Lektsii_Srednie._StatPokazateli
advertisement
Абсолютные и относительные показатели. Средние величины • 1. Статистический показатель. Абсолютные величины и их основные виды. • 2. Относительные величины, их значение и виды. Принципы построения относительных величин. • 3. Сущность и значение средних величин. Виды средних и методы их расчета. • 4. Средняя арифметическая и ее основные свойства. Расчет средней по интервальному вариационному ряду. • 5. Средняя гармоническая и геометрическая. • 6. Структурные средние величины и их использование в статистической практике. • • • • • • Литература Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учеб. 4-е изд., переработ. и доп. М.: Финансы и статистика, 2001. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. – М.: ИНФРА-М, 2005 – 416 с. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности /О.Э. Башина, А.А. Спирин, В.Т. Бабурин и др. – 5-е изд., доп. и перераб. М.: Финансы и статистика, 2001. Теория статистики: учебник / Р.А. Шмойлова, В.Г. Минашкин, Н.А. Садовникова и др.; Под ред. Р.А. Шмойловой. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2007. – 656 с. Общая теория статистики. Практикум: Учеб. Пособие / Под ред Л.И.Карпенко. – Минск: БГЭУ.2007.-271 с. Колесникова И.И., Круглякова. Статистика. Практикум: Учеб. – Минск: Вышэйшая школа.2011.-285 с. Абсолютные и относительные величины 1 вопрос. Статистические показатели. Абсолютные величины • Статистический показатель - это обобщающая характеристика какого-то свойства совокупности или группы. Это приближенное, неточное и неполное отображение свойств изучаемого объекта, доступное при имеющемся уровне знаний и возможностях учета, измерения, сбора и передачи информации. Атрибуты статистического показателя Качественн ая сторона: объект, его свойство, категория Количестве нная сторона: число и единицы измерения Территориа Интервал льные, или момент отраслевые времени и иные границы объекта Классификация видов статистических показателей По качественной показателей стороне По количествен ной стороне показателя По отношению к характеризуе мому свойству Показатели свойств 1.Абсолют 1. Прямые конкретных объектов: ные 1. экономические показатели, демографические показатели, макроэкономические 2. Показатели 2.Относите 2. статистических свойств любых массовых явлений и процессов льные Обратные В зависимости от целевой функции 1.Учетн ооценочн ые 2.Анали тически е показате ли • Абсолютными называются величины, характеризующие размеры (объемы, уровни) изучаемых явлений и процессов. • Абсолютные величины являются именованными, каждая имеет свою единицу измерения, размерность. В зависимости от причин и целей анализа применяются: А) натуральные величины, единицы измерения которых соответствуют природным или потребительским свойствам предмета и выражаются в мерах веса (кг, ц, т), объема (л, м3...), длины (м...), в штуках (единицах). Однако, натуральных единиц недостаточно для характеристики изучаемого явления. • Б) условно-натуральные единицы измерения применяют при суммировании количества различных предметов, обладающих общим свойством. Они образуются в процессе приведения различных натуральных единиц к одной, принятой за основу, при помощи коэффициентов пересчета Уi Кпересчета У0 Пересчет различных моющих веществ в условное мыло 40% жирности Вып Содержани Коэффиц Производство Виды продукции уск, е жирных иенты условного т кислот, % пересчета мыла, т Мыло хозяйственное 53 40 1,00 53 Мыло туалетное 20 70 1,75 35 Порошок стиральный 54 20 0,50 27 Паста моющая 68 50 1,25 85 ИТОГО х х х 200 • В) стоимостные величины выражаются в денежных единицах измерения; • Г) трудовые величины выражаются в человеко-часах, человеко-днях. • Абсолютные единицы могут быть простыми (кВт, чел...) и комбинированными (кВт-час, челдень...) • По способу выражения размеров изучаемых явлений абсолютные величины подразделяются на: • - индивидуальные - получаемые в результате статистического наблюдения, выражают размер количественных признаков у отдельных единиц изучаемой совокупности. • - суммарные - или итоговые - это итоговые и групповые количественные характеристики признаков. 2 вопрос. Относительные величины, их значение и виды • Относительными величинами называются величины, полученные в результате сравнения, сопоставления абсолютных или относительных показателей: 1) в пространстве (между объектами), 2) по времени (по одному и тому же объекту) или 3) при сравнении показателей разных свойств изучаемого объекта. • Формы выражения относительных показателей: • коэффициент - показывает, во сколько раз изучаемая величина больше или меньше основания, • процент - % - используется, когда база сравнения принимается за 100, • промилле –‰ - используется, когда база сравнения принимается за 1000, • именованные относительные показатели. • Относительные величины могут быть результатом сопоставления: • 1) одноименных статистических показателей, • 2) разноименных статистических показателей • Сопоставление одноименных показателей • а) с прошлым периодом: относительные величины динамики Ó1 Êäèí Ó0 • и планового задания Óïë Êïë .