Document 475585

Лекция 8
VIII. ПЛАЗМЕННЫЕ УСКОРИТЕЛИ.
Электромагнитные ускорители плазмы. МГД приближение для описания динамики.
Одножидкостная модель. Магнитное давление. Равновесие плазменной границы.
Рельсотрон.
§ 8.1. МГД приближение.
Для описания ускорения плазмы магнитным полем воспользуемся МГД
приближением. Теорию МГД метода разработал Шведский физик Альфвен (Alfven) в
1942г. для описания динамики космической плазмы. Плазма рассматривается как


проводящая жидкость. Основное приближение – это введение n t , r , V t , r  .
n   f  d 3V ;
V 
1
Vf d 3V .
n 
Система МГД уравнений состоит из уравнения непрерывности, уравнения движения,
уравнения состояния для каждой компоненты плазмы и четырех уравнений Максвелла:

 dn

divn
V
   0 - уравнение непрерывности
 dt


 

dn
m n   p  Z  en  E  1 V  B   Fтр
dt
c




p  nkT





div
E
 4e  Z  ni  nl 

  l




1

B

rotE  

 c t

div
B
0





4

4



rotB 
j
e  Z  ni Vi  nlVl 

c
c   l

В данной системе температура компоненты плазмы выступает как внешний параметр.
Если к этой системе добавить уравнение для расчета температуры, обычно это уравнение
теплового баланса, то система становится замкнутой и для ее расчета необходимы только
начальные и граничные условия. Уравнение теплового баланса для каждой конкретной
задачи имеет свой специальный вид. Например, для плазмы пинча или дугового разряда
оно состоит в том, что омические потери идут на излучение плазмы как черного тела:
R(T )  I 2   StT 4 , где R(T ) - сопротивление плазмы, зависящее от температуры (можно
взять Спитцеровскую температурную зависимость проводимости).
§ 8.2. Одножидкостная модель.
В одножидкостной модели считается, что ионы и электроны движутся с
одинаковой скоростью как целое. Для достаточно плотной плазмы это оправдано
эффектом амбиполярности, более подвижные электроны не могут далеко убежать от
ионов из-за возникновения сильных электрических полей. Вводится:
массовая плотность    n m ;

 1

массовая скорость V   n V m ;


давление, как сумма парциальных давлений p   p .

Суммируя уравнения непрерывности для электронов и ионов, получим массовое
уравнение непрерывности или закон сохранения масс:

 div  v  0 . Суммируя
t
уравнения движения для электронов и ионов в пренебрежении сил трения F fr  0 ,
получим уравнение движения для плазмы: 
уравнения нет электрической силы, так как
dv
1
 p  j  B . В правой части этого
dt
c
 Z n  n . Первое слагаемое правой части
 e
e
уравнения указывает на градиент газокинетического давления как на одну из причин
движения плазмы (гидродинамика). Можно показать, что второе слагаемое соответствует
магнитному давлению pm 
B2
(магнитная динамика).
8
Тогда:
 
 t  div V  0

1
 dV
 p  j  B

c
 dt
p  nkT



Возьмем последние три уравнения Максвелла:

 
1 B
rotE  
 c t

 divB  0
 rotB  4 j

c



  1  
и закон Ома: j  E эфф    E  V  B  .
c


К последнему уравнению системы применим операцию rot :

4 
rot  rotB  rot
j;
c
    
  
[a  [b  c ]]  b ac   c ab ;
 


  
 


 4  
 1   
2
2
  [  B]  (B)   B  grad  divB  B 
  rot
E  rot  V  B   ;


 

c  1 B
c

0
  c t


 

B
c2
 rot V  B 
B .
t
4


Если плазма покоится, то V  0 .


B
c2

B - уравнение диффузии.
t 4

 
B
 rot V  B - уравнение «вмороженности» магнитного поля.
При   
t

 2B 2B 2B 
B
 Pмаг  2  2  2  ;
t
y
z 
 x


2
c2
 Pм аг  S ;
4
S
 S  Pмаг S 
c2
 S - глубина скин-слоя..
4
При     S  0 .
Покажем это. Возьмем замкнутый контур длины dl :
S
dl
Vdt
S
 
Магнитный поток    BdS ;


d
dB 
dS 

dS  
dB - разность потоков равна потоку
dt  dt
dt
через боковую поверхность.

