2 Графический метод решения задачи линейного
advertisement
Министерство образования российской федерации Бузулукский гуманитарно-технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра физики, информатики и математики Д.Н. Ахматова ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД. СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД) Методические указания Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом БГТИ (филиала) ОГУ в качестве методических указаний по организации самостоятельной работы студентов, обучающихся по программам высшего профессионального образования по специальностям 080105.65 «Финансы и кредит», 080107.65 «Налоги и налогообложение», 080109.65 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Бузулук 2011 ББК 22.1 УДК 51 А 95 Рецензент: доцент кафедры физики, информатики и математики, к.п.н, Степунина О.А А95 Ахматова, Д.Н. Линейное программирование (Графический метод. Симплексный метод): методические указания / Д.Н. Ахматова; Бузулукский гуманитарнотехнолог. ин-т (филиал) ОГУ. – Бузулук: БГТИ (филиал) ОГУ, 2011. – 63 с. Методические указания содержат основные понятия линейного программирования, графический и симплексный метод решения задач линейного программирования. Методические указания по организации самостоятельной работы студентов предназначено для студентов, обучающихся по программам высшего профессионального образования по специальностям 080105.65 «Финансы и кредит», 080107.65 «Налоги и налогообложение», 080109.65 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» при изучении дисциплины «Математика (экономико-математические методы и модели)» ББК 22.1 УДК 51 © Ахматова Д.Н., 2011 © БГТИ (филиал) ОГУ, 2011 Содержание Введение ............................................................................................................................... 4 1 Основные понятия математического программирования, основные понятия линейного программирования ........................................................................................... 5 1.1 Общая задача математического программирования. Основные разделы математического программирования ................................................................................ 5 1.2 Математические модели экономических задач ......................................................... 7 1.3 Формы задач линейного программирования, их эквивалентность и способы преобразования .................................................................................................................. 13 2 Графический метод решения задачи линейного программирования ....................... 19 2.1 Свойства основной задачи линейного программирования ..................................... 19 2.2 Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования. Графический метод решения задачи линейного программирования .......................... 24 3 Симплексный метод решения задачи линейного программирования ...................... 34 Ответы и решения ............................................................................................................. 41 Список использованных источников .............................................................................. 62 3 Введение Данные методические указания подготовлены в соответствии с ГОС ВПО по дисциплине «Математика (экономико-математические методы)» и предназначены для студентов, обучающихся по специальностям «Финансы и кредит», «Налоги и налогообложение», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит». Работа посвящена программирования: следующим графический метод вопросам теории линейного решения задачи линейного программирования, симплексный метод. Материал работы содержит теоретическую и практическую часть. Теоретический материал сопровождается вопросами для повторения, которые позволяют закрепить и систематизировать полученные знания. После краткого изложения теории, приводится пример решения задачи и упражнения для самостоятельного выполнения. Упражнения призваны рассмотреть все возможные практические ситуации, встречающиеся при решении задач каждой темы. Методические указания содержат ответы и решения к задачам, предназначенным для самостоятельного выполнения. При составлении методических указаний использовались источники отечественных авторов, указанные в списке литературы. Составители выражают искреннюю благодарность и признательность авторам этих работ. 4 1 Основные понятия математического программирования, основные понятия линейного программирования 1.1 Общая задача математического программирования. Основные разделы математического программирования Математическая дисциплина, которая является теоретической основой решения многих задач управления и планирования названа математическим программированием. Предметом характеристики изучения различных дисциплины являются экономических процессов, количественные протекающих в промышленном производстве, сельском хозяйстве, торговле и прочее, изучение их взаимосвязей на основе экономико-математических методов и моделей. Определение Математическое программирование – это математическая дисциплина, которая занимается изучением экстремальных задач и разработкой методов их решения. Экстремальная задача заключается в нахождении наибольшего (наименьшего) значения числовой (вещественной) функции на определенном множестве и хотя бы одной точки этого множества, в которой функция и принимает своё наибольшее (наименьшее) значение. Общая постановка задачи математического программирования: вычислить (1) max(min) f ( x1 , x2 ,..., xn ) при условиях i ( x1 , x2 ,..., xn ) , , }bi , i 1, m ; (2) x1 , x2 ,..., xn 0 , (3) где f ,i - заданные функции, bi - действительные числа. Функция (1) называется целевой функцией или функцией цели; условия (2) – специальными ограничениями задачи математического 5 программирования; условия (3) – общими ограничениями свойств функций задачи математического программирования. В зависимости от f , i математическое программирование можно рассматривать как ряд самостоятельных дисциплин. Признаки классификации задач математического программирования: 1) по типу данных: определенные (детерминированные), случайные; 2) по характеру изменения переменных: переменные непрерывные, дискретные (целочисленные); 3) по характеру взаимосвязей между переменными: линейные, нелинейные. В таблице 1.1 приведем основную классификацию задач математического программирования. Линейное программирование (ЛП) – это метод решения оптимизационных задач, в моделях которых целевые функции и ограничения строго линейны. ЛП успешно применяется в различных сферах для решения, прежде всего, экономических и управленческих задач (военной области, промышленности, сельском хозяйстве, транспортной отрасли, здравоохранении и др., а также в социологических науках). Таблица 1.1 – Основная классификация задач математического программирования Исходные данные Определенные Случайные Переменные Зависимость Непрерывные Линейная Целочисленные Линейная Непрерывные/ целочисленные Непрерывные Нелинейные Линейные Раздел математического программирования Линейное программирование Целочисленное программирование Нелинейное программирование Стохастическое программирование 6 1.2 Математические модели экономических задач Определение Математическая модель – это система математических уравнений, неравенств, формул и различных математических выражений, описывающих реальный объект, его составляющие, их характеристики и взаимосвязи между ними. Определение Экономико-математическая модель представляет собой математическое описание исследуемого экономического процесса или объекта. Процесс построения экономико-математических моделей включает следующие этапы: 1) выбор переменных; 2) изучение информационной базы; 3) выражение взаимосвязей между переменными, характеризующими объект, в виде уравнений и неравенств; 4) выбор критерия (от гр. kriterion – мерило, оценка, средство для суждения) оптимальности и выражение его в виде математического соотношения. Пример Предприятие располагает двумя видами сырья S1 и S2 в количествах 15 и 13 условных единиц и изготавливает из него изделия двух видов П1 и П2. Изготовление единицы изделия П1 требует расхода сырья S1 в 1 усл.ед., S2 в 3 усл.ед., а для производства единицы изделия П2 необходимо сырья S1 – 3 усл.ед., сырья S2 - 1 усл.ед. Известна прибыль от реализации одной единицы продукции каждого вида. Для вида П1 она составляет 2 ден.ед, для вида П2 – 3 ден.ед. Требуется найти оптимальный план производства продукции, реализация которого обеспечит предприятию максимальную прибыль. Составим экономико-математическую модель задачи. 7 Реализуем первый этап построения экономико-математической модели и выберем переменные. Обозначим искомые переменные следующим образом: х1 - количество единиц продукции вида П1, х2 - количество единиц продукции вида П2. Второй этап построения экономико-математической модели включает изучение информационной базы экономического процесса или объекта. Для наглядности процесса моделирования исходную информацию представим в виде таблицы 1.2. Таблица 1.2 – Исходная информация Вид сырья П1 1 3 2 S1 S2 Прибыль, ден.ед. Расход сырья на 1 ед. продукции П2 3 1 3 Запас сырья 15 13 На третьем этапе построения экономико-математической модели выразим взаимосвязи между переменными, характеризующими объект, в виде уравнений и неравенств. Для производства всех изделий вида П1 требуется использовать сырье вида S1 в количестве 1 х1 условных единиц. Сырье этого вида также расходуется на производство изделий вида П2 в объеме 3 х2 условных единиц. Общий расход сырья вида S1 на производство всех изделий определяется выражением х1 3х2 . По условию задачи, предприятие располагает только 15 усл. единицами сырья вида S1. Поскольку расход сырья вида S1 не может превышать его запаса на предприятии, то должно выполняться неравенство х1 3х2 15 , определяющее ограничение задачи по объему ресурса. Аналогично получим ограничение задачи по сырью вида S2. Неравенство примет вид 3х1 х2 13 . 