ОТЦ М 2 Тема 4 4-х пол. Полная 11.03.2014 45

Четырёхполюсники. Слайд 1. Всего 9.
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
ZГ
ЕГ
U1
I2
I1
Четырехполюсник
U2
ZH
U1 j(), I1 j(), U 2 j(), I 2 j()
Классификация (7 типов)
1. Линейные и нелинейные.
2. Пассивные и активные.
2.1. Активные автономные.
2.2. Активные неавтономные.
3. В зависимости от структуры.
Z1
Z2
Z1
Z2
Z1
Z2
Z2
Z3
Z3
Г - образные
Мостовые
Т - образные
Z4
Z1
Z2
Z1
Z3
П - образные
Z2
Z3
Т – образно-мостовые
(Т – перекрытые)
Продолжение классификации
4. Симметричные и несимметричные.
5. Уравновешенные и неуравновешенные.
6. Обратимые и необратимые.
7. Взаимные и невзаимные.
Уравнения передачи четырехполюсника
Они связывают U1 , I1 , U2 , I2
Всего 6 типов уравнений
1. Уравнения в A-параметрах:
U1  A11U 2  A12 I 2
I1  A21U 2  A22 I 2
или
U1

I1
A UI 2
,
2
где
A AA11
A12
.
21 A22
2. Уравнения в Y-параметрах:
I1  Y11U1  Y12U 2
I 2  Y 21U1  Y 22 22
или
I1

I2
Y
U
 1
U2
,
где
Y
Y 11 Y 12

.
Y 21 Y 22
Z
Z11 Z12

.
Z 21 Z 22
3. Уравнения в Z-параметрах:
U1  Z11I1  Z12 I 2
U 2  Z 21I1  Z 22 I 2
или
U1

U2
Z
I
 1
I2
,
где
Уравнения в H-параметрах
U 1  H 11  I 1  H 12 U 2
U1
I 2  H 21  I 1  H 22 U 2
I2
H
I1
U2
Уравнения в G - параметрах
I1
U2
G
U1
I2
Уравнения в В - параметрах
U2
U1
 B
I2
I1
H
H 11

H 21
H 12
H 22
Свойства параметров-коэффициентов.
1. Параметры определяются только схемой самого четырехполюсника и не
зависят от внешних цепей.
2. Между различными системами параметров существует однозначная
взаимосвязь.
3. Пассивный четырехполюсник характеризуется не более чем тремя
независимыми параметрами.
Y11 , Y12 = -Y21 ,
Y22
Z11 , Z12 = -Z21 ,
Z22
H11 , H12 = H21 ,
H22
4. При изменении направления передачи энергии через четырехполюсник A11 и
A22 меняются местами.
5. Симметричные пассивные четырехполюсники имеют только 2 независимых
параметра, т. к. у них: A11= A22 , Y11= -Y22 , Z11= -Z11 , |H|= -1.
6. Параметры имеют физический смысл (его легко определить, проделав
мысленные опыты XX и КЗ).
7. Параметры коэффициенты, рассматриваемые относительно спектра частот (а
не одной частоты), являются рациональными функциями оператора (или
P).
Расчет соединений четырехполюсников
Параметры сложного четырехполюсника можно найти по параметрам
простых четырехполюсников, из которых он образован.
I1
I1A
U1
U 1A
I2A
I 2A
U1
I1


U 1Б
I 1Б
I 1Б
A12 A
A 21 A
A 22 A


A11 Б
A12 Б
U 2A
A 21 Б
A 22 Б
I 2A

A11 Б
A12 Б
A 21Б
A 22 Б

U 2Б
I 2Б
I2
U 2Б
Б
I 2 A  I 1Б
U 1Б
A11 A
I2Б
U2A U1Б
А
U 2 A  U 1Б
U 2A
I1Б

U2
U 1Б
I 1Б

U 2Б
A11
A12
A 21
A 22
I 2Б

U2
I2
A  A A AБ
Это правило распространяется на любое число каскадно-соединенных четырехполюсников,
причем матрицы должны записываться в порядке следования четырехполюсников, т. к.
умножение матриц не подчиняется переместительному закону.
При последовательном соединении двух и более четырехполюсников
удобно пользоваться матрицами Z.
А
U 1A
Б
U1Б
I 1A  I 1Б
U 1A
U 2A

