ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ОПТИМИЗАЦИИ ПЕРЕЛЕТОВ С МАЛОЙ ТЯГОЙ 28 декабря 2004 г.

28 декабря 2004 г.
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ОПТИМИЗАЦИИ
ПЕРЕЛЕТОВ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
А. Суханов
ИКИ
sukhanov@iki.rssi.ru
Движение с малой тягой
Уравнения движения:
r  v, v  
μ
rα
3
r
  вектор реактивного ускорения
Мощность тяги:
m c 2
N  N r , t  
2
Реактивное ускорение:
m c 2 N
, с  скорость истечения
 α 

m
mc
Идеально регулируемая тяга ограниченной мощности (ИРТОМ):
2 N max
N  Nmax , c меняется произвольным образом, m 
c2
Оптимизация идеально регулируемой тяги
Минимизируемый функционал:
1 1 2
J 
dt
2 t0 N
Функция Гамильтона:
2
 T
T
H 
 p r v  3 pv r  pTv  (pv – базис-вектор Лоудена)
2N
r
H
H
T
pTr  

, pv  
 сопряженные уравнения в вариациях
r
v
t
A = [P Q]  общее решение (матрица 6-го порядка)

pv = QT
Оптимальная тяга:
 = arg max H = Npv = NQT
Метод транспортирующей траектории (МТТ)
В.В. Белецкий, В.А. Егоров. Межпланетные полеты с двигателями
постоянной мощности, Космические исследования, 1964, № 3
МТТ: метод приближенного решения задачи оптимального перелета
с идеально регулируемой малой тягой постоянной мощности между
двумя заданными положениями, основанный на линеаризации
траектории перелета около некоторой близкой кеплеровской орбиты
(транспортирующей траектории, опорной орбиты)
  разность между положениями на траектории КА
и транспортирующей траектории
ρ  Gρ  α , G  матрица 3-го порядка
(t0) =  (t1) = 0  граничные условия
Задача решается в транспортирующей
(орбитальной) системе координат 
Модификация метода
транспортирующей траектории

f  f x    v,

x  f x   g
y  f y 
x  r, v,
 
 3 r , g  0, α
r 
x = x(t), y = y(t)  векторы состояния траектории КА и опорной орбиты
(транспортирующей траектории)
 = х  у  вектор состояния линеаризованной задачи
f
ξ  Fξ  g, F 
x
(t0) = 0, (t1) = 1  граничные условия
Задача решается методом вариации произвольной постоянной:
 = (t, t0)  матрица изохронных производных, общее решение
уравнений в вариациях
  FΦ
Φ
 ξ  Φt , t0 ξ 0   Φt ,  g d
t
t0
Декомпозиция матрицы
изохронных производных
(t, t0) = А1А0
A = A(t) = [P Q]  матрица 6-го порядка, общее решение
сопряженного уравнения в вариациях
  AF
A
P, Q  подматрицы 63, A0 = A(t0)
А, А1 найдены аналитически в явном виде
Б.Ц. Бахшиян, А.А. Суханов. Об изохронных производных первого и второго
порядка в задаче двух тел, Космич. Исслед., 1978, № 4.
А.И. Назаренко, Б.С. Скребышевский. Эволюция и устойчивость спутниковых
систем, М.: Машиностроение, 1981.
А.А. Суханов. Об изохронных производных в задаче двух тел, Космич.
Исслед., 1990, № 2.
Модификация метода
транспортирующей траектории
ξ  Φt , t0 ξ 0   Φt ,  g d
t
t0
(t, t0) = А1А0
g = 0, ,
 = NQT,
 = const  неизвестный вектор
 ξ  A A 0ξ 0  A Sβ, S  St0 , t    NQQT dt
1
1
t
t0
S  матрица 6-го порядка. Матричный интеграл S вычисляется:
• аналитически для постоянной тяги N = const
• с тремя скалярными квадратурами для солнечной энергетики
• в квадратурах для произвольной энергетики N = N(r, t)
Модификация метода
транспортирующей траектории
S  St0 , t    NQQT dt
t
t0
Матрица QQT вырожденна, однако матрица S является
невырожденной на любом интервале времени.
 = Aкк  A00  вектор граничных условий

 = Sк,  β  S к1Δ
α t   NQ TS к1

xt   y t   A 1 A 0ξ 0  SS к1
1
J   TSк1
2

 оптимальная тяга
 вектор состояния КА
 минимизируемый функционал
Дополнительные возможности
Концевые смещения транспортирующей траектории
0  0, 0,
к  к, к
В классическом МТТ 0 = к = 0
В модифицированном МТТ в общем случае 0  0, к  0,
что позволяет лучше аппроксимировать траекторию
Частично заданные граничные условия
1. Пролет небесного тела с произвольной скоростью, т.е. к не задано
ηк 


