Уравнения Максвелла
advertisement
Уравнения Максвелла Уравнения Максвелла — система дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах. Вместе с выражением для силы Лоренца образуют полную систему уравнений классической электродинамики. Уравнения, сформулированные Джеймсом Клерком Максвеллом на основе накопленных экспериментальных результатов. К середине XIX века ученые открыли целый ряд законов, описывающих электрические и магнитные явления и связи между ними. В частности, были известны: закон Кулона, описывающий силу взаимодействия между электрическими зарядами, теорема Гаусса, закон Био—Савара, описывающий магнитные поля, возбуждаемые движущимися электрическими зарядами и закон Ампера, Сила Лоренца - сила, с которой, в рамках классической физики, электромагнитное поле действует на точечную заряженную частицу. законы электромагнитной индукции Фарадея, согласно которым изменение магнитного потока порождает электрическое поле и индуцирует ток в проводниках (см. также Правило Ленца). гипотеза об отсутствии в природе магнитных монополей. Закон Кулона Сила взаимодействия между двумя точечными электрическими зарядами пропорциональна величинам этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними Явление электростатического притяжения еще до нашей эры было известно древнегреческим ученым. Они знали, например, что если потереть янтарь кошачьей шерстью, а стекло шелком, то между ними возникают силы притяжения. Кроме того, им было известно, что при помощи таких предметов можно заставить воздействовать друг на друга и другие предметы: например, если прикоснуться наэлектризованным янтарем к пробковой крошке, она будет отталкиваться от других пробковых крошек, к которым прикасались янтарем, и притягиваться к крошкам, к которым прикасались стеклом. Сегодня мы знаем, что подобное притяжение и отталкивание является проявлением статического электричества. Мы наблюдаем электростатические явления и в повседневной жизни, когда, например, нам приходится буквально отлеплять одну от другой свежевыстиранные и доставаемые из сушилки вещи или когда мы никак не можем привести в порядок наэлектризованные и буквально встающие дыбом волосы Электростатика в современном понимании начинается с осознания того, что подобное поведение (притяжение или отталкивание), является следствием существования в природе двух видов электрических зарядов — положительных и отрицательных. В атоме они разделены. Положительные заряды сосредоточены в атомном ядре — их носителями являются протоны, а электроны, являющиеся носителями отрицательных зарядов, расположены вокруг ядра. Первым идею о том, что в природе существует только два типа электрических зарядов, и только они ответственны за все наблюдаемые нами электростатические явления, подобные вышеописанным, высказал американский государственный деятель и ученый Бенджамин Франклин (Benjamin Franklin, 1706–1790). Выражаясь современным языком, его рассуждения сводились к тому, что если удалить часть отрицательно заряженных электронов из вещества, оно останется положительно заряженным, поскольку в нормальном состоянии именно отрицательный заряд электронов компенсирует положительный заряд ядер. Если же к веществу в нормальном состоянии добавить дополнительные электроны, оно приобретет отрицательный заряд. Зная о существовании электричества на протяжении тысяч лет, человек приступил к его научному изучению лишь в XVIII веке. (Интересно, что сами ученые той эпохи, занявшиеся этой проблемой, выделяли электричество в отдельную от физики науку, а себя именовали «электриками».) Одним из ведущих первоисследователей электричества явился Шарль Огюстен де Кулон. Тщательно исследовав силы взаимодействия между телами, несущими на себе различные электростатические заряды, он и сформулировал закон, носящий теперь его имя. В основном свои эксперименты он проводил следующим образом: различные электростатические заряды передавались двум маленьким шарикам, подвешенным на тончайших нитях, после чего подвесы с шариками сближались. При достаточном сближении шарики начинали притягиваться друг к другу (при противоположной полярности электрических зарядов) или отталкиваться (в случае однополярных зарядов). В результате нити отклонялись от вертикали на достаточно большой угол, при котором силы электростатического притяжения или отталкивания уравновешивались силами земного притяжения. Замерив угол отклонения и зная массу шариков и длину подвесов, Кулон рассчитал силы электростатического взаимодействия на различном удалении шариков друг от друга и на основе этих данных вывел эмпирическую формулу: F = k Q q / D2 где Q и q —величины электростатических зарядов, D — расстояние между ними, а k — экспериментально определяемая постоянная Кулона. Отметим два интересных момента в законе Кулона Во-первых, по своей математической форме он повторяет закон всемирного тяготения Ньютона, если заменить в последнем массы на заряды, а постоянную Ньютона, на постоянную Кулона. И для этого сходства есть все причины. Согласно современной квантовой теории поля и электрические, и гравитационные поля возникают, когда физические тела обмениваются между собой лишенными массы покоя элементарными частицами-энергоносителями — фотонами или гравитонами соответственно. Таким образом, несмотря на кажущееся различие в природе гравитации и электричества, у двух этих сил много общего. Второе важное замечание касается постоянной Кулона. Когда шотландский