ç. Ó0 • б) с планом – относительные величины выполнения плана: Ó1 • Êâûï .ïë . Óïë • Взаимосвязь показателей: • Ó1 Óïë Ó1 * Ó0 Ó0 Óïë • где У0 – фактический уровень показателя базисного периода; • Упл – плановый уровень показателя на отчетный период; • У1 – фактический уровень показателя отчетного периода. Расчет относительных показателей В План на Фактический предыдущем отчетный год выпуск году (Yo) (Yпл) в отчетном году (Y1) 532 712 727 Относительная величина планового задания: Кпл.з.=712/532=1,34, или 134% Относительная величина выполнения плана: К вып.пл.=727/712=1,02, или 102% Относительная величина динамики: К дин=727/532=1,37, или 137% Взаимосвязь: 1,37 1,34 *1,02 • в) части и целого – относительные величины структуры (показывают долю отдельных частей (xi) в итоге ( x )): d xi • xi x • и координации (соотношение между частями одного целого): xi d xi õáàç • г) в пространстве – относительные величины наглядности – это отношение одного и того же показателя за один и тот же период (момент) времени, но по различным объектам или разным территориям. Численность населения на 1 января 2010 г. , тыс. чел. МогиПоказатель Минск Гомель Витебск Гродно Брест лев Численность 1834,2 населения 484,3 354,0 348,8 328,0 Относительная величина наглядности для города Гомеля по сравнению с Минском: 484,3/1834,2=0,264, т.е. численность населения города Гомеля на 1.01.2010 г составила 0,264 или 26,4 % численности населения города Минска. 310,8 • 2) разноименных статистических показателей - относительные величины интенсивности – это отношение двух разнокачественных (разноименных) абсолютных величин друг к другу. Они характеризуют уровень явления в определенной среде. • По экономической сущности они являются показателями уровня экономического и социального развития. • Например, показатели уровня жизни населения (потребление продуктов питания на душу населения, производство ВВП, ВНД на душу населения...) • Экономические показатели: фондовооруженность, энерговооруженность труда, среднегодовое производство продукции (зерна, молока) на 1 человека и т.д. • Относительные величины интенсивности, в отличие от одноименных относительных показателей, выражаются не в коэффициентах или в процентах. Это именованные показатели как по числителю, так и по знаменателю. К тому же они могут рассчитываться на определенное число единиц (1;10;…; 1000; 10000 и т.д.). • ПРИМЕР • Определите относительную величину рождаемости, если в отчетном периоде в регионе родилось 15408 человек при численности населения 1284000 человек. • Показатель интенсивности: • 15408 Î â.ñì 1284000 1000 12‰ • Вывод. В отчетном периоде в регионе на каждую 1000 человек численность родившихся составила 12 человек. • Общие принципы построения относительных статистических величин: • 1. Соответствие по смыслу сравниваемых показателей, их объективная связь в реальной жизни. • 2. Исходные показатели могут различаться только одним атрибутом: • - видом признака (при одинаковом объекте, периоде времени и характере показателей), временем, - объектом,- характером показателей (фактическим, плановым и нормативным). • 3. Необходимо знать возможные границы существования относительного показателя (демография - ‰). • 4. Необходимо обеспечение сопоставимости сравниваемой величины и величины, принятой за базу сравнения (по методологии, степени охвата объектов...). • 5. При расчете относительных величин соблюдается правило: в числителе находится сравниваемый показатель, в знаменателе показатель, с которым производится сравнение - основание или база сравнения. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ • 3 вопрос. Сущность и значение средних величин. Виды средних и методы их расчета. • Средняя величина (mean, average) – это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака, в расчете на единицу качественно однородной совокупности. • Способность средних одним числом характеризовать то общее, что типично для исследуемой совокупности, называется законом средних чисел. • Расчет средних величин необходим для: • - характеристики типичного уровня по данной совокупности; • - сравнения типичных уровней по двум и более совокупностям; • - как нормы при установлении плановых заданий, уровней договорных обязательств. • Средняя величина носит двойственный характер: однородная – по отношению ко всей совокупности и абстрактная – по отношению к отдельным единицам совокупности. • При расчете средней величины учитывают характер и содержание данных, а также обязательное экономическое содержание стат. показателя. • Ср. З/ПЛ = ФЗП / Т (ИСС) • ИСС – исходное соотношение средних. • Для каждого показателя, характеризующего соц-эк. явление, можно составить только 1 ИСС. • Средняя, рассчитанная для совокупности в целом, называется общей средней, а рассчитанная для каждой группы – групповой средней. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику размера явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы. • Различают средние степенные и средние структурные (мода и медиана). Средние степенные • Математическая статистика выводит различные виды средних из формулы степенной средней. В общем виде среднюю величину можно представить в виде формулы: X Z X n Z • Введем следующие понятия и обозначения: • X - признак, по которому находится средняя - осредняемый признак; • Х1, Х2...Хn - индивидуальные значения признака у каждой единицы совокупности; • f - частота или повторяемость индивидуальных значений признака; • n – количество единиц в совокупности. • • • • • • • Виды степенных средних: при z = -1 - средняя гармоническая, z = 0 - средняя геометрическая, z = +1 - средняя арифметическая, z = +2 - средняя квадратическая, z = +3 – средняя кубическая… Правило мажорантности средних: x ãàðì x ãåîì x àðèôì x êâ x êóá Виды средних Зна Наименование чен средней ие z -1 Средняя гармоническая 0 Средняя геометрическая 1 Средняя арифметическая Формулы расчета простая взвешенная x M x M x n 1 x i i i fi x Ï ( xi ) x Ïx fi n x x 2 Средняя x i x f x f x f x f i i i n квадратическая i i x i n 2 2 i i i 4 вопрос. Средняя арифметическая • это такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным (это среднее слагаемое). • Средняя арифметическая бывает простая и взвешенная. • Средняя арифметическая простая используется для несгруппированных данных и рассчитывается по формуле: xi • x (2) n • где хi – это индивидуальные значения признака; • n – количество единиц совокупности. • Формула применяется в случаях, если каждое индивидуальное значение признака встречается один раз или одинаковое число раз. • Например, средний балл ученика, получившего за неделю три оценки – 6, 7 и 8, будет равен: 678 x 7(áàëëîâ ) 3 • Если в классе 15 учеников и за неделю баллы 6, 7 и 8 получили по 5 человек, то средний балл ученика будет равен: 6 * 5 7 * 5 8 * 5 30 35 40 105 x 7(áàëë.) 15 15 15 • Средняя арифметическая взвешенная используется для сгруппированных данных, если значения признака (варианты) встречаются неодинаковое число раз: xi f i • x , fi (3) • где хi – варианты значений признака; • fi - частота появления соответствующего значения признака (вес признака). Основные математические свойства средней арифметической • Средняя арифметическая обладает рядом математических свойств, которые могут быть использованы для ее расчета упрощенным способом. • Если варианты уменьшить или увеличить на некоторое постоянно число, то средняя соответственно уменьшится или увеличится на это постоянное число • (4) ( xi A) f i xi f i A f i f i f i f xA i • 2. Если варианты разделить или умножить на некоторое постоянное число, то средняя соответственно уменьшится или увеличится во столько же раз: • а) при делении вариантов на постоянное число: xi 1 fi xi f i • 1 x (5) A f i A f i A x A • б) при умножении вариантов на постоянное число: • À xf f i i A xi f i f i A x (6) • 3. Если частоты разделить на некоторое постоянное число, то средняя не изменится: fi 1 • (7) xi A A xi f i xi fi x fi 1 fi f A i A • 4. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариантов на частоты: • если xi f i то x f x f (8) x f i i i i • 5. Алгебраическая сумма отклонений вариант от средней равна нулю: • если xi f i x f i,то xi fi x fi 0 (9) • Отсюда x f i i x fi ( xi x ) fi 0 • 6. Общий множитель индивидуальных значений признака может быть вынесен за знак средней: • __ _ aX = a * Х (10) • 8) Если х - постоянно, то: _ _ • Х = С, Х = С = С. • 9) Если в средней арифметической взвешенной частоты f - величины постоянные, то средняя вычисляется по формуле средней арифметической простой: • _ ∑X*fconst fconst * ∑X ∑X • • Х = -----------∑ fconst = ---------------- = fconst * n --n Пример Товарооборот продавца, 130 280 370 тыс. ден. ед., xi Число продавцов, fi 470 525 160 130 470 280 525 370 160 267300 x 231,4 470 525 160 1155 Расчет средней арифметической по данным вариационного интервального ряда • 1 способ. x f x f i i i • где xi - величина середины i-ого интервала (определяется как полусумма нижней и верхней границ интервалов) или среднее значение показателя на интервале; • fi - частота i-ого интервала. 