N - Томский политехнический университет
advertisement
Томский политехнический университет ЕНМФ щей физики н Юрий Иванович Адрес: пр. Ленина, 43, г.Томск, Россия, 634034 tyurin@fnsm.tpu.edu.ru, Тел. 8-3822-563-621 Факс 8-3822-563-403 Сегодня: суббота, 7 мая 2016 г. Лекция 8 Тема: МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА Содержание лекции: 8.1.Введение 8.2. Давление и гидростатика 8.3. Барометр 8.4. Атомная и молекулярная массы 8.5. Давление газа 8.6.Основное уравнение МКТ 8.7.Физический смысл абсолютной температуры 8.8. Равнораспределение энергии 8.9. Кинетическая теория тепла 8.10. Механический эквивалент тепла 8.1.Введение Развитие промышленности в XVIII в. поставило перед наукой и техникой задачу создания машиндвигателей компактных и мощных. Применявшиеся водяные и ветряные колеса было трудно использовать на фабриках в городах, а их мощность была недостаточной. Постепенно стало ясно, что для реализации двигателя, не связанного с использованием силы ветра и воды, нужно выйти за пределы механического движения и обратиться к немеханическим явлениям – к тепловым, к «двигательной силе огня». Реактивное движение шара, установленного на трубчатых стойках, за счет реакции, оказываемой выходящим паром, было продемонстрировано еще 2000 лет назад Героном Александрийским (рис. 8.1). Универсальная паровая машина с автоматическим парораспределением и двумя цилиндрами, работавшими поочередно и непрерывно, была построена в 1763 г. уральским механиком Иваном Ивановичем Ползуновым, но здесь она несколько опередила свое время. В 1769 1784 гг. английский инженер Д. Уатт в созданных им паровых машинах применил отсечку пара на части хода поршня, что позволило использовать работу не только наполнения, но и расширения пара. В машине использовались холодильник для конденсации отработавшего пара, паровая рубашка для обогрева рабочего цилиндра, автоматический регулятор числа оборотов. В первые десятилетия XIX в. двигатели Уатта начали занимать господствующее положение на фабриках и транспорте. Представление о теплоте, как о роде движения, высказывались в XVIII в. Д. Бернулли и М. Ломоносовым. Опытными основами молекулярно-кинетической теории, т.е. науки, изучающей макроскопические процессы в телах и окружающем нас мире, которые связаны с поведением огромного числа атомов и молекул, служили: явления диффузии и растворения, наглядно указывающие на взаимопроникновение веществ; упругость газов, вязкость жидкостей и газов, теплопроводность, превращение агрегатных состояний; хаотическое движение мельчайших взвешенных в жидкости частиц – броуновское движение, открытое в 1827 г. английским ботаником Р. Броуном. Причина броуновского движения заключается в том, что микроскопическая капелька или твердая частица, взвешенная в жидкости, получает множество ударов от окружающих ее молекул жидкости. Эти удары имеют некоторую равнодействующую, в направлении которой и происходят наблюдаемые перемещения. Типичный объем газа содержит огромное число частиц. Совершенно бессмысленно пытаться проследить движение каждой частицы газа или молекулы. Тем не менее существует ряд макроскопических величин, которые мы можем вычислить: это плотность, давление, теплота, энтропия, внутренняя и механическая энергии. Применив законы ньютоновской механики к частицам такой большой системы, удается вывести полезные соотношения между макроскопическими величинами. Раздел физики, в котором изучаются соотношения между этими величинами, называется молекулярнокинетической теорией. Основываясь на атомно-молекулярной гипотезе строения вещества и моделируя характер межатомных и межмолекулярных взаимодействий, удается построить целостную физическую картину окружающего нас мира и, в частности, протекающих в нем тепловых процессов. 