физиктеоретик Джеймс Кларк Максвелл вывел систему уравнений Максвелла для общего описания электромагнитных полей, выяснилось, что постоянная Кулона напрямую связана со скоростью света с. Теорема Гауса Поток напряженности электрического поля, проходящий через замкнутую поверхность, пропорционален суммарному электрическому заряду, содержащемуся внутри этой поверхности В науке часто бывает, что один и тот же закон можно сформулировать по-разному. По большому счету, от формулировки закона ничего не меняется с точки зрения его действия, однако новая формулировка помогает теоретикам несколько иначе интерпретировать закон и испытать его применительно к новым природным явлениям. Именно такой случай мы и наблюдаем с теоремой Гаусса, которая, по существу, является обобщением закона Кулона, который, в свою очередь, явился обобщением всего, что ученые знали об электростатических зарядах на момент, когда он был сформулирован. Вообще говоря, в математике, физике и астрономии найдется немного областей, развитию которых не посодействовал замечательный гений Карла Фридриха Гаусса. В 1831 году он вместе со своим молодым коллегой Вильгельмом Вебером (Wilhelm Weber, 1804–1891) занялся изучением электричества и магнетизма и вскоре сформулировал и доказал теорему, названную его именем. Теорема Гауса Чтобы понять, в чем заключается ее смысл, представьте себе изолированный точечный электрический заряд q. А теперь представьте, что он окружен замкнутой поверхностью. Форма поверхности в теореме не важна. В каждой точке окружающей заряд поверхности, однако, наблюдается электрическое поле, образованное зарядом, а произведение напряженности этого электрического поля на сколь угодно малую единицу площади окружающей заряд поверхности, через которую проходят силовые линии поля, называется потоком напряженности электрического поля, и можно рассчитать поток напряженности, приходящийся на каждый элемент поверхности. Теорема Гаусса как раз и гласит, что суммарный поток напряженности электрического поля, проходящий через окружающую заряд поверхность, пропорционален величине заряда. Связь между законом Кулона и теоремой Гаусса станет очевидной на простом примере. Предположим, что заряд q окружен сферой радиуса r. На удалении r от заряда напряженность электрического поля, которая определяется силой притяжения или отталкивания единичного заряда, помещенного в соответствующую точку, составит, согласно закону Кулона: E = kq/r2 И то же самое значение мы получим для любой точки сферы заданного радиуса. Следовательно, суммарный поток напряженности электрического поля будет равен значению напряженности поля на удалении r от заряда, помноженному на площадь сферы (которая, как известно, равняется 4πr2). Иными словами, суммарный поток будет равен: 4πr2 x kq/r2 = 4πkq Это и есть теорема Гаусса. Интересное следствие из нее получается, если применить эту теорему к сплошному металлу. Представьте себе цельнометаллический предмет и воображаемую замкнутую поверхность внутри него. Полный электрический заряд внутри такой поверхности будет нулевым, поскольку внутри окажется равное число положительных и отрицательных зарядов — протонов атомных ядер и электронов соответственно. Следовательно, поток напряженности электрического поля, проходящий через такую замкнутую поверхность, также будет равен нулю. Поскольку это верно для любой замкнутой поверхности внутри металла, это означает, что внутри металла не существует и не может существовать электрического поля. И то же самое значение мы получим для любой точки сферы заданного радиуса. Следовательно, суммарный поток напряженности электрического поля будет равен значению напряженности поля на удалении r от заряда, помноженному на площадь сферы (которая, как известно, равняется 4πr2). Иными словами, суммарный поток будет равен: 4πr2 x kq/r2 = 4πkq Это и есть теорема Гаусса. Интересное следствие из нее получается, если применить эту теорему к сплошному металлу. Представьте себе цельнометаллический предмет и воображаемую замкнутую поверхность внутри него. Полный электрический заряд внутри такой поверхности будет нулевым, поскольку внутри окажется равное число положительных и отрицательных зарядов — протонов атомных ядер и электронов соответственно. Следовательно, поток напряженности электрического поля, проходящий через такую замкнутую поверхность, также будет равен нулю. Поскольку это верно для любой замкнутой поверхности внутри металла, это означает, что внутри металла не существует и не может существовать электрического поля. Закон Био-Савара Магнитное поле в точке пространства, создаваемое малым отрезком проводника, по которому течет электрический ток, пропорционально силе тока, обратно пропорционально квадрату расстояния от этой точки до проводника и направлено перпендикулярно по отношению и к току, и к направлению на проводник. Одним из величайших прорывов в естествознании XIX века стала серия открытий, позволивших установить неразрывную связь между двумя, казалось бы, не связанными между собой природными феноменами — электричеством и магнетизмом, — которые на поверку оказались просто двумя сторонами одной медали. Одним из первых фрагментов стало осознание того, что движущиеся электрические заряды (то есть электрический ток) могут порождать магнитное поле. Это открытие сделал датский ученый Ханс Кристиан Эрстед, а представил его в количественной форме французский ученый Андре-Мари Ампер. Обобщением этой работы стал закон