Рекурсивные цепи

ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ
ОБРАБОТКИ
СИГНАЛОВ
Презентация лекции по курсу «Общая теория связи»
© Д.т.н., проф. Васюков В.Н., vasyukov@edu.nstu.ru
Новосибирский государственный технический
университет, Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
Факультет Радиотехники и электроники
Кафедра теоретических основ радиотехники
ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ
ОБРАБОТКИ
СИГНАЛОВ
Васюков В.Н. Цифровая обработка сигналов и сигнальные
процессоры в системах подвижной радиосвязи. – Новосибирск:
Изд-во НГТУ, 2006. – 292 с. Серия «Учебники НГТУ»
Обработка сигналов – совокупность преобразований,
направленная на наиболее эффективную передачу,
хранение и извлечение информации.
Преимущества ЦОС:
принципиальная возможность реализации практически любых
алгоритмов обработки; развитие элементной базы обеспечивает
реализуемость все более широкого класса алгоритмов обработки
в реальном масштабе времени;
потенциально сколь угодно высокая точность реализации
алгоритмов, определяемая разрядностью цифровых устройств;
принципиальная возможность безошибочного воспроизведения
сигналов при передаче и хранении на основе помехоустойчивого
кодирования, которое применимо только к цифровым сигналам.
3
Дискретные и цифровые сигналы
Математической модель дискретного сигнала 
решётчатая функция, или последовательность
x[n], n  , 
Всюду, где возможно, используется модель дискретного
сигнала.
Модель цифрового сигнала  когда рассматриваются
специфические эффекты, связанные с квантованием
сигнала, округлением промежуточных результатов,
ограничением разрядной сетки цифрового устройства и
т.п.
2
1.466
1
xn  10
 10
 5
0
5
10
 1
 1.917
 2
 10
n
10
4
x[n], n  , 
Для последовательности
можно определить преобразование Фурье
X (e
j


)
x[n] e
 j n
n 
Im z
e j
Re z
Изменение  на величину
 k 2 при любом целом k
никак не влияет на
результат преобразования.
Поэтому величину 
можно понимать, как угол
1
5
при восстановлении аналогового сигнала моделью
дискретного сигнала служит идеализированный АИМсигнал

v(t ) 

n 
xа (nTd ) (t  nTd )
Найдем преобразование Фурье этого
аналогового сигнала, обозначив круговую
частоту в его спектральном описании буквой 

V ( ) 

v(t )e jt dt 

n 




x(nTd )


n 
xа (nTd )e

 (t  nTd )e jt dt 

 jnTd
6
X (e
j
)
V () 


x[n] e
 j n
n 


n 
xа (nTd )e jTd n
Эти функции совпадают по форме, если
x[n]  xа (nTd )
  Td ,     
Это формальное совпадение позволяет оперировать спектральной
плотностью последовательности вместо спектральной плотности
аналогового сигнала, тогда любые действия над дискретным сигналом
эквивалентны соответствующим действиям над аналоговым сигналом
и обработка сигнала может производиться в цифровой форме.
7
Выражение
X (e
j


)
x[n] e
 j n
n 
можно рассматривать как разложение функции
(левой части) в ряд Фурье по базисным функциям
e
jn
1
x[n] 
2


X (e
j
)e
j n
d ,
n  , 

Это обратное преобразование Фурье для
последовательностей
8
Стационарные линейные дискретные цепи
Удобно считать, что преобразование выполняется некоторой
дискретной цепью.
Цепи соответствует отображение множества входных
(дискретных) сигналов на множество выходных (дискретных)
сигналов.
x[n]
X
T 

y[n]
Y
Задать отображение – значит задать эти множества и
каждому входному сигналу сопоставить единственный
выходной.
Как и для аналоговых цепей, для упрощения этой задачи на
отображение (цепь) накладываются определенные
ограничения.
9
Положим, что множества входных и выходных
сигналов совпадают (задача фильтрации), тогда
понятие отображения сужается до оператора. Будем
также считать, что оператор цепи линеен, т.е.
удовлетворяет принципу суперпозиции
L1x1   2 x2  1Lx1   2 L x2
Произвольный дискретный сигнал (последовательность)
можно представить в виде обобщенного ряда Фурье
x[n] 


x[k ] [n  k ]
k 
10
2
2
1.5
( n 0)
1
( n 3)
0.5
0
 10
5
 10
0
5
n
10
10
2
1.466
1
xn  10
 10
5
0
5
10
1
 1.917
2
 10
x[n] 


k 
n
10
x[k ] [n  k ]
11

x[n] 