8 По экономическому смыслу переменных (количество выпускаемой продукции не может быть отрицательным), необходимо выполнение условий х1 0, х2 0 . Тогда ограничений по расходу сырья примет вид х1 3 х2 15, 3х1 х2 13, х1 , х2 0. Четвертый этап построения экономико-математической модели заключается в выборе критерия оптимальности и выражение его в виде математического соотношения. В нашей задаче критерием оптимальности является прибыль предприятия от реализации выпускаемой продукции. По условию задачи, прибыль от реализации одной единицы изделия вида П1 составит 2 ден.единица. Все изделия вида П1 определяют прибыль предприятия в размере 2 х1 ден.единиц. Аналогично, реализация всех изделий вида П2 принесет предприятию прибыль в размере 3 х2 ден.единиц. Общая прибыль предприятия определяется выражением 2х1 3х2 . Итак, экономико-математическая модель данной задачи имеет вид max z 2 x1 3x2 ; х1 3 х2 15, 3х1 х2 13, х1 , х2 0. Эта задача является задачей оптимального использования имеющихся ресурсов. Рассмотрим её формулировку в общем виде. Задача «об оптимальном использовании ресурсов» Предприятие выпускает n различных изделий: П1 , П 2 ,..., П j ,...П n . Для производства этих изделий требуется S1 , S 2 ,..., Si ,...S m . Ресурсы ограничены. Запас ресурсов на предприятии в m различных видов ресурсов: планируемый период составляет соответственно b1 , b2 ,..., bm усл.ед. 9 Известны технологические коэффициенты a ij , которые показывают, сколько единиц i-го ресурса требуется для производства единицы j-го вида изделия ( i 1, m , j 1, n ). Прибыль, получаемая предприятием при реализации единицы изделия j-го вида, равна c j ( j 1, n) . В планируемый период все показатели a ij , c j и bi предполагаются постоянными. Требуется составить такой план производства продукции, от реализации которого предприятие получит максимальную прибыль. Составим таблицу 1.3. Таблица 1.3 – Исходная информация задачи об использовании ресурсов Вид ресурса П1 S1 a11 S2 a21 … … Si ai1 … … Sm am1 Прибыль от реализации единицы изделия c1 Вид изделия Запас П 2 … П j … П n ресурса b1 a12 … a1 j … a1n a22 … a 2 j … a2 n b2 … bi ai 2 … a ij … ain … am 2 … a mj … amn bm c2 … c j … cn Составим экономико-математическую модель задачи. Введем обозначения: х1 – количество изделий вида П1 , х2 – количество изделий вида П 2 , … хn – количество изделий вида П n планируется выпустить. Для производства всех изделий вида П1 потребуется использовать ресурс первого вида S1 в количестве a11x1 усл. единиц. Общее количество ресурса S1, используемого при выпуске всех видов изделий, определяется выражением а11 х1 а12 х2 ... а1n xn . Количество ресурса S1 ограничено величиной b1 . Поскольку расход ресурса S1 не может превосходить его запаса, то должно выполняться неравенство а11 х1 а12 х2 ... а1n xn b1 . В общем виде расход i-го ресурса не 10 должен быть больше bi , поэтому соответствующее неравенство примет вид аi1 х1 аi 2 х2 ... аin xn bi . Очевидно, что для всех применяемых видов ресурсов должны выполняться такие ограничения (ограничения по объему соответствующего ресурса). Иначе говоря, при производстве по заданному плану можно использовать либо весь запас этого ресурса, либо его часть. Кроме того, x1 , x2 ,..., xn 0 , так как количество выпускаемых изделий не может быть отрицательным числом. Доход от реализации всех изделий вида П1 равен с1 х1 ден.единиц, тогда общий доход предприятия составит c1 x1 c2 x2 ... cn xn . Итак, экономико-математическая модель задачи имеет вид: требуется найти такие неотрицательные значения х1, х2, …,хn , удовлетворяющие ограничениям а11 х1 а12 х2 ... а1n xn b1 , a x a x ... a x b , 21 1 22 2 2n n 2 ... am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm , x1 , x2 ,..., xn 0. при которых прибыль от реализации всей продукции z c1 x1 c2 x2 ... cn xn была бы максимальной. Функция z выражает конечную цель оптимального планирования, поэтому функцию называют целевой. Задача «о диете» Рассмотрим условную ситуацию. Дневная диета содержит m видов различных питательных веществ S1 , S 2 ,..., Si ,..., S m соответственно не менее b1 , b2 ,..., bi ,..., bm условных единиц. Имеется n различных видов продуктов П1 , П 2 ,..., П j ,...П n , каждый из которых содержит m видов питательных веществ, например, жиров, белков, углеводов. Обозначим a ij - содержание в весовых единицах i-го питательного вещества в единице веса j-го продукта, c j ( j 1, n) 11 стоимость единицы веса продукта с номером j. Определить состав и количество продуктов, необходимых для включения в диету. При этом минимальные суточные потребности должны быть удовлетворены с минимальными денежными затратами. Сведем данные условия в таблицу 1.4. Таблица 1.4 – Исходная информация задачи о диете Вид питательного вещества П1 Вид продукта П2 … П j … Пn S1 a11 a12 S2 a21 a22 … … Si ai1 … … Sm am1 Стоимость единицы c1 веса продукта … a1 j … a2 j Минимальная суточная потребность в питательном веществе, усл .ед. … a1n … a2 n b1 b2 … ai 2 … a ij … ain bi … am 2 c2 … a mj … cj … amn … cn bm Составим экономико-математическую модель задачи. Введем обозначения: x1- количество потребления продукта вида П1 ; x2- количество потребления продукта вида П2 ; … xn- количество потребления продукта вида В результате потребления х1 П n в сутки. ед. продукта вида П1 содержание питательного вещества S1 в суточной норме потребления составит a11x1 усл. единиц. Общее содержание питательного вещества S1 в рационе определяется выражением а11 х1 а12 х2 ... а1n xn . Поскольку содержание питательного вещества S1 в рационе не должно быть меньше минимальной суточной потребности организма, т.е. величины b1 , то должно выполняться неравенство а11 х1 а12 х2 ... а1n xn b1 . В общем виде, содержание i-го питательного вещества в 12 рационе не должно быть меньше bi , поэтому необходимо выполнение неравенства аi1 х1 аi 2 х2 ... аin xn bi . Выполнение подобных ограничений описывает требование к диете, которое разрешает потреблять каждый вид питательного вещества в объеме не менее минимальной суточной потребности организма. Кроме того, x1 , x2 ,..., xn 0 , так как количество потребляемых продуктов не может быть отрицательным числом. Стоимость всего рациона определяет линейная функция z c1 x1 c2 x2 ... cn xn . Итак, экономико-математическая формулировка задачи «о диете» имеет вид: найти неотрицательные значения переменных х1, х2, …,хn, удовлетворяющих условиям а11 х1 а12 х2 ... а1n xn b1 , a x a x ... a x b , 21 1 22 2 2n n 2 ... am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm , x1 , x2 ,..., xn 0. и минимизирующих функцию z c1 x1 c2 x2 ... cn xn . 1.3 Формы задач линейного программирования, их эквивалентность и способы преобразования Модель задачи линейного программирования может быть записана в одной из следующих форм: Общая форма 13 max(min) z c1 x1 c2 x2 ... cn xn ; а11 х1 а12 х2 ... а1n xn b1 , a 21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2 , ... a k1 x1 a k 2 x2 ... a kn xn bk , a x a k 1, 2 x 2 ... a k 1, n x n bk 1 , k 1,1 1 ... a m1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm , x1 , x2 ,..., xn 0. Симметричная, или стандартная форма задачи линейного программирования max z c1 x1 c2 x2 ... cn xn ; min z c1 x1 c2 x2 ... cn xn ; а11 х1 а12 х2 ... а1n xn b1 , a x a x ... a x b , 21 1 22 2 2n n 2 ... am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm , x1 , x2 ,..., xn 0. а11 х1 а12 х2 ... а1n xn b1 , a x a x ... a x b , 21 1 22 2 2n n 2 ... am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm , x1 , x2 ,..., xn 0. Каноническая, или основная форма задачи линейного программирования max z c1 x1 c2 x2 ... cn xn ; а11 х1 а12 х2 ... а1n xn b1 , a x a x ... a x b , 21 1 22 2 2n n 2 ... am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm , x1 , x2 ,..., xn 0. Определение 1 Совокупность чисел ( x1 , x2 ,..., xn ), удовлетворяющих ограничениям задачи линейного программирования, называется допустимым решением задачи линейного программирования или опорным планом. Определение 2 Множество всех допустимых решений задачи линейного программирования называется областью (множеством) допустимых решений. Определение 3 Допустимое решение, при котором целевая функция задачи линейного программирования принимает наибольшее (наименьшее) 14 значение, называется оптимальным решением задачи линейного программирования ( x1* , x2* , ..., xn* ) или оптимальным планом. Существуют преобразования, позволяющие из одной формы задачи линейного программирования получать любую другую. В связи с этим, формы задач линейного программирования считаются эквивалентными. Идея перехода от общей формы задачи линейного программирования к канонической форме заключается в преобразовании ограничения в виде неравенства в уравнение путем добавления неотрицательных переменных, которые одновременно включаются в целевую функцию с коэффициентом равным нулю. При необходимости задачу на нахождение максимума целевой функции z можно заменить задачей на минимум новой целевой функции, и наоборот, воспользовавшись следующим равенством min z= - max (-z). Если дано неравенство вида аi1 х1 аi 2 х2 ... аin xn bi , то необходимо ввести в левую часть неравенства дополнительную (балансовую) неотрицательную переменную хn1 0 : аi1 х1 аi 2 х2 ... аin xn xn1 bi . Каждая переменная задачи имеет определенный экономический смысл, в том числе и вводимые дополнительные переменные. Дополнительные переменные в задаче «об оптимальном использовании ресурсов» показывают количество неизрасходованного ресурса соответствующего вида. В задаче «о диете» эти переменные характеризуют объем потребления соответствующего вещества, превышающего норму. Таким образом, вводимые дополнительные переменные не могут принимать отрицательных значений. Пример Привести к канонической форме задачу линейного программирования: найти минимум линейной функции z 3x1 x2 2 x3 x1 2 x2 3x3 5, 3x x 5 x3 4, при условиях 1 2 2 x1 3x2 7 x3 8, x1 , x2 , x3 0. 