Био— Савара (его еще называют «закон Био—Савара—Лапласа»), содержащий окончательную формулировку соотношения между электрическими токами и магнитными полями, которые они производят. В 1820 году в Копенгагенском университете состоялась лекция Эрстеда с демонстрацией, на которой он использовал только что изобретенную электрическую батарею в качестве источника тока. Эрстед продемонстрировал, что под воздействием поднесенного на близкое расстояние проводника магнитная стрелка компаса отклоняется. Это было первое подтверждение существования прямой связи между электричеством и магнетизмом. Жан Батист Био, был профессором физики в Сорбонне и действительным членом французской Академии наук. Сразу после открытия Эрстеда вместе со своим коллегой Феликсом Саваром он принялся за изучение взаимосвязи между электрическим током и магнитными полями. В отличие от Ампера, изучавшего магнитные поля опосредованно, путем измерения силы взаимодействия между парами проводников с током, Био и Савар предприняли прямые измерения магнитных полей, используя для этого множество легких магнитных стрелок компасов. Смысл их закона проще всего понять, если представить себе, что проводник с током разбит на крошечные отрезки — т.н. элементы тока (такой подход предложил ученым их старший коллега Пьер Симон Лаплас (Pierre-Simon Laplace, 1749–1827), стоявший у истоков дифференциального и интегрального исчисления, который затем и обобщил полученные результаты.). На каждом из этих крошечных отрезков кривизной проводника можно пренебречь — их можно рассматривать как отрезки прямой. Согласно закону Био—Савара, магнитное поле В на расстоянии r от такого элемента тока пропорционально IL/r2 где I — сила тока, а L — длина элемента тока. Закон Био—Савара является наиболее полным формальным обобщением взаимосвязи между электрическим током и магнитным полем. Это значит, что можно взять проводник с током сколь угодно сложной и асимметричной конфигурации и разбить его на элементы тока. Каждый элемент вносит свой вклад в магнитное поле в рассчитываемой точке. Сделав эти расчеты, мы можем затем просуммировать вклад от каждого элемента проводника и найти общее магнитное поле (этот процесс суммирования относится к области высшей математики и выглядит он достаточно сложно). Таким образом, закон Ампера является частным случаем закона Био—Савара для случая линейного проводника. Закон Био—Савара предсказывает также направление получающегося магнитного поля. Это направление можно определить с помощью так называемого правила правой руки, ставшего настоящим бичом целых поколений студентов физических и технических вузов. Правило гласит: если вытянутый указательный палец правой руки показывает направление электрического тока в элементе тока, а средний палец направлен на точку, в которой вы вычисляете магнитное поле, то выставленный под прямым углом к двум другим пальцам большой палец укажет направление магнитного поля. Полное математическое выражение закона Био—Савара требует довольно сложных вычислений, поскольку оно представляет собой интегральное уравнение. Оно является, по сути, общим решением четвертого уравнения Максвелла. Сила Лоренца Сила Лоренца — сила, с которой, в рамках классической физики, электромагнитное поле действует на точечную заряженную частицу. Силой Лоренца называют иногда силу, действующую на движущуюся частицу лишь со стороны магнитного поля, нередко же полную силу — со стороны электромагнитного поля вообще иначе говоря, со стороны электрического и магнитного полей Законы электромагнитной индукции Фарадея Изменение магнитного потока, проходящего через площадь, приводит к возникновению электрического поля вдоль контура, ограничивающего эту площадь. Интенсивность этого электрического поля пропорциональна скорости изменения магнитного потока После того как в начале XIX века было установлено, что электрические токи порождают магнитные поля, ученые заподозрили, что должна наблюдаться и обратная закономерность: магнитные поля должны каким-то образом производить электрические эффекты. В 1822 году в своей записной книжке Майкл Фарадей записал, что должен найти способ «превратить магнетизм в электричество». На решение этой задачи у него ушло почти десять лет. Он придумал серию экспериментов, кажущихся крайне незамысловатым по современным меркам. На железную катушку в форме бублика, он с одной стороны намотал плотные витки длинного, изолированного от железного сердечника проводника, подключаемые к сильной электрической батарее, а с другой — плотные витки электрического проводника, подключенного к гальванометру — прибору для обнаружения электрического тока. Железный сердечник был нужен для «поимки» силовых линий образующегося магнитного поля и передачи их внутрь контура второй обмотки. Первые результаты пришли не сразу. Сначала, сколько Фарадей ни наблюдал за своей установкой, при протекании электрического тока по первичной обмотке тока во вторичной обмотке не возбуждалось. Могло показаться, что предположения Фарадея относительно «преобразования» электричества в магнетизм и обратно ошибочны. И тут на помощь пришел случай: обнаружилось, к полному удивлению Фарадея, что стрелка гальванометра в цепи вторичной обмотки скачкообразно отклоняется от нулевого положения лишь при подключении или отключении батареи. И тогда Фарадея посетило великое прозрение: электрическое поле возбуждается лишь при изменении магнитного поля. Самого по себе присутствия магнитного