земля–ИСЗ– Земля– ИСЗ– Земля– ИСЗ –
Луна
Солнце
Луна +Солнце
1
2
3
0.00219
0.00101
0.00320
Значение LD в третьей колонке представляет собой сумму
значений, расположенных в колонках 1 и 2
23
Сопоставление времени существования ИСЗ ИНТЕРБОЛ-1 под влиянием
возмущений от Луны и Солнца вместе и отдельно, рассчитанного по
аналитическим формулам и по результатам численного интегрирования с
учетом реальных возмущений
Возмущающее
тело
Луна
Солнце
Луна+
Солнце
Учет реальных
возмущений
7.60
18.0
5.20
Аналитическое
решение
7.72
16.8
5.29
rp = 6 RE
Луна + Солнце
1995
Луна
2000
Солнце
Эволюция радиуса
перигея rp под влиянием
Луны и Солнца
отдельно и вместе
2013
Численный расчет (с учетом гравитационных возмущений от Луны и Солнца)
времени баллистического существования для гипотетических версий орбит v1-v7
типа ИНТЕРБОЛ –1 с различными значениями аргумента перицентра
314  0e 290, при фиксированных значениях остальных орбитальных элементов
(a =16.12 RE , e0= 0.93, i0e = 62.9, 0e = 260, 0 = 24.5) и датой старта 03.08.1995
0e = 298.15
298.75
300
293
292
304
ИВ-1
314.
290
Сопоставление численных расчетов времени баллистического
существования TBR с аналитическим расчетом мажоранты TB*(с1, c2, a*)
ИНТЕРБОЛ-1:
a* = 16.12, c1 = 0.0179, с2 = 0.247,
e0 = 0.93, 0 = 0.123, 0 = 338.7
и версии v1-v7 со значениям
328  0  314 (0.14 c2-0.036)
T*,TB*,TBR
Это позволило обнаружить
«сдвиг» функции TBR
относительно функции TB*
Сплошная (штриховая) линия показывает период эволюции T* (мажоранту
времени баллистического существования TB*) в функции параметра c2.
Расчетное время баллистического существования TBR показано в виде
дискретных символов в функция значения параметра c2, определяемого
начальными значениями орбитальных элементов.
Светлые (темные) значки показывают расчетное время баллистического
существования TBR, связанное с ротационным (либрационным) типом
26
эволюции аргумента перицентра.
VI. Исследование влияния
прецессии орбиты Луны
на эволюцию орбитальных
элементов ИСЗ и время их
существования
(Учитывается наклонение 5.15 плоскости орбиты Луны к
плоскости эклиптики и прецессия орбиты Луны с периодом 18.6года)
Вспомогательные функции 1(t), 2(t) и 1m(t), 2m(t) для
исследования эффекта от прецессии орбиты Луны
• Для сопоставления аналитических решений с результатами
численного интегрирования полной системы уравнений будем в
процессе интегрирования следить за поведением функции 1(t) и
2(t) с начальными значениями 1(t0) = c1 и 2(t0) = c2
1(t) =  cos2i ; 2(t) = (1 - )(2/5 - sin2 sin2i).
• Параллельно рассмотрим другую пару функций 1m(t), 2m (t):
1m (t) =  cos2im; 2m (t) = (1 - )(2/5 - sin2m sin2im),
где индекс m маркирует орбитальные элементы, измеренные
относительно плоскости орбиты Луны.
• Из определения этих пар функций следует, что области их
возможных значений совпадают с областью допустимых значений
параметров c1, c2.
28
Параметр , отвечающий за сдвиг функции TBR
относительно функции TB*
• Эволюция функций 1m(t), 2m (t) определяется эволюцией
углового расстояния  между восходящими узлами орбит
спутника и Луны на плоскости эклиптики
• Для орбит с фиксированным начальным значением прямого
восхождения восходящего узла 0 начальное значение (t0) = 0
зависит от даты старта, которая в свою очередь определяет
позицию восходящего узла орбиты Луны.
• Угловая скорость эволюции параметра  определяется как
разность между угловой скоростью эволюции прямого
восхождения восходящего узла орбиты спутника и постоянной
угловой скоростью прецессии орбиты Луны .
• Эволюция параметра  в рамках двукратно осредненной
проблемы Хилла определяется квадратурой (3).
• М.А. Вашковьяк [1999] выразил эту квадратуру через
эллиптические интегралы первого и третьего рода.
29
Зависимость времени баллистического существования и поведения
функций 1m(t), 2m (t) от начального значения параметра 0
Рассмотрены два варианта орбит с
одинаковым значением c1 = 0.018 :
• IB1 - эквивалентен орбите ИСЗ
ИНТЕРБОЛ-1 (0 = 339, c2 = 0.247)
• v4 - отличается от первого только
начальным значением аргумента
перицентра (0 = 322.6, c2 = 0.069).
Для каждой из орбит сделан расчет
времени баллистического
существования TBR для набора дат
старта, обеспечивающего покрытие
всего интервала возможных значений
параметра 0 (0 0  360).
