1_10

1.10. Куперовские пары
Куперовские пары. Энергия связи и радиус.
Теория БКШ. Гамильтониан БКШ. Волновая
функция БКШ
Притяжение между частицами
.
 Основное состояние свободного газа электронов соответствует
заполнению всех одноэлектронных уровней энергии вплоть до
некоторой энергии – энергии Ферми
 Такое состояние является неустойчивым при наличии сколь угодно
слабого притяжения между частицами
 Рассмотрим систему из двух электронов на фоне электронного газа
в системе отсчета, в которой их центр масс покоится. Волновая
функция системы:
 Согласно принципу Паули
 Уравнение Шредингера
2
Притяжение между частицами
.
 Уравнение Бете – Голдстоуна:
 Если взаимодействие V отвечает притяжению, то возможны также
решения, соответствующие некоторым связанным состояниям с
энергиями E<2EF
 Рассмотрим упрощенное взаимодействие:
 Уравнение примет вид:
3
Притяжение между частицами
.
 Условие самосогласованности:
 Вводя замену переменных, имеем:
 В пределе малых энергий:
 В пределе слабого взаимодействия:
4
Задача о двумерной яме
.
 Отсутствие
порога
по
взаимодействию
подтверждается
сопоставлением с задачей о двумерной потенциальной яме
 Найдем энергию связанного состояния в мелкой двумерной
потенциальной яме и сравним с энергией связи электронов в
куперовской паре. Энергия связанного состояния подчиняется
следующему трансцендентному уравнению:
kJ0 (a)K '0 (ka)  J'0 (a)K 0 (ka); k 
 2mE /  2 ;
  k 2  2mU0 /  2 .
 В случае мелкой ямы имеем:
E   2 2 ma2 exp[1 /(S)]; S  2a2 ;   U0N0 ;
N0  m 22
5
Пропускание тока через
сверхпроводник
.
 Уравнение для энергии пары:
'
1 / V  k F2 / 4 2  dqd cos {1 /[ 2K 2 / 4m  E  2k F q 2 / m]};

'
 0  2k F q  k FK cos   2mD / 
 Учитывая, что
mD /   k FK , m | E | /  2  Kk F ,
 получаем уравнение на энергию связи:
1  (VN(0) / 2){ln[2D / | E | 1]   2Kk F / m | E |}
 В линейном приближении имеем:
| E || E 0 |  2Kk F / m
E 0  2D exp[2 / VN(0)]
6
Учет кулоновского отталкивания
.
 Уравнение для фурье-компоненты волновой функции пары:
2k g(k )   [Vkk '  VkkC ' ]g(k ' )  Eg(k );
k'
Vkk '
 V , 0  k , k '  D ; C
V C , 0  k , k '  P ;

Vkk '  
0, otherwise;
0, otherwise;


 Введем обозначения:
k 1 /[2k  | E |]; 2  k 1 /[2k  | E |];
'
''
C1  k g(k ); C2  k g(k );
1 
'
''
 Один штрих соответствует интегрированию по области электрон-
фононного взаимодействия, два штриха – по области кулоновкого
отталкивания
 Получаем:
| E | 2D exp(2 /  eff );
 eff  N(0)[ V  V C /{1  ( V CN(0) / 2) ln( P / D )}]
7
Теория БКШ
.
 Волновая функция N электронов:
 Фурье-компонента функции пары:
 Для полной функции
 Введем операторы вторичного квантования с коммутационными
соотношениями
 Тогда
8
Теория БКШ
.
 Рассмотрим производящую функцию
 Среднее число частиц:
 Относительные флуктуации числа частиц очень малы:
9
Теория БКШ
.
 Для
нахождения энергии основного состояния необходимо
минимизировать выражение
 Кинетическая энергия:
 Потенциальная энергия:
 Выражение для кинетической энергии легко преобразуется:
 Члены, отвечающие куперовскому спариванию в потенциальной
энергии:
10
Теория БКШ
.
 Разложим волновую функцию на два слагаемых:
 Тогда
 Положим
 Имеем:
 Минимизация:
11
Теория БКШ
.
 Определим
 Тогда
 Получаем уравнение:
 Уравнение
всегда имеет решение,
невзаимодействующих электронов:
12
соответствующее
газу
Теория БКШ
.
 Уравнение имеет и нетривиальные решения
 Рассмотрим упрощенное взаимодействие:
 Находим:
 Отсюда
13
 Решение этого уравнения существует лишь при положительных V
Теория БКШ
.
 В пределе слабой связи
 Теперь можно вычислить кинетическую и потенциальную энергии:
 Разность энергий конденсированного и нормального состояний:
 Вероятность
нахождения
конденсированной фазы:
14
электрона
в
состоянии
для
Теория БКШ
.
 Распределение электронов по импульсам:
 Амплитуда конденсации в состояние k:
15