Document 4736420

Модуль 3.1. Классический метод анализа динамики R, L, C -цепей
Тема 3.1.1. Составление динамических уравнений электрической цепи
Фрейм 3.1.1.1. Уравнения Кирхгофа динамической цепи
 i L  i R  iC  0

 U  u L  u R  0
 u  u  0
C
 R
Рис. 3.1. Динамическая цепь,
содержащая реактивные L- и
C- элементы

 iL  iR  iC  0

diL

 R iR  0
 U  L
dt

1


R
i

iC dt  0
R


C
Тема 3.1.2. Аналитическое решение динамических уравнений
i (t )  iвын  iсв , u(t )  uвын  uсв
iвын и uвын – вынужденные составляющие реакций, которые представляют
собой частные решения и определяются характером воздействия на цепь, т.
е. видом воздействия,
iсв (t )   Ak e pk t
uсв (t )   Ak e p k t
iсв и uсв – свободные составляющие реакций, которые представляют собой
общие решения уравнений
pk – корни характеристического уравнения или собственные частоты цепи,
Ak – постоянные интегрирования, которые определяются из начальных условий.
Фрейм 3.1.3.1. RL-цепь первого порядка
 U  Ri  L
di
0
dt
Рис. 3.2. RL-цепь первого порядка
i (t )  iвын  iсв  iвын  A e pt
d
0
dt
U
iвын 
R
Lp  R  0
U
A  i L0 
R
p
R
1
 α  
L
τ
i (t ) 
U
 (i L 0
R
R

t
U
 )e L
R
τ
L
R
Фрейм 3.1.3.4. Частные случаи решения задачи
U 0
iсв (t )  iL0
R
 t
e L
Рис. 3.3. График
свободного процесса
для тока в L-элементе
i L0  0
Рис. 3.4. График
переходного процесса для
тока в L-элементе
R

t
U
L
i (t )  (1  e
)
R
Тема 3.1.4. Подключение источника постоянного
напряжения к последовательной RC-цепи
Фрейм 3.1.4.1. RC-цепь первого порядка
 U  Ri 
1
 idt  0
C
u(t )  uC,вын  uC,св  uC,вын  A e pt
Рис. 3.5. RC-цепь первого порядка
d
0
dt
uC ,вын  U
p
RCp  1  0
uC 0  U  A
0
1
RC
A  uC 0  U
1
t
RC
uC (t )  U  (uC 0  U )  e

Фрейм 3.1.3.3. Частные случаи решения задачи
U 0
1
t
RC
uC ,св (t )  uC 0  e

1
t
U
RC
i(t ) св  uC 0  e

R
Рис. 3.6. График свободного
процесса для напряжения на в Cэлементе
uC 0  0
1
t
RC
u(t )  U (1  e
)

Тема 3.1.5. Метод расчета переходных процессов в цепях первого
порядка с использованием эквивалентных резистивных схем
Фрейм 3.1.5.1. Пример расчета переходных процессов
i (t )  iвын  iсв  iвын  Ae pt
Рис. 3.8. Разветвленная
цепь первого порядка
t  0
uC (0 )  U  4 В
Рис. 3.9. Эквивалентная
резистивная цепь для
момента времени
Фрейм 3.1.5.3. Определение вынужденных составляющих реакций
t
i1,вын  i2,вын 
U
2А
R1  R2
iC ,вын  0
Фрейм 3.1.5.4. Определение корня характеристического уравнения
1
p
τ
τ  RэC
Rэ 
Рис. 3.11. Эквивалентная резистивная цепь
для определения корня характеристического
уравнения
R1R2
1
 Ом
R1  R2 2
1
τ  RэC  c
2
p  2 c 1
Фрейм 3.1.5.5. Определение постоянных интегрирования
t  0
U  uC (0 )
i1 
0
R1
Рис. 3.12. Эквивалентная
резистивная цепь для
момента времени
uC (0 )
i2 
4В
R2
iC  i1  i2  4 В
A1  0  2  2
i(0 )  iвын  A e0
A2  4  2  2
A  i (0 )  iвын
AC  4  0  4
Фрейм 3.1.5.6. Готовое решение
i1  i1,вын  A1e pt  2  2e  2t
i2  i2,вын  A2e pt  2  2e  2t
iC  iC,вын  AC e pt  4e  2t
Рис. 3.13. Временные диаграммы для токов в ветвях цепи
Тема 3.1.6. Переходные процессы в колебательном контуре
Фрейм 3.1.6.1. Уравнения и общий вид решения
uC (0 )  uC 0
iL (0 )  0
Рис. 3.14. Последовательный колебательный контур
Рис. 3.15. Эквивалентная резистивная цепь для момента времени
 U  u R  u L  uC  0
duC
i C
dt
d 2 uC
dt
2

di
L  Ri  uC  U
dt
LC
d 2 uC
dt 2
R duC
1
U

uC 
L dt
LC
LC
 RC
duC
 uC  U
dt
uC  uC ,вын  uC ,св
t 
Фрейм 3.1.6.2. Виды динамического процесса
2
R
1
 R
p1,2  
   
