Слайд 1 - mpamcs 2012

Конструктивный подход к
численному решению квазилинейных
уравнений переноса
1
2
А.П. Фаворский , А.М. Галанина , В.А. Исаков
3
Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова
_________________________________
МГУ им. М.В. Ломоносова, профессор, 117899, Москва, Воробьёвы горы, д.1, e-mail: galaninaanna@gmail.com
2
МГУ им. М.В. Ломоносова, аспирант, 117899, Москва, Воробьёвы горы, д.1, e-mail: galaninaanna@gmail.com
3
МГУ им. М.В. Ломоносова, аспирант, 117899, Москва, Воробьёвы горы, д.1, e-mail: victorisakov88@gmail.com
1
Введение
Уравнения переноса:
• составляют неотъемлемую часть математического описания
многих явлений;
• оказываются
ключевым моментом при рассмотрении и
построении решения многих задач (например, перенос
инвариантов Римана в газовой динамике);
• уравнение
переноса суть простой
и содержательный
представитель уравнений гиперболического типа, удобный для
обсуждения
методов
численного
решения,
включая
квазилинейный случай;
Требования, предъявляемые к построению численного решения:
• явность;
• сохранение монотонности профиля решения;
• приемлемая точность на «гладких» участках решения;
• соблюдение законов сохранения в потоковой форме;
• отсутствие специальных регуляризаторов (искусственной
вязкости, например);
Постановка задачи
Квазилинейное уравнение переноса
u
u
u
 0,
t
x
0  x 1
(1)
Дивергентная потоковая форма уравнения переноса:
u W

 0;
t x
где
W  u 2 / 2  поток
(2)
Проводится построение финитного решения на постоянном фоне
в предположении отсутствия влияния граничных условий
Построение численного решения
Проводятся линии u  uk , параллельные фону.
Решение в начальный момент времени заменяется кусочно линейной функцией u л x,0, где u л xk ,0  uk  uxk ,0.
Значения u k остаются постоянными, перемещаясь вдоль линий
u  uk с постоянной характеристической скоростью ak  uk :
dxk dt  ak  uk
Свойства кусочно-линейной функции u л x, t 
• Эволюция кусочно-линейной функции: u л x,0  u л x, t 
воспроизводится точно;
• Замена произвольной достаточно гладкой исходной функции


2
2
O
h


кусочно-линейной u л x, t  происходит с порядком
при
достаточно малых шагах по времени t  x k 1 t   x k t  uk ;
• Однозначное решение u л x, t  выстраивается до момента
возникновения «градиентной катастрофы». В последующие
моменты времени следует вводить разрыв функции исходя из
условия Гюгонио на фронте волны.
• Рассмотренный подход распространяется на квазилинейные
уравнения более общего вида:
u F u 

 0;
t
x
F u   монотонная функция
Построение локального, линейного сплайна




на отрезке xk  1  k  12  h  x  xk  1  k  12  h
2
на момент времени
t  t n  n 
2
Функция u(x,t) на отрезке xk 1 2  x  xk 1 2 при
заменяется локально-линейным сплайном
t  tn
y( x, tn ) :
u x, t n   y x, t n   ukn  yk  x  xk 
где
n
n
n
n
ux  ux  ux  ux
uk 1  uk
uk  uk 1
yk 
, ux 
, ux 
ux  ux
h
h
Такая кусочно-линейная функция не нарушает монотонности
профиля на отрезке xk 1 2  x  xk 1 2 [1].
Величина y k характеризует собой наклон сплайна.
yk  0 соответствует построению схемы первого порядка
Расслоение сплайновой функции
Для вычисления необходимых при построении разностной
схемы интегральных потоков на границах ячейки линейный
сплайн заменяется структурой ступенчатых функций («малых
возмущений»), расположенных последовательно одна на
другой, отсчитывая от фона.
Скорость перемещения «кирпича» вдоль оси x определяется по
формуле
[ Fk ] ym 1  ym
Dm 

[uk ]
2
где
ym
и
ym 1 - значения yx, tn  на соответствующих слоях.
«Малые
возмущения»
распространяются
вдоль
характеристики.
Если скорость Dm  0 , то соответствующий «кирпич» имеет
возможность пересечь границу ячейки x  xk 1 2
. В этом
случае из ячейки  k в ячейку  k 1 перейдёт интегральное
количество функции u равное
 ym1  ym xˆk  xk 1 2 
Вычисление интегральных потоков