поля недостаточно. Эффект возникновения электрического поля при изменении магнитного поля называют электромагнитной индукцией. Повторяя свои опыты и анализируя результаты, Фарадей вскоре пришел к выводу, что протекающий по контуру электрический заряд пропорционален изменению магнитного потока, проходящего через него. Представьте себе, что замкнутый электропроводящий контур положен на лист бумаги, через который проходят силовые линии магнитного поля. Магнитным потоком называется произведение площади контура на напряженность (условно говоря, число силовых линий) магнитного поля, проходящего через эту площадь перпендикулярно ей. В первоначальной формулировке закон электромагнитной индукции Фарадея гласил, что при изменении магнитного потока, проходящего через контур, по проводящему контуру протекает электрический заряд, пропорциональный изменению магнитного потока, который возбуждается без всякого внешнего источника питания типа электрической батареи. Не будучи до конца удовлетворенным формулировкой, в которой фигурировала столь трудноизмеримая величина, как электрический заряд, Фарадей вскоре объединил свой закон с законом Ома и получил формулу (иногда ее принято называть вторым законом электромагнитной индукции Фарадея) для определения электродвижущей силы, возникающей в результате изменения магнитного потока через контур. Изменить магнитный поток через контур можно тремя способами: изменить площадь контура; изменить интенсивность магнитного поля; изменить взаимную ориентацию магнитного поля и плоскости, в которой лежит контур. Последний метод работает, поскольку при таком движении изменяется проекция магнитного поля на перпендикуляр к площади контура, хотя ни напряженность магнитного поля, ни площадь контура не меняются. Это очень важно с практической точки зрения, поскольку именно это явление лежит в основе действия любого электрогенератора. В самом простом варианте генератора проволочный контур вращается между полюсами сильного магнита. Поскольку в процессе вращения магнитный поток, проходящий через контур, постоянно меняется, по нему всё время протекает электрический ток. Согласно правилу Ленца, на протяжении одного полуоборота контура ток будет течь в одну сторону, а на протяжении следующего полуоборота — в другую. По этому принципу и вырабатывается так хорошо нам знакомый переменный ток, который поступает в дома жителей всего мира по сетям энергоснабжения. Правило Ленца Индукционный электрический ток в проводнике, возникающий при изменении магнитного потока, направлен таким образом, что его магнитное поле противодействует изменению магнитного потока. В 1831 году английский физик Майкл Фарадей открыл то, что теперь называют законом электромагнитной индукции Фарадея, согласно которому изменение магнитного потока внутри проводящего контура возбуждает в этом контуре электрический ток даже при отсутствии в контуре источника питания. Оставленный Фарадеем открытым вопрос о направлении индукционного тока вскоре решил российский физик Эмилий Христианович Ленц. Представьте себе замкнутый круговой токопроводящий контур без подключенной батареи или иного источника питания, в который северным полюсом начинают вводить магнит. Это приведет к увеличению магнитного потока, проходящего через контур, и, согласно закону Фарадея, в контуре возникнет индуцированный ток. Этот ток, в свою очередь, согласно закону Био—Савара будет генерировать магнитное поле, свойства которого ничем не отличаются от свойств поля обычного магнита с северным и южным полюсами. Ленцу как раз и удалось выяснить, что индуцированный ток будет направлен таким образом, что северный полюс генерируемого током магнитного поля будет ориентирован в сторону северного полюса вдвигаемого магнита. Поскольку между двумя северными полюсами магнитов действуют силы взаимного отталкивания, наведенный в контуре индукционный ток потечет именно в таком направлении, что будет противодействовать введению магнита в контур. И это лишь частный случай, а в обобщенной формулировке правило Ленца гласит, что индукционный ток всегда направлен так, чтобы противодействовать вызвавшей его первопричине. Магнитные монополи В природе до сих пор не найдено изолированных магнитных зарядов. Поток магнитного поля, проходящий через замкнутую поверхность, равен нулю. У любого магнита есть два полюса — северный (отрицательный) и южный (положительный). Однако если разрезать магнит пополам, вы не получите отдельно южный и отдельно северный полюс — вы получите два магнита половинного размера, и у каждого снова окажется два полюса, ориентированные так же, как и у исходного магнита. И, сколько бы вы ни повторяли процесс такого деления магнитов, вы просто будете получать всё больше и больше двухполюсных магнитиков или, выражаясь научным языком, магнитных диполей. Как бы вы ни изощрялись, однополярного магнита — положительного или отрицательного магнитного заряда, или монополя, — вы не получите. Иными словами, в природе магнитных монополей не существует. Этот факт сразу же подчеркивает удивительную асимметрию между магнетизмом и электричеством. Согласно закону Био—Савара, магнитные поля возбуждаются при движении электрических зарядов, а первый из законов электромагнитной индукции Фарадея показывает, что движение магнитов возбуждает электрические токи. Однако носители электрических зарядов выделить можно — например, электроны несут отрицательный единичный заряд, а протоны — положительный. С