v - Томский политехнический университет

Томский
политехнический
университет
ЕНМФ
щей физики
н Юрий Иванович
Адрес:
пр. Ленина, 43, г.Томск, Россия, 634034
tyurin@fnsm.tpu.edu.ru,
Тел. 8-3822-563-621
Факс 8-3822-563-403
Сегодня: суббота, 7 мая 2016 г.
Лекция 9
Тема: РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА
Содержание лекции:
9.1.Введение
9.2. Распределение Максвелла
9.3. Распределение по
абсолютным скоростям.
Средние скорости молекул
9.4. Скорость химической реакции
9.5. Экспериментальная проверка
распределения Максвелла
9.1. Введение
С точки зрения атомно-молекулярного строения
вещества,
величины,
встречающиеся
в
макроскопической физике, имеют смысл средних
значений, которые принимают некоторые функции
от
микроскопических
переменных
системы.
Величины
такого
рода
называются
статистическими. Примерами таких величин
являются давление, температура, плотность и др.
Большое число сталкивающихся атомов и молекул
обуславливает
важные
закономерности
в
поведении
статистических
переменных,
не
свойственные отдельным атомам и молекулам.
Такие
закономерности
называются
вероятностными или статистическими.
Остались
нерешенными
некоторые
принципиальные
вопросы,
связанные
с
детализацией описания большой совокупности
атомов и молекул. Это вопросы, касающиеся
распределения атомов и молекул идеального газа
по скоростям и по энергиям. Пока мы не можем
ответить на следующий вопрос: «Какое число
атомов dN из общего числа N имеет скорости в
интервале от v до v  dv?», хотя мы и знаем, чему
равна среднеквадратичная скорость движения
атомов и молекул. Важно также выяснить, как
атомные частицы распределены в пространстве,
где на них действуют силы, и от точки к точке
меняется их потенциальная энергия.
Ответы на данные вопросы важны, если мы
хотим найти распределение по высоте
концентрации газов в атмосферах планет и
описать эволюцию атмосферы планет; для
оценки
пределов
чувствительности
электронных, оптических и других приборов;
для
описания
испарения
жидкости,
термоэмиссии; при вычислении скорости
протекания химической реакции; процесса
разделения
изотопов
методами
центрифугирования и пр.
9.2. Распределение Максвелла
Пусть у нас имеется N тождественных
атомных частиц, находящихся в состоянии
беспорядочного теплового движения при
определенной температуре. В результате
каждого
акта
столкновения
между
молекулами
их
скорости
меняются
случайным
образом.
В
результате
невообразимо
большого
числа
столкновений
устанавливается
стационарное
равновесное
состояние,
когда число молекул в заданном интервале
скоростей сохраняется постоянным.
В результате каждого столкновения проекции
скорости молекулы испытывают случайное
изменение на vx, vy, vz, причем изменения
каждой проекции скорости независимы друг от
друга. Найдем в этих условиях, каково число
частиц dN из общего числа N имеет скорость в
интервале от v до v  dv. При этом мы не можем
ничего определенного сказать о точном значении
скорости той или иной атомной частицы vi,
поскольку за столкновениями и движениями
каждой
из
атомных
частиц
невозможно
проследить ни в опыте, ни в теории, и такая
детальная информация вряд ли имела бы
практическую ценность.
Впервые распределение молекул по скоростям
было найдено Максвеллом и названо его именем.
Движение частицы происходит в трехмерном
пространстве, и движение вдоль любого из трех
направлений x, y, z равновероятно и независимо.
Величина полной скорости v связана с величинами
проекций скоростей vx, vy, vz соотношением
v2 = vx2 + vy2 + vz2.
Это уравнение задает сферическую
поверхность в пространстве скоростей, аналогично
тому, как уравнение
R2 = x2 + y2 + z2
определяет сферическую поверхность в обычном
пространстве.
Если скорость частицы попадает в интервал от v
до v  dv, то такая частица изобразится точкой
между сферическими поверхностями радиусом v и
v  dv. Тогда число атомных частиц dN из общего
числа N, имеющих скорость
в интервале пространства
скоростей, равна плотности
изображающих точек (v)
[1/(м/с)3] между сферическими
поверхностями с радиусами
v и v  dv, умноженной на
Объем области между Рис. 9.1. Сфера состояний в
этими сферами
пространстве скоростей.
dV = 4v2dv (рис. 9.1): Сферический слой содержит все
молекулы, скорость которых лежит
2
dN = 4v (v)dv.
в интервале от v до v + dv
Для того чтобы определить вид функции v,
воспользуемся равенством
(v2 = vx2 + vy2 + vz2) = (vx2)(vy2)(vz2),
выражающим условие независимости движений
и равновероятного распределения скоростей
вдоль любого из направлений
x, y, z в
пространстве. Указанным свойством обладает
показательная функция
. Указанным свойством обладает показательная
функция
(v2) = (vx2 + vy2 + vz2) =
.
 Ae
 Bv
2
 Ae
 Bv x2
e
 Bv 2y
e
 Bv z2
В результате имеем
dN  4v Ae
2
 Bv 2
dv
Постоянные A и B можно найти из условия
сохранения полного числа частиц, имеющих
всевозможные скорости (0  v  ):