2. Способ условных моментов x m1i A, • где m1 - момент первого порядка: x A i f m1 f • i - общий множитель • А -произвольная постоянная величина. xmax xmin A 2 Распределение рабочих по стажу Стаж, Число Середина лет рабоч интервал их (f) ов ( Х) xf x-A x A x A f i i А 1 2 3 4 5 6 до 10 10-12 12-14 14-16 16 и более 10 10 50 20 10 9 11 13 15 17 90 110 650 300 170 -4 -2 0 2 4 -2 -1 0 1 2 -20 -10 0 20 20 Итого 100 х 1320 х х 10 • Средний стаж можно рассчитать: • а) по средней арифметической взвешенной: xf x f 1320 13,2ãîäà 100 • б) по «способу моментов»: xmin xmax 9 17 A 13 2 2 x A i f 10 m1 0,1 100 f • i = 2 года x A i m1 13 1 0,1 13,2ãîäà 5 вопрос. Средняя гармоническая • - это величина, обратная средней арифметической. Используется, когда статистическая информация не содержит значений частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение, применяется формула средней гармонической взвешенной. • Средняя гармоническая может быть простая и взвешенная. • Если известен ряд вариант (х) и ряд произведений вариант на частоту (xf = M), а сама частота (f) неизвестна, расчет средней производится по средней гармонической взвешенной: M M x M 1 x x *M Номер бригады 1 2 3 Всего Сбор картофеля, кг Одним Всей бригадой работником 800 2400 1200 9600 900 5600 х 17600 17600 x 1023(êã) 2400 9600 5600 800 1200 900 • Средняя гармоническая простая используется при М = const: M x M x nM 1 M x n 1 x • Среднюю гармоническую простую называют еще средней из обратных значений признаков. • Например: • один ученик затрачивает на решение задачи 1/3 часа, второй – 1/5 и третий 1/4 часа. Тогда средние затраты времени на решение задачи составят: • n 111 3 3 1 x (÷àñà) 4 1 1 1 1 3 5 4 12 x 1 1 1 3 5 4 Средняя геометрическая • – это величина, использующаяся как средняя из отношений двух значений или в рядах распределений, представленных в виде геометрической прогрессии. Этой средней пользуются в рядах, где основное внимание уделяется отношению двух чисел, например, при расчете среднегодовых темпов роста. • Средняя геометрическая простая: • n n x x1 x2 ... xn Ïx (15) i • где П – произведение значений признака. • Средняя геометрическая взвешенная: • fi x Ïx fi i (16) • где fi – частота повторения индивидуального значения признака (вес). Например, известны данные о цепных темпах роста производства продукции: Год Темп роста 1998 1,24 1999 1,39 2000 1,31 2001 1,15 Среднегодовой темп роста (по геометрической простой) будет равен 127%: T 1.24 *1.39 *1.31*1.15 1,27 4 6 вопрос. Структурные средние • Мода (М0) – это наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности. Она соответствует определенному значению признака. • Показатель моды используется при прогнозировании массового производства обуви, одежды, косметики, электроники… Например, известен возраст 10 студентов группы: Номер студента 1 Возраст, лет 19 21 19 20 20 21 23 20 20 22 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Модальный возраст в данном случае - 20 лет, так как он повторяется 4 раза, т.е чаще, чем все другие. • Формула расчета моды по сгруппированным данным: f Mo f Mo1 Mo xMo i f Mo f Mo1 f Mo f Mo1 • где хМо - нижняя граница модального интервала (интервала с наибольшей частотой); • i – величина интервала; • fMo, fMo-1, fMo+1 – соответственно частоты модального, предмодального и послемодального интервалов. • Медиана (Ме) – это величина варьирующего признака, которая делит совокупность пополам, т.е лежит в середине ранжированного ряда. • Показатель медианы используется при проектировании пунктов массового обслуживания в микрорайонах. Для расчета медианы по несгруппированным данным ранжируем студентов (из предыдущего примера) по возрасту в возрастающем порядке: х1 х2 х3 х4 х5 х6 х7 х8 х9 х10 19 19 20 20 20 20 21 21 22 23 Затем определим порядковый номер медианы n 1 по формуле: ¹ Me 2 10 1 В нашем случае: ¹ 5,5 Me 2 Она равна средней арифметической из суммы пятого и шестого значений: 20 20 Me 20 ëåò 2 • Формула расчета медианы по сгруппированным данным: • • • • • f 2 f Me1 Me xMe i f Me где хМе – нижняя граница медианного интервала, в котором находится половина единиц объема совокупности; i – величина интервала; ∑f –сумма всех частот; ∑fМе-1 – сумма частот, предшествующих медианному интервалу; fМе – частота медианного интервала. Пример: приведены данные о стаже работы 30 рабочих цеха: Стаж работы, лет до 6 6-12 12-18 18-24 более 24 Численность рабочих, человек (f) 7 12 5 4 2 Середина хf Накопленны интервала, е частоты, ∑f х 3 21 7 9 108 19 15 75 24 21 84 28 27 54 30 Рассчитаем моду: 12 7 Mo 6 6 8,5 ëåò 12 7 12 5 • Рассчитаем медиану: 30 7 2 Me 6 6 10 ëåò 12 Графическое представление моды и медианы Спасибо за внимание!