магнитами же, судя по всему, дело обстоит иначе. Ученые уже давно ведут теоретические дискуссии о том, существуют ли магнитные монополи, и пытаются обнаружить их экспериментально, однако до сих пор тщетно. Во многом эти усилия обусловлены критерием красоты теории. Для физиков-теоретиков Вселенная без магнитного монополя подобна прекрасной картине с зияющей дырой в холсте. В ранней Вселенной должно было сформироваться великое множество магнитных монополей, однако при последующем стремительном расширении они оказались размазанными очень тонким слоем по холсту мироздания. Если монополи будут открыты, придется пересмотреть формулировки некоторых законов, описывающих явления магнетизма, в частности теорему Гаусса для магнитного поля. Представьте себе изолированный в пространстве магнитный монополь, окруженный замкнутой поверхностью произвольной конфигурации. В каждой точке поверхности будет наблюдаться магнитное поле, производимое монополем. Согласно закону Гаусса, суммарный магнитный поток, проходящий через такую замкнутую поверхность, должен равняться нулю, а в случае присутствия внутри нее магнитного монополя он будет, очевидно, отличен от нуля. То есть закон Гаусса не допускает существования магнитных монополей. Закон Гаусса, собственно, и исходит из того, что магнитные поля производятся диполями, их силовые линии замыкаются и, как следствие, проходят сквозь окружающую поверхность дважды — в ту и другую сторону. Поэтому суммарное поле и обнуляется. В случае же монополя, каковым, в частности, является электрический заряд, силовые линии не замыкаются сами на себя, и закон Гаусса не выполняется. В 1831 году Фарадей открыл, что перемещающийся возле проводника магнит порождает в проводнике электрический ток. Это явление было названо электромагнитной индукцией. Фарадей ввёл понятие «поля сил» — некоторой среды, находящейся между зарядами и токами. Его рассуждения носили качественный характер, однако они оказали огромное влияние на исследования Максвелла. В своём знаменитом «Трактате об электричестве и магнетизме» (1873) Максвелл писал: «Приступая к изучению труда Фарадея, я установил, что его метод понимания явлений был так же математическим, хотя и не представленным в форме обычных математических символов. Я также нашёл, что этот метод можно выразить в обычной математической форме и таким образом сравнить с методами профессиональных математиков.» Заменяя фарадеевский термин «поле сил» на понятие «напряжённость поля», Максвелл сделал его ключевым объектом своей теории. «Если мы примем эту среду в качестве гипотезы, я считаю, что она должна занимать выдающееся место в наших исследованиях, и что нам следовало бы попытаться сконструировать рациональное представление о всех деталях её действия, что и было моей постоянной целью в этом трактате.» Подобная электродинамическая среда явилась абсолютно новым понятием для ньютоновской физики. Последняя изучала взаимодействие между собой материальных тел. Максвелл же записал уравнения, которым должна подчиняться среда, определяющая взаимодействие зарядов и токов и существующая даже в их отсутствие. Согласно закону Био—Савара, электрический ток, проходящий по проводнику, возбуждает вокруг него магнитное поле. А что если электрический ток протекает не по проводнику, а через плоский конденсатор? Фактически, электроны не перескакивают с одной пластины на другую, однако ток всё равно проходит через конденсатор, поскольку электроны одной пластины взаимодействуют с электронами другой пластины, находясь в непосредственной близости друг от друга, и, в силу взаимного отталкивания, передают друг другу колебания (так называемые осцилляции) переменного тока, обеспечивая, тем самым, протекание тока через, казалось бы, очевидный разрыв в электрической цепи. Максвелл понял, что закон Ампера в этой ситуации не объясняет прохождение тока. Он также понял, что, хотя заряды с пластины на пластину не переходят, электрическое поле (сила, которая возникла бы, если бы мы поместили между пластинами воображаемый электрический заряд) увеличивается. Исходя из этого он постулировал, что в мире электромагнитных явлений изменяющееся электрическое поле может играть ту же роль в порождении магнитного поля, что и электрический ток. Максвелл ввел принципиально новое понятие тока смещения, добавив его в качестве отдельного слагаемого в обобщенный закон Ампера — первое уравнение Максвелла. И с тех пор наличие токов смещения раз за разом безоговорочно подтверждается экспериментальными данными. Внеся столь важное дополнение в первое из уравнений, Максвелл на основании составленной им системы уравнений чисто математически вывел фантастическое по тем временам предсказание: в природе должны существовать электромагнитные волны, формирующиеся в результате колебательного взаимодействия электрических и магнитных полей, и скорость их распространения должна быть пропорциональна силе между зарядами или между магнитами. Уравнения Максвелла представляют собой однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Максвелла в первоначальном виде состояли из системы 20 уравнений с 12 переменными. В 1880 году Хевисайд переписал результаты Максвелла в терминах векторного анализа. Современная форма уравнений Максвелла появилась около 1884 года после работ Хевисайда, Герца и Гиббса. Они не только переписали систему Максвелла в векторном виде, но и симметризовали её, переформулировав в терминах поля, избавившись от электрического и