L 

x[k ] [n  k ]
y[n]
k 





y[n]  L   x[k ] [n  k ] 


k 




x[k ]L [n  k ] 
k 


x[k ]h[n, k ]
k 
x[n] 


k 
x[k ]h[n, k ]
12
Для любого линейного
оператора
y[n] 
x[n]
L 



y[n]
x[k ]h[n, k ]
k 
Если к тому же
h[n, k ]  h[n  k ]
цепь линейная инвариантная к сдвигу
(стационарная)
y[n] 


x[k ]h[n  k ] 
k 
Это дискретная свёртка


h[k ]x[n  k ]
k 
h[n]
- ИХ
13
Отличие цифровых цепей от аналоговых (!)
Дискретная свертка представляет не только метод
анализа ЛИС-цепи, подобно интегралу Дюамеля для
аналоговых цепей, но также алгоритм работы
вычислительного устройства. Таким образом, задача
анализа дискретных ЛИС-цепей оказывается тесно
связанной с задачей синтеза
y[n] 


k 
x[k ]h[n  k ] 


h[k ]x[n  k ]
k 
14
Рассмотрим ЛИС-цепь при воздействии на ее вход
комплексной экспоненциальной последовательности
x[ n]  e
j n
x[n]
, n  , 


y[n] 
h[k ]e
y[n]
L 

j n  j k
e

k 
e
j n


h[k ]e
 j k
e
jn
H (e
j
)
k 
H (e
j
)


n 
h[n]e
 j n
- КЧХ
15
Рассматривая
1
x[n] 
2


X (e j )e j n d  ,
n  , 

как представление произвольного дискретного сигнала
суперпозицией несчетного множества комплексных
экспоненциальных последовательностей
j jn
j n
e
1
y[n] 
2
H (e
L 


 H (e
j
) X (e
)e
j
)e
j n
d

16
Сравнивая
1
y[n] 
2

 H (e
j
) X (e
j
)e
j n
d

1
y[n] 
2

 Y (e
j
)e
j n
d ,

получаем спектральный метод анализа ЛИС-цепей
Y (e
j
)  H (e
j
) X (e
j
)
17
ЛИС-цепи с конечной импульсной характеристикой
(КИХ-цепи)
Предположим, что импульсная характеристика
некоторой ЛИС-цепи имеет конечную длину
h[n]  0, n  0, N  1
Тогда свёртка содержит конечное число слагаемых
y[n] 
N 1
N 1
k 0
k 0
 h[k ]x[n  k ]   bk x[n  k ]
y[n]  b0 x[n]  b1x[n  1]  b2 x[n  2]  ...
...  bN 1x[n  N  1]
18
Выражение
y[n]  b0 x[n]  b1x[n  1]  b2 x[n  2]  ...
...  bN 1x[n  N  1]
называется разностным уравнением (РУ), аналогично
ДУ
m
y(t )  bm
d x(t )
dt
m
 ...  b0 x(t )
Вычисление каждого значения выходного сигнала
требует учета текущего и (N-1) предшествующих
отсчетов входного сигнала и может быть выполнено
цепью (трансверсальной, или цепью с конечной
импульсной характеристикой (КИХ-цепью)).
19
y[n]  b0 x[n]  b1x[n  1]  b2 x[n  2]  ...
...  bN 1x[n  N  1]
y[n]
x[n]
h[0]
z-1
x[n-1]
h[1]
h[k ]  bk
z-1
x[n-2]
h[2]
z-1
x[n-N-1]
h[N-1]
20
Рассмотрим КИХ-цепь при воздействии на ее вход
комплексной экспоненциальной последовательности
jn
x[n  1]  e j ( n 1)  e  j e j n
x[n]  e
, n  , 
y[n]
x[n]
h[0]
z-1
x[n-1]
h[1]
x[n  k ]  e j ( n  k )  e  j k e j n
z-1
x[n-2]
h[2]
)
 b0  b1e
z-1
x[n-N-1]
H (e
j
h[N-1]
N 1
 h[n]e
n 0
 j
...  bN 1e
 b2e
 j n
 j 2

