СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ Перемещения в СНС

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
Часть ii
СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ
СИСТЕМЫ
Перемещения в СНС
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ
Универсальная формула Максвелла – Мора:
u R R
m
r
Si SF
j, i j, F
Δ i Σ  Δ iF  Δ it  Δ ic   
ds j  
   S i  s, t ds j   R( j ) , i  ( j )
Cj
по S j 1 l j C s
j 1
по S j 1 l j
j 1
т
Δ i Σ  L0 , i B 0 L Σ
m
it
iF
c
t
iS ?
c1
Действительное
состояние СНС
МС V МП V СМ
S
t
F
c
SS
(j)
Вычисление i S
по формуле
Максвелла–Мора
Fi  1
c
Вспомогательное
единичное
состояние СНС
i
ic
МС V МП V СМ
Si
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ
Перемещения от силовых воздействий (нагрузок):
u R R
Si SF
j, i j, F
Si , Rj, i – в СНС от Fi = 1
Δ iF   
ds j  
Cj
по S j 1 l j C s
j 1
а)
SF , Rj, F – в СНС от заданной
нагрузки
ΔiF  Lтi B LF
Если LF (SF , Rj, F ) определяются методом сил, то LF  LX 1  X  L0F
где L0F – усилия от заданной нагрузки в ОСМС (в статически определимой системе),
m
тогда Δ iF  Lтi B ( LX 1  X  L0Fт)  0Lтi B LX 1  X  Lтi BL0F  Lтi BL0F
Δ  L BL
iF
б)
i
F
00– кинематическая
проверка
u R =R
Si , Rj, i расчёта
–в
СНС
от Fi = 1
S i S F0
j, i j, F результатов
СНС
Δ iF   
ds j  
0
0 воздействие F = 1
на единичное
C
C
S
s
j
по S j 1 l j
j 1
F , R j, F – в СОС от iзаданной
m
нагрузки
Аналогично если Li  LX 1  X  L0i , то Δ iF  (LX 1  X  L0i ) B LF 
т
0 т
0 т
т
т
0 т
т
(

L
0
 ( LΔX 1  X
)L
B LFBL
 (Li ) B LF  X  LX 1 B LF  (Li ) B LF
i ) BLF

iF
i
F
=0–
0
0
0
0
m
u
в)
– в СОС от Fпроверка
S i , R j, i кинематическая
R j, i R j, F
Si SF
i=1
т
( )
Δ iF   
по S j 1 l j
Cs
ds j  
j 1
Cj
результатов расчёта СНС
нагрузку
SF , Rj, Fна– заданную
в СНС от
заданной
нагрузки
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ
Перемещения от силовых воздействий (нагрузок):
u R R
Si SF
j, i j, F
ds j  
а) Δ iF   
Cj
по S j 1 l j C s
j 1
m
F
Fi  1
Si , Rj, i – в СНС от Fi = 1
SF , Rj, F – в СНС от заданной нагрузки
i
u R R0
S i S F0
j, i j, F
ds j  
б) Δ iF   
Cj
по S j 1 l j C s
j 1
R 0j, i R j, F
S SF
ds j  
в) Δ iF   
C
Cj
s
по S j 1 l j
j 1
m
0
i
u
S , R – в СОС от Fi = 1
SF , Rj, F – в СНС от заданной нагрузки
0
i
0
j, i
(MF)
Si
(Mi)
m
Si , Rj, i – в СНС от Fi = 1
S F0 , R 0j, F – в СОС от заданной нагрузки
SF
F0
Fi  1
i0
S F0
( M F0 )
S i0
( M i0 )
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ
Перемещения от тепловых воздействий (изменений температуры):
m
Si – усилия в СНС от Fi = 1
r = a* tnr /h
Δ it 
S i ε S, t ds j
S, t – температурные деформации: t
по S j 1 l j
t = a* t0
 
Δ it  Lтt, i Bt T
Если Lt, i ( Si ) определяются методом сил, то
Lt, i  Lt, X 1  X Fi 1  L0t, i ,

где L0t, i – усилия от единичного воздействия в ОСМС
(в статически определимой системе), тогда

Δ it  ( Lt, X 1  X Fi 1  L0t, i ) Bt T  ( Lt, X 1  X Fi 1 )  ( L0t, i ) Bt T 
т
т
т
 ( Lt, X 1  X Fi 1 ) Bt T  ( L0t, i ) Bt T  X Fтi 1  Lтt,X 1Bt T  Δ0it   X Fтi 1δ XX X t  Δ0it =
т
т
  X Fтi 1 LтX 1B LX 1 X t  Δ0itΔ0it –
Δ0Xt  –перемещение
δ XX X t
от заданного
перемещение от заданного
изменения температуры в ОСМС
(в статически определимой
системе)
изменения температуры
в ОСМС (в статически
определимой системе)
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ
Перемещения от тепловых воздействий (изменений температуры):
m
Si – усилия в СНС от Fi = 1
r = a* tnr /h
Δ it 
S i ε S, t ds j
S, t – температурные деформации: t
по S j 1 l j
t = a* t0
 
