Динамика движения твердого тела, имеющего неподвижную точку

Динамика движения твердого
тела, имеющего неподвижную
точку
Актуальность
Движение любого объекта раскладывается на
поступательное и сферическое
2
Актуальность
Движение любого объекта раскладывается на
поступательное и сферическое
3
Актуальность
Движение любого объекта раскладывается на
поступательное и сферическое
4
Актуальность
Движение любого объекта раскладывается на
поступательное и сферическое
5
Дифференциальные уравнения движения
твердого тела округ неподвижной точки
dK O
 M Oe 
dt
(1)
Теорема об изменении кинетического момента
K Ox  J x p  J xy q  J xz r ,
Компоненты вектора кинетического момента
в связанной системе координат
K Oy   J xy p  J y q  J yz r ,
K Oz   J xz p  J yz q  J z r.
~
dKO
 ω  K O  M Oe 
dt
(2)
Теорема об изменении кинетического момента
в подвижной системе координат
J x p  J xy q  J xz r  J z  J y qr  J yz r 2  q 2   pJ xy r  J xz q   M x ,
 J xy p  J y q  J yz r   J x  J z rp  J xz  p 2  r 2   qJ yz p  J xy r   M y ,
 J xz p  J yz q  J z r  J y  J x  pq  J xy q 2  p 2   r J xz q  J yz p   M z .
(3)
Скалярный вид уравнения (2). Уравнения движения твёрдого
тела вокруг неподвижной точки
6
Ap  C  B qr  M x ,
Bq   A  C rp  M y ,
Cr  B  A pq  M z .
Уравнения Эйлера
(4)
Динамические уравнения Эйлера
p, q, r – проекции вектора угловой скорости ω на оси связанной системы координат
A, B, C – главные моменты инерции твёрдого тела
p   sin  sin    cos ,
q   sin  cos   sin  ,
Кинематические уравнения Эйлера
(5)
r   cos  
Ox1y1z1 – неподвижная система координат
Oxyz – связанная система координат
К – линия узлов
Углы Эйлера
ψ – угол прецессии
θ – угол нутации
φ – угол собственного вращения
7
Случай Эйлера
M x  0,
M y  0,
M z  0.
В случае Эйлера центр масс твёрдого тела
совпадает с неподвижной точкой. Следовательно,
момент внешних сил относительно
неподвижного центра будет нулевым
Ap  C  B qr  0,
Bq   A  C rp  0, (5)
Cr  B  A pq  0.
,
,
Динамические уравнения в
случае Эйлера
Первые интегралы
K O  const
(7)
KO2  A2 p 2  B 2 q 2  C 2 r 2  const
(8)
T  1 2 Ap 2  Bq2  Cr 2   const (9)
Постоянство кинетического момента
Постоянство кинетической энергии
Стационарные вращения твёрдого тела
- это движение при котором угловое ускорение равно нулю
C  B qr  0
 A  C rp  0 B  A pq  0
(10)
8
Движение динамически симметричного тела в случае
Эйлера. Регулярная прецессия
Ap  K O sin  sin 
Aq  K O sin  cos 
Cr  K O cos 
Проекции кинетического момента
(11)
Аналитическое решение
дифференциальных уравнений движения
r  r0  const
cos 
Cr0
 const
K0
p   sin  0 sin 
q   sin  0 cos 
r   cos  0  
Абсолютная и связанная
системы координат. Углы
Эйлера
 
K0
 2  const
A
  r0   cos 0  r0 
 r0 
(12)
(13)
(14)
Кинематические
уравнения Эйлера для
данного случая
(15)
Угловая скорость
прецессии
KO
cos 0 
A
(16)
C
AC
r0 
r0  1  const
A
A
Угловая скорость
собственного вращения
9
Уравнения движения тяжёлого твёрдого тела вокруг
неподвижной точки и их первые интегралы
n (γ1, γ2, γ3) – единичный вектор вертикали
OXYZ – неподвижная система координат
Oxyz – связанная система координат
Твердое тело с неподвижной точкой.
Системы координат
 1  sin  sin  ,
 2  sin  cos ,
 3  cos .
(17)
Компоненты единичного
вектора, выраженные через углы
Эйлера
~
dn
 ωn  0
dt
(18)
Уравнение Пуассона в
векторном виде
M O  Pn  OG
(20)
Момент силы тяжести в
векторном виде
a, b, c – координаты центра масс в связанной системе координат
d 1
 r 2  q  3 ,
dt
d 2
 p  3  r 1 ,
dt
d 3
 q 1  p 2 .
dt
M x  P 2 c   3b ,
(19) Уравнение Пуассона в
скалярном виде
M y  P 3 a   1c , (21)
M z  P  1b   2 a .
Момент силы
тяжести в
скалярном виде
10
Уравнения движения тяжёлого твёрдого тела вокруг
неподвижной точки и их первые интегралы
dp
 C  B qr  P 2 c   3b ,
dt
dq
B
  A  C rp  P 3 a   1c ,
dt
dr
C  B  A pq  P 1b   2 a .
dt
A
(22)
Уравнения движения тяжёлого
твёрдого тела вокруг
неподвижной точки
Первые интегралы
 12   22   32  1
(23)
Длина единичного вектора
Ap 1  Bq 2  Cr 3  const
(24)
Проекция кинетического
момента на вертикальную ось
1
Ap 2  Bq2  Cr 2   Pa 1  b 2  c 3   const (25)
2
Закон сохранения полной
механической энергии
11
Интегрируемые случаи движения твёрдого тела вокруг
неподвижной точки
Случай Эйлера
a=b=c=0 – центр масс твёрдого тела
находится в неподвижной точке O
Леонард Эйлер
Случай Лагранжа
A=B – тело является динамически
симметричным
a=b=0 – центр масс твёрдого тела
находится на оси симметрии
r=const – проекция угловой скорости на
продольную ось остаётся постоянной
Жозеф Луи Лагранж
12
Случай Ковалевской
A=B=2C – тело является динамически симметричным,
моменты инерции поддаются конкретному соотношению
c=0 – центр масс твёрдого тела находится в
экваториальной плоскости
dp
 qr  0,
dt
dq
2  rp   3 ,
dt
dr
  2 .
dt
2
Ковалевская Софья
Васильевна
p
2
Pa 

 

C 

 q 2   1   2 pq   2   const
2
2
(27)
(26)
Динамические
уравнения Эйлера в
случае Ковалевской
Первый интеграл движения,
получаемый из уравнений
(19) и (26)
13
Список рекомендованной литературы
по теме «Динамика движения твердого тела, имеющего
неподвижную точку»
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Маркеев А. П. Теоретическая механика: Учеб. пособие для
университетов. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. – 416 с.
Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики в 2 частях. –
М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969.
Бутенин Н. В., Лунц Я. Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической
механики. В двух томах. – СПб.: Издательство «Лань», 2007. – 736 с.
mechmath.ipmnet.ru/mech/links/ - электронная библиотека Института
проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН.
Белецкий В. В. Движение искусственного спутника Земли
относительно центра масс. М.: Наука, 1965 – 416 с.
Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. – М.: Наука,
1966. – 300 с.
Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. – Ижевск: НИЦ
«Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 384 стр.
14