ПОТЕНЦИАЛ И РАБОТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ Чужков Юрий Петрович Доцент каф. физики

ПОТЕНЦИАЛ И РАБОТА
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Чужков Юрий Петрович
Доцент каф. физики
Канд. физ.мат. наук
Тема занятий
1. Работа сил электростатического поля. Потенциальная энергия
2. Потенциал. Разность потенциалов
3. Связь между напряженностью и потенциалом
4. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности
5. Вычисление потенциалов простейших электростатических
полей
6.Решение задач
Напряженность и потенциал
Взаимодействие между покоящимися зарядами
осуществляется через электростатическое поле.
Нами была рассмотрена одна из характеристик электростатического

поля – напряженность поля E

 F
E
q
Напряженность электростатического поля равна силе,
действующей в данной точке на помещенный в нее
пробный единичный заряд
Напряженность поля – силовая характеристика
поля; векторная величина
Другой характеристикой электростатического поля является
потенциал –энергетическая характеристика.
Работа сил электростатического поля
• В любой точке этого поля на пробный точечный заряд q0
действует сила

qq 
1
F

F
40

r
0
2
e
2
dr
1
α
+q0
r
r1
dl
r2
 
dA  Fdl  Fdl cos   Fdr
dl cos   dr
+q
qq0
dA 
 2 dr
40 r
1
Полная работа при перемещении из точки 1 в точку 2 равна
интегралу
r2
qq0 dr
qq0  1 1 

  
A12 

F
2

40 r1 r
40  r1 r2 
2
dr
1
α
+q0
r
r1
+q
dl
Работа электростатических сил не зависит
от формы пути, а только лишь от координат
начальной и конечной точек перемещения
r2
Следовательно, силы поля консервативны, а
само поле – потенциально.
Работа, совершаемая при перемещении электрического заряда
во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому
пути L, равна нулю
 dA  0
L

Теорема о циркуляции вектора E .
Потенциальная энергия. Потенциал.
Работу сил электростатического поля можно
выразить через убыль потенциальной энергии
A12  W1  W2
qq0
qq0
A12 

40 r1 40 r2
Сопоставляя формулы для работы, получаем выражение
для потенциальной энергии заряда q0 в поле заряда q
qq0
W

40 r
1
Потенциал. Разность потенциалов
q1
q2
q0
q4
q3
Если поле создается системой n точечных зарядов
q1 ,q2 ,….qn , то работа электростатических сил,
совершаемая над зарядом q0 , равна алгебраической
сумме работ сил, обусловленных каждым из
зарядов в отдельности.
Поэтому потенциальная энергия Wзаряда q0 в этом поле равна сумме
потенциальных энергий каждого из зарядов
n
n
i 1
i 1
W  Wi  q0 
qi
40 ri
Отношение W/q0 не зависит от q0 и является энергетической
характеристикой электростатического поля, называемой
потенциалом:
W

q0
Потенциал электростатического поля – скалярная величина
Задача 1
В вершинах правильного шестиугольника со стороной 0,1 м расположены
точечные заряды в следующей последовательности:
q1 = - 2 нКл; q2 = +4 нКл; q3 = +7 нКл; q4 = - 6 нКл; q5 = - 5 нКл; q6 = + 3 нКл
Определить потенциал в центре шестиугольника (в точке 0).
q1 =-2нКл
q1 =-2нКл
q3 = +7 нКл
q6 = + 3 нКл
0
q5 = - 5 нКл
q4 = - 6 нКл
Варианты ответов: 1) 38 В; 2) 72 В; 3) 90 В; 4)124 В
Задача 1
qi
  k
i ri
qi


40 i ri
1
Решение:
k = 9∙109
  9  10 9  2  4  7  6  5  3  10 9
q1 = - 2нКл
q1 = + 4нКл
q3 = +7 нКл
q6 = + 3 нКл
0
q5 = - 5 нКл
q4 = - 6 нКл
Варианты ответов: 1) 38 В; 2) 72 В; 3) 90 В; 4)124
φ = 90В
Задача2
Задача
2
В вершинах правильного шестиугольника со стороной 0,1 м расположены точечные
заряды в следующей последовательности:
q1 = - 5 нКл; q2 = +4 нКл; q3 = -2 нКл; q4 = +3 нКл; q5 = - 4 нКл; q6 = -2 нКл
Определить направление вектора Е в центре шестиугольника (в точке 0
q1 = - 5 нКл
q2 = +4 нКл
q3 = -2 нКл
q6 =-2нКл
q5 = - 4нКл
Варианты ответов:
1) вверх; 3) вниз;
2) вправо; 4) влево
q4 = +3 нКл
Задача 2
Решение
q1 = - 5 нКл
q2 = +4 нКл
q3 = -2 нКл
q6 =-2 нКл
q5 = - 4нКл
q4 = +3 нКл
W

q0
Потенциал. Разность потенциалов
Потенциал φ в какой- либо точке электростатического поля
есть физическая величина, определяемая потенциальной
энергией единичного положительного заряда, помещенного в
эту точку.
Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом q, равен
1
q