15 Решение. Начнем с преобразования смешанной системы ограничений в систему уравнений. Первое ограничение является уравнением, поэтому не требует изменений. Необходимо перейти для второго и третьего ограничения от вида неравенства к виду уравнения. Для этого введем неотрицательные «балансовые» переменные x4 и x5 в левые части неравенств со знаками «плюс» или «минус» в зависимости от знака неравенства. Получим систему ограничений в следующем виде x1 2 x2 3x3 5, 3x1 x2 5 x3 х4 4, 2 x 3x 7 x х 8, 2 3 5 1 x1 ,..., x5 0. Переход к задаче максимизации линейной функции осуществляется путем введения новой функции из равенства z1 z 3x1 x2 2 x3 Итак, каноническая форма задачи линейного программирования имеет вид: найти максимум функции z1 3x1 x2 2 x3 x1 2 x2 3x3 5, 3x x 5 x3 х4 4, при условиях 1 2 2 x1 3x2 7 x3 х5 8, x1 ,..., x5 0. Вопросы: 1) Приведите общую постановку задачи математического программирования? 2) Приведите экономико-математическую модель задачи «об оптимальном использовании ресурсов», задачи «о диете». 3) Какая форма задачи линейного программирования называется общей, стандартной, канонической? В чем заключаются сходства и различия этих форм? 4) Какое решение задачи линейного программирования называется допустимым решением? Оптимальным решением? 16 5) Перечислите преобразования позволяющие перейти к канонической форме задачи линейного программирования. Упражнения Составить экономико-математическую модель задачи 1 На предприятии для производства двух видов продукции используется 2 вида ресурсов. Расход каждого вида ресурса на изготовление единицы каждого вида продукции, запасы каждого вида ресурсов, а также доходы от реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице 1.5. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий предприятию максимальную прибыль от реализации всей продукции. Таблица 1.5 – Исходная информация задачи 1 Вид ресурса Необходимое количество условных единиц ресурсов на единицу продукции S1 S2 Доход от реализации единицы продукции П1 П2 2 1 1 1 2 1 Запас ресурса 8 10 2 При откорме животных каждое животное должно ежедневно получить не менее 13 ед. питательного вещества А, не менее 18 ед. вещества В и не более 68 ед. витамина С. Эти питательные вещества содержат два вида корма. Содержание единиц питательного вещества в 1 кг каждого вида корма и цена приведены в таблице 1.6. Таблица 1.6 – Исходная информация задачи 2 Питательное вещество А В С Стоимость 1кг корма Вид корма П1 4 3 1 4 П2 13 2 11 1 Минимальная суточная потребность в питательном веществе, усл .ед. 13 18 68 17 Составить рацион питания животных, обеспечивающий организм минимальными суточными потребностями в питательных веществах и имеющий минимальную стоимость. 3 При производстве двух видов продукции П1 и П 2 используются три вида сырья S1 , S 2 , S 3 . Известны запасы каждого вида сырья: 40, 15 и 28. Для изготовления единицы продукции вида П1 необходимо 3 ед. сырья S1 , 2 ед. сырья вида S 2 и 4 ед. сырья вида S 3 . Производство единицы продукции вида П 2 требует затрат 5 ед. сырья вида S1 , 1 ед. сырья вида S 2 и 1 ед. сырья вида S 3 . При реализации одной единицы продукции вида П1 предприятие получает прибыль в 2 ден.ед, а при реализации одной единицы продукции вида П 2 прибыль составит 4 ден.ед. Требуется составить план выпуска продукции, при котором предприятие получит наибольшую прибыль. 4 Завод тяжелого машиностроения производит станки двух видов 3СБШ и 6СБШ. Для данного производства используется три вида сырья: металлопрокат в объеме 77 усл.ед., трубы в объеме 78 усл.ед, чугуны в объеме 54 усл.ед. На производство одного станка вида 3СБШ расходуется 1 усл.ед. металлопроката, 4 усл.ед. труб, 4 усл.ед. чугунов. Выпуск одного станка вида 6СБШ требует затрат металлопроката в количестве 7 усл.ед, труб в количестве 5 усл.ед. и 1 усл.ед. чугунов. Прибыль завода от реализации одного станка вида 3СБШ составит 3 ден.ед., а прибыль от реализации одного станка вида 6СБШ равна 4 ден.ед. Составит план производства станков указанного вида, который приносил бы заводу наибольшую прибыль. Привести к канонической форме задачу линейного программирования 5 max z 5x1 2x2 ; 3x1 x2 5, x1 3x2 9, x1 , x2 0 . 6 min z x1 x2 3x3 ; 2 x1 x2 x3 4, x1 4 x2 7 x3 2, 3x 2 x 5, 2 1 x1 , x2 , x3 0 . 18 7 max z x1 x2 4 x3 x4 ; 8 min z 3x1 x2 x3 x4 ; 4 x1 x2 x4 3, x1 2 x3 x4 5, 2 x 3x x 5 x 7, 2 3 4 1 x1 x2 2 x3 2, 5 x1 2 x2 4 x3 4, 3x x 6 x x 5, 2 3 4 1 x1 , x2 , x3 , x4 0 . x1 , x2 , x3 , x4 0 . 9 max z x1 x2 x3 ; 2 x1 6 x2 x3 2, x1 5 x2 3x3 5, 4 x x x 4, 2 3 1 x1 , x2 , x3 0 . 2 Графический метод решения задачи линейного программирования 2.1 Свойства основной задачи линейного программирования Определение 1 Выпуклой линейной комбинацией произвольных точек Х1, Х2,…,Хn , принадлежащих евклидову пространству Еn , называется сумма 1 Х 1 2 Х 2 ... n X n , где 1 , 2 ,..., n 0 и 1 2 ... n 1 . Определение 2 Множество называется выпуклым, если вместе с двумя любыми его точками оно содержит и их произвольную выпуклую линейную комбинацию. С геометрической точки зрения это означает, что выпуклое множество содержит вместе с любыми двумя своими точками и соединяющий их отрезок. Рассмотри множество Х , а также две точки х1 и х2 , принадлежащие этому множеству. Отрезок, соединяющий точки х1 и х2 можно представить в 19 виде выражения 1 x1 2 x2 . Обозначим через переменную z выражение 1 x1 2 x2 , т.е. z 1 x1 2 x2 , где 1 , 2 0 и 1 2 1 . Из равенства 1 2 1 выразим 2 1 1 и сделаем следующую замену в выражении для отрезка z 1 x1 (1 1 ) x2 . Очевидно, параметр 1 принадлежит отрезку 0;1 . Можно сделать вывод, что если z принадлежит множеству Х , то это множество, по определению, является выпуклым. Пример На плоскости выпуклыми множествами являются отрезок, прямая, круг, треугольник, полуплоскость и вся плоскость. Множества, представленные на рис.1, являются выпуклыми. В А А В В А Рисунок 1 – Выпуклые множества Множества, изображенные на рис.2, выпуклыми не являются. А В А В Рисунок 2 – Множества точек, которые не являются выпуклыми Пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством. Теорема Множество допустимых решений задачи линейного программирования является выпуклым. Доказательство: 20 Рассмотрим систему ограничений задачи линейного программирования в канонической форме а11 х1 а12 х2 ... а1n xn b1 , a x a x ... a x b , 21 1 22 2 2n n 2 ... am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm . Систему линейных уравнений представим в матричной форме. Обозначим матрицы следующим образом: а11 а А 21 ... а m1 а12 а22 ... аm 2 ... а1n ... а2 n , ... ... ... аmn b1 b B 2 , ... b m x1 x X 2 . В новых обозначениях система линейных уравнений примет вид ... x n АХ=В. Предположим, что задача линейного программирования имеет, по х1/ х1// х1/ / // / х2 х х2 / / // крайней мере, два допустимых решения Х и Х . Если Х 2 ... ... ... x/ x/ x // n n n является допустимым решением данной задачи линейного программирования, то матрица содержит неотрицательные компоненты и выполняется следующее х1// // х равенство АХ / B . Аналогично, для допустимого решения Х // 2 имеет ... x // n место равенство АХ // B и матрица состоит из компонент, значения которых неотрицательны. Составим выпуклую линейную комбинацию двух допустимых решений задачи линейного программирования Х /// Х / (1 ) X // , причем должно выполняться условие 0 1. 21 Если мы покажем, что выпуклая линейная комбинация двух допустимых решений задачи линейного программирования также является её допустимым решением, то мы докажем принадлежность множеству вместе с двумя точками и отрезка, соединяющего их. Для этого в уравнение АХ=В, вместо матрицы Х , подставим матрицу Х /// и получим АХ /// B . Рассмотрим выполнение этого равенства АХ /// А(Х / (1 ) Х // ) АХ / АХ // АХ // В В В В . Действительно, матрица Х /// Х / (1 ) X // также является решением системы линейных уравнений. Компоненты решения Х /// являются линейной комбинацией неотрицательных компонент решений Х / и Х // с коэффициентами и (1- ). По определению о выпуклой линейной комбинации точек, коэффициенты и (1- ) также являются неотрицательными. Следовательно, решение Х /// есть допустимое решение задачи линейного программирования и множество допустимых решений задачи линейного программирования является выпуклым. ч.т.д. Множество решений задачи линейного программирования определяется конечной совокупностью линейных ограничений, поэтому такое множество геометрически представляет собой выпуклый многогранник или неограниченную многогранную область. Выпуклый многогранник имеет конечное число угловых точек - вершин. Если точка Х выпуклого множества является угловой, то она не может быть представлена в виде выпуклой линейной комбинации каких-нибудь двух других различных точек, также принадлежащих данному множеству. Выпуклое замкнутое множество точек плоскости, имеющее конечное число угловых точек, называется выпуклым многоугольником, если оно ограниченное, и выпуклой многоугольной областью, если оно неограниченное. Если существует, и при том единственное, оптимальное решение задачи линейного программирования, то, по основной тереме линейного 22 программирования, оно совпадает с одной из угловых точек множества допустимых решений. Если оптимальное решение совпадает с более чем одной угловой точкой множества допустимых решений, то оно совпадает со всякой точкой, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих угловых точек х опт t x1опт (1 t ) х 2опт , где t 0;1, x1опт и x 2опт – оптимальные решения в угловых точкам множества допустимых решений задачи. Проиллюстрируем на рис.3 угловую точку и ситуацию, когда решение совпадает с более чем одной угловой точкой. В этом случае говорят, что задача имеет альтернативный оптимум. B C A D Рисунок 3 – Пример угловой точки (точка А) и выпуклой линейной комбинации угловых точек (отрезок СD) Теорема о представлении Любую точку многогранника решений можно представить как выпуклую линейную комбинацию его угловых точек [4]. Определение 3 Угловая точка с неотрицательными координатами называется опорной (допустимой), а соответствующее решение – опорным (допустимым) решением. Итак, непустое множество решений задачи линейного программирования образует выпуклый многогранник. В одной из вершин многогранника решений целевая функция принимает оптимальное значение. Если оптимальное значение функция принимает более чем в одной вершине, то это же значение она принимает в любой точке, являющей выпуклой линейной комбинацией данных вершин. Рассмотренные теоремы позволяют сделать вывод, что поиски 23 оптимального решения можно ограничить перебором конечного числа угловых точек. Однако для отыскания угловых точек требуется построение области решений системы ограничений. Это построение возможно только для 2-х и 3-х мерного пространства. 