 α  jω 0
2L
2
L
LC
 
α
R
2L
ω0 
1
LC
1. Апериодический, когда корни вещественные и различные
2. Колебательный, когда корни комплексные
3. Критический, когда корни кратные
Рис. 3.17. Картина
расположения
собственных частот для
случая колебательного
режима
Рис. 3.18. Картина
расположения
собственных частот
для случая
критического режима
Рис. 3.16. Картина
расположения
собственных частот
для случая
апериодического
режима
Тема 3.1.7. Переходный процесс в последовательном колебательном
контуре в случае вещественных корней
Фрейм 3.1.7.1. Случай вещественных различных корней
uC (t )  U  A1e p1t  A2e p2t
C
duC
i
dt
C
duC
 Cp1 A1e p1t  Cp2 A2e p2t
dt
i (0 )  Cp1 A1  Cp2 A2
u U
A1  C 0
p2
p2  p1
uC (0 )  U  A1  A2
u  U p1t
i (t )  Cp1 p2 C 0
( e  e p2 t )
p2  p1
u U
A2   C 0
p1
p2  p1
u U
u U
uC (t )  U  C 0
p2 e p1t  C 0
p1e p2 t 
p2  p1
p2  p1
u U
 U  C0
( p2 e p1t  p1e p2 t )
p2  p1
Фрейм 3.1.7.2. Свободный процесс в случае вещественных корней
Рис. 3.20. Свободный процесс
для напряжения на емкостном
элементе (апериодический
режим)
Рис. 3.21. Свободный процесс
для тока в контуре
(апериодический режим)
uC ,св (t ) 
Рис. 3.19. Колебательный
контур при отключенном
источнике
uC 0
( p2e p1t  p1e p2t )
p2  p1
iсв (t )  Cp1 p2
uC 0
(e p1t  e p2t )
p2  p1
Тема 3.1.8. Переходный процесс в последовательном колебательном
контуре в случае комплексных корней
Фрейм 3.1.8.1. Случай комплексных корней
p1  α  jωc  ω0e  jγ
p2  α  jωc  ω0e jγ
uC ,св (t ) 
uC 0
( p2e p1t  p1e p2t )
p2  p1
iсв  Cp1 p2
Рис. 3.22. Свободный процесс
для напряжения на емкостном
элементе (колебательный
режим)
 Cω02
uC 0
(e p1t  e p2t ) 
p2  p1
uC 0
(e( α  jω c )t  e( α  jω c )t ) 
 j 2ωc
u ω
  C 0 0 e  αt sin( ωC t ) .
ρ ωC
Рис. 3.23. Свободный
процесс для тока в
контуре (колебательный
режим)
Модуль 3.2. Анализ динамических цепей высокого порядка
методом переменных состояния
Тема 3.2.1. Метод переменных состояния
Фрейм 3.2.1.1. Система уравнений состояния
dx
 Ax  BF
dt
 a11
a
A   21


 a n1
a12
a 22
an2
 a1n 
 a 2n 




 a nn 
 dx1
 di  a11 x1  a12 x2  ...  an1 xn  b11F1  b12 F2  ...  b1m Fm

 dx2  a x  a x  ...  a x  b F  b F  ...  b F
21 1
22 2
2n n
21 1
22 2
2m m
 di
 ...

 dxn  a x  a x  ...  a x  b F  b F  ...  b F
n1 1
n2 2
nn n
n1 1
n2 2
nm m
 di
 b11 b12
b
b
B   21 22


bn1 bn 2
 b1m 
 b2m 




 bnm 
 F1 
F 
F  2

 
 Fm 
 x1 
x 
x   2
 
x 
 n
Тема 3.2.2. Составление уравнений состояния динамической цепи
Фрейм 3.2.2.1. Формирование уравнений состояния
путем замещения источников
Рис. 3.26. Разветвленная
динамическая цепь второго
порядка
uC
1
1
 duC



i

I
L
 dt
C R2 C
C

 diL   1 u  R1 i  1 U
C
L
 dt
L
L
L
Фрейм 3.2.3.1. Аналитическое решение уравнений состояния
uC (t )  9  e t (cost  sin t )
Рис. 3.32. Временная диаграмма переходного
процесса для напряжения на C-элементе
Модуль 3.3. Переходная и импульсная характеристики цепи
Фрейм 3.3.1.1. Переходная характеристика цепи
0 t  0
δ1(t )  
1 t  0
Рис. 3.34. Единичная
ступенчатая функция
p
1
RC
Переходной
характеристикой
электрической цепи
называется
реакция цепи на единичную
ступенчатую функцию.
h1(t )  h1вын  Ae pt
Рис. 3.42.
Динамическая цепь
первого порядка
1

1 RC t
h1(t )  e
δ1(t )
R
h1вын  0
A  h1(0 )  h1вын 
1
R
Фрейм 3.3.1.2. Импульсная характеристика цепи
0 t  0

δ( t )   t  0
0 t  0

Рис. 3.39. Единичная
импульсная функция
h(t ) 
dh1(t ) df (t )

δ1(t )  f (0)δ(t )
dt
dt
h(t )  
1
R 2C
1
t
1
RC
e
δ1 (t )  δ(t )

R
Рис. 3.43. Временные диаграммы
переходной и импульсной
характеристик цепи