4 0 r
Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен
алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым
из зарядов в отдельности
qi


40 i ri
1
Потенциал. Разность потенциалов
Физический смысл имеет не потенциал, а разность
потенциалов, поэтому принято считать, что потенциал
точки, удаленной в бесконечность, равен нулю.
Когда говорят “потенциал такой - то точки” – имеют в
виду разность потенциалов между этой точкой и
точкой, удаленной в бесконечность.
Выразим работу сил электростатического поля через разность
потенциалов между начальной и конечной точками:
A12  W1  W2  q1  q 2  q1   2 
Если перемещать заряд q0 из произвольной точки за пределы
поля (на бесконечность), где потенциал равен нулю, то работа
сил электростатического поля
A  q0
Потенциал. Разность потенциалов
A

q0
Потенциал – физическая величина, определяемая работой
по перемещению единичного положительного заряда при
удалении его из данной точки поля на бесконечность.
A  q0 Формулу можно использовать для установления
единиц потенциала.
За единицу φ принимают потенциал в такой точке, для
перемещения в которую из бесконечности единичного
положительного заряда необходимо совершить работу
равную единице.
В системе СИ единица потенциала 1В = 1Дж/1Кл
Связь между напряженностью и потенциалом

F
2
dr
1
α
+q0
r
r1
dl
r2
Работа, совершенная силами
электростатического поля на
бесконечно малом отрезке, равна
dA  Fl dl  El qdl
С другой стороны dA   qd
+q
d
E
dl
В трехмерном пространстве

E   grad

       
E  
i
j
k 
y
z 
 x
Знак минус говорит о том, что вектор напряженности
поля направлен в сторону уменьшения потенциала.
Силовые линии и эквипотенциальные поверхности
• Направление силовой линии (линии напряженности)
в

каждой точке совпадает с направлением E .
• Напряженность равна разности потенциалов на единицу
длины силовой линии.
• В однородном электрическом поле силовые линии –
прямые.
Эквипотенциальная поверхность – поверхность, во
всех точках которых потенциал φ имеет одно и то же
значение
Линии напряженности всегда нормальны к
эквипотенциальным поверхностям.
Силовые линии и эквипотенциальные поверхности

E

E

E

E
-q
+q

E
+q
φ = const

E

E

E
Расчет потенциалов простейших
электростатических полей
Применение теоремы Остроградского – Гаусса позволило
получить формулы расчета напряженности поля для тел
простейшей формы.
Установленная связь между напряженностью поля и
потенциалом позволяет по известной напряженности поля
найти разность потенциалов между двумя произвольными
точками поля
2
x2
1
x1
 d    Edx
 
 EdS 
q
S
E
x2
1   2    Edx
x1
Приведем примеры расчета потенциалов простейших полей.
i
i
0
d
dl
Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости
σ > 0

E

E
φ

E
2 0
x1
x2
x2
x1
x1
1   2   Edx  
1   2 
0
x2

dx
2 0

x2  x1 
2 0
x
Поле двух бесконечных параллельных разноименно
заряженных плоскостей
σ>0
σ<0
d

E
0
φ
0
x2
1   2   Edx  
x1
1   2 
x1
x2
x
x2
x1

d
0

dx
0
x2 - x1 = d
Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра
E
λ> 0
1

2 0 r
R
r>R
E
r2
r1
r1
1   2   Edr  

dr
20 r
r2

1   2 
ln
20 r1
φ
r<R
φ
r = R r1
E=0
1   2 
E
0
r2
r2
r

1
ln
20 R
Внутри цилиндра напряженность поля равна нулю,
т.к. нет зарядов (заряды – на поверхности )
Поле равномерно заряженной сферической поверхности
q
E
40 r 2
q> 0
R
E
φ
φ ~ 1/r
E
0
1   2  
r2  R, r2  r1
1   2 
rR
E ~ 1/r2
r1
r2
r2
1
r
dr
40 r 2
r1

q
40 R
r1  r r2  
q
q 1 1
  
40  r1 r2 

R
0

1
q
4 0 r
Поле объемно заряженного шара

ρ
3q
4R 3
E
R
Внутри шара
r<R
φ ~ 1/r
E~r
0
E
На поверхности
и вне шара
E ~ 1/r2
R
Разность потенциалов шара
r
3 0

r2 
 3  2 

80 
R 
3q
8 0 R
4 0 R 3

q
φ
E
qr
1
q
40 r 2
1
q

4 0 r
r


q r  r1
1   2  2
40  2 R 3
2
2
Выводы из полученных соотношений:
 С помощью теоремы Гаусса сравнительно
просто можно рассчитать Е и φ от различных
заряженных поверхностей.
 Напряженность поля в вакууме изменяется
скачком при переходе через замкнутую
поверхность.
Потенциал поля – всегда непрерывная
функция координат.
Линии напряженности поля всегда
перпендикулярны эквипотенциальным
поверхностям.
Спасибо за внимание!