Δ it  Lтt, i Bt T
Если Lt, i ( Si ) определяются методом сил, то
Lt, i  Lt, X 1  X Fi 1  L0t, i ,

где L0t, i – усилия от единичного воздействия в ОСМС
(в статически определимой системе), тогда

Δ it  ( Lt, X 1  X Fi 1  L0t, i ) Bt T  ( Lt, X 1  X Fi 1 )  ( L0t, i ) Bt T 
0 т
0
0 т
0 т
т Δ it  ( Li )0 Bт S t  ( Lt, i ) тBt T т
Δ

(
L
)
B
S
i
t
it
 ( Lt, X 1  X Fi 1 ) Bt T  ( Lt, i ) Bt T  X Fi 1  Lt, X 1 Bt T  Δ 0it   X Fтi 1δ XX X t  Δ0it =
т
  X Fтi 1 LтX 1B LX 1 X t  Δ0it 
т
т
– перемещение от заданного
изменения температуры
в ОСМС (в статически
определимой системе)
  (LX 1 X Fi 1 ) B LX 1 X t  Δ0it =
St
S i  L0i
  SiтB St  (L0i )тB St  Δ0it  (L0i )т B St  Δ0it  (L0i )тB St  (L0t,i)тBt T
т
Wint, ti = –Wext, ti = 0
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ
Перемещения от тепловых воздействий (изменений температуры):
m
Si – усилия в СНС от Fi = 1
r = a* tnr /h
Δ it 
S i ε S, t ds j
S, t – температурные деформации: t
по S j 1 l j
t = a* t0
а)
 
Δ it  Lтt, i Bt T
Если Lt, i ( Si ) определяются методом сил, то
Lt, i  Lt, X 1  X Fi 1  L0t, i ,
где L0t, i – усилия от единичного воздействия в ОСМС
(в статически определимой системе), тогда
Δ0iS
Δ0iS – от упругих деформаций
0 т
0
0 т
0 т
элементов, cоответствующих
Δ it  ( Li ) B S t  Δ it  ( Li ) B S t  ( Lt, i ) Bt T
усилиям St
m
0
m
u R0 R
Si St
j, i j, t
б) Δ 
0
0
0



Δ

S
ε S, t ds j – от темпераds


Δ
it
i
it  
j 
it


турных деCj
по S j 1 l j
по S j 1 l j C s
j 1
формаций
0
0
S i , R j, i – в СОС от Fi = 1
элементов
Δ0
iS
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ
Перемещения от тепловых воздействий (изменений температуры):
m
Si – усилия в СНС от Fi = 1
r = a* tnr /h
Δ it 
S i ε S, t ds j
S, t – температурные деформации: t
по S j 1 l j
t = a* t0
а)
 
rt , t
Δ it  Lтt, i Bt T
Fi  1
t
i
t
Si
( Mi , Ni )
Δ0iS
Δ0iS – от упругих деформаций
0 т
0
0 т
0 т
элементов, cоответствующих
Δ it  ( Li ) B S t  Δ it  ( Li ) B S t  ( Lt, i ) Bt T
усилиям St
m
0
m
u R0 R
Si St
j, i j, t
б) Δ 
0
0
0



Δ

S
ε S, t ds j – от темпераds


Δ
it
i
it  
j 
it


турных деCj
по S j 1 l j
по S j 1 l j C s
j 1
формаций
0
0
–
в
СОС
от
F
=
S i , R j, i
0
элементов
i

Δ
iS
rt , t
1
Fi  1
t
t
St
(Mt)
i0
S i0
( M i0 , N i0 )
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ
Перемещения от кинематических воздействий (смещений связей):
r
Δ ic   R( j ) , i  ( j )
R (j), i – реакции смещаемых связей в СНС от Fi = 1
Δ ic  R Δт , i (  E )Δ (c)
Если R, i определяются методом сил, то
RΔ , i  RΔ , X 1  X Fi 1  RΔ0 , X 1 ,
j 1
где R Δ0 , i – реакции от единичного воздействия в ОСМС
(в статически определимой системе), тогда


Δic  (RΔ , X 1  X Fi 1  RΔ0 ,i ) ( E ) Δ(c)  (RΔ , X 1  X Fi 1 )  (RΔ0 ,i ) ( E ) Δ(c) 
т
т
т
0 т
т  Δ 0  ( L0 ) т B0S т R 0 (  E ) Δ
Δ

(
L
)
B
S
i
 (RΔic, X 1  X F 1 ) c( Eic) Δ(c) i (RΔ ,i c) ( EΔ ,)i Δ(c)  ( c )X Fт 1δ XX X c  Δ0ic =
i
i
 X Fтi 1LтX 1B LX 1 Xc  Δ0ic   (LX 1 X Fi 1 ) B LX 1 X c  Δ0ic =
т
  (Si  L0i ) B Sc  Δ0ic   SiтB Sc  (L0i )тB Sc  Δ0ic  (L0i )т B Sc  Δ0ic 
 (L0i )т B Sc  RΔ0,i (E)Δ(c)
т
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ
Перемещения от кинематических воздействий (смещений связей):
r
а)
Δ ic   R( j ) , i  ( j )
R (j), i – реакции смещаемых связей в СНС от Fi = 1
Δ ic  R Δт , i (  E )Δ (c)
Если R, i определяются методом сил, то
RΔ , i  RΔ , X 1  X Fi 1  RΔ0 , X 1 ,
j 1
где R Δ0 , i – реакции от единичного воздействия в ОСМС
(в статически определимой системе), тогда
Δ0iS
0