 
 
 
d   B 
B
d
S

d
S

B

V
dl

rot
V

B

B
 t


  Vdl  0 (т.
dt 


 
 
Стокса:  adl   rotadS - циркуляция внутри замкнутого

S
контура.
d  
BdS 0
dt 
Движение плазмы в одножидкостном приближении описывается уравнением:

dV 1  

 j  B  p .
dt c
Выясним природу силы Лоренца
1 
j  B . Для этого вспомним тождество анализа:
c
 
 
    
 
 
 

   
grad a  b   a  b   a b    a  b   a   b  b   a  a    b  b   a  






  

 
 a  grad b  b  grad a  a  rotb  b rota
    
  
 [a  [b  c ]]  b ac   c ab 




 b ac   b a c   [a  [b  c ]] 
 


  ab  a b  a    c  


   

 



 
 

 

 
  1  1
 


1  1
B2
1  
jB 
rotB  B 

B B  p маг
  grad B  B  Bgard B   
c
4
4  2
8 4

где p м аг
 B2

 8

 0

 0


0
B2
8
0

0 

B2

0  - тензор магнитного давления, p м аг 
- магнитное
8

B2 

8 
 эрг 
давление является одновременно плотностью магнитной энергии размерности  3  ,
 см 
если B  Гс . В поперечном направлении силовые линии расталкиваются, а в продольном
силовые линии натянуты, т.е. стремятся сжаться. Покажем, что последнее слагаемое в
силе Лоренца соответствует натяжению магнитных силовых линий, т.е. связано с
кривизной силовых линий.

  

S  Rкр  



 
1 
1
1 B 2  B 
2 
 B  ;
B  B  
B     B  B  
n
B  B 4
4
4 Rкр
4





  n
n
   n ;   lim
 lim

S 0 S
S 0 R 
Rкр
Rкр
кр




 
Если обозначить        , то:
 B2 
1 
B2 
 
j  B    
n.
c
 8  4Rкр
Т.о. сила Лоренца – это сила магнитного давления в поперечном к магнитному полю
направлении.


 B
n

В вакууме, где j  0 ,
- это отношение мы уже использовали при выводе
B
Rкр
скорости дрейфа в неоднородном поле. Оно означает, что топология магнитного поля
соответствует уравновешиванию поперечного магнитного давления натяжением силовых
линий.
В плазме существует газокинетическое давление частиц плазмы. Отношение
B
p
8p
 2 называется параметром  . Если   1 , то плазма считается высокого
pм
B
давления, если   1 - низкого. С точки зрения эффективности удержания  опт ~ 0.1 , т.е.
затраты на магнитное поле неоправданно велики.
§ 8.3. Равновесие плазменной границы.

dV 1  
 j  B  p .
Вновь вернемся к уравнению движения плазмы как жидкости: 
dt c

1 
Если плазма стационарна, то V  0  j  B  p - это условия равновесия плазмы, из
c


которого следует, что вектора j и B лежат на поверхности p  const , т.е. магнитные
поверхности в плазме являются изобарическими. Если магнитное поле однородно, то
B2
1 
j  Bz    z , т.е. газокинетическое давление уравнивается магнитным:
c
8
2

B2 
Bz2
B z2
  0  p  Bz  const .
p   
 0   p 
. Или можно записать: p   

8
8 
8
8

Если учесть, что вне плазмы B z  B0 , то можно написать
плазма
соотношение: p 

B

B
B z2 B02
, т.е. магнитное поле в плазме

8 8
ослабляется, плазма выталкивает магнитное поле как
диэлектрик. Т.о. магнитное поле в плазме зависит от давления
плазмы и меняется так, чтобы оставалась постоянной величина
B z2
p
 const .
8
§ 8.4. Плазменные ускорители.
В одномерном случае плазменный ускоритель имеет вид рельсотрона:
Рельсотрон
a
L0
C0
U0

V
b

Bc
Bc  Bb
a

Bb
b
Полная индуктивность
системы: L  L0  Lx x ,
Lx - погонная
ln
индуктивность.
L x   Гн
м
Подводимая в канал плотность мощности: p 
d   H 2 
 H2 
  v 
 E j.
 
dt t  8 
x  8  
j2

Интегрируя по объему, получим мощность: P  U   I 
 H2 
 H2 

V  
V  v  R I 2
t  8 
x  8 
C0U 02 C0U 2 L0 I 2 Lx xI 2 mv 2 t
Закон сохранения энергии: W 




  R I 2 dt .
2
2
2
2
2
0
1
Подводимая к каналу мощность: P  U   I  Lx xII  LxUI 2  k   R .
2
Сопоставив, получаем, что мощность, расходуемая на перемещение плазменного поршня :
PU 
1
1
L xUI 2  FU  F  Lx I 2 - ускоряющая сила.
2
2
Тогда систему уравнений, описывающая данную модель, можно представить в виде:
x  v

v  1 Lx I 2
2m p


U   1 I

c0

U  ( L0  Lx  x) I  I ( R  Lx  v )

,
1 Lx  I 2

P


2 a b

a
R 
p

 p  b  lp

P

n  kT (1   )
p

 R I 2    T 4
St
 p
где a, b, l p - высота, длина, ширина поршня (см. рис.),  p - проводимость плазмы,
определяемая, например, по формуле Спитцера,  p - степень ионизации плазмы,
определяемая уравнением Саха. Последнее уравнение системы задает тепловой баланс в
предположении, что все омически выделяемое в плазме тепло идет на излучение плазмы
как излучение черного тела. Система замкнута. Точность расчета определяется
t
c U 2 c U 2 L I 2 L xI 2 mv 2

  RI 2 dt  const .
сохранением энергии: W0  0 0  0  0  x
2
2
2
2
2
0
L0
R0
I
Lx
v
C0
Rp