N   dN  4πA v e
0
2  Bv 2
dv
0
Помимо этого, для идеального газа известно
среднее значение квадрата скорости, которое
может быть выражено через dN:

3kT
 v 

m
2
v

2
dN
0

 dN
0

v
0

v
4  Bv 2
e
2  Bv 2
e
dv
dv
d
2  Bv 2
  ln  v e dv
dB 0
0
Отсюда следует
B


m A  N 
B



2
k
T
Окончательно имеем для dN:
.

 m 
dN  4N 

 2kT 
3/ 2
3/ 2
 m 


 2kT 
mv 2

2
2 kT
v e
dv
3/ 2
В
показателе
экспонент
у
данных
распределений
стоит
отношение
возможной
кинетической энергии частицы mv2/2 к величине kT
– энергии теплового движения частицы.
9.3. Распределение по абсолютным
скоростям. Средние скорости молекул
Рассмотрим, как изменяется с абсолютной
величиной скорости число частиц, приходящихся на
единичный интервал скоростей, при единичной
концентрации частиц:
1 dN
 m 
F (v ) 
 4

N dv
 2k T 
3/ 2
2
v e
mv 2

2 kT
График функции F(v) приведен на рис. 9.2. При
«малых» v F(v) ~ v2, затем F(v) достигает
максимума и далее экспоненциально спадает.
Величина скорости, на которую приходится
максимум зависимости F(v), называют наиболее
вероятной скоростью.
Величину наиболее
вероятной скорости
найдем из условия dF v   0
dv
Рис. 9.2. Максвелловское
распределение,
показывающее среднее
число частиц F(v)dv,
имеющих скорости от v
до v + dv.
.
v вер
2kT

m
Средняя, или среднеквадратичная, скорость
частицы газа не совпадает с наиболее
вероятной, а несколько превышает ее:
v ср

1 
8k T
  vdN   vF (v )dv 
 1,13v вер
N 0
m
0
Среднеквадратичная скорость молекулы равна
vкв
3kT