Z 11 A
Z 12 A
Z 21 A
Z 22 A
U 1  Z 11 A

U 2  Z 21 A

U2A
U 2Б
I 2 A  I 2Б
I 1A
U 1Б
I 2A
U 2Б
Z 12 A
Z 11 Б

Z 22 A
Z 21 Б
Z 12 Б
Z 22 Б

Z 11Б
Z 12 Б
Z 21 Б
Z 22 Б
 I1
Z

 11
 I2
Z 21

Z  ZA  ZБ

I 1Б
I 2Б
Z 12
I
 1
Z 22
I2
При параллельном соединении двух и более четырехполюсников
удобно пользоваться матрицами Y.
I1
I1A
U1
I1Б
I2A
А
U2I2Б
Б
Y  Y A  YБ
I2
При смешанном соединении двух и более четырехполюсников удобно
пользоваться матрицами H.
I1
I2А
U2
А
I2А
А
U1
I1
U2
Б
Б
H  H A  HБ
I2
U2
Характеристические (вторичные) параметры
четырехполюсников
Характеристические (вторичные) параметры четырехполюсников
используются для расчета и исследования каскадного соединения
одинаковых четырехполюсников.
Комплексные частотные характеристики неавтономных
проходных четырехполюсников.
Z ВХ1 , Z ВХ2 или ZВХ1(j), Z ВХ2(j) - входные сопротивления со стороны
первичных и вторичных выводов.
K U21, K U12(j), K U21(j), K U12(j), -коэффициенты передачи
напряжения со стороны первичных и вторичных выводов
соответственно.
KI21, K
I12(j ),
K
I21(j ),
K
I12(j ),
- коэффициенты передачи тока со
стороны первичных и вторичных
выводов соответственно.
Прямое включение
I1
I2
4-x
U1
ZН2
U2
Обратное включение
I1
ZН1
U1
I2
4-x
U2
Заметьте: направления напряжений и токов оставлены такими же,
как в верхней схеме.
Прямое включение
U2
I2 
Z H2
U 1  A11  U 2  A12 
U2
( A  Z  A12 )  U 2
 11 H 2
 ( A11  Z H 2  A12 )  I 2
Z H2
Z H2
I 1  A21  U 2  A22 
U2
( A  Z  A22 )  U 2
 21 H 2
 ( A21  Z H 2  A22 )  I 2
Z H2
Z H2
Z ВХ 1 
U 1 A11  Z H 2  A12

I 1 A21  Z H 2  A22
K U 21 
U2
Z H2

U 1 A11  Z H 2  A12
K I 21 
I2
1

I 1 A21  Z H 2  A22
В режиме XX (ZH2 = ∞)
Z ВХ 1 
А11
А21
K U 21 XX 
1
A11
K I 21  0
В режиме КЗ (ZH2 = 0)
Z ВХ 1КЗ 
А12
А 22
K U 21 КЗ  0
K I 21 КЗ 
1
A 22
Обратное включение четырехполюсников
(включение со стороны вторичных зажимов)
Z H1
U2  
U1

