Закон сохранения энергии в механике

Закон сохранения энергии
в механике
Закон сохранения энергии
материальной точки,
находящейся в потенциальном
поле
Потенциальное поле – поле
консервативных сил.
Е  Ек  E p (1)
полная механическая
энергия системы.
dA–совершается
dE к (2)
работа, идущая на увеличение
Ек.
– связь силы и
dA  F  dx  dE p (3)
потенциальной энергии
F 
dE p
.
dx
d Eк  E p   d  A  A  0.(4)  dE  0  E  const.
Полная механическая энергия
материальной точки (тела, частицы),
находящейся в потенциальном поле (в
консервативной системе), есть
величина постоянная, т.е. с течением
времени не меняется.
Потенциальные кривые
Одномерное движение тела (материальной
точки). В этом случае Ер является функцией
лишь одной переменной (например,
координаты х) – Ер (х).
График зависимости Ер от некоторого
аргумента называется потенциальной
кривой.
Анализ потенциальных кривых определяет
характер движения тел.
Рассмотрим консервативную систему, т.е.
систему,
в
которой
превращение
механической
энергии в другие виды отсутствует.
В ней действует закон сохранения энергии:
Е  Ек  E p .
Кинетическая энергия не может
быть
Е к min  0.
отрицательной, потому
Для частиц (материальных точек)E p ( x)  E.
E
p
П олн ая
эн е р ги я
E
E
част и цы
p m in
(F = 0 )
0
a
b
c
d
e
x
E
p
П олн ая
эн е р ги я
E
E
част и цы
p m in
(F = 0 )
0
a
b
c
d
e
x
• Области (ab); (cd): частица находится в
потенциальной яме и совершает движение в
ограниченной области пространства – финитное
движение (ограниченное).
• Области (bc); (de) содержат потенциальный барьер.
Частица в этой области находиться не может.
Т.е. классическая частица потенциальный барьер
преодолеть не может.
• Область (е +∞): частица может уйти как угодно далеко
– инфинитное движение (неограниченное).
Закон сохранения энергии в механике
Рассмотрим механическую систему,
состоящую из n материальных точек
массой mi, движущихся со скоростями vi.
в нутр
Fi конс – внутренние консервативные силы.
в неш
i конс
F
в неш
i неконс
F
– внешние консервативные силы.
– внешние неконсервативные силы.
Второй закон
для i точки:
 Ньютона
dvi  внутр  внеш  внеш
mi
 Fi конс  Fi конс  Fi неконс .(1)
dt
Под действием силы точка за время dt
совершает
перемещение
dr
:
i



 внутр  внеш  внеш 
 dri
mi dvi
 Fi конс  Fi конс  Fi неконс dri .(2)
dt

vi


 внутр  внеш   внеш 
 
mi vi dvi   Fi конс  Fi конс dri  Fi неконс dri .(3)
Суммируя по всем точкам, получаем:
n

i 1


n
 внутр  внеш  n  внеш 
 
mi vi dvi    Fi конс  Fi конс dri   Fi неконсdri .(4) 


 i 1  i 1 


 mi vi2 
dvi2

mi
 d 

2
 2 
т
 mi vi2 
  dEк
d 
2 
i 1 

работа конс  х сил
dAконс   dE p
работа внеш х
неконс х сил
d Eк  E p   dA.(5)


изм енение пол ной
м ех. энергии сист.
При переходе системы из одного состояния в другое:
работа, совершаемая внешними


