Источники и классификация погрешностей

Введение
• Методы численного решения
математических задач всегда составляли
неотъемлемую часть математики и
неизменно входили в содержание
естественно-математического и инженерного
образования.
Технологическая цепочка
вычислительного эксперимента
включает в себя следующие этапы:
• построение математической модели
исследуемого объекта (сюда же относится
и анализ модели, выяснение корректности
поставленной математической задачи;
• построение вычислительного алгоритма метода приближенного решения
поставленной задачи и его обоснование;
• программирование алгоритма на ЭВМ
и его тестирование;
• проведение серии расчетов с
варьированием определяющих
параметров исходной задачи и
алгоритма;
• анализ полученных результатов;
Источники и классификация
погрешностей
• Погрешность решения задачи
обуславливается следующими
причинами:
• 1. Математическое описание задачи
является неточным, в частности,
неточно заданы исходные данные
описания (неустранимая погрешность ).
• 2. Применяемый для решения метод
часто не является точным: получение
точного решения задачи требует
неограниченного или неприемлемо
большого числа арифметических
операций, и поэтому вместо получения
точного решения приходится прибегать
к приближенному (погрешность метода).
• 3. При выполнении арифметических
операций на ЭВМ или любым другим
образом, как правило, производятся
округления (вычислительная
погрешность).
• Определение. Под ошибкой или
погрешностью приближенного числа a
понимается разность между точным числом
A и его приближенным значением
a  A  a
• Определение. Абсолютной погрешностью
приближенного числа a называется
абсолютная величина разности между
соответствующим точным числом A и
числом a
  Aa
• Здесь следует различать два случая:
• Число A известно, тогда абсолютная
погрешность определяется по формуле.
• Число A неизвестно, что практически бывает
чаще всего. В этом случае полезно вместо
неизвестной теоретической абсолютной
погрешности ввести ее оценку сверху, так
называемую предельную абсолютную
погрешность.
• Определение. Под предельной
абсолютной погрешностью
приближенного числа понимается
всякое число, не меньшее абсолютной
погрешности этого числа.
• Таким образом, если a - предельная
абсолютная погрешность приближенного
числа a, заменяющего точное число A, то
  A  a  a
a  a  A  a  a
•
•
a  a
- приближение числа A по
a  a
- приближение числа A по
недостатку
избытку.
• Абсолютная погрешность или
предельная абсолютная погрешность
недостаточна для характеристики
точности измерения или вычисления.
• Определение. Относительной погрешностью
приближенного числа a называется отношение
абсолютной погрешности этого числа к модулю
соответствующего точного числа A


A
• Определение. Предельной относительной
погрешностью  a данного приближенного
числа a называется всякое число, не
меньшее относительной погрешности этого
числа.
• По определению имеем
  a

 a    Aa
A
a  A  a
• На практике обычно принимают A = a, тогда
вместо предыдущей формулы используют
формулу
a  a  a
• Отсюда, зная предельную относительную
погрешность  получают границы для
a
точного числа:
a(1   a )  A  a(1   a )
• что условно записывают в виде
A  a(1   a )
• Определение.
Значащей цифрой приближенного числа
называется всякая цифра в его десятичном
изображении, отличная от нуля, и нуль, если
он содержится между значащими цифрами
или является представителем сохраненного
десятичного разряда.
• Определение. Цифра называется верной,
если абсолютная погрешность
приближенного числа не превосходит
половины единицы того разряда, в котором
записана цифра.