магнитного потенциалов, игравших в теории Максвелла существенную роль, поскольку полагали, что эти функции являются лишь ненужными вспомогательными математическими абстракциями. Интересно, что современная физика поддерживает Максвелла и не разделяет негативное отношение его ранних последователей к потенциалам. Электромагнитный потенциал играет важную роль в квантовой физике и проявляется как физически измеряемая величина в некоторых экспериментах, например, в эффекте Ааронова — Бома. Запись большинства уравнений в физике не зависит от выбора системы единиц. Однако в электродинамике это не так. В зависимости от выбора системы единиц, в уравнениях Максвелла возникают различные коэффициенты. Международная система единиц СИ является стандартом в технике и преподавании, однако споры среди физиков о её достоинствах и недостатках по сравнению с гауссовой системой единиц (СГС) не утихают. Преимущества системы СГС в электродинамике состоит в том, что все поля в ней имеют одну размерность, а уравнения, по мнению многих учёных, записываются проще и естественней. Поэтому СГС продолжает применяться в научных публикациях по электродинамике и в преподавании теоретической физики, например, в курсе теоретической физики Ландау и Лифшица. Однако для практических применений вводимые в СГС единицы измерений, многие из которых неименованы и неоднозначны, часто неудобны. В связи с этим, все соотношения, если они по разному записываются в системах СИ и СГС, далее приводятся в единицах СИ. Джеймс Клерк Максвелл (1831 - 1879) Джеймс Клерк Максвелл происходил из знатной и богатой шотландской семьи. Начальное образование Максвелл получил в Эдинбурге; там же он поступил в университет. Свое образование продолжил в Кембридже, в Тринити-колледже. Годом позже Максвелл получил премию Адамса за исследование устойчивости колец Сатурна. В 1856 г. Максвелл преподавал физику в Абердине, в Шотландии, а затем занял кафедру физики и астрономии в Королевском колледже. В Лондоне он занимался как кинетической теорией газов, предложив распределение скоростей молекул, известное теперь как распределение Максвелла, так и теоретическими и экспериментальными исследованиями в области электричества, где развитые им методы помогли создать абсолютную единицу сопротивления. После смерти отца в 1865 г. Максвелл оставил кафедру в Лондоне и надолго поселился в своем родовом имении Гленлер, вблизи Эдинбурга. Именно там им был написан двухтомный “Трактат об электричестве и магнетизме”, законченный в 1873 г. В этом замечательном сочинении, правда трудном в изложении и нелегком для понимания, была дана законченная теория явлений электромагнетизма, завершившаяся написанием уравнений электромагнитного поля — уравнений Максвелла. В 1871 г. после долгих колебаний Максвелл принял предложение стать первым директором Кавендишской лаборатории в Кембридже. Построенная Максвеллом лаборатория стала центром развития экспериментальной физики; за 100 лет существования в ней было сделано, быть может, больше открытий, чем где бы то ни было. После Максвелла кавендишскими профессорами Кембриджского университета были Релей, Дж. Томсон, Резерфорд, Брэгг, Мотт. Максвелл руководил постройкой лаборатории и был ее директором до смерти. Умер он от рака в возрасте 48 лет. Оливер Хевисайд (Oliver Heaviside) ( 18 мая,1850 - 3 февраля,1925) Хевисайд родился в Англии, лондонском районе Камден, в семье Томаса Хевисайда и Рейчел Елизабет Вест и был младшим из их четырех сыновей. Отец работал гравером и художником. В раннем детстве Оливер переболел скарлатиной, в результате чего серьезно пострадал его слух, и он был слабослышащим всю оставшуюся жизнь. Это обстоятельство серьезно повлияло на его детство, так как из-за проблем со слухом он не мог нормально общаться с ровесниками. Несмотря хорошую успеваемость, Оливер бросил школу в 16 лет и самостоятельно изучал азбуку Морзе, теорию электричества, электротехнику и занимался языками — немецким и датским. В 1868 году Хевисайд переезжает в Данию и становится телеграфистом, где быстро осваивает тонкости профессии телеграфиста. В 1871 году он возвращается в Англию и занимает пост старшего телеграфиста в Большой северной телеграфной компании в Ньюкасле, где отвечает за международный телеграфный трафик компании. В 1872-73 годах публикует свои первые работы по электричеству, которыми серьезно заинтересовался Джеймс Максвелл. Максвелл упоминает про исследования Хевисайда во втором издании своей книги «Исследования по электричеству и магнетизму», что вдохновляет Оливера на более серьезные занятия наукой. В 1874 году он оставляет должность телеграфиста и занимается исследованиями частным порядком в доме своих родителей. В это время он разработал теорию линий передачи (также известную как «телеграфные уравнения»). Хевисайд математически доказал, что равномерно распределённая ёмкость телеграфной линии минимизирует одновременно затухание и искажение сигнала. Если ёмкость достаточно велика и электрическое сопротивление изоляции не слишком велико, в линии не будет искажений и все частоты будут затухать одинаково. Уравнения Хевисайда способствовали дальнейшему развитию телеграфной связи. В 1880 году Хевисайд исследовал скин-эффект в телеграфных линиях передачи и переписал результаты Максвелла из их первоначальной неуклюжей формы в терминах современного векторного анализа, таким образом сведя систему из 20 уравнений с 12 переменными к 4 дифференциальным уравнениям, известным