 1,22vвер
m
Все три скорости незначительно отличаются
друг от друга
vкв > vcр > vвер.
На рис. 9.3 показана зависимость F(v) при
различных температурах.
Рис. 9.3. Максвелловское
распределение скоростей
молекул при различных
температурах. Рассмотрим
в качестве примера азот N2
при комнатной температуре
Т  300 К. Молекулярная масса азота N2 равна 28,
масса одной молекулы азота m  4,610–23 г, и из
2kT
формулы
v вер 
m
мы получаем наиболее вероятную скорость
молекулы N2: vвер  4,2104 см/с = 420 м/с
9.4. Скорость химической реакции
Распределение частиц газа по скоростям
позволяет решить задачу, связанную с определением
скорости
протекания
химической
реакции
с
образованием молекулы АВ при столкновении
атомов А с атомами В. Чтобы в смеси газов А и В
образовались молекулы АВ, необходимо, чтобы атом
А попал в атом В. Число столкновений
пропорционально
произведению
концентраций
атомов А (nA), атомов В (nB) и сечению столкновения
частиц .
В классической модели идеального газа
 = (rA + rB)2,
где rA, rB – радиусы сталкивающихся частиц А и В,
 определяет площадь пространства, доступного для
встречи частицы А с частицей В.
Простого столкновения частиц А и В бывает
недостаточно для образования молекулы АВ,
необходимо,
чтобы
столкновение
было
достаточно сильным, и относительная энергия
сталкивающихся частиц Е превышала некую
минимальную величину Еa, называемую энергией
активации реакции.
В случае если Е > Еa, возможно начало такой
перестройки
электронных
оболочек
взаимодействующих частиц, которое завершится
образованием молекулы АВ. График зависимости
полной энергии Е в системе А + В от взаимного
расстояния между частицами А и В rAB приведен
на рис. 9.5.
Число частиц, обладающих достаточной
энергией, можно определить, воспользовавшись
распределением Максвелла, и оно равно
dNA dNB,
при условии, что их относительная энергия
E > Ea. Величину dNAdNB можно преобразовать
от распределения по скоростям частиц АvA и ВvB
к распределению по скоростям центра масс частиц
m Av A  mBv B
u
m A  mB
Рис. 9.5. Химическая реакция
А + В = АВ идет, если энергия
столкновения частиц А, В достаточна
для преодоления активационного
барьера Еа
Полное число химических превращений в
единицу времени равно

RAB
EdE
 E 
 N A N B  v   σ( E )
exp    
2
(kT )
 kT 
0
 E0 
 N A N B  v  σ exp   ,
 kT 
где
8kT
 v 
πμ
средняя относительная скорость частицы с
приведенной массой
m m

A
B
m A  mB
Если разделить величину RAB на произведение
концентраций реагентов, то получим так
называемую константу скорости химической
реакции – число химических превращений в
единицу времени при единичных концентрациях
реагентов:
RAB
K
    ехр( ЕА / kT )
N ANB
-закон Аррениуса, полученный выдающимся
шведским физиком-химиком Сванте Августом
Аррениусом (1859-1927) в 1889 г., лежащий в
основе физической кинетики.
9.5. Экспериментальная проверка
распределения Максвелла
Проверка того факта, что атомы и молекулы
идеальных газов в термически равновесном
пучке имеют различные скорости, была
осуществлена Отто Штерном (1888  1969) в
1920 г. Схема его установки приведена на рис.9.6
Рис. 9.6 Схема опыта Штерна по
экспериментальной проверке
распределения Максвелла:
А – нагретая Pt нить, покрытая
Ag; S2 – диафрагма; S1, S3 –
коаксиальные вращающиеся
цилиндры
STERN
Платиновая нить А, покрытая снаружи серебром,
располагается вдоль оси коаксиальных цилиндров S1,
S3. Внутри цилиндров поддерживается низкое
давление порядка 103  104 Па. При пропускании
тока через платиновую нить она разогревается до
температуры выше точки плавления серебра (961,9
С). Серебро испаряется, и его атомы через узкие
щели в цилиндре S1 и диафрагме S2 летят к
охлаждаемой поверхности цилиндра S3, на которые
они могут осаждаться. Если цилиндры S1, S3 и
диафрагма не вращаются, то пучок осаждается в
виде узой полоски D на поверхности цилиндра S3.
Если же вся система приводится во вращение с
угловой скоростью   4050 рад/с, то
изображение щели смещается в точку D и
становится расплывчатым.
Пусть l – расстояние между D и D, измеренное
вдоль поверхности цилиндра S3, оно равно l = v1t,
где v1  R – линейная скорость точек
поверхности цилиндра S3, радиусом R, t = S2 D/v
время прохождения атомами серебра расстояния
S2D=h. Таким образом, имеем l = Rh/v, откуда
vэксп = Rh/l – можно определить величину
скорости теплового движения атомов серебра.
Температура нити в опытах Штерна равнялась
1200 С, что соответствует среднеквадратичной
скорости vкв = 584 м/с. В эксперименте для этой
величины получилось значение от 560 до 640 м/с.
Кроме того, изображение щели D всегда
оказывалось размытым, это указывало на то, что
атомы Ag движутся с различными скоростями
Лекция окончена
Нажмите клавишу <ESC> для выхода