2.2 Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования. Графический метод решения задачи линейного программирования Рассмотрим геометрическую интерпретацию задачи линейного программирования в двумерном пространстве. Построения на плоскости отличаются своей наглядностью. max(min) z c1 x1 c2 x2 ; а11 х1 а12 х2 b1 , a x a x b , 2 21 1 22 2 ... ai1 x1 ai 2 x2 bi , ... am1 x1 am 2 x2 bm , x1 , x2 0. Рассмотрим геометрическую интерпретацию области допустимых решений. Каждое из неравенств системы ограничений задачи геометрически определяет полуплоскость, аi1х1 аi 2 х2 bi , i 1, m содержащую граничные прямые и расположенную по одну сторону от неё. Для определения полуплоскости, являющейся решением неравенства, необходимо выбрать точку с известными координатами на плоскости. Выбранная точка не должна принадлежать граничной прямой. Координаты этой точки требуется подставить в исследуемое неравенство. Если после подстановки координат 24 точки в неравенство будет получено справедливое неравенство, то полуплоскость, определенная исследуемым неравенством, содержит данную точку. Иначе, полуплоскость, определенная исследуемым неравенством не содержит данную точку. Условия вида x1 , x2 0 определяют полуплоскости, соответственно, с граничными прямыми x1 0, x2 0 . Неравенства x1 , x2 0 показывают, что множество допустимых решений задачи будет располагаться в первом квадранте, т.е. выше оси x1 и правее оси x2 . Система неравенств, если она совместна, определяет пересечение этих полуплоскостей. Оно может представлять собой выпуклую многоугольную область, отрезок, луч, одну точку или быть пустым множеством. Перейдем к геометрической интерпретации целевой функции. Уравнение z c1 x1 c2 x2 при фиксированном значении z=h ( h const ) определяет на плоскости прямую c1 x1 c2 x2 h . При изменении h получаем семейство параллельных прямых, которое называется линиями уровня. В каждой точке этой прямой (линии уровня) целевая функция принимает фиксированное значение, равное h. Рассмотрим функцию z f ( x1, x2 ) , дифференцируемую в некоторой точке M ( x1, x2 ) . Определение Градиентом функции z f ( x1, x2 ) в точке M ( x1, x2 ) называется вектор, координаты которого равны соответственно частным производным z z , в этой точке. x1 x2 Для обозначения градиента используется символ z z . grad z ; x x 2 1 Градиент показывает направление, вдоль которого в данной точке функций имеет максимальную скорость роста, а длина его характеризует абсолютную величину скорости роста. Вектор-градиент целевой функции 25 z z c1, c2 перпендикулярен к линиям уровня и показывает с grad z ( x) ; x1 x2 направление, в котором эта функция возрастает с наибольшей скоростью. Вектор - ñ показывает направление наибольшего убывания целевой функции. Графический метод решения задачи линейного программирования заключается в построении на одном рисунке многоугольника допустимых решений, вектора с , исходной линии уровня z =0 и определении такой угловой точки этого многоугольника, в которой целевая функция принимает экстремальное (наибольшее или наименьшее) значение. Для определения точки с указанными характеристиками рассматривают положение исходной линии уровня по отношению к многоугольнику допустимых решений задачи. Если исходная линия уровня пересекает многоугольник решений, то линию уровня параллельно смещают до пересечения с последней угловой точкой в направлении вектора с , при поиске максимума функции z , и в направлении вектора - ñ при поиске минимума функции z (рис.1). х2 z max z 0 Amax zmin Bmin с х1 Рисунок 1 – Многоугольник допустимых решений и исходная линия уровня пересекаются, вектор с лежит во втором квадранте 26 Рассмотрим ситуацию, когда исходная линия уровня и многоугольник допустимых решений не пересекаются, на многоугольник допустимых решений указывает вектор с . При параллельном смещении исходной линии уровня в направлении вектора с первая общая точка с многоугольником решений определяет точку минимума целевой функции z , а последняя общая точка – точку максимума целевой функции z (рис. 2). х2 z max Amax Bmin zmin с х1 z 0 Рисунок 2 – Многоугольник допустимых решений и исходная линия уровня не пересекаются, вектор с лежит в первом квадранте В процессе решения задачи линейного программирования возможны случаи, когда система ограничений задачи линейного программирования несовместна (рис. 3) и задача решений не имеет; целевая функция на множестве допустимых решений неограниченно возрастает или неограниченно убывает (рис. 4); целевая функция принимает экстремальное значение в любой точке некоторого отрезка (рис. 5). 27 х2 х1 Рисунок 3 – Система ограничений задачи линейного программирования несовместна Если система ограничений задачи линейного программирования несовместна, то множество допустимых решений не содержит ни одной точки и задача решений не имеет. z max zmin z 0 с х1 Рисунок 4 – Целевая функция на множестве допустимых решений задачи линейного программирования неограниченно возрастает или неограниченно убывает Если целевая функция задачи линейного программирования на множестве допустимых решений неограниченно возрастает, то ответ записывается в 28 следующем виде z max . При неограниченном убывании целевой функции на множестве допустимых решений, в качестве ответа к задаче принимают значение zmin . х2 z max Сmax Dmax Bmin Amin с zmin х1 z 0 Рисунок 5 – Целевая функция принимает экстремальное значение в любой точке некоторого отрезка: минимальное значение – отрезок АВ, максимальное значение – отрезок CD Если целевая функция принимает экстремальное значение на отрезке, то задача имеет бесчисленное множество решений, поскольку отрезок содержит бесчисленное множество точек. Графическим метод решения применяется для неканонических форм задач линейного программирования с двумя переменными. Этапы решения задачи линейного программирования графическим методом рассмотрим на примере Пример (продолжение примера 1.2) max z 2 x1 3x2 ; х1 3 х2 15, 3х1 х2 13, х1 , х2 0. 29 Построим систему координат. По горизонтальной оси откладывают значения переменной x1 , а по вертикальной – значения переменной x2 . Этап 1 Строим прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств. х2 (II) A 5 B 4 3 с (I) 2 1 О C 0 1 2 3 4 5 6 х1 z 0 Рисунок 6 – Многоугольник допустимых решений, исходная линия уровня и вектор с задачи Границей полуплоскости x1 3x2 15 является прямая x1 3x2 15 . Рассмотрим первое уравнение x1 3x2 15 , обозначим его цифрой (I) и выразим переменную х2 через переменную х1 . В результате преобразований получим 1 3 следующее уравнение прямой х2 5 х1 . Данная прямая проходит через точки с координатами (0;5) и (6;3). Построим прямую на графике (рис. 6). Для второго уравнения 3x1 x2 13 , обозначенного цифрой (II), выражение переменной х2 через переменную х1 примет следующий вид х2 13 3х1 . 30 Прямая (II) проходит через точки с координатами (3;4) и (4;1). Эту прямую также построим на графике. Этап 2 Находим полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи. Рассмотрим неравенство x1 3x2 15 . Прямая (I) делит всю плоскость на две части и рассматриваемое неравенство определяет только одну из них. Для определения полуплоскости, заданной неравенством возьмем контрольную точку, не принадлежащую прямой (I), с известными координатами, например точку О(0;0). Координаты контрольной точки подставим в неравенство x1 3x2 15 и получим выражение вида 0 3 0 15 . Неравенство выполняется, координаты контрольной точки удовлетворяют ему, следовательно, полуплоскость, которой принадлежит точка О, и определяется исследуемым неравенством x1 3x2 15 . На рисунке полуплоскость, заданную неравенством x1 3x2 15 , отмечаем короткими штрихами. Аналогично, для исследования неравенства 3x1 x2 13 выберем, в качестве контрольной точке, вновь точку О(0;0). После подстановке координат указанной точки, получаем верное неравенство 3 0 0 13 . Неравенство 3x1 x2 13 задает ту полуплоскость, которой принадлежит контрольная точка О(0;0). Отметим короткими штрихами допустимую полуплоскость. Условие неотрицательности переменных x1, x2 0 требует рассмотрения той части многоугольника решений, которая находится в первой координатной четверти, т.