практика 7 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 2015

Электромагнитные колебания
•
•
•
•
Параметры колебательных систем
Уравнения колебаний
Затухающие колебания
Переменный ток
Основные формулы
T  2 LC
Q  Qm cos(0t  )
dQ


I
 Q  0Qm sin(0t  )  I m cos  0t    
dt
2

Q Qm
UC  
cos(0t  )  U m cos(0t  )
C C
1
R2

 2
LC 4 L
Q  Qme t cos(t  )
Qm 
Q  Qm cos(t  )

  T 

Q
1 L
R C
Um
1 

 R 2   L 

C 

Основные формулы
 рез
2
1
R
 02  22 
 2
LC 2 L
(Qm ) рез
Um
L

2 02  2
X L  L
1
XC 
C
1
L 
C
tg  
R
1
X  X L  X C  L 
C
2
1 
2 
2
2
Z  R   L 

R

(
R

R
)

L
C

C


 рез  0 
( I m ) рез
Um

R
1
LC
1
 P   I mU m cos 
2
cos  
R
1 
2 
R   L 


C


2
1. Логарифмический декремент затухания тела, колеблющегося с частотой 50
Гц, равен 0.01. Определить 1) время, за которое амплитуда колебаний
уменьшиться в е раз. 2) число полных колебаний тела, чтобы произошло
подобное уменьшение амплитуды.
Решение:
  A( t ) sin t
A( t )  A0 e   t
A( t )  A0 e  t

  T 

A0
t
ln

A
1
t
N e   t
T
1.1 Начальная амплитуда затухающих колебаний A0. По истечении  секунд
A0/3. Определить время, по истечении которого амплитуда станет равной A0/10
2. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности L,
конденсатора C и резистора. Определить сопротивление резистора, если
известно, что амплитуда силы тока в контуре уменьшилась в е раз за n полных
колебаний.
Решение:
n

T

T
1

2L
n R
0  1
2
02   2
  R 2L
LC
1
R2
 2
LC 4 L  1
2
2
4L
1
2
RC
L
R2
C 1  4 2 n 2


3. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности L,
конденсатора C и резистора R. Определить как измениться добротность
контура, если индуктивность увеличить в 2 раза, а емкость уменьшить в 4
раза .
Решение:
1 L
Q1 
R C
Q2 
1 2L
1
L

8
 2 2Q1
R C/4 R
C
4. Гармонические колебания напряжения на конденсаторе описываются
уравнением U  0.01cos(4 t  8 ) , В. Определите 1) амплитуду колебаний; 2)
циклическую частоту; 3) период колебаний; 4) частоту колебаний; 5)
начальную фазу колебаний, напряжение через четверть периода.
Решение:
A  0.01 B


U  0.01cos  4 t  
8

  4
0 

8
2
2 1
T

 сек
 4 2
T 1
t   сек
4 8
1 
5

U  0.01cos  4     0.01cos
8 8
8

5. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С =100
пФ, катушки индуктивностью L = 0,01 Гн и резистора сопротивлением R
= 20 Ом.
Определите: добротность контура, период
затухающих
колебаний; через сколько полных колебаний амплитуда тока в контуре
уменьшится в 3e раз.
Решение:
1 L
Q
R C
t 1 A0
N   ln
T 
A
T  2
1
 LC 
2
R2
 2
4L
t
  T
A0
1
N
ln
T A
R

2L
2 L A0 2 L
N
ln

ln 3
RT
A RT
1

ln
A0
A
6. Запишите уравнение затухающих колебаний, если максимальная
величина заряда q0 составляет 10 нКл, период затухающих колебаний T = 3
с, логарифмический декремент затухания θ=0,03, начальная фаза
колебаний равна 30 градусов.
Решение:

0.03
 
 0.01 с 1
T
3
2 2


T
3
q  q0e  t cos t  0 
q  10  e
0.01t

 2
cos 
t 
6
 3
6.1 Запишите уравнение затухающих колебаний, если максимальная
величина заряда q0 составляет 100 нКл, период затухающих колебаний T =
5 с, время релаксации 0,03 сек, начальная фаза колебаний равна 60
градусов.
7. По графику зависимости напряжения от времени на резисторе
сопротивлением 100 Ом найти максимальное значение напряжения и силы
тока на резисторе, среднюю мощность, выделяемую током на резисторе.
Написать уравнения зависимости напряжения и силы тока от времени на
резисторе.
Решение:
U m  50 В
T  0.8 c
Um
Im 
 0.5 A
R
P  I дU д
I mU m U m2
P

 12.5 Вт
2
2R

2 2

 2.5 с 1
T
0.8
u  U m cos t   50cos  2.5 t 
i  I m cos t   0.5cos  2.5 t 
8. В цепи, показанной на рисунке, конденсатор емкостью С1 = 10−5 Ф
вначале заряжен до напряжения U1 = 200 В, а конденсатор емкостью С2 =
10−6 Ф разряжен. До какого максимального напряжения U2max может
зарядиться конденсатор С2 в процессе колебаний, возникающих в цепи
после замыкания ключа? Потерями в соединительных проводах и в катушке
индуктивности пренебречь.
Решение:
C1U1  q 

C1U
q2


2
2C1
2C2
2
2
1
2U1C1C2
q
C1  C2
U 2 max 
q
U2 
C2
2U1C1
 364 В
C1  C2
9. В цепи переменного тока с частотой 50
Гц и действующим напряжением 300 В
последовательно включены конденсатор,
резистор 50 Ом и катушка 0.1 Гн. Падения
напряжения U1/U2 как ½. Определить
электроемкость и действующее значение
силы тока
Im 
Решение:
Im 
U m1
R2  1
C
1
R 2  L 
2
2
1
2 3R 2  42L 
2
Im 


R 2   L   1




C


U m2
Im 
C 
Um
 30 мкФ
Um


R 2   L   1

C  

2
 3.3 мА
2
10. Найти формулы для полного сопротивления цепи Z и сдвига фаз
между напряжением и током φ при различных включениях сопротивления R,
емкости C и индуктивности L :
1) R и С включены последовательно, 2) R и С включены параллельно, 3)
L и С включены последовательно, 4) L и С включены параллельно, 5) R , L
и С включены последовательно
Решение:

Z  R    L   1

 C 

2
Im 
Um



2
Im


UC 
cos t    
С
2



U L  I mL cos t    
2

2

U R  I m R cost   


R   L   1
C  

2
1
L 
C
tg  
R
U R  U C  U L  U m cos t
10.1) R и С включены последовательно L=0
Im 
Um

R  1
  C 

2



2
1
tg   
CR
10.2) R и С включены параллельно – две параллельных цепи в которых только
R и C соответственно
1
1
2

 C 
2
Z
R
IС  U mС
IR 
Um
Z
R
1  R 2 2C 2
IС
tg 
  RC
IR
R
10.3) R и L включены последовательно C=0
Im 
L
tg  
R
Um
R   L 
2
2
10.4) R и L включены параллельно – две параллельных цепи в которых
только R и L соответственно
1

Z
IR 
Um
R
IL 
Um
L
1  1 


2
R  L 
2
Z
R L
R 2   2 L2
IL
R
tg 

IR L
10.5) R , L и С включены последовательно
Im 
Um


1
R   L  

C  

2
tg  
L 
R
1
C
2
11. Для схемы определить ток в
цепи,
коэффициент
мощности,
активную и реактивную и полную
мощность и построить векторную
диаграмму
Решение:
1. импеданс
2. Полный ток в цепи
U
I   5А
Z
4. Полная мощность
Z
 r1  r2  r3    X L  X C 
2
2
 20Ом
3. Коэффициент мощности цепи
r1  r2  r3
cos  
 0.8
Z
5. Активная мощность
  37
6. Реактивная мощность
S  UI  500ВА P  S cos   400 Вт Q  S sin   300 Вар
S  I Z  500 ВА
2
P  I 2  r1  r2  r3   400Вт
X L  XC
sin  
 0.6
Z
12. В колебательном контуре, содержащем катушку индуктивности L и
конденсатор C и резистор R, поддерживаются незатухающие гармонические
колебания. Определить амплитудное значение напряжения на конденсаторе
UmC, если средняя мощность, потребляемая колебательным контуром,
составляет Pср.
Решение:
Pср
2
m
I R
Pср 
2
I m  CU mC
  0  1
LC
2