как уравнения Максвелла. Четыре уравнения Максвелла описывают природу неподвижных и движущихся заряженных частиц и магнитных диполей, и отношения между ними, а именно электромагнитную индукцию. Между 1880 и 1887 годами, Оливер Хевисайд разрабатывал операционное исчисление, метод решения дифференциальных уравнений с помощью сведения к обыкновенным алгебраическим уравнениям, который по началу вызвал бурную полемику из-за отсутствия строгого обоснования. Тогда он произнёс известную фразу: «Математика есть наука экспериментальная, определения появляются последними». Это было ответом на критику за использование ещё не вполне определённых операторов. В 1889 году, после открытия Томсоном электрона, Хевисайд начал работу над концепцией электромагнитной массы. Хевисайд считал её настолько же настоящей, как и массу материальную, способной производить такие же эффекты. Вильгельм Вин позднее проверил результат Хевисайда для малых ускорений. В 1891 году Британское Королевское Общество признало вклад Хевисайда в математическое описание электромагнитных явлений, присвоив звание Члена Королевского Общества. В 1905 году Хевисайд стал почётным доктором Университета Гёттингена. В 1902 году Хевисайд предсказал существование в ионосфере слоя Кеннелли-Хевисайда. Предположения Хевисайда включали способы передачи радиосигналов в обход кривизны земной поверхности. Существование ионосферы было подтверждено в 1923 году. Будучи всю жизнь не в ладах с научным сообществом, в последние годы жизни учёный стал весьма эксцентричен. Хотя в молодости Хевисайд активно занимался велосипедным спортом, на шестом десятке лет его здоровье серьёзно ухудшилось. В этот период Хевисайд подписывал корреспонденцию своим именем с инициалами W.O.R.M (червь). Хевисайд начал красить ногти в розовый цвет и использовать гранитные глыбы вместо домашней мебели. Хевисайд умер в Торки (Девон), и похоронен на кладбище Пейнтон. Большая часть признания пришла к нему после смерти. Хевисайд упростил для использования учёными оригинальные результаты Максвелла. Эта новая формулировка дала четыре векторных уравнения, известных теперь как уравнения Максвелла. Хевисайд ввёл так называемую функцию Хевисайда, используемую для моделирования электрического тока в цепи. Хевисайд разработал, назависимо от других математиков, понятие вектора и векторный анализ. Хевисайд создал операторный метод для линейных дифференциальных уравнений. Впервые применил комплексные числа для изучения электрических цепей, разработал технику применения преобразования Лапласа для решения дифференциальных уравнений Несмотря на то, что Хевисайд большую часть жизни был не в ладах с научным сообществом, его работы изменили облик математики и физики. Фундаментальные уравнения Максвелла Выражение "rotA" (ротор вектора) обозначает векторное произведение векторного дифференциального оператора ∇ на вектор A, т.е: где - единичные векторы, направленные вдоль осей координат x, y, z, соответственно. Выражение "divA" (дивергенция вектора) обозначает скалярное произведение векторного дифференциального оператора ∇ на вектор A, т.е.: Источником электромагнитного поля являются заряды и токи, характеристиками которых служат: - объемная плотность стороннего заряда (в единицах СИ — Кл/м3 ; Кл - Кулон); = u·ρ - вектор плотности электрического тока (в единицах СИ —A/м2 ; A - Ампер); u - скорость зарядов в данной точке; Связь электрического и магнитного полей с их источниками выражается первой парой уравнений Максвелла: Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле (Закон Био-Савара и наличие тока смещения) Электрический заряд является источником электрической индукции. (Закон Кулона, приводящий к теореме Гауса) D - электрическая индукция (в единицах СИ — Кл/м2 ; Кл - Кулон); H - напряженность магнитного поля (в единицах СИ — A/м; A - Ампер); Другая пара уравнений Максвелла показывает, что точечных магнитных зарядов не существует а также то, что изменение во времени магнитного поля приводит к образованию вихревого электрического поля: Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле (Закон Фарадея) Не существует точечных магнитных зарядов E - напряженность электрического поля (в единицах СИ — В/м); B - магнитная индукция (в единицах СИ — Тл=Вб/м2 =кг с-2; Тл - тесла, Вб - вебер, кг килограмм (массы), с - секунда); Запись большинства уравнений в физике не зависит от выбора системы единиц. Однако в электродинамике это не так. В зависимости от выбора системы единиц в уравнениях Максвелла возникают различные коэффициенты (константы) Международная система единиц СИ является стандартом в технике и преподавании, однако споры среди физиков о её достоинствах и недостатках по сравнению с конкурирующей симметричной гауссовой системой единиц (СГС) не утихают. Преимущество системы СГС в электродинамике состоит в том, что все поля в ней имеют одну размерность, а уравнения, по мнению многих учёных, записываются проще и естественней. Поэтому СГС продолжает применяться в научных публикациях по электродинамике и в преподавании теоретической физики, например, в курсе теоретической физики Ландау и Лифшица. Однако для практических применений вводимые в СГС единицы измерений, многие из которых неименованы и неоднозначны, часто неудобны. Система СИ стандартизована и лучше самосогласованна, на этой системе построена вся современная метрология. Кроме того, система СИ обычно используется в курсах общей физики. В связи с этим