е. выше оси x1 и правее оси x2 . Этап 3 Находим многоугольник решений как часть плоскости, которая одновременно удовлетворяет требованиям первого, второму неравенства и условию неотрицательности. В нашем случае, это выпуклый многоугольник ОАВС – область допустимых решений данной системы неравенств. Этап 4 Строим исходную линию уровня z 0. Прямая примет вид 2x1 3х2 0 . Выразим переменную х2 через переменную х1 и получим 31 2 3 равенство х2 х1 . Эта прямая проходит через точки с координатами (0;0) и (3;-2). Этап 5 Строим вектор с (с1 , с2 ) . Вектор с =(2;3) перпендикулярен исходной линии уровня z 0 и указывает направление, в котором эта функция возрастает с наибольшей скоростью. Этап 6 Определяем точку, в которой целевая функция z принимает максимальное значение. Для этого исходную линию уровня передвигаем в направлении вектора с . При движении в этом направлении последней общей точкой прямой с многоугольником решений является точка В. В этой точке целевая функция принимает максимальное значение. Этап 7 Определяем координаты точки B и вычисляем значение целевой функции в этой точке. Точка B лежит на пересечении прямых (I) и (II). Для нахождения координат точки В решим систему уравнений х1 3 х2 15 (3), 3х1 9 х2 45, х1 3х2 15( I ), 8 х2 32, 3х1 х2 13 3х1 х2 13( II ) х1 3х2 15 3 х1 х2 13 х2 4, х 4, х 4, 2 2 х1 15 3х2 х1 15 3 4 х1 3. В результате решения системы уравнений найдены координаты точки В(3;4). Подставим координаты этой точки в выражения для целевой функции и получим максимальное её значение z max ( В) 2 3 3 4 18 . Ответ: zmax 18 при х1=3, х2=4. Экономическая интерпретация полученных результатов выглядит следующим образом: необходимо выпускать 3 изделия вида П1 и 4 изделий вида П2 . В этом случае предприятие получит максимальную прибыль в размере 18 ден. ед. Вопросы: 1) Дайте определение выпуклой линейной комбинации точек евклидова пространства? 2) Какое множество называется выпуклым? 32 3) Какая точка выпуклого множества называется угловой? 4) Сформулируйте основную теорему линейного программирования? 5) Как геометрически интерпретируются неравенства системы ограничений задачи линейного программирования, система неравенств, целевая функция? 6) Перечислите этапы решения задачи линейного программирования графическим методом. Упражнения Графическим методом решить задачу линейного программирования 10 max(min) z x1 x2 ; 11 x1 3, x 6, 1 x2 2, x2 4, max z x1 x2 ; 2 x1 x2 8, x1 2 x2 10, x1 , x2 0 . x1 , x2 0 . 12 max z 4 x1 x2 ; 13 4 x1 13x2 13, 3x1 2 x2 18, x 11x 68, 2 1 4 x1 5 x2 20, 5 x1 3x2 0, 2 x 5 x 0, 2 1 x1 , x2 0 . 14 max z 3x1 2x2 ; x1 6, 3x1 4 x2 6, 4 x 3x 3, 2 1 x1 , x2 0 . max (min) z 4 x1 5x2 ; x1 , x2 0 . 15 max z 2 x1 4 x2 ; 3x1 5 x2 40, 2 x1 x2 15, 4 x x 28, 1 2 x1 , x2 0 16 max z 3x1 4x2 ; x1 7 x2 77, 4 x1 5 x2 78, 4 x x 54, 2 1 x1 , x2 0 33 3 Симплексный метод решения задачи линейного программирования Симплексный метод решения задачи линейного программирования применим только к задачам в канонической форме. Если задача линейного программирования представлена не в канонической форме, то прежде чем применять симплексный метод следует записать исходную задачу в основной форме. Рассмотрим каноническую форму задачи линейного программирования. max z c1 x1 c2 x2 ... cn xn ; а11 х1 а12 х2 ... а1n xn b1 , a x a x ... a x b , 21 1 22 2 2n n 2 ... am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm , x1 , x2 ,..., xn 0. Кроме того, для этой формы должно выполняться требование неотрицательности свободных членов системы уравнений b1 ,..., bm 0 . Данная система содержит m уравнений и n неизвестных, пусть m n . Если перенести в правые части уравнений все слагаемые, содержащие неизвестные xm 1,..., xn , то система примет вид а11 х1 ... а1m хm b1 а1,m1 xm1 ... a1n xn ; a21 x1 ... a2 m xm b2 a2,m1 xm1 ... a2 n xn ; ... am1 x1 ... amm xm bm am,m1 xm1 ... amn xn . Неизвестным xm 1,..., xn данной системы уравнений можно придавать любые значения, и поэтому они называются свободными. Неизвестные x1,..., xm соответствующие базисным столбцам, называются базисными. 34 Также базисными, или основными, называются переменные, которые выражены через остальные переменные. Допустимым базисным решением является решение, содержащее m основных (базисных) переменных и n-m неосновных (небазисных или свободных) переменных. Неосновные переменные в базисном решении равны нулю. Основные переменные, как правило, больше нуля. Если хотя бы одна из основных переменных равна нулю, то базисное решение называется вырожденным. 1 Построение начального опорного плана. Рассмотрим задачу линейного программирования в симметричной форме: max z c1 x1 c2 x2 ... cn xn ; а11 х1 а12 х2 ... а1n xn b1 , a x a x ... a x b , 21 1 22 2 2n n 2 ... am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm , x1 , x2 ,..., xn 0. Помним, что мы рассматриваем случай, когда b1 , b2 ,..., bm 0 . Приведем задачу к канонической форме программирования, добавив балансовые переменные задачи линейного xn1 , xn2 ,..., xnm 0 , и получим а11 х1 а12 х2 ... а1n xn хn1 b1 , a x a x ... a x x b , 21 1 22 2 2n n n 2 2 ... am1 x1 am 2 x2 ... amn xn xnm bm . В целевую коэффициентами функцию равными дополнительные нулю: переменные вводят сn i 0 (i 1, m) , с т.е. max z c1 x1 c2 x2 ... cn xn 0 õn1 ... 0 xnm 35 Выдерем вновь введенные переменные xn1 , xn2 ,..., xnm в качестве базисных переменных, соответственно все остальные переменные системы уравнений x1 , x2 ,..., xm будут небазисными переменными или свободными. Для определения первого допустимого базисного решения, или другими словами, начального опорного плана примем значения свободных переменных равными нулю x1 , x2 ,..., xm 0 . Подставим в систему уравнения значения свободных переменных а11 0 а12 0 ... а1n 0 хn1 b1 , a 0 a 0 ... a 0 x b , 21 22 2n n 2 2 ... am1 0 am 2 0 ... amn 0 xnm bm . После подстановки, мы получили значения базисных переменных xn1 b1 , xn2 b2 ,..., xnm bm . 0,b1 , b2 ,..., bm ) . Таким образом, начальный опорный план примет вид (0,..., n Если в системе ограничений имеется единичный неотрицательный базис, х1 а1,m1 хm1 ... а1n xn b1 , x ... a2 n xn b2 , x a например, 2 2,m1 m1 , то в качестве базисных переменных ... xm am,m1 xm1 ... amn xn bm . принимают переменные x1 , x2 ,..., xm , а остальные переменные xn1 , xn2 ,..., xnm будут являться небазисными или свободными. В этом случае, получаем начальный опорный плана вида (b1 , b2 ,..., bm , 0,..., 0) . nm Симплексные таблицы. Исследование опорного плана на оптимальность и вычислительный процесс удобнее вести с помощью специальных таблиц. Рассмотрим задачу линейного программирования в канонической форме, имеющей единичный неотрицательный базис max z c1 x1 c2 x2 ... cn xn ; 36 х1 а1,m1 хm1 ... а1n xn b1 , x2 a2,m1 xm1 ... a2 n xn b2 , ... xm am,m1 xm1 ... amn xn bm , x1 , x2 ,..., xn 0. Исходные данные внесем в симплексную таблицу (таблица 1.7). Таблица 1.7 – Симплексная таблица, содержащая исходные данные задачи i БП (номер (базисная строки) переменная) x1 1 2 x2 … … m xm m+1 Cб bi с1 x1 с2 x2 … … сm cm1 xm 0 1 … 0 … 0 0 … 1 … … а m ,m 1 аmn 0 … 0 m1 с1 с2 b1 b2 … … сm bm 1 0 … 0 z0 0 j cn xm1 … … а1,m 1 … а1n xn а2 n а2,m1 … n Номер строки записывают в столбец i , название базисной переменной в каждой строке соответственно – в столбец БП (базисная переменная). Столбец Сб содержит коэффициенты при базисных переменных целевой функции. Столбец bi – свободные положительные члены системы ограничений. В таблице первые m строк определяются исходными данными задачи, а показатели m+1 строки- строки оценок вычисляют. Элемент z0 (значение целевой функции при данном опорном плане) вычисляют по формуле z0 c1b1 c2 x2 ... cm xm . Формула j c1a1, j c2 a2, j ... cm am, j c j ( j m 1, n ) позволяет определить оценки для каждой переменной. 2 Признак оптимальности опорного плана. После заполнения симплексной таблицы опорный план проверяют на оптимальность. Для этого рассматривают элементы строки оценок. Возможны следующие случаи: 37 если для некоторого опорного плана все оценки j неотрицательны, то такой план оптимален (признак оптимальности опорного плана); если существует такая отрицательная оценка, что в соответствующем столбце нет ни одного положительного элемента, то целевая функция на множестве допустимых планов не ограничена (признак неограниченности целевой функции); если существуют отрицательные оценки j и для каждой из них столбец элементов содержит, по крайней мере, одно положительное число а ij ( i 1, m ), то возможно перейти к новому опорному плану, при котором значение целевой функции не уменьшиться. Альтернативный оптимум (признак бесчисленного множества оптимальных планов). Если в строке оценок последней симплексной таблицы (содержащей оптимальный план) имеется хотя бы одна нулевая оценка, соответствующая свободной (небазисной) переменной, то ЗЛП имеет бесчисленное множество оптимальных планов. 3 Переход к плану, более близкому к оптимальному. Переход от одного плана к другому осуществляется исключением из исходного базиса какой-нибудь переменной и включением в него новой переменной. Для определения переменной, включаемой в базис, рассматривают строку оценок и определяют max j = j 0 . Столбец j0 – направляющий столбец j 0 и переменную х j 0 необходимо включить в базис. Для определения переменной, bi = для всех aij 0 0 . Переменная xi 0 , aij 0 исключаемой из базиса, находят min которой соответствует , исключается из базиса. Строка i0 называется направляющей. Элемент, располагающийся на пересечении направляющих строки и столбца, называется разрешающим. Для завершения преобразований, 38 ведущих к новому опорному плану, составляют таблицу по следующим правилам: 1) Элементы строки i0 новой таблицы равны соответствующим элементам направляющей строки предыдущей таблицы, деленным на разрешающий элемент; 2) В столбцах переменных, входящих в базис, на пересечении строк и столбцов одноименных переменных ставят 1, а все остальные элементы данных столбцов пишут равными нулю. 3) Остальные элементы таблицы вычисляют по правилу треугольника. Находят три числа: первое число – число в предыдущей таблице, стоящее на месте искомого элемента; второе число – число в предыдущей таблице, стоящее на пресечении строки искомого элемента из новой таблицы и направляющего столбца; третье число – число в новой таблице стоящее на пересечении столбца искомого элемента и строки переменной добавленной в базис. Эти три числа образуют треугольник: искомое число = первое число-второе числотретье число Пример Решить задачу с помощью симплексного метода. max z 2 x1 3x2 ; х1 3 х2 15, 3х1 х2 13, х1 , х2 0. приведем задачу к канонической форме, введя неотрицательные переменные х3 и х4 . max z 2 x1 3x2 0 х3 0 х4 ; x1 3x2 x3 15, 3x1 x2 x4 13, x1 ,..., x4 0. Опорный план задачи примет вид (0;0;15;13). Внесем исходные данные задачи в симплексную таблицу (таблица 1.8) 39 Таблица 1.8 – Решение примера БП сб bi х3 х4 j х2 х4 j х2 х1 j 0 0 15 13 z=0 5 8 z=15 4 3 z=18 3 0 3 2 2 х1 1 3 -2 1/ 3 8/ 3 -1 0 1 0 3 х2 3 1 -3 1 0 0 1 0 0 0 х3 1 0 0 0 х4 0 1 0 0 1 0 1/ 3 -1 / 3 1 3/ 8 -1 8 3/ 4 15 / 3 5 13 1 13 5 : 1 / 3 5 3 15 8 : 8 3 8 3/ 8 3 -1 8 3/ 8 3/ 8 Ответ: zmax 18, x1 3, x2 4. Этапы симплексного метода: 1) Находят опорный план. 2) Составляют симплекс-таблицу. 