I1
( A22  Z H 1  A12 )  I 1 ( A22  Z H 1  A12 )  U 1

A
Z H1   A
( A21  Z H 1  A11 )  I 1
( A21  Z H 1  A11 )  U 1
I2 

A
Z H1   A
 A  A11  A22  A12  A21
Z ВХ 2 
U2
A Z  A
 22 H 1 12
 I 2 A21Z H 1  A11
K U 12 
U1
Z H 1  A

U 2 A22 Z H 1  A12
K I 12 
I 1
A

 I 2 A21Z H 1  A11
В режиме XX (ZH1 = ∞)
Z ВХ 2
А22

А21
K U 12 XX
A

A22
K I 12  0
В режиме КЗ (ZH1 = 0)
Z ВХ 2 КЗ 
А12
А11
KU 12 КЗ  0
K I 12 КЗ 
A
A11
Аналогично можно найти комплексные частотных характеристики
в B, G, H, Y, Z- параметрах.
Характеристические (вторичные) параметры
четырехполюсников
Используются для расчета и исследования каскадного
соединения одинаковых четырехполюсников.
Два типа:
1. Характеристические сопротивления ZС
2. Постоянные передачи Г
Характеристические сопротивления ZC1 и ZC2
ZC1 и ZC2 -это пара сопротивлений, такая, что при подключении к
выходным зажимам сопротивления нагрузки ZH2 равного ZC2, входное
сопротивление четырехполюсника со стороны входных зажимов будет
равно Z C1.
ZВХ1 = ZС1
ZН1 = ZС1
ZН2 = ZС2
4-x
4-x
ZВХ2 = ZС2
ZC1 - входное характеристическое сопротивление
ZC2 - выходное характеристическое сопротивление
Z C1  Z ВХ 1 
A11  Z C 2  A12
A21  Z C 2  A22
Z C 2  Z ‰ ›2 
A22  Z C1  A12
A21  Z C1  A11
Z C1 
A11  A12
 Z ВХ 1 ХХ  Z ВХ 1КЗ
A21  A22
Z C2 
A22  A12
 Z ВХ 2 ХХ  Z ВХ 2 КЗ
A21  A11
Это означает, что ZC1 и ZC2 можно найти непосредственно из
опытов XX и КЗ.
Если ZH2=ZC2, то четырехполюсник с согласованной нагрузкой на выходе.
Если ZH1=ZC1, то четырехполюсник с согласованной нагрузкой на входе.
Четырехполюсник с согласованной нагрузкой на выходе
K U 21 
K I 21 
U2
U1
I2
I1

Z H 2 Z C 2

Z H 2 Z C 2
A22
1

A11
A11  A22  A12  A22
A11
1

A22
A11  A22  A12  A22
A22  K I 21 Z C 2  K I 21
K U 21 

A11
Z C1
K U 21  Z c1
K I 21 
Z C2
Четырехполюсник с согласованной нагрузкой на выходе
K U 12 
K I 12 
U1
U2
 I1
I2

A11
A

A22
A11  A22  A12  A21

A22
A

A11
A11  A22  A12  A21
Z H 1 Z C1
Z H 1 Z C1
K U 12 
A11  K I 12 Z C1  K I 12

A22
Z C2
K I 21 
A22  K U 12 Z C 2  K U 12

A11
Z C1
Симметричный четырехполюсник (A11=A22)
Z C1  Z C 2  Z C 
A12
A21
K U 21  K I 21 
1
A11  A22  A12  A21
K U 12  K I 12 
A
A11  A22  A12  A21
Если четырехполюсник взаимный
 A  A11  A22  A12  A22  1
K U 21  K I 21  K U 12  K I 12 
1
U2 I2
;

U
I1
A11  A22  A12  A21
1
Z ВХ 1  Z ВХ 2  Z С 
A12
.
A21
Характеристические постоянные передачи неавтономного
проходного четырехполюсника Г1 и Г2
Напряжения на входе часто очень сильно отличаются от напряжений на
выходе (и токи тоже). Например: в полосе пропускания фильтра
напряжение на входе почти равно напряжению на выходе, а в полосе
непропускания меньше в тысячи раз. Поэтому отношения напряжений (и
токов) принято оценивать в логарифмическом масштабе.
Г 1   ln K U 21  K I 21
Г 2   ln K U 12  K I 12
Подставив K U21, K I21, K U12, K I12, получаем:
Г 1  ln
Г 2  ln(

A11  A22  A12  A21
A11  A22  A12  A21
)   ln
A


A11  A22  A12  A22

или
e Г1  A11  A22  A12  A21
eГ2 
A11  A22  A12  A21

A
1
A11  A22  A12  A21
Таким образом по первичным параметрам четырехполюсника
всегда можно найти его вторичные (характеристические)
параметры. И наоборот.
A12
Z C1  Z C 2 
A21
Z C2

Z C1
A22
A11
e Г1  e Г 2
 A11  A22
2
e Г1  e Г 2
 A12  A21
2
откуда:

A11 
Z C1
 e Г1  e  Г 2
Z C2
2





Z C1  Z C 2  e Г 1  e  Г 2
A12 
2
1
e Г1  e  Г 2
A21 

2
Z C1  Z C 2

Z С 2 e Г1  e Г 2
A22 

Z C1
2

У взаимного четырехполюсника A=1, поэтому характеристические
постоянные передачи такого четырехполюсника в прямом и обратном
включениях одинаковы.