Интегральный поток IW k 1 2 за время t через границу
расчетной ячейки x  xk 1 2 , соответствующий перемещению
«кирпичей» из ячейки  k в ячейку  k 1 , равен

IWk 1 2    y
m 1
 ym xˆk  xk 1 2 
m
Фоновый поток определяется по формуле
фон 
IWk 1 2
0, u f  0


2
0.5u f  t , u f  0
Результирующий интегральный поток
x  xk 1 2 равен

IWk 1 2 через границу


IWk 1 2  IWkфон
1 2  IWk 1 2  IWk 1 2
Разностная схема
u
n 1
k
u 
n
k
IWk 1 2  IWk 1 2
h
• имеет второй порядок точности на гладких решениях;
• схема консервативна;
• не нарушает монотонность профиля волны, включая
разрывные решения;
• является устойчивой при соблюдении условия Куранта:
h
t 
2umax
• учёт задания граничных значений функции u на границах не
представляет затруднений;
• схема не содержит искусственных регуляризаторов;
Результаты численных расчетов
Квазилинейное уравнение переноса. Точное решение
Расчет по сплайн-схеме: синусоидальный импульс
Расчет по сплайн-схеме: ступенчатый импульс
Построение схемы для уравнений газовой динамики
Одномерные уравнения газовой динамики в дивергентной форме
f F

0
t x
где

f - любая из функций  , q  u, e     u 2 2

F - потоки: WM  u ,WQ  uq  p,WE  ue  up
Система уравнений замыкается уравнением состояния
p   1
где

- показатель адиабаты.
Построение разностной схемы
Численное решение системы уравнений строится в классе
n
сеточных функций
f k , отнесенных к центрам ячеек
равномерной по направлениям координат x и t прямоугольной
сетки с шагами x и t .
k
Границы пространственных ячеек
полуцелые точки xk 1 2  k  1 2 x .


проходят через
Построение схемы проводится интегро-интерполяционным
методом.
Все
уравнения
системы
последовательно
интегрируются по прямоугольной пространственно-временной
ячейке:
x
k 1 2

, xk 1 2  t n , t n 1 
Интегральные балансные соотношения
f
n 1
k

 f kn x  FI kn1 2  FI kn1 2  0
Выражают законы сохранения массы, импульса и энергии газа.
Величины:
xk 1 2
  
n
n
k
k
1
 k на момент
средняя
по
ячейке




x
,
t
dx
n

x xk 1 2
времени t  t объемная плотность;
n
xk 1 2
qkn  q k 
n
1
 x, tn  u x, tn  dx - объемная плотность импульса;

x xk 1 2
k 1 2

u 2 x, tn  
1
n
 dx-объемная
ek  e k 
 x, tn    x, tn  

x xk 1 2
2 

x
n
энергии;
плотность полной
xk 1 2
ukn  u
n
k
1
 n
 x, tn  ux, tn  dx - средняя по массе ячейки скорость;

 k x xk 1 2
xk 1 2
 kn  
n
k

1
 x, tn   x, tn  dx n

 k x xk 1 2
средняя по массе
внутренняя энергия;

ячейки

pkn    kn ,  kn - дискретный аналог уравнения состояния;
Величины
FI kn1 2 
t n1
 F x
k 1 2
, t  dt
tn
равны интегральным по времени потокам
F в сечениях x  xk 1 2
Аппроксимация интегрального потока
Локально-линейная сплайн-реконструкция функций
локально-линейным
сплайном,
Функцию f заменяем
моделирующим
её
поведение
в
пределах
ячейки
 k  xk 1 2 , xk 1 2 на момент времени t  t :
n


f  x; xk , t n   f  D  x  xk 
n
k
f   , u или p
n
Величина Dk характеризует
n
k
где
угол
наклона
вычисляется по формуле:
Dkn 
где
f
n
x ,i
f xn,i  f xn,i  f xn,i  f xn,i
f
n
x ,i
 f
n
x ,i
f i n1  f i n n
f i n  f i n1

, f x ,i 
x
x
сплайна
и
Расслоение (разбиение) линейных сплайн-функций
Горизонтальное сечение, ближайшее к среднему между
значениями сплайн-функций f xk 1 2 ; xk , t n и f xk 1 2 ; xk 1 , t n на
границе раздела x  xk 1 2 ячеек  k и  k 1 , назовём общим
постоянным фоном f k 1 2 .