 ...
 j ( N 1)
21
КЧХ КИХ-цепи имеет вид полинома относительно e
H (e j ) 
j
N 1
 j n
h
[
n
]
e


n 0
 b0  b1e
 j
 b2e
 j 2
...  bN 1e
 ...
 j ( N 1)
Итак, КИХ-цепь умножает спектральную плотность
входного сигнала на полином:
Y (e
j
)  H (e
j
) X (e
j
)
N 1

j
j
 j n 
Y (e )  X (e )   bne



 n 0

22
Рекурсивные цепи
делят спектральную плотность входного сигнала на
полином:
j
j
j
Y (e
Y (e
j
)  H (e
)  X (e
j
) X (e
)
 1 
) 
j 
 A(e ) 
A(e j )  0  1e j  2e j 2  ...   M 1e j ( M 1)
Тогда можно записать
X (e
j
)  Y (e
j
) A(e
j
)
23
X (e
j
)  Y (e
j
) A(e
j
)
x[n]   0 y[n]  1 y[n  1]   2 y[n  2]  ...
нормируем
...   M 1 y[n  M  1]
1
2
y[n] 
x[n] 
y[n  1] 
y[n  2]  ...
0
0
0
 M 1
... 
y[n  M  1]
0
переобозначаем
1
y[n]  bx[n]  a1 y[n  1]  a2 y[n  2]  ...  aM 1 y[n  M  1]
24
y[n]  bx[n]  a1 y[n  1]  a2 y[n  2]  ...  aM 1 y[n  M  1]
y[n]
x[n]
b
z-1
a1
z-1
a2
z-1
aM 1
25
Пример. Простейшая рекурсивная цепь
КЧХ:
РУ:
H (e
y[n]  x[n]  ay[n  1]
j
)
1
1  ae
 j
Импульсную характеристику можно вычислить рекуррентно
n  0,  [n]  1, y[0]  1
n  1,  [n  1]  0, y[1]  a
n  2,  [n  2]  0, y[2]  a 2
Итак, ИХ
n
y[n]  h[n]  a , n  0
26
y[n]  h[n]  a n , n  0
Цепь с бесконечной
импульсной ИХ (БИХ-цепь)
20
a  0.7
1
1
15.407
a  1.2
15
0.8
0.6
hn
hn
10
0.4
5
0.2
3
4.74810
1
0
0
5
10
n
15
15
0
0
5
10
n
15
15
Рекурсивные цепи могут быть неустойчивыми!
27
ЛИС-цепь общего вида (конечного порядка)
N 1
H (e j ) 
 j k
b
e
 k
k 0
M 1
1

r 1
ar e j r
28
ЛИС-цепь общего вида (конечного порядка)
N 1
H (e j ) 
 j k
b
e
 k
k 0
M 1
1

r 1
ar e j r
y[n]  b0 x[n]  b1x[n  1]  b2 x[n  2]  ...  a N 1x[n  N  1]  ...
 a1 y[n  1]  a2 y[n  2]  ...  aM 1 y[n  M  1]
Такой вид имеет РУ произвольной ЛИС-цепи
конечного порядка
29
Обычно к цепям предъявляется требование
устойчивости.
Линейная цепь называется устойчивой, если отклик на
воздействие, ограниченное по модулю, также
ограничен.
Для устойчивости ЛИС-цепи необходимо и
достаточно условие абсолютной суммируемости


h[n]  
n 
Для КИХ-цепей оно выполняется всегда, а для
БИХ-цепей анализ устойчивости основан на
z-преобразовании
30