Для каждой орбиты значения TBR(0 )
отнесены к своему значению c2 и
маркированы значениями 0.
Светлые (темные) значки соответствуют
ротационному (либрационному) типу
эволюции аргумента перицентра.
T*, TB*,TR*,
годы
C2 >
0
0=40
1, 1m
v4
0=78
v4
0= -89
2, 2m
VII. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ
о роли параметра 0 на
примере других орбит серии
ПРОГНОЗ
Цилиндрическая система координат O1
 = 270
 = 90
•  = 1 - e2 (0    1) -радиус;
•  (0    360) - долгота;
• 1 (0  1  1) – координата Z
1= 0
1= 0.2
32
Эффект от начального значения параметра 0 на примере ИСЗ ПРОГНОЗ-2
ПРОГНОЗ-2
(a*=16.7, *=0.116)
0 = 284,
0 = 0.126
1(t0)=c1=0.07,
1(t0)=c2 =-0.03
Характер
эволюции
параметров
,  и 1, 2
в зависимости
от даты старта
(определяющей
значение
параметра 0)
Реальный запуск
29.VI.1972, 0 = 70
Время существования ~ 8 лет
Гипотетический запуск
29.VI.1981, 0 = 247
33
Время существования ~ 60 лет
Эффект от начального значения параметра 0 на примере ИСЗ ПРОГНОЗ-6
ПРОГНОЗ-6
(a*=16.6, *=0.117)
0 = 268,
0 = 0.126
1(t0)=c1=0.05,
1(t0)=c2 =-0.19
Характер
эволюции
параметров
,  и 1, 2
в зависимости
от даты старта
(определяющей
значение
параметра 0)
Реальный запуск
22.IX.1977, 0 = 225.
Время существования ~ 40 лет
Гипотетический запуск
34
22.IX.1988 , 0 = 80.
Время существования ~ 7 лет
Эволюция
Rp
орбитальных
элементов

гипотетической
версии орбиты
i
ПРОГНОЗ-6
с датой старта

22.09.1978
0= 247.5.
Время существования 
более 500 лет
1, 1m
2, 2m
Гипотетическая версия орбиты ПРОГНОЗ-6 с датой старта 1978.
Эволюция параметров 1, 2 , 1m, 2m и орбитальных элементов , 
на интервале времени 1978 – 2470
 = 90
1
1978-2150
=1
2150-2470
2
2150-2470
Заключение
• Сопоставление
аналитических
решений
двукратно
осредненной
проблемы
Хилла
с
решениями,
учитывающими возмущения от реальных внешних тел,
позволило выделить параметры, от которых зависит
характер эволюции орбитальных элементов и время
баллистического существования ИСЗ,
обусловленное
гравитационными возмущениями со стороны внешних тел
(Луны и Солнца).
• Такими параметрами являются безразмерные константы
первых
интегралов
двукратно-осредненной
задачи
c1 (0 c1  1), c2 (-0.6  c2  0.4), безразмерный параметр 1
< a*, равный отношению
большой полуоси орбиты
спутника к радиусу центрального тела, и параметр
0 (0 0  360) – начальное угловое расстояние между
восходящими узлами орбит ИСЗ и Луны на эклиптике.
37
Список литературы
•
•
•
•
•
•
•
•
Лидов М.Л. Эволюция орбит искусственных спутников планет под действием
гравитационных возмущений внешних тел. // Искусственные спутники Земли. 1961.
№. 8. С. 5.
Моисеев Н.Д. О некоторых основных упрощенных схемах небесной механики,
получаемых при помощи осреднения ограниченной круговой проблемы трех точек
Труды ГАИШ, т.15, ч.1, с.100, 1945.
Гордеева Ю.Ф. Зависимость элементов от времени в долгопериодических колебаниях
в ограниченной задаче трех тел // Космич. исслед. 1968. Т. 6. № 4. С. 536.
Вашковьяк М.А. Об эволюции орбит далеких спутников Урана // Письма в "Астрон.
журн." 1999. Т. 25. № 7. С. 554.
Прохоренко В.И. Геометрическое исследование решений ограниченной круговой
двукратно осредненной задачи трех тел // Космич. исслед. 2001. Т. 39. № 6. С. 622.
Прохоренко В.И. Исследование периодов эволюции эллиптических орбит в двукратно
осредненной задаче Хилла // Космич. исслед. 2002. Т. 40. № 1. С. 22.
Назиров Р.Р., В.И. Прохоренко, А.И. Шейхет Ретроспективный геометрический анализ
долгопериодической эволюции орбит и времени баллистического существования ИСЗ
серии ПРОГНОЗ // Космич. исслед. 2002. Т. 40. № 5. С. 538.
Вашковьяк М.А. Тесленко Н.М. Построение периодически эволюционирующих орбит
спутника сжатой планеты в осредненной задаче Хилла с учетом прецессии орбиты
возмущающей точки // Письма в Астрон. журн. 1998. Т. 24. № 6, С. 474.
38