Полная механическая энергия частицы в поле

Элементарная механическая работа

F

dr
F
^
 A  F  dr  F  dr  cos( F , dr )  F dl
F - проекция силы на направление перемещения точки
её приложения
[ A]  Дж
Полная механическая работа
  1
A   F  dr   F dl
1
2
2
Движение материальной точки вдоль оси Ох.
Вычисление работы по графику зависимости Fx(x).
Fx

x1
x2
 x2
A   Fx dx
X
x1
Мгновенная мощность силы
A
dr
N 
F
 F  v  F  v
dt
dt
N   Вт
Мощностью (мгновенной мощностью) силы называется
скалярная физическая величина N, равная отношению
элементарной работы этой силы А к малому промежутку
времени dt, в течении которого эта работа совершается.
Средняя мощность силы
Средней мощностью силы в интервале времени от t до t+t
называется физическая величина Nср, равная отношению
работы А, совершаемой этой силой за промежуток времени t к
его продолжительности.
N ср
A

t
Теорема о кинетической энергии
 
A  Fdr
dp mdv
F

dt
dt
dr  vdt
dv
d v  dv
v  dv
v
 A  m( dv , v )
( dv , v )  d v v  dv  v
 A  mvdv
II
mv II2
mv I2
A   mvdv 

 E К
2
2
I
Все центральные силы являются
консервативными


r
F   F (r )
r
 
A  Fdr   F (r )dr
r2
A    F (r )dr


d r  dr
2

dr
1

r1

r2
r1
Полученное выражение зависит только от вида функции F(r)
(характер взаимодействия) и от начального r1 и конечного r2
расстояния от частицы до силового центра и не зависит от
пути.
Потенциальная энергия частицы в поле
F
 
A12   Fdr  U1  U 2  U
2
v
1
2

U  U (r )
1
Работа сил поля на пути 1-2 равна убыли потенциальной
энергии частицы в данном поле.
Потенциальная энергия определяется с точностью

произвольной (не зависящей от ) rпостоянной.
до
Потенциальная энергия и сила
 
 dU  A  F  dr  F dl
U
F  
l
U
U
U
Fx  
; Fy  
; Fz  
x
y
z
U
U
U
F  (
i
j
k )   gradU  U
x
y
z
Потенциальная энергия заряда q2 в
электрическом поле заряда q1
q1

F21
q2
q1q2
Fr  k 2
r

r21
I
II
rII
q1q2
q1q2 q1q2
A   k 2 dr  k
k
 U I  U II
rI
rII
r
rI
q1q2
U k
 const
r
q1
1  k  const
r
Потенциальная энергия частицы массой m2 в
гравитационном поле частицы массой m1
m1
m2

r21
I

F21
m1
rII
II
m1m2
Fr  G 2
r
m2
m1m2
m1m2
m1m2
A    G 2 dr  G
(G
)  U I  U II
rI
rII
r
rI
m1m2
m1
U  G
 const
1  G  const
r
r
Потенциальная энергия упруго
деформированной пружины
x

Fупр
x
0
x
A
Fx  kx
II

x
I
X
xI2
xII2
kxdx  k  k
 U I  U II
2
2
kx 2
U
2
Потенциальная энергия в однородном поле
силы тяжести
 
(k , dr )  dz
Z

k
dz

k

dr
II
z II
 
A    mgk dr    mgdz 
II
I
I

mg   mgk
zI
 mgzI  mgzII  U I  U II
U  mgz  const
  gz  const
Абсолютно неупругий удар
v1
v'
v2
m1
m2
до удара
m1 m2
после удара X
X
m1v1  m2 v2  ( m1  m2 ) v '
Закон сохранения импульса:
Часть полной механической энергии системы переходит во
внутреннюю:
2
m1v 1
2
2

m2v 2
2

( m1  m2 ) v '
2
2
Q
Скорость центра масс системы не изменяется:
m1v1  m2v2
v 'c 
 vc
m1  m2
В системе отсчёта, связанной с центром масс.
m2 ( v1  v2 )
m1 ( v2  v1 )
v1  v1  vc 
v2 
m1  m2
m1  m2


~
~

~
До удара p1   p,2
после удара
p. '  0
 ~

~
p1  p2  0
Закон сохранения импульса:
Суммарная кинетическая энергия частиц
целиком переходит во внутреннюю:
2
m1m v1  v2
m2 m v2  v1

m1  m2
m1  m2
1 m1m2
2
2  1  Q
2 m1  m2
2
2
2
1
2
Q
Абсолютно упругий удар
v1
v2
m1
v1 '
m2
до удара
v2 '
m1
m2
после удара X
X
Закон сохранения импульса:
m1v1  m2 v2  m1v '1  m2v ' 2 (1)
Закон сохранения полной механической энергии:
2
1 1
2
2 2
2
1
mv
mv
m1v '
m2v '



2
2
2
2
2
2
(2)
m1v1 x  m1v '1 x  m2v ' 2 x  m2v2 x (3)
m1 ( v  v ' )  m2 ( v '  v ) (4)
2
1x
2
1x
2
2x
2
2x
v1 x  v '1 x  v ' 2 x  v2 x (5)
Из уравнений (3) и (5) определяем:
v '1 x
2m2v2 x  ( m1  m2 ) v1 x

m1  m2
v '2 x
2m1v1 x  ( m2  m1 ) v2 x

m1  m2
Полная механическая энергия
частицы в поле
EК  Aконсервативных  Aсторонних
сил
сил
Aконс.  U
 ( EК  U )  A
стор.
Eполн.  EК  U
мех .
Приращение полной механической энергии частицы на
некотором пути равно алгебраической сумме работ всех
сторонних сил действующих на частицу на этом пути.
Финитное и инфинитное движение
Eполн  K  U
U
мех
A
E
x1
II – потенциальная яма
III, I – потенциальный
барьер
B
II
I
O
U U ( x )
III
x2
IV
x3
X
Собственная потенциальная энергия системы
взаимодействующих частиц

F21 2

F12
Uсоб  1 U i
2i
1
3
U12  U 21 U13  U 31 U 23  U 32
U соб 



2
2
2
1
1
 U12  U 21  U13  U 31  U 23  U 32   U i
2
2 i
Собственная механическая энергия системы
взаимодействующих частиц
EK
системы
 Aвнешних консервативных  Aконсервативных  Aдиссипативных
и неконсервативных сил
внутренних сил
внутренних сил
Aконесервативных  U соб .
внутренних сил
( EK  U соб )  Aвнешних  Aдиссипативных
сил
внутренних сил
Закон сохранения собственной механической энергии:
Собственная механическая энергия замкнутой системы
частиц, в которой нет диссипативных сил, сохраняется в
процессе движения.
Если в замкнутой системе частиц действуют
диссипативные силы:
Eсоб.  Aдиссипативных  0
внутренних сил
Универсальный закон сохранения энергии:
Энергия никогда не создаётся и не уничтожается, она может
только переходить из одной формы в другую или
обмениваться между отдельными частями материи.
Полная механическая энергия системы
взаимодействующих частиц во внешнем поле
консервативных сил
( Eсоб  U внешн )  Aсторонних  Aдиссипативных
внешних сил

Fвнутр

Fвнешн
внутренних сил
Закон
сохранения
полной
механической
энергии
системы,
находящейся во внешнем поле
консервативных сил: если на систему
частиц
не
действуют
внешние
сторонние силы и нет внутренних
диссипативных
сил,
то
полная
механическая
энергия
системы
остаётся постоянной.