1 T 1
T 1
Qк Sк Qк Qк Sк
A0ξ 0  Pкρк 
2. Энергия запуска h задана, а направление выбирается произвольно
ρ0, η0, ρк , ηк заданы, η0  η0  v
v  v  h

v   I  QT0 S к1Q0

1
QT0 S к1 A кξ к  P0ρ0  Q0 η0 
  неопределенный множитель
Разбиение времени полета на подынтервалы
Разбиение интервала времени перелета на подынтервалы используется:
• для повышения точности МТТ
• при облете нескольких небесных тел
t1, …, tn–1  моменты времени, разделяющие подынтервалы, tn = tк
pi , pi
 значения параметров в момент ti на i-м и (i+1)-м
подынтервалах соответственно
1 i 2
1 T 1
Ji  
dt  Δi Si Δi
2 ti 1 N
2
t
ti
Si  Sti 1 ,ti    NQQT dt
ti 1
Δi = Aiξi  Ai1ξi1
n
J   Ji
i 1
 минимизируемые функционалы
Повышение точности МТТ
n
1 n T 1
J   J i   Δi S i Δi
2 i 1
i 1
u  скорость на транспортирующей траектории
ui  ui  ui
ξ i  ξ i  0, ui 
Δi  Aiξ i  Ai1ξ i1  Qi ui

Ξ = ξ1 , ..., ξ n1
J
0 
Ξ

D1Ξ  d1
D1, d1  известные матрица и вектор ТТ  транспортирующая траектория
ТП  траектория перелета
Порядок матрицы D1:
= 6n  6 при заданных граничных условиях
= 6n  3 или 6n при частично заданных граничных условиях
Оценка точности метода
Если n велико, то   i = const внутри i-го подынтервала
 отклонение КА от транспортирующей траектории:
 t t 
~ i к 0
2 n 
i tк  t0 
~
n
2
по положению и
по скорости
 следует ожидать, что ошибка вычислений
~
1
1
по
положению
и
по скорости
~
2
n
n
Облет нескольких малых небесных тел
n
1 n T 1
J   J i   Δi S i Δi
2 i 1
i 1
Vi  скорость i-го тела
wi  скорость пролета i-го тела,
wi  wi  wi



Δi = Piρi  Qi Vi  ui  w i  Pi1ρi 1  Qi1 Vi 1  ui1  w i 1
W  w1 , ..., w n1
J
0 
W
D2 W  d 2
D2, d2  известные матрица и вектор
Порядок матрицы D2:
= 3n  3 при заданных граничных условиях
= 3n или 3n + 3 при частично заданных граничных условиях

Облет массивных небесных тел
w i , w i
 асимптотические скорости подлета и отлета
i, Ri, Ai  гравитационный параметр i-го тела, min расстояние
сближения и max угол поворота асимптотической скорости
A
1
sin i 
, wi2 cos Ai  w i  w i  wi2
2
2 1  Ri wi i
w i  w i  wi2 , w i  w i  wi2
Qi TSi1Δi  i1w i  i 3w i  0,
 QiT1Si11Δi 1  i 2 w i  i 3w i  0,
w i
 w i

i3i  0
wi2

2wi2
1   1  R w
2
i
i
2
i
i

2
 i1,  i2 ,  i3  неопределенные множители
i
 дополнительная переменная


Неизвестные: w i , w i , wi , i ,  i1,  i 2 ,  i 3
Перелет ЗемляВеста
Численный пример: перелет ЗемляВеста в 2004 г. за 3 года.
Выход КА из сферы действия Земли и сближение с астероидом
с нулевой скоростью. Число подынтервалов от 1 до 100.
v
0.1
J
r
0.01
t0 t tк
2
J, m /m0
t0 t tк
r = max
 /r, v = max
 /v
1
1
m /m0
0.001
0
0.0001
1
10
100
Число подынтервалов
Максимальные приведенные отклонения
от транспортирующей траектории
1
10
Число подынтервалов
Минимизируемый функционал и
отношение конечной массы к
начальной
100
Перелет ЗемляВеста
20.12.2004
Меркурий
Венера
Земля
Марс
20.12.2007
Веста
Спиральный межорбитальный перелет
Плоский спиральный перелет между близкими эллиптическими
орбитами ИСЗ.
Время перелета 1 сут., оптимальная угловая дальность 6 об. + 300°
50 подынтервалов
Спиральный межорбитальный перелет
Оптимальный перелет (по оси абсцисс истинная аномалия)
/g
Угол между  и v
Удельный импульс
/r, /v
Спиральный межорбитальный перелет
Угловая дальность меньше оптимальной на 4°
/g
Угол между  и v
Удельный импульс
/r, /v
Спиральный межорбитальный перелет
Угловая дальность больше оптимальной на 4°
/g
Угол между  и v
Удельный импульс
/r, /v
Выводы
Преимущества модифицированного МТТ перед классическим:
• Инерциальная система координат
• Полностью аналитическое решение для постоянной мощности
• Решение в квадратурах для произвольного закона изменения
мощности
• Ненулевые концевые смещения, повышающие точность
аппроксимации
• Возможность частично заданных граничных условий
• Возможность получения любой требуемой точности вычислений
• Возможность многовитковых траекторий перелета
• Возможность облета нескольких небесных тел