d
E

E

A
p
12
1 к 

неконсервативными силами.
2
E
Если внешние неконсервативные силы
отсутствуют, т.е. A12  0  dE  0, (6)  E  const .(7)
Полная механическая энергия консервативной
системы есть величина постоянная, с
течением времени не меняется.
Консервативной системой называется
механическая система, внутренние силы
которой консервативны, а внешние силы –
консервативны и стационарны.
Закон сохранения механической энергии связан
с однородностью времени, т.е. физические
законы инвариантны относительно начала
отсчета времени.
● Замкнутая система – частный случай.
В этом случае внешние силы не
рассматриваются, т.е.
Fв неш  0  E  const – полная
механическая энергия системы.
Происходит превращение Ep → Ек, и
обратно Ек → Ep .
Наряду с консервативными силами в
системе могут существовать
неконсервативные силы
(диссипативные, например, Fтр). В этом
случае с течением времени полная
механическая энергия системы
уменьшается. Но механическая энергия
не исчезает, она переходит в другие
виды энергии, например, при Fтр во
внутреннюю энергию.
Закон сохранения энергии в механике
является частным случаем
фундаментального (всеобщего) закона
сохранения энергии:
сумма всех видов энергии в замкнутой
системе постоянна
E
i
 const .
Применение законов сохранения импульса и
энергии для анализа упругого и неупругого
ударов шаров
Понятие об ударе в физике
Удар – кратковременное взаимодействие
двух или более тел.
Центральный удар (двух шаров) – удар,
при котором движение происходит по
прямой, соединяющей центры тел.
Сила взаимодействия при ударе тел
dv
dv
велика t  0 
 ; m  F  велика
dt
dt
следовательно, внешними силами,
действующими на тело, можно
пренебречь. Поэтому систему тел в
процессе удара можно рассматривать
как замкнутую систему и применять к
ней законы сохранения.
Тело во время удара претерпевает
деформацию. Кинетическая энергия во
время удара переходит в энергию
деформации.
F
• Если деформация
упругая, то тело
стремится принять
прежнюю форму.
Следователь, имеем
упругий удар.
• Если деформация
неупругая, то тело не
принимает прежнюю
форму – неупругий
удар.
Во
время
удара
происходит
перераспределение
энергии
между
соударяющимися телами.
В общем случае относительная скорость тел
после удара не достигает своего прежнего
значения, т.к. нет идеально упругих тел.
Коэффициент восстановления – отношение
нормальных составляющих относительной
скорости после удара un и до удара vn:
un
 .
vn
ε = 1 – абсолютно упругий удар.
ε = 0 – абсолютно неупругий удар.
Абсолютно упругий удар – удар, при котором
внутренняя энергия соударяющихся тел не
изменяется.
v1
m
1
v2
m
- kx
u
kx
m
2
В о зн и ка е т F
упр
u
1
m
1
2
= - kx,
ш а р ы р а зд ви га ю т ся и
Е
к
восст анавливает ся.
Закон сохранения импульса:
m1v1  m2 v2  m1u1  m2 u 2 .(1)
Закон сохранения энергии:
2
1 1
2
2
2
1 1
2
2
mv
m2 v
mu
m2u



.(2)
2
2
2
2
2
m1 v1  u1   m2 u 2  v2 .(3)
m1 2
m2 2
2
2
v1  u1   u 2  v2 .(4)
2
2
Уравнение(4)
 v1  u1  u2  v2 .(5) 
(3)
u2  v1  u1  v2 .(6)
Уравнение(6)  (1) :
m1v1  m2v2  m1u1  m2v1  m2u1  m2v2 .(7) 
2m2 v2  m1  m2 v1
u1 
.(8)
m1  m2
Уравнение(8)  (6) 
2m1v1  m2  m1 v2
u2 
.(9)
m1  m2
0

2m2v2  m2v1
 m2  m1 ; v2  0  u1 
 v1 ,
m2
0

2m1v1  m2  0 v2
m1
u2 
 2 v1  0.
m2
m2
p2  m2u2  2m1v1 .
 2m2 v2  m2 v1
 m2  m1 ; v2  0  u1 
 2v2  v1 .
m2
 m2  m1 ; v2  0  u1  2v2  v1 ; u1  0 если
 m2  m1  u1  v2 ; u 2  v1 .
При одинаковых массах происходит
обмен скоростями.
v1
v2  .
2
Абсолютно неупругий удар – удар, при
котором полная механическая энергия
соударяющихся тел не сохраняется, частично
переходит во внутреннюю энергию; импульс
сохраняется.
v1
m
v2
m
1
2
vx
m
1
m
2
v 1> v 2
При абсолютно неупругом ударе тела после
удара двигаются с одинаковой скоростью.
m1v1  m2 v2  m1  m2 v x .(1)

m1  m2 v
mv
m2 v


 Q.(2)
2
2
2
2
1 1
2
2
2
x
m1v1  m2 v2
Из уравнения(1)  v x 
.(3)
m1  m2
● Наковальня
m1v1  0
m2  m1 ; v2  0  v x 
 0.
0  m2
Вся энергия переходит в теплоту
или деформацию.
m1v1  m2v2
vx 
.(3)
m1  m2
● Удар молотка по гвоздю.
m1  m2 ; v2  0  v x  v1 .
Вся энергия переходит в механическую энергию.