все соотношения, если они по-разному записываются в системах СИ и СГС, приводятся в двух вариантах. Всего получается система из восьми (два векторных с тремя компонентами каждое и два скалярных) линейных дифференциальных уравнений в частных производных 1го порядка для 12 компонент четырёх векторных функций (D,E,H,B). Жирным шрифтом обозначаются векторные величины. Приведённые выше уравнения Максвелла не составляют ещё полной системы уравнений электромагнитного поля, поскольку они не содержат свойств среды, в которой возбуждено электромагнитное поле. Соотношения, связывающие величины D,E,H,B и j и учитывающие индивидуальные свойства среды, называются материальными уравнениями. Распространение электромагнитных волн в веществе в тех случаях, когда длина волны велика по сравнению с межатомными расстояниями, можно рассматривать феноменологически, то есть без учета атомистического строения среды. Для этого уравнения Максвелла дополняются материальными уравнениями, в которых свойства среды учитываются введением соответствующих параметров. Хотя уравнения Максвелла в среде имеют вид, подобный уравнениям в вакууме, тем не менее имеются определенные различия, которые состоят в следующем. Физические величины, входящие в уравнения в среде – это средние значения. Усреднение производится по элементам объема, содержащим макроскопически большое число атомов или молекул, т.е. большим по сравнению со средним расстоянием между частицами. Линейный размер этих элементов должен быть много меньше характерного размера макроскопических неоднородностей, мерой которых служит длина электромагнитной волны. Такие элементы называют бесконечно малыми. Для света это порядка 10-7 м. В объеме (10-7 м)3 = 10-21 м3 содержится примерно 108 атомов в конденсированном веществе и 3.10 4 молекул любого газа при нормальных условиях. Именно в таком приближении вещество представляется непрерывным и однородным. Материальные уравнения γ - удельная электропроводность среды (в единицах СИ — Ом-1·м-1), µ0 - магнитная постоянная ( µ0 = 4π·10-7 = 1,256 637 06·10-6 Гн/м; Гн - генри), µ - относительная магнитная проницаемость среды, ε0 - диэлектрическая постоянная ( ε0 = 1/(µ0·с2) = 4π·10-7 = 8,854 187 82 ·10-12 Ф/м; Ф - фарад), ε - относительная диэлектрическая проницаемость среды, с - постоянная скорости света (299 792 458 м/с). Размерные величины εε0 (в единицах СИ — Ф/м) и µµ0 (в единицах СИ — Гн/м), возникающие в системе СИ, называются абсолютная диэлектрическая проницаемость и абсолютная магнитная проницаемость соответственно. Для вакуума при отсутствии токов и зарядов ( ε=µ=1, ρ=0, Максвелла принимают более простой вид: где =0) уравнения - электродинамическая постоянная. Скорость распространения электромагнитной волны в вакууме оказалась равной электродинамической постоянной , имеющей в системе СИ размерность скорости. Измерения скорости света в вакууме, выполненные Физо, показали, что ее значение (~3,15*108 м/с) является очень близким к значению электродинамической постоянной, которую несколько раньше определили Вебер и Кальрауш. Из уравнений Максвелла также следует поперечность электромагнитных волн. Поперечность световых волн вытекает из опытов Юнга по исследованию поляризации света. Эти два факта - совпадение скорости распространения электромагнитных волн и скорости света и их поперечность привели Максвелла к заключению, что свет является электромагнитной волной. Дифференциальные уравнения Максвелла связывают электрическую и магнитную составляющие электромагнитной волны Свет, в котором направление колебания электрического или магнитного вектора каким-то образом упорядочены, называется поляризованным, в отличие от естественного, в котором все направления колебаний равновероятны. Известно, что в стоячей электромагнитной волне пучности электрической и магнитной компонент сдвинуты друг относительно друга на ¼ длины волны в пространстве и на ¼ периода колебаний во времени. При этом для волны в целом половина энергии содержится в электрической компоненте, а половина – в магнитной. Распространение электромагнитных волн со скоростью света первоначально интерпретировалось как возмущения некоторой среды, так называемого эфира. Были предприняты многочисленные попытки обнаружить движение Земли относительно эфира, однако они неизменно давали отрицательный результат. Поэтому Анри Пуанкаре высказал гипотезу о принципиальной невозможности обнаружить подобное движение (принцип относительности). Ему же принадлежит постулат о независимости скорости света от скорости его источника. Эти две гипотезы легли в основу популярной статьи Альберта Эйнштейна, в которой излагались эти результаты (1905 год) [Einstein A. «Zur Elektrodynamik bewegter Korper» Ann Phys.- 1905.- Bd 17.- S. 891. Перевод: Эйнштейн А. «К электродинамике движущихся тел»]. Электромагнитные волны были предсказаны Максвеллом и лишь через 25 лет обнаружены в опытах Герца. В 1888 г. Герц при помощи металлического зеркала наблюдал отражение, преломление волн, установил их поляризацию. Он также наблюдал стоячие волны, тем самым, показав возможность их интерференции. Таким образом, опыты Герца показали, что электромагнитные волны обладают свойствами световых волн. Уравнения Максвелла получены феноменологическим обобщением опытных фактов, не стоит ожидать, что они угаданы в окончательной форме. Уравнения Максвелла, как говорил Герц, живут самостоятельной жизнью и иногда кажутся даже умнее человека, создавшего их.