Г 1  Г 2  Г  ln
A11  A 22  A12  A 21

Таким образом взаимный четырехполюсник имеет в общем случае
три независимых параметра.
Перейдя от экспонент к гиперболическим функциям
eГ  eГ
chГ 
2
eГ  eГ
shГ 
2
получим
A11 
Z C1
 ch Г
Z C2
A21 
1
 sh Г
Z C1  Z C 2
A12  Z C1  Z C 2  sh Г
A22 
Z C2
 ch Г
Z C1
A11  A22  ch Г
A12  A21  sh Г
Легко находится постоянная передачи Г
Г  arch A11  A22  arsh A12  A21
Для симметричного четырехполюсника
A11  A22  ch Г
A21 
sh Г
;
ZC
A12  Z C  sh Г
 A  1, A11  A22 ,
Коэффициенты передачи согласованного четырехполюсника через
характеристические (вторичные) параметры
K U 21 
Z C 2  Г1
e
Z C1
K U 12 
Z C2 Г 2
e
Z C1
K I 21 
Z C1  Г 1
e
Z C2
K I 12 
Z C2 Г 2
e
Z C1
У взаимного четырехполюсника выражения для коэффициентов
передачи КU 21, KI 21, KU 12, KI 12 получаются при условии, что Г1 = Г2 = Г.
Для симметричного четырехполюсника (ZC 1= ZC 2 = ZC , Г1 = Г2 = Г ):
K U 21  K I 21  K U 12  K I 12  e  Г
или
KU 21 ( j )  K I 21 ( j )  KU 12 ( j )  K I 12 ( j )  e  Г
U1
U1  e j U 1
U1 j ( U 1  U 2 )
U1
Г  ln
 ln

ln

e

ln
 j ( U 1  U 2 )
j U 2
U2
U2
U2
U2  e
I1
I1  e j I 1
I1 j ( I 1  I 2 )
I1
Г  ln
 ln

ln

e

ln
 j ( I 1  I 2 )
j I 2
I2
I2  e
I2
I2
Назовем:
A  ln
U1
I
 ln 1
U2
I2
- постоянная ослабления
B   u1   u 2   i1   i 2
- постоянная фазы.
A - выражается в Неперах (Нп) , и белах (Б).
Непер – по имени шотландского математика Дж. Непера (1550 – 1617).
1 Нп  8,68 дБ
1 дБ  0,115 Нп
В - выражается в радианах или в градусах.
Ослаблению в 1 Нп соответствует уменьшение действующего
значения напряжения или тока в e = 2,178 раз.
2
2
 U 1  I1 
 U1 
 I1 
S1
U
I
  lg   lg   2  lg 1  2  lg 1
AБ  lg
 lg
S2
U2
I2
 U2  I2 
U2 
 I2 
AдБ  10  Aз  20  lg
U1
I
 20  lg 1
U2
I2
Уменьшению мощности в 2 раза соответствует A  3 дБ, в 10 раз - 10 дБ.
Уменьшению напряжения или тока в 10 раз соответствует ослабление 20 дБ.
Все вышеприведенное относится только к симметричным
четырехполюсникам.
Каскадное согласованное соединение неавтономных проходных
четырехполюсников
I1А
I1
U1
U 1А
I2А
U 2А U 1В
А
I2А
I1 = I1А
I1В
I2В
В
I1В
I2
U 2В U 2
ZH2
I2В = I2
1
ZH1 U = U
1
1А
А
U 2А U 2В
ZC 1A = ZH 1
ZC 1В = ZC 2A
В
ZC 2B = ZH 2
ZC 2A = ZC 1В
U 2В= U 2
Каскадное соединение с согласованной нагрузкой на выходе
Z ВХ  Z C1A - для эквивалентного четырехполюсника
K U 21 
U 2 U 2 В U 2 В U 2 A