3) Проверяют план на оптимальность с помощью оценок j . Если среди них нет отрицательных оценок, то план оптимален. Если среди этих чисел имеются отрицательные, то либо устанавливают неразрешимость задачи, либо переходят к новому опорному плану. 4) Находят направляющие столбец и строку, разрешающий элемент. 5) Определяют элементы новой симплекс-таблицы. 6) Проверяют найденный опорный план на оптимальность. Вопросы: 1) В чем заключается идея симплексного метода? 2) Дайте определение допустимого базисного решения? 3) В каком случае решение называется вырожденным? 4) Какая связь существует между допустимыми базисными решениями задачи линейного программирования и угловыми точками области допустимых решений системы ограничений задачи? 5) Назовите признак оптимальности опорного плана. 40 6) Назовите признак бесчисленного множества оптимальных планов. Упражнения Решить задачу линейного программирования симплексным методом (с помощью симплексных таблиц) 17 max z x1 x2 ; 2 x1 x2 8, x1 2 x2 10, x1 , x2 0 . 18 max z 2x1 4x2 ; 3x1 5 x2 40, 2 x1 x2 15, 4 x x 28, 1 2 x1 , x2 0 . 19 max z 3x1 4x2 ; 20 max (min) z 4x1 5x2 ; x1 7 x2 77, 4 x1 5 x2 78, 4 x x 54, 2 1 4 x1 5 x2 20, 5 x1 3x2 0, 2 x 5 x 0, 2 1 x1 , x2 0 . x1 , x2 0 . Ответы и решения 1.1 1 Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим искомые переменные следующим образом: х1 - количество единиц продукции вида П1, х2 - количество единиц продукции вида П2 планируется выпустить. Ограничение по объему ресурса вида S1 выражается следующим неравенством 2 х1 х2 8 . Неравенство х1 2х2 10 определяет ограничение по объему ресурса вида S 2 . Поскольку количество произведенной продукции не может быть отрицательным, то должно выполняться условие х1 0, х2 0 . 41 Доход предприятия от реализации х1 единиц продукции вида П1 и х2 единиц продукции вида П 2 задает выражение х1 х2 . Итак, экономико-математическая модель задачи имеет вид max z x1 x2 , 2 x1 x2 8, x1 2 x2 10, x1 0, x2 0. 2 Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим искомые переменные следующим образом: х1 - количество потребления корма вида П1, х2 - количество потребления корма вида П2 в составе дневного рациона каждого животного. В результате потребления х1 ед. корма вида П1 и х2 ед. корма вида П2 общее содержание питательного вещества А в рационе определяется выражением 4х1 13х2 . Содержание питательного вещества А в рационе не должно быть меньше минимальной суточной потребности организма, т.е. величины 13, поэтому должно выполняться неравенство 4 х1 13х2 13 . Аналогично, получаем ограничение неравенство для вещества В : 3х1 2х2 18 . Общее содержание вещества С требование выражается в должно быть не более 68 усл.ед. Это виде следующего неравенства: х1 11х2 68 . Поскольку количество потребляемых кормов не может быть отрицательным, то должно выполняться условие х1 0, х2 0 . Стоимость рациона питания животных определяет выражение 4 х1 х2 . Итак, экономико-математическая модель задачи имеет вид min z 4 x1 x2 , 4 x1 13x2 13, 3x1 2 x2 18, x 11x 68, 2 1 x1 0, x2 0. 3 Составим экономико-математическую модель задачи. 42 Обозначим искомые переменные следующим образом: х1 - количество единиц продукции вида П1, х2 - количество единиц продукции вида П2 планируется выпустить. По условию задачи, расход ресурса вида S1 не должен быть больше 40 ед. Поэтому должно выполняться следующее неравенство 3х1 5х2 40 . Ограничение по объему ресурса вида S 2 задает неравенство 2х1 х2 15 , а ресурса вида S 3 аналогичное неравенство 4 х1 х2 28 . По экономическому смыслу переменных, количество произведенной продукции не может быть отрицательным, должно выполняться условие х1 0, х2 0 . Доход предприятия от реализации х1 единиц продукции вида П1 и х2 единиц продукции вида П 2 определяется выражением 2 х1 4 х2 . Итак, экономико-математическая модель задачи имеет вид max z 2 x1 4 x2 , 3x1 5 x2 40, 2 x1 x2 15, 4 х х 28, 2 1 x1 0, x2 0. 4 Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим искомые переменные следующим образом: х1 - количество станков вида 3СБШ, х2 - количество станков вида 6СБШ планируется выпустить. Производство х1 и х2 станков потребует расход металлопроката в объеме х1 7х2 . Запас металлопроката на заводе ограничен 77 усл.ед, поэтому должно выполняться следующее неравенство х1 7 х2 77 . Аналогично, ограничение по расходам труб имеет вид 4х1 5х2 78 , а неравенство 4 х1 х2 54 выражает требование не превышения расходов запаса чугунов на производство запланированного объема продукции. По экономическому смыслу переменных, количество произведенной продукции не может быть отрицательным, должно выполняться условие х1 0, х2 0. 43 Доход предприятия от реализации х1 станков вида 3СБШ и х2 станков вида 6СБШ задает выражение 3х1 4 х2 . Итак, экономико-математическая модель задачи имеет вид max z 3 x1 4 x2 , x1 7 x2 77, 4 x1 5 x2 78, 4 х х 54, 2 1 x1 0, x2 0. 5 max z 5x1 2x2 ; 6 max( z) x1 x2 3x3 ; 3x1 x2 х3 5, x1 3x2 х4 9, 2 x1 x2 x3 4, x1 4 x2 7 x3 x4 2, 3x 2 x x 5, 2 5 1 x1 , x2 , х3 , х4 0 . x1 , ..., x5 0 . 7 max z x1 x2 4 x3 x4 ; 8 max ( z) 3x1 x2 x3 x4 ; 4 x1 x2 x4 x5 3, x1 2 x3 x4 x6 5, 2 x 3x x 5 x x 7, 2 3 4 7 1 x1 x2 2 x3 x5 2, 5 x1 2 x2 4 x3 x6 4, 3x x 6 x x 5, 3 4 1 2 x1 ,..., x6 0 . x1 ,..., x7 0 . 9 max z x1 x2 x3 ; 2 x1 6 x2 x3 2, x1 5 x2 3x3 5, 4 x x x x 4, 3 4 1 2 x1 , x2 , x3 , x4 0 . 1.2 10 Границей полуплоскости х1 3 является прямая вида х1 3 (I). Выберем произвольную контрольную точку с координатами (0;0). В этой точке неравенство х1 3 не выполняется, так как 0 3 . Поэтому искомой является полуплоскость, не содержащая контрольную точку. 44 Рассмотрим неравенство х1 6 . Границей для него служит прямая х1 6 (II). В контрольной точке неравенство выполняется, так как 0 6. Контрольная точка принадлежит полуплоскости, заданной исследуемым неравенством. Если в неравенство х2 2 подставить координаты контрольной точки (0;0), то получим неверное неравенство 0 2 . Искомая полуплоскость, с границей в виде прямой х2 2 (III), не содержит контрольную точку. Неравенство х2 4 определяет полуплоскость, содержащую контрольную точку, так как выполняется неравенство 0 4 . Границей этой полуплоскости является прямая вида х2 4 (VI). Изобразим прямые, отметим искомые полуплоскости штрихами на рисунке . х2 (II) (I) 5 4 B C A D (VI) 3 2 (III) 1 с О 0 1 2 3 4 z 0 5 6 х1 Рисунок 7 – Многоугольник допустимых решений, вектор с и исходная линия уровня задачи 10 Многоугольником допустимых решений является прямоугольник ABCD. 45 Построим исходную линию уровня z 0 , в нашем случае это прямая вида x1 х2 0 . Выразим переменную х2 через переменную х1 и получим равенство х2 х1 . Эта прямая является биссектрисой второй координатной четверти. Строим вектор с (с1 , с2 ) (1;1) . Вектор с перпендикулярен исходной линии уровня z 0 и указывает направление, в котором эта функция возрастает с наибольшей скоростью. Исходную линию уровня передвигаем в направлении вектора с и определяем точки, в которых целевая функция принимает своё максимальное и минимальное значение. При движении в направлении вектора с , первой общей точкой прямой z 0 с прямоугольником допустимых решений является точка А, а последней общей является точка С. В точке А целевая функция принимает максимальное значение, а в точке С достигается минимальное значение. Определим координаты точек А и С. Координаты угловых точек этого прямоугольника находятся как координаты точек пересечения соответствующих прямых: А(3;2), С(6;4). Минимальное значение целевой функции в области допустимых решений zmin ( A) 3 2 5 Максимальное значение целевой функции в области допустимых решений z max (С ) 6 4 10 . Ответ: zmin 5 при х1=3, х2=2; z max 10 при х1=6, х2=4. 11 Строим прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств. Границей полуплоскости 2 x1 x2 8 является прямая 2 x1 x2 8 (I). Выразим переменную х2 через переменную х1 : х2 8 2х1 . Данная прямая проходит через точки с координатами (0;8) и (4;0). 46 Для второго уравнения x1 2x2 10 (II), выражение переменной х2 через 1 2 переменную х1 примет вид х2 5 х1 . Прямая с номером (II) проходит через точки с координатами (0;5) и (6;2). Находим полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи. Рассмотрим неравенство 2x1 x2 8 . Выберем контрольную точку, не принадлежащую прямой (I), с известными координатами, например точку О(0;0). х2 5 (I) A B 4 3 2 (II) 1 с О C 0 1 2 3 4 5 6 х1 z 0 Рисунок 8 – Многоугольник допустимых решений, исходная линия уровня и вектор с задачи 11 Координаты контрольной точки подставим в неравенство 2x1 x2 8 и получим верное неравенство 0 8 . Следовательно, полуплоскость, которой принадлежит точка О, определяется неравенством 2x1 x2 8 . 47 Аналогично, для неравенства x1 2 x2 10 выберем, в качестве контрольной точке, вновь точку О(0;0). После подстановке координат указанной точки, получаем верное неравенство 0 10 . Неравенство x1 2x2 10 задает ту полуплоскость, которой принадлежит контрольная точка О(0;0). Условие неотрицательности переменных x1, x2 0 требует рассмотрения той части многоугольника решений, которая находится в первой координатной четверти, т.