Потенциальная энергия Потенциальная энергия

Работа. Консервативные
силы
Понятие о механической
работе и энергии
Энергия
–
количественная
мера
движения материи в различных формах
этого движения.
С различными формами движения
материи связывают различные формы
энергии.
Механическая энергия – мера
механического движения, перемещения
и взаимодействия сил.
Механическая работа – мера перехода
механической энергии от одного тела к
другому.
Прямолинейное движение
 
A  F  S cos , (1)

dr  dS.(2)
F
α
F
S
S
С течением времени вектор F может
меняться по модулю и по направлению.
Поэтому рассматривается
элементарное

перемещение dr , на котором F = const,
а движение точки (тела) прямолинейное.
Следовательно, элементарная работа:
 
dA  F  dr  FdS cos  FS dS
скалярная величина.
Движение по участку траектории
  2
A12   Fdr   FS dS.
r2
F
F
dr
r1
S
1
v
1
2
FS – проекция вектора
F на вектор
перемещения
 
dr  v dt.
v
F
N
ц .с
v


F  dr  A  0
F
S
dA
0
dS
S
При графическом
изображении FS(S)
работа равна
площади под
кривой.
Система СИ:
[А] = джоуль, Дж.
1 Дж равен работе,
совершаемой силой
в 1 Н на пути 1 м,
1 Дж = 1 Н·1 м.
Мощность
Мощность (механизма или машины) –
работа, совершаемая за единицу
времени. Характеризует скорость
совершения работы. Скалярная
величина.
 
 

dA d F  r
dr

N

F
 F  v t  – мгновенная
dt
dt
dt
мощность.
A
N ср 
t – средняя мощность.
Система СИ: [N] = ватт, Вт;
1 Вт = 1 Дж / 1 с.


Кинетическая энергия
Кинетическая энергия механической
системы – энергия механического
движения этой системы.
Сила вызывает движение тел и
совершает работу
 
dA  Fdr .(1)


dv
Второй з.Ньютона : F  m .(2)
dt


 
dv 
dr 
dA  m  dr  m  dv .(3) dA  mv  dv .(5)
dt
dt
2

 
v 
 dr
v  dv  d    v  dv.(6)
v  .(4)
dt
2
dA  mvdv.(7)
n 1
v
x 
 n
A12   mvdv    x dx 

n  1
v

2
1
v2
2 v2
1
v1
mv
 m  vdv 
2
v
mv22 mv12


.(8)
2
2
Работа А силы F пошла на увеличение
скорости тела от v1 до v2, увеличение
2
mv
его кинетической энергии Е 
.
к
2
A12  Ек 2  Ек1  Ек .(9)
dA  dЕк – справедливо как для одного
тела, так и для системы тел.
2
i
mi v
Ек  
.
2
i 1
n
• Использовался второй закон Ньютона,
т.е. движение в ИСО. В разных ИСО,
движущихся относительно друг друга,
скорость тела различная,
следовательно, различна и
кинетическая энергия Ек.
Консервативные силы
Консервативные силы – силы, работа
которых не зависит от формы пути
(траектории), а только от начального и
конечного положения точек траектории.
а
1
2
b
Работа консервативных сил
по замкнутому контуру равна нулю.
А1а 2  A2b1  0  А1а 2   A2b1 .
Примеры консервативных сил (силовых
полей):
1.
Fтяжести  mg
2.
Fупругости  kx
3.
q1  q2
FКулона  k
2
r
1
Сила тяжести
m g
H
H
2
A12  FS cos  mgH cos0 0  mgH ,
A21  mgH cos180  mgH  A  A12  A21  0.
0
Сила упругости
В одномерном случае F(x)
F   kx; dA  Fdx  dA  kxdx 
x2
2 x1
1
x2
kx
A12    kxdx 
2
x

kx x
2
1
2
2
2

Работа зависит от начального и конечного
положения (x1;x2).
Если x1 = x2, то А = 0.
Диссипативные силы – силы,
работа
которых
зависит
от
траектории перемещения тел.
Пример: сила трения.
Потенциальная энергия
Потенциальная энергия – энергия
системы тел, зависящая от взаимного
расположения или их составных частей.
Взаимодействие тел в системе
осуществляется посредством силовых
полей.
Поля консервативных сил называются
потенциальными.
Тело, находящееся в потенциальном поле
другого тела, обладает потенциальной
энергией.
E p  mgh – потенциальная энергия в поле
kx
Ep 
2
2
тяготения.
– потенциальная энергия упруго
деформированного тела.
Рассмотрим поле консервативных сил.
 
A00'   Fdr .
0'
E
0
p
1
2
r
0
0'
x
Так как работа консервативных
сил не зависит от формы
пути, то при перемещении
тела из 0 в 0' можно ввести
понятие потенциальной
энергии: A00'  E p ; E p 0  0.
Пусть перемещаем материальную точку из точки 1
в точку 2. При перемещении работа будет равна:
A12  A10  A02 , (1)
A02   A20 .(2)  A12  A10  A20 .(3)
A12  A10  A20 .(3)
A10  E p1 , (4) A20  E p 2 .(5)
A12  E p1  E p 2 , (6)
E p  E p 2  E p1.(7)  A12  E p , (8)
dA  dEp (9)  для бесконечно малых.
Работа консервативны сил равна изменению
потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком.
Выражения (8), (9) справедливы как для одного тела,
находящегося в поле консервативных сил, так и
для системы тел.
Связь потенциальной энергии и силы
E
Материальная точка
движется вдоль оси х в
потенциальном поле Ep(x).
p
dA  dE p , (1)
Fdx  dE p .(2)  F  
0
x0
x
dE p
dx
Сила есть первая производная от потенциальной
энергии по координате, взятая с обратным знаком.
.
В общем случае трехмерного пространства:
Fx  
E p
x
; Fy  
E p
y
; Fz  
В векторном виде:
E p
z

F   gradEp  E p ,
     
grad    i 
j  k,
x
y
z
 – набла (оператор Гамильтона).
.
Уравнение (2) в общем виде:
 
Fdr  dEp .
 
 
 Fdr    dEp  E p   Fdr  C ,
C  константа интегрирования.
Т.е. Ep определяется с точностью до С, но это
не влияет на результат, так в первую очередь
интересует Δ Ep.
Потенциальную энергию системы в каком-то
состоянии считают равной нулю (выбирают
нулевой уровень отсчета). Энергию системы в
других состояниях отсчитывают от этого
нулевого уровня.
dEp
F 
dx
Знак “–” отражает то, что сила F
направлена в сторону уменьшения
потенциальной энергии.
В точке х0:
E
E
p
dE p
p
dx
0
x0
а) устойч ив ое
рав н овесие
x
0
x0
б) неустойч ив ое
рав н овесие
x
0 F 0
тело в равновесии.
Тело находится в
положении
устойчивого
равновесия, если
потенциальная
энергия тела
минимальная.
Этот вывод
распространяется и
на систему тел.