Акустическое приближение для малых возмущений
В течение времени t от t  t n до t  t n 1 каждое малое
возмущение x, t , ux, t , px, t 
распадается на волны
Римана, бегущие каждая по своему фону в соответствии с
известным решением уравнений акустики:

u
 

u


0
 t
x
x


u
1 p
 u
u

0

x
 x
 t


 p  u p   c 2 u  0
x
x
 t


где с 
p 
Малые возмущения x, t , ux, t , px, t  на каждом слое в
соответствии с решением линеаризованной системы имеют
следующий вид:
x, t  
 
  0

1 0
1 0
1 0
0
0











u



p



u



p





p 0 






  

 
0
2
2с 
c
c
c
 


1  0


u x, t   u    
2 
px, t  
  0

1 0
1 0






p      u    p   
c
c
 

 c 
  0

1 0
1 0
0









u



p



u



p






  

 

2 
c

c
 

   x  u  c t ,    x  u  c t , 0  x  ut - соответствующие
где
характеристики, а через
0 , u 0 , p 0 обозначены отклонения
плотности, скорости и давления от своих фоновых значений
 , u, p на момент времени t  t n .
Вычисление интегрального потока WQI k 1 2
Интегральный по времени поток импульса WQI k 1 2 через границу
x  xk 1 2 из ячейки  в ячейку 
k
k 1 за время t  t n 1  t n
равен


WQI k 1 2   u  p k 1 2 t   WQI k01 2,m  WQI k1 2,m  WQI k1 2,m 

2
M
m 1

Здесь  u 2  p k 1 2 t - поток, обусловленный общим постоянным
фоном с параметрами  k 1 2 , u k 1 2 , p k 1 2 .
Вклад от послойных возмущений связан с вычислением
интегралов от ступенчатых функций возмущений
 
WQI k 1 2,m 
t n1

2
 m u m  c m  
tn
0 
WQI k 1 2,m 

1
0
 u      c pm    dt
m m


2c m
t n1

tn
0
m
1 0
 0

u δρm ξ 0   2 δp m ξ 0  dt
cm


2
m
Представление алгоритма в переменных Лагранжа
Алгоритм численного решения уравнений газовой динамики в
переменных Лагранжа не отличается от изложенного выше и
даже несколько проще, поскольку число волн Римана
сокращается с трёх до двух.
Результаты численных расчётов
Расчет задачи с гладким начальным профилем. Приводятся
графики точного и приближенного решения (функция
скорости) на последовательные моменты времени.
Пример расчета задачи о распаде произвольного разрыва
(a) – функция скорости в эйлеровых переменных на
фиксированный момент времени при различных шагах x и t ;
(б) – функция давления в лагранжевых переменных в
различные моменты времени при фиксированных шагах x и
.
t
Расчёт цилиндрического взрыва
Распространение газовых струй от двигателей самолёта в
отсутствие экрана
Взаимодействие струи с отбойником
экспериментатор И.К. Ермолаев
Расчет взаимодействия газовых струй, вылетающих из
двигателя самолёта, с отражающим экраном
Свойства разностной схемы
• схема является явной;
• не содержит искусственных регуляризаторов;
• воспроизводит гладкие решения со вторым порядком
точности на реальных сетках;
• численное решение слабо зависит от числа Куранта при
соблюдении условия устойчивости:
c
max
где cmax  max ck ,
 k 

 u max t  x 2
u max  max; uk
 k 
• схема монотонна на гладких решениях и квазимонотонна в
окрестности разрывов, структура фронта которых занимает
2 – 3 интервала расчётной сетки;
• схема допускает обобщение на случай двух и трёх
пространственных измерений.
Список литературы
1. Фаворский А.П., Тыглиян М.А., Тюрина Н.Н.,
Галанина А.М., Исаков В.А. Численное моделирование
распространения гемодинамических импульсов // Мат.
Моделирование. 2009. Т. 21 № 12. с. 21-34.
2. Фаворский А.П., Тыглиян М.А., Тюрина Н.Н.,
Галанина А.М., Исаков В.А. Численное моделирование
распространения акустических импульсов в гемодинамике
// Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45 № 8. с. 11791187.
3. Абакумов М.В., Галанина А.М., Исаков В.А., Тюрина Н.Н.,
Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Квазиакустическая схема
для
уравнений
Эйлера
газовой
динамики
//
Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47 № 8. с. 10921098.
Спасибо за внимание!