Δ
iS
0 т
0
0 т
0
Δ ic  ( Li ) B Sc  Δ ic  ( Li ) B Sc  RΔ , i ( E )Δ( c )
б)
– от упругих деформаций
элементов, cоответствующих усилиям Sс
r
u R0 R
S i0 Sc
j, i j, c
0
от заданΔ ic   
ds j  
 Δ 0ic , Δ ic   R(0j ) , i  ( j ) –ных
смещеCj
j 1
по S j 1 l j C s
j 1
ний связей
m
Δ
0
iS
S i0 , R 0j, i , R(0j ) , i – в СОС от Fi = 1
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ
Перемещения от кинематических воздействий (смещений связей):
r
а)
Δ ic   R( j ) , i  ( j )
R (j), i – реакции смещаемых связей в СНС от Fi = 1
Fi  1
j 1
Δ ic  R Δт , i (  E )Δ (c)
i
c
( j )
Δ0iS
0

Δ
iS
0 т
0
0 т
0
Δ ic  ( Li ) B Sc  Δ ic  ( Li ) B Sc  RΔ , i ( E )Δ( c )
б)
R( j ), i
– от упругих деформаций
элементов, cоответствующих усилиям Sс
r
u R0 R
S i0 Sc
j, i j, c
0
от заданΔ ic   
ds j  
 Δ 0ic , Δ ic   R(0j ) , i  ( j ) –ных
смещеCj
j 1
по S j 1 l j C s
j 1
ний связей
m
S i0 , R 0j, i , R(0j ) , i – в СОС от Fi = 1
Δ
0
iS
c
( j )
Fi  1
Sc
(Mc)
i0
R(0j ) , i
S i0
( M i0 )
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫБОРУ
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ (ВСОС):
1) если требуется найти несколько перемещений, то для определения
каждого из них целесообразно использовать свою вспомогательную
СОС, рациональную в расчёте на соответствующее единичное
воздействие Fi = 1 ( дающую наиболее компактное распределение
единичных усилий S i0 );
2) если расчёт СНС на заданное воздействие выполняется методом сил,
то вспомогательная СОС может выбираться независимо от того,
какая статически определимая система была выбрана в качестве
основной системы метода сил.
Способ выполнения рекомендации 1:
если это допускает структура заданной СНС, то вспомогательную СОС выгодно
выбирать так, чтобы сечение (точка) с подлежащим определению перемещением
оказывалось на главной части ВСОС.
Частный случай:
если вблизи от места с определяемым перемещением имеется
опорное защемление, то во вспомогательной СОС
его целесообразно сохранить.
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ
EI = const
1
K
a a/2
1
Требуется: определить
горизонтальное перемещение uK
и угол поворота q1–1
Решение:
M i0 M F
Δ iF   
dx j , i  1, 2;
EI
j
j 1 0
Δ1F  uK ; Δ 2 F  θ11 .
Определение линейного
перемещения uK
m
a
a
a
2a
a
Действительное состояние заданной СНС
1,5 qa2
1,5 qa2
0,75 qa2
i 0 1
0,5 qa2
MF
1
M20 1
a
a
i 0  2
K
F10 1
0,75 qa2
Определение угла поворота q1– 1
1
1
lj
a
Пример
q
1
M 20
0,1875 qa 3
M 20 M F
2
1
θ11  Δ 2 F  
dx1 
( 1)a 0,1875 qa  
EI
EI
EI
0
M10
a
a
M10 M F
uK  Δ1F  
dx5 
EI
0
 1  a a (0,25 qa 2 ) 
EI 2
0,125 qa 4

EI
Контрольные вопросы
( в скобках даны номера слайдов, в которых можно найти ответы на вопросы;
для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*);
для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши
и выбрать «Перейти к слайду 14» )
1. Какой метод рационален для определения перемещений линейно деформируемых
статически неопределимых систем от различных воздействий (силовых, температурных, кинематических)? ( 2 )
2. Универсальная формула для вычисления перемещений iS от комбинированных
воздействий ( 2 ) .
3. Каковы альтернативные варианты формул для перемещений СНС от силовых ( 3, 4 ) ,
температурных ( 7, 8 ) и кинематических ( 10, 11 ) воздействий?
4. На чём основаны альтернативные варианты формул и какие упрощения в расчёте
перемещений СНС даёт их использование? ( 3 ) , ( 5 ) , ( 9 )
5. Сколько возможных вариантов формул для определения перемещений методом
Максвелла – Мора существует в случаях силовых, температурных, кинематических
воздействий? ( 4 ) , ( 8 ) , ( 11 )
6. Как рекомендуется выбирать вспомогательные статически определимые системы
для получения наибольшего упрощения вычисления перемещений СНС? ( 12 )
*)
Только в режиме «Показ слайдов».