е. выше оси x1 и правее оси x2 . Многоугольником допустимых решений является четырехугольник ОАВС. Строим исходную линию уровня z 0 , т.е. x1 х2 0 . Выразим переменную х2 через переменную х1 и получим равенство х2 х1 . Эта прямая является биссектрисой второй координатной четверти. Строим вектор с (с1 , с2 ) . Вектор с =(1;1) перпендикулярен исходной линии уровня z 0 и указывает направление, в котором эта функция возрастает с наибольшей скоростью. Для определения точки в которой целевая функция z принимает максимальное значение передвигаем прямую z 0 в направлении вектора с . При движении в этом направлении последней общей точкой прямой с многоугольником решений является точка В. В этой точке целевая функция принимает максимальное значение. Точка B лежит на пересечении прямых (I) и (II). Для нахождения координат точки В решим систему уравнений 2 х1 х2 8, х1 2 х2 10 (2) х2 4, х 4, х 4, 2 2 х1 15 3х2 х1 10 2 4 х1 2. 2 х1 х2 8( I ), х1 2 х2 10( II ) 2 х1 х2 8, 2 х1 4 х2 20 3х2 12, х1 2 х2 10 В результате решения системы уравнений найдены координаты точки В(2;4). Подставим координаты этой точки в выражения для целевой функции и получим максимальное значение z max ( В) 2 4 6 . Ответ: zmax =6 при х1=2, х2=4. 48 12 Построим границу полуплоскости 4х1 13х2 13 в виде прямой 4х1 13х2 13 (I). х2 9 8 7 A 6 (I) B 5 4 (III) 3 C 2 1 с О 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 х1 (II) z 0 Рисунок 9 – Многоугольник допустимых решений, исходная линия уровня и вектор с задачи 12 Для уравнения 4х1 13х2 13 выразим переменную х2 через переменную х1 . В результате преобразований получим следующее уравнение прямой х2 1 4 х1 . Точки с координатами (0;1) и (13;5) удовлетворяют уравнению 13 прямой. Второе уравнение 3x1 2x2 18 обозначим цифрой (II) и выразим 3 2 переменную х2 через переменную х1 : х2 9 х1 . Прямая (II) проходит через точки с координатами (6;0) и (0;9). 49 Рассмотрим уравнение x1 11x2 68 , обозначим его цифрой (III) и выразим переменную х2 через переменную х1 : х2 68 1 х1 . Точки с 11 11 координатами (2;6) и (13;5) принадлежат данной прямой. Находим полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи. Рассмотрим неравенство 4х1 13х2 13 . Для определения полуплоскости, заданной неравенством возьмем контрольную точку, не принадлежащую прямой (I), с известными координатами, например точку О(0;0). Координаты контрольной точки подставим в неравенство 4х1 13х2 13 и получим выражение вида 0 13 . Неравенство не является верным, координаты контрольной точки не удовлетворяют ему, следовательно, полуплоскость, определяемая неравенством 4х1 13х2 13 не содержит контрольную точку О. Аналогично, для исследования неравенства 3x1 2x2 18 выберем, в качестве контрольной точке, вновь точку О(0;0). После подстановке координат указанной точки, получаем неверное неравенство 0 18 . Неравенство 3x1 2 x2 18 задает ту полуплоскость, которой не принадлежит контрольная точка О(0;0). Неравенство x1 11x2 68 определяет полуплоскость, содержащую контрольную точку, так как выполняется неравенство 0 68 . Условие неотрицательности переменных x1, x2 0 требует рассмотрения той части многоугольника решений, которая находится в первой координатной четверти, т.е. выше оси x1 и правее оси x2 . Треугольник АВС является множеством допустимых решений задачи. Строим исходную линию уровня z 0 , в нашем случае уравнение примет вид 4x1 х2 0 . Выразим переменную х2 через переменную х1 и получим равенство х2 4х1 . Эта прямая проходит через точки с координатами (0;0) и (1;-4). 50 Строим с =(4;1), который перпендикулярен исходной линии уровня z 0 и указывает направление, в котором целевая функция возрастает с наибольшей скоростью. Исходную линию уровня передвигаем в направлении вектора с и определяем точки, в которых целевая функция принимает своё максимальное и минимальное значение. При движении в направлении вектора с , первой общей точкой прямой z 0 с треугольником допустимых решений является точка А, а последней общей является точка В. В точке А целевая функция принимает максимальное значение, а в точке В достигает минимального значения. Определим координаты точки А, как точки пересечения прямых (II) и (III). Для этого составим и решим следующую систему уравнений: 3 х1 2 х2 18, 3х1 2 х2 18( II ), 3х 2 х2 18, 1 х1 11х2 68( III ) 3х1 33х2 204 х1 11х2 68 (3) 31х2 186, х2 6, х 6, х 6, 2 2 х1 11х2 68 х1 68 11 6 х1 68 11х2 х1 2. Итак, точка А(2;6) и соответственно zmin ( A) 4 2 6 14 Определим координаты точки B и вычислим значение целевой функции в этой точке. Точка B лежит на пересечении прямых (I) и (III). Для нахождения координат точки В решим систему уравнений 4 х1 13х2 18, 4 х 13х2 13, 1 4 х1 44 х2 272 х1 11х2 68 (4) х2 5, х 5, 57 х2 285, х 5, 2 2 х1 68 11х2 х1 68 11 5 х1 11х2 68 х1 13. 4 х1 13х2 13( I ), х1 11х2 68( III ) В результате решения системы уравнений найдены координаты точки В(13;5). Подставим координаты этой точки в выражения для целевой функции и получим максимальное её значение zmax ( В) 4 13 5 57 . Ответ: zmin =14 при х1=2, х2=6; z max =18 при х1=13, х2=5. 13Границей полуплоскости, заданной неравенством 4х1 5х2 20 , является прямая 4х1 5х2 20 (I). 51 х2 (II) 9 8 A 7 6 5 с 4 (III) D B 3 2 1 C О 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 х1 (I) z 0 Рисунок 10 – Неограниченный многоугольник допустимых решений, исходная линия уровня и вектор с задачи 13 Построим эту прямую, выразив переменную х2 через переменную х1 . В результате преобразований получим следующее уравнение прямой 4 5 (I) х2 4 х1 . Точки с координатами (0;4) и (5;0) принадлежат прямой. Второе неравенство 5х1 3х2 0 задает полуплоскость с границей 5x1 3x2 0 . Обозначим цифрой (II) эту прямую и выразим переменную х2 через переменную х1 : х2 5 х1 . 3 Прямая (II) проходит через точки с координатами (0;0) и (3;5). Рассмотрим уравнение 2x1 5x2 0 , обозначим его цифрой (III) и 2 5 выразим переменную х2 через переменную х1 : х2 х1 . Точки с координатами (0;0) и (5;2) принадлежат данной прямой. 52 Находим полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи. Для определения полуплоскости, заданной неравенством 4х1 5х2 20 , возьмем контрольную точку, не принадлежащую прямой (I), с известными координатами, например точку О(0;0). Координаты контрольной точки подставим в неравенство 4х1 5х2 20 и получим выражение вида 0 20 . Получили неравенство, которое не является верным, координаты контрольной точки не удовлетворяют ему. Полуплоскость, определяемая неравенством 4х1 5х2 20 не содержит контрольную точку О. Аналогично, выберем контрольную точку с координатами (3;3) и исследуем неравенство 5х1 3х2 0 . Подставим координаты контрольной точки в неравенство и получим верное неравенство вида 6 0 .Полуплоскость, содержащая контрольную точку, задается неравенством 5х1 3х2 0 . С помощью полуплоскость, точки, имеющей координаты (4;4), которую задает неравенством 2x1 5x2 0 . определим Подставим координаты контрольной точки в исследуемое неравенство и получим верное неравенство вида 16 0 . Полуплоскость, заданная неравенством 2x1 5x2 0 , содержит контрольную точку. Учтем условие неотрицательности переменных и рассмотрим множество допустимых решений, располагающееся выше оси x1 и правее оси x2 . Неограниченный многоугольник ABCD является множеством допустимых решений задачи. Строим исходную линию уровня z 0 , т.е. прямую вида 4x1 5х2 0 . Выразим переменную х2 через переменную х1 и получим следующее уравнение 4 5 прямой х2 х1 . Эта прямая проходит через точки с координатами (0;0) и (5;-4). Строим с =(4;5), который перпендикулярен исходной линии уровня z 0 и указывает направление возрастания целевой функции с наибольшей скоростью. 53 Исходную линию уровня передвигаем в направлении вектора с и определяем точки, в которых целевая функция принимает своё максимальное и минимальное значение. При движении в направлении вектора с , прямая z 0 , встретившись впервые с многоугольником решений, сливается с ребром ВС. Задача имеет бесчисленное множество решений – все точки, принадлежащие отрезку ВС, которые дают одно и тоже значение целевой функции. Многоугольник решений не ограничен сверху, поэтому целевая функция неограниченно возрастает в области допустимых решений z max . Определим координаты точек В и С. Точка В лежит на пересечении прямых (I) и (II). Составим решим систему уравнений: 4 х1 5 х2 20( I ), 5 х1 3х2 0( II ). По формулам Крамера, х1 4 5 4 (3) 5 5 12 25 37 ; 5 3 х2 х1 х2 , х1 х2 . Вычислим 20 5 20 (3) 5 0 60; 0 3 4 20 4 0 5 20 100 . 5 0 Тогда х1 х1 х 100 60 23 26 1 1,62 х2 2 2 2,70 , . Итак, получили 37 37 37 37 координаты точки В(1,62; 2,70). Аналогично, для определения координат точки С составим и решим следующую систему уравнений 4 х1 5 х2 20( I ), 2 х1 5 х2 0( II ). По формулам Крамера, 4 5 4 (5) 5 2 20 10 30 ; 2 5 х2 х1 х1 , х1 х2 х2 . Вычислим 20 5 20 (5) 5 0 100; 0 5 4 20 4 0 2 20 40 . 2 0 54 Тогда х1 х1 100 1 3 3,33 , 30 3 х2 х2 40 1 1 1,33 . 30 3 Итак, получили координаты точки С(3,33; 1,33). Значение целевой функции в точке В равно значению целевой функции в точке С. Найдем значение целевой функции, например, в точке С z min (C ) 4 10 4 40 20 60 5 20 3 3 3 3 3 Запишем выражения для всего отрезка ВС zmin ( BC ) 1 (1,62;2,70) 2 (3,33;1,33) = (1,621 3,33 2 ;2,701 1,33 2 ) , 1 2 1 и 1 , 2 0;1 . Ответ: zmin =20, точки отрезка с концами (1,62; 2,70) и (3,33; 1,33); zmax . 14 Границей полуплоскости х1 6 является прямая вида х1 6 (I). Выберем произвольную контрольную точку с координатами (0;0). В этой точке неравенство х1 6 не выполняется, так как 0 6 . Поэтому искомой является полуплоскость, не содержащая контрольную точку. Рассмотрим неравенство х2 3х1 4 х2 6 . Границей для него служит прямая 3 3 х1 (II). В контрольной точке неравенство не выполняется, так как 0 6 . 