CU mC 2 R C 2U mC
2R


2
2
2
CU mC
R
Pср 
2L
U mC 
2 LPср
RC
3.1 Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С, катушки
индуктивности L и сопротивления R. Какую среднюю мощность должен
потреблять контур, чтобы в нем поддерживались незатухающие колебания с
амплитудным значением напряжения на конденсаторе U0
13. Определить характер нагрузки, полную, активную и реактивную
мощности цепи, в которой мгновенные значения напряжения и тока
составляют U=282sin(ωt+60°); I=141sin(ωt+30°)
Решение:
 1  60о
 2  30о
   1  2  30о - активно-индуктивный характер
S  IU 
Im Um
2
141 282

 20 103 В  А
2
2 2
P  S cos   17,3 103 Вт
Q  S sin   103 вар
14. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С, катушки
индуктивности L и сопротивления R. Какую среднюю мощность должен
потреблять контур, чтобы в нем поддерживались незатухающие колебания с
амплитудным значением напряжения на конденсаторе U0
Решение:
0  1
LC
Q Q
N 

t T
U  U 0 sin 0t   
t T
dq
dU
C
Q   I Rdt I 
dt
dt
t
2
I  СU 00 cos0t   
t T
2 2 2
RС
U 0 0 T
2 2 2
2
Q  RС U 0 0  cos 0t   dt 
2
t
RС 2U 0202
N 
2
08.В 1колебательном
последовательном контуре происходят вынужденные
LC
U
гармонические колебания. При частотах вынуждающей ЭДС I 
=C
300
с-1 и
01
0
2 = 600
амплитуда силы тока составляет половину своего максимального
значения. Определить частоту собственных колебаний и резонансную
частоту вынуждающей ЭДС.
с-1
Решение:
U0 

 002
2
0

   4 
2
 р    2
2
0

0

2
I0 
2
  0
L 02  12  4 212
0
4L


L 02   2  4  2 2
0
I 0 ,max 
2L
2

 00

0

L 02  22  4 222

0
4L
0
0



2
2
2 2
 L 0   2  4   2 4  L

0
0


2
2
2
2
 L     4 
4L
0
1
1




L




L





0
2



 2   4  2
 2

2
0
0


 1
 1
2
0
2

  4  2

0

4L
0

4L
2
  2

0

 2   4 2  16 2
 2


2
2

 0
2
2





4


16

1 


 1

02
  12
2 
2

 2
0     12
1
 1


2 

 1
2 1
2
0
2
0
0  1 2
0  424с 1
02
 1   12
1

2  1
12
 р  02  2 2
 р  406с 1

2
0
 1.3
Существенное отличие резонансной частоты
от собственной частоты свидетельствует о
быстром затухании колебаний – большом
логарифмическом декременте затухания
ВОПРОСЫ К КОЛЛОКВИУМУ № 2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Две формы уравнения колебаний, примеры колебательных систем
Параметры колебательных систем. Энергия при колебательном
движении.
Затухающие колебания
Вынужденные колебания
Резонанс, автоколебания и другие виды колебательных движений
Метод векторных диаграмм. Пример.
Сложение колебаний одинакового направления
Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний
Примеры колебательных систем. Параметры систем.
Физический маятник. Приведенная длина.
Гармонические электромагнитные колебания
Затухающие электромагнитные колебания.
Вынужденные электромагнитные колебания.
Резонанс в различных контурах. Метод диаграмм.
Переменный ток. Закон Ома. Импеданс.
Переменный ток . Мощность.