 K U 21A  K U 21В
U 1 U 1 А U 1з  U 1 А
Через характеристические параметры
K U 21 
Z C 2 A  Г1 A Z C 2 В  Г1з
Z C 2 В ( Г 1 А  Г 1 з )
e

e

e
Z C1 A
Z C1В
Z C1 А
Каскадное соединение с согласованной нагрузкой на входе
Z ВХ 2  Z C 2
K U 12 
Z C1 A  ( Г 2 A  Г 2 В )
e
Z C 2В
Таким образом эквивалентный четырехполюсник имеет
ZC 1=ZC 1A и
Г1=Г1А+Г1В
ZC 2=ZC 2B
и
Г2=Г2А+Г2В
Для симметричных четырехполюсников, имеющих ZС и Г
Z C ЭКВ  Z С
n - число четырехполюсников
Г ЭКВ  n  Г
В общем случае
Г Ц   Г  Г 1  Г 2  Г 3  ...
AЦ   A  A1  A2  A3  ...
BЦ   B  B1  B2  B3  ...
Z C Ц  Z C ЭКВ
Коэффициенты передачи цепи в функции А – параметров
(4 коэффициента)
K
U2
ZH

U 1 A11 Z H  A12
KI 
I2
1

I 1 A 21 Z H  A 22
3. Передаточное сопротивление
Z ПЕР 
U2
ZH

I1
A 21 Z H  A 22
4. Передаточная проводимость
Y ПЕР 
I2
1

U 1 A11 Z H  A12
1. Коэффициент передачи по напряжению
2. Коэффициент передачи по току
Рабочее ослабление и рабочая постоянная передачи
Характеристические параметры дают возможность сравнительно легко
определять напряжения и токи в том случае, когда четырёхполюсник
нагружен на сопротивление, равное характеристическому. Если , то
расчеты усложняются. В этом случае следует использовать рабочие
параметры четырёхполюсника. Рабочим ослаблением АР называют
величину
AP 
1 S0
ln
2 SH
S0 = U0I0 - максимальная полная мощность, которую генератор может
отдать в нагрузку.
SH = UHIH - полная мощность, которую нагрузка, включённая через
четырёхполюсник, получает от генератора.
Напомним, что наибольшая мощность в нагрузке выделяется в том
случае, если её сопротивление равно внутреннёму сопротивлению
источника. Если внутреннее сопротивление источника RВН имеет чисто
резистивный характер, то максимальная мощность в нагрузке будет
чисто резистивной
PMAX
E2

4 RBH
Рабочее ослабление в этом случае
E2
1 4R
AP  ln 2 BH
2 I 2 RH
Так как. ослабление на 1 Нп означает уменьшение напряжения и тока
в е = 2,718 раз, то ослабление мощности при этом будет в е2 = 7,39.
В общем случае рабочая постоянная передачи Г.
2
E
1 U I
1 4Z
E
1
Z
Г Р  ln( 0 0 )  ln( 2 BH )  ln(
)  ln( H )  AP  jBP
2 U2I2
2 I2 Z H
2U 2
2 Z BH
U0 и I0 - комплексные напряжение и ток нагрузки, включённой
непосредственно к источнику без четырёхполюсника
U2 и I2 - комплексные напряжение и ток нагрузки, включённой к
источнику через четырёхполюсник.
АР - рабочее ослабление (рабочая постоянная ослабления)
ВР - рабочая фазовая постоянная (рабочая постоянная фазы)
BP 

1
(U 0  I 0 )  (U 2  I 2 )
2

Если внутреннее сопротивление источника равно сопротивлению
нагрузки, то выражение рабочей постоянной приобретает более
простой вид
Г  ln(
AP Нп  ln
E
)  AP  jBP
2U 2
E
2U 2
AP дБ  20 lg
E
2U 2
При использовании этого выражения следует учитывать, что
произведения U0I0 и U2I2 не есть комплексные мощности поскольку ,

S U I
более того, выражение UI не имеет какого- либо смысла, это просто
произведение двух комплексных величин, хотя модуль этого
произведения численно равен полной мощности цепи
S  U I  P2  Q2