4 2 Контрольная точка принадлежит полуплоскости, не заданной исследуемым неравенством. Если в неравенство 4х1 3х2 3 подставить координаты контрольной точки (0;0), то получим неверное неравенство 0 3 . Искомая полуплоскость, с 4 3 границей в виде прямой х2 х1 1(III), не содержит контрольную точку. Изобразим прямые, отметим искомые полуплоскости штрихами на рисунке. 55 х2 (I) 9 8 7 6 (II) 5 4 3 (III) 2 1 О 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 х1 Рисунок 11 – Область допустимых решений задачи 14 Множество допустимых решений не содержит ни одной общей точки. Задача решений не имеет. Ответ: решений нет. 56 15 Построим границу полуплоскости 3х1 5х2 40 (I). 3х1 5х2 40 в виде прямой х2 (II) (III) 9 8 A 6 B 4 с C 2 (I) О D 0 1 2 3 4 z 0 5 6 7 8 9 10 11 12 х1 Рисунок 12 – Многоугольник допустимых решений, исходная линия уровня и вектор с задачи 15 Для уравнения 3х1 5х2 40 выразим переменную х2 через переменную х1 . В результате х2 8 преобразований получим следующее уравнение прямой 3 х1 . Точки с координатами (0;8) и (5;5) удовлетворяют уравнению 13 прямой. 57 Второе уравнение 2 x1 x2 15 обозначим цифрой (II) и выразим переменную х2 через переменную х1 : х2 15 2х1 . Прямая (II) проходит через точки с координатами (4;7) и (6;3). Рассмотрим уравнение 4x1 x2 28 , обозначим его цифрой (III) и выразим переменную х2 через переменную х1 : х2 28 4х1 . Точки с координатами (5;8) и (6;4) принадлежат данной прямой. Находим полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи. Рассмотрим неравенство 3х1 5х2 40 . Для определения полуплоскости, заданной неравенством возьмем контрольную точку, не принадлежащую прямой (I), с известными координатами, например точку О(0;0). Координаты контрольной точки подставим в неравенство 3х1 5х2 40 и получим выражение вида 0 40 . Неравенство является верным, координаты контрольной точки удовлетворяют ему, следовательно, полуплоскость, определяемая неравенством 3х1 5х2 40 содержит контрольную точку О. Аналогично, для исследования неравенства 2 x1 x2 15 выберем, в качестве контрольной точке, вновь точку О(0;0). После подстановке координат указанной точки, получаем неверное неравенство 0 15 . Неравенство 2 x1 x2 15 задает ту полуплоскость, которой принадлежит контрольная точка О(0;0). Неравенство 4x1 x2 28 определяет полуплоскость, содержащую контрольную точку, так как выполняется неравенство 0 28 . Условие неотрицательности переменных x1, x2 0 требует рассмотрения той части многоугольника решений, которая находится в первой координатной четверти, т.е. выше оси x1 и правее оси x2 . Многоугольник ОАВСD является множеством допустимых решений задачи. Строим исходную линию уровня z 0 , в нашем случае уравнение примет вид 2x1 4х2 0 . Выразим переменную х2 через переменную х1 и получим 58 1 2 равенство х2 х1 . Эта прямая проходит через точки с координатами (0;0) и (4;-2). Строим с =(2;4), который перпендикулярен исходной линии уровня z 0 и указывает направление, в котором целевая функция возрастает с наибольшей скоростью. Исходную линию уровня передвигаем в направлении вектора с и определяем точки, в которых целевая функция принимает своё максимальное значение. При движении в направлении вектора с , последней общей точкой прямой z 0 с многоугольником допустимых решений является точка А. В точке А целевая функция принимает максимальное значение. Определим координаты точки А, как точки пересечения прямой (I) и оси х1 0 . Для этого составим и решим следующую систему уравнений: 3х1 5 х2 40( I ), х1 0 х1 0, 5 х2 40 х1 0, х2 8. Итак, точка А(0;8) и соответственно zmax ( A) 2 0 4 8 32 Ответ: z max =32 при х1=0, х2=8. 16. Границей полуплоскости, заданной неравенством х1 7 х2 77 , является прямая х1 7 х2 77 (I). Рассмотрим уравнение 4x1 x2 54 , обозначим его цифрой (III) и выразим переменную х2 через переменную х1 : х2 54 4 х1 . Точки с координатами (12;6) и (13;2) принадлежат данной прямой. Находим полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи. Для определения полуплоскости, заданной неравенством х1 7 х2 77 , возьмем контрольную точку, не принадлежащую прямой (I), с известными координатами, например точку О(0;0). Координаты контрольной точки подставим в неравенство х1 7 х2 77 и получим выражение вида 0 77 . Получили неравенство, которое является верным, координаты контрольной 59 точки удовлетворяют ему. Полуплоскость, определяемая неравенством х1 7 х2 77 содержит контрольную точку О. Аналогично, с помощью контрольной точки (0;0) и исследуем неравенство 4 х1 5х2 78 . Подставим координаты контрольной точки в неравенство и получим верное неравенство вида 0 78 .Полуплоскость, содержащая контрольную точку, задается этим неравенством. х2 (III) B 9 8 (I) A 7 6 C (II) 5 4 с 3 2 1 О D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 х1 z 0 Рисунок 13 – Многоугольник допустимых решений, исходная линия уровня и вектор с задачи 16 С помощью полуплоскость, точки, имеющей координаты (0;0), которую задает неравенством 4x1 x2 54 . определим Подставим координаты контрольной точки в исследуемое неравенство и получим верное 60 неравенство вида 0 54 . Полуплоскость, заданная неравенством 4x1 x2 54 , содержит контрольную точку. Учтем условие неотрицательности переменных и рассмотрим множество допустимых решений, располагающееся выше оси x1 и правее оси x2 . Многоугольник ОABCD является множеством допустимых решений задачи. Строим исходную линию уровня z 0 , т.е. прямую вида 3x1 4х2 0 . Выразим переменную х2 через переменную х1 и получим следующее уравнение 3 4 прямой х2 х1 . Эта прямая проходит через точки с координатами (0;0) и (4;-3). Строим с =(3;4), который перпендикулярен исходной линии уровня z 0 и указывает направление возрастания целевой функции с наибольшей скоростью. Исходную линию уровня передвигаем в направлении вектора с и определяем точку, в которых целевая функция принимает максимальное. При движении в направлении вектора с , прямая z 0 и многоугольник решения имеют в качестве последней общей точки точку В. Целевая функция принимает максимальное значение в точке В. Определим координаты точки В, которая лежит на пересечении прямых (I) и (II). Составим решим систему уравнений: х1 7 х2 77 (4), х1 7 х2 77( I ), 4 х1 5 х2 78( II ) 4 х1 5 х2 78 4 х1 28 х2 308, 4 х1 5 х2 78 х2 10, 23х2 230, х 10, х 10, 2 2 х1 7. х1 7 х2 77 х1 77 7 х2 х1 77 7 10 Итак, получили координаты точки В(7; 10). Значение целевой функции в точке В вычислим следующим образом z max ( B) 3 7 4 10 21 40 61. Ответ: z max =61 при х1=7, х2=10. 61 Список использованных источников 1. Акулич, И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: учеб. пособие / И.Л. Акулич . – 2- е изд., испр.. – CПб. : Лань, 2009. – 348 с. : ил... – Библиогр.: с. 346-347 - ISBN 978-5-8114-0916-7. 2. Афанасьев, М.Ю. Прикладные задачи исследования операций: учеб. пособие для вузов по направлению «Экономика» / М.Ю. Афанасьев, К.А. Багриновский, В. М. Матюшок ; Рос. ун-т Дружбы народов. – М.: ИНФРАМ, 2009. – 352 с. : ил. - Библиогр.: с. 348-351. – ISBN 5-16-002397-6. 3. Бережная, Е.В. Математические методы моделирования экономических систем: учеб. пособие для вузов / Е.В. Бережная, В.И. Бережной. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 368 с.: ил. – ISBN 5-279-022918. 4. Вентцель, Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология: учеб. пособие для вузов / Е.С. Вентцель . – 3-е изд., стер. – М. : Дрофа, 2004. – 208 с. : ил.. – (Высшее образование). - Библиогр.: с. 206. – ISBN 5-7107-7770-6. 5. Исследование операций в экономике: учеб. пособие для вузов / под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2004. – 407 с. – Библиогр.: с. 393-402. – ISBN 5-238-00636-5 6. Конюховский П.В. Математические методы исследования операций в экономике. – СПб.: Питер, 2002. – 208с. 7. Коршунова Н.И., Плясунов В.С. Математика в экономике: – М.: Издательство «Вита -Пресс», 2001. – 368 с. 8. Костевич Л.С. Математическое программирование; Информ.технологии оптимальных решений: учеб. пособие. – Мн.: Новое знание, 2003. – 424с. 62 9. Красс, М. С. Математика для экономических специальностей: учеб. для вузов / М.С. Красс. – М. : Дело, 2003. – 704 с. – ISBN 5-7749-0264-1. 10. Красс, М.С. Математика для экономического бакалавриата: учебник / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – М. : Дело, 2005. – 576 с. – ISBN 5-7749-0404-0. 11. Красс, М.С. Математика для экономистов: учеб. пособие для вузов / М. С. Красс, Б.П. Чупрынов . - CПб. : Питер, 2005. – 464 с. – (Учебное пособие). - Библиогр.: с. 461. - Предм. указ.: с. 462-464. – ISBN 5-94723-672-9. 12. Кузнецов Б.Т. Математические методы и модели исследования операций: учеб.пособие. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005.-390с. 13. Таха, Хемди А. Введение в исследование операций.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2007.- 912с. 14. Шапкин, А.С. Математические методы и модели исследования операций : учебник для вузов / А.С. Шапкин, В.А. Шапкин .- 5-е изд. - М.: Дашков и К, 2009. – 397 с. : ил.. – Библиогр.: с. 395-396. – ISBN 978-5-39400182-6. 15. Шелобаев, С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе : учеб. пособие для вузов / С.И. Шелобаев. – М.: ЮНИТИДАНА, 2001. – 367 с. 16. Экономико-математические методы и модели: учеб. пособие / Под ред. С.И. Макарова, А.П. Сизикова, Б.П. Чупрынова. – Самара: Изд-во Самар.гос.экон.акад., 2004. – 216с. 17. Экономико-математические методы и прикладные модели : учеб. пособие для вузов / под ред. В. В. Федосеева. – М. : ЮНИТИ, 2002. – 391 с – ISBN 5-238-00068-5. 18. Экономико-математическое моделирование: учебник / Под ред. И.Н. Дрогобыцкого . – М. : ЭКЗАМЕН, 2006. – 798 с - ISBN 5-472-01573-1. 19. Юдин, Д. Б. Линейное программирование / Д. Б. Юдин, Е. Г. Гольштейн. - М. : Физматлит, 1963. – 776 с. : ил. - Библиогр.: с. 762-771. 63