8.2. Давление и гидростатика Находящиеся под давлением газ или жидкость действуют с некоторой силой на любую поверхность, ограничивающую их объем. Пусть жидкость или газ покоятся (гидростатика). В этом случае сила действует по нормали к ограничивающей объем поверхности. Давление на поверхность равно F P= , S где F – сила, действующая на поверхность площадью S. Можно также говорить о давлении внутри газа или жидкости. Его можно измерить, помещая в газ или жидкость небольшой куб (рис. 8.2) с тонкими стенками, наполненный той же средой. Поскольку среда покоится, на каждую грань куба со стороны среды действует одна и та же сила F. В окрестности куба давление равно F/S, где S – площадь грани куба. Из этого следует, что внутреннее давление является одним и тем же во всех направлениях, и, если не учитывать силу тяжести, оно будет одним и тем же во всем объеме независимо от формы сосуда. Этот результат называется законом Паскаля: Если к некоторой части поверхности, ограничивающей газ или жидкость, приложено давление P0, то оно одинаково передается любой части этой поверхности. Допустим, автомобиль поднимается гидравлическим домкратом, состоящим, как показано на рис. 8.3, из двух соединенных трубкой цилиндров с поршнями. Диаметр большого цилиндра равен 1 м, а диаметр малого 10 см. Автомобиль имеет вес F2. Найдем силу давления на поршень малого цилиндра, необходимую для подъема автомобиля. Рис. 8.3. Гидравлический домкрат для подъема автомобилей Поскольку оба поршня являются стенками одного и того же сосуда, то в соответствии с законом Паскаля они испытывают одинаковое давление. Пусть Р1 = F1/S1 – давление на малый поршень, а Р2 = F2/S2 – давление на большой поршень. Тогда Р1=Р2 . F1 F2 S1 S 2 Откуда F1 = F2(S1/S2) = 0,01F2. Таким образом, для подъема автомобиля достаточно давить на малый поршень с силой, составляющей лишь 1% веса автомобиля. При наличии силы тяжести закон Паскаля для несжимаемой жидкости принимает вид Р = Р0 + gh, где Р0 – внешнее давление, приложенное к верхней стенке сосуда; – плотность жидкости и h – расстояние от верхней стенки. Рассмотрим, например, столб жидкости, изображенный на рис. 8.4. Помимо силы внешнего давления Р0S на дно действует сила тяжести столба жидкости: mg = (Sh)g. Полная сила давления на дно сосуда F = Р0S + Sgh. Рис. 8.4. Столб жидкости высотой h. Сверху приложено внешнее давление Р0 8.3. Барометр Высота земной атмосферы составляет несколько сотен километров. Так как Р = gh, то давление Р0 на поверхности Земли должно быть равно высоте атмосферы h, умноженной на g и на плотность воздуха , усредненную по высоте атмосферы. Численное значение атмосферного давления равно Р0 = 1,01105 Н/м2 (атмосферное давление). Это значение давления называют атмосферой (атм). 1 атм = 1,01105 Н/м2. Пусть запаянная с одного конца трубка, наполненная ртутью (плотность ртути = 13,6103 кг/м3), помещена вертикально открытым концом в широкий сосуд с ртутью (рис. 8.5). Давления в точках А и В должны быть одинаковыми, поскольку обе точки расположены на одной и той же высоте. В соответствии с законом Паскаля PА = pgh, где h – высота ртутного столба, а давление на поверхности ртутьвоздух должно быть равно атмосферному, т.е. РВ = Pатм. Следовательно, gh = Ратм, h = (1/g)Pатм = =[1,01105]/[13,61039,8] м = 0,76 м. Рис. 8.5. Ртутный барометр В соответствии с формулой P = pgh высота столба в водяном барометре будет в 13,6 раз больше, чем в ртутном, поскольку плотность воды в 13,6 раз меньше, чем у ртути. Высота столба в водяной трубке составляла бы 10,3 м. Если бы трубку, сначала наполненную воздухом, затем откачать установленным вверху насосом, как показано на рис. 8.6, то воду можно было бы поднять лишь на высоту 10,3 м. Те же формулы применимы и при решении задач о давлении во внутренних частях звезд и планет. Рассчитаем давление в центре Земли и в центре Солнца. Можно считать, что они имеют шарообразную форму и постоянную плотность: RЗ = 6,36106 м, RС = 6,95108 м, З = 5,52103 кг/м3, С = 1,42103 кг/м3. На поверхности Солнца ускорение свободного падения равно 274 м/с2. Давление на глубине h равно Р = gсрh, где gср– среднее ускорение свободного падения. На глубине h = R : Р = gсрR. Поскольку g возрастает линейно при удалении от центра однородного шара, то gср = g/2 и Р = gR/2. Для Земли P = (5,52103)(9,8)(6,36106)/2 = =1,721011 Н/м2. Для Солнца P = (1,42103)(274)(6,95108)/2 = =1,351014 Н/м2. 8.4. Атомная и молекулярная массы В термодинамике широко используют понятия киломоль (моль) и число Авогадро. Дадим определения этих величин. Моль это стандартизованное количество любого вещества, находящегося в газообразном, жидком или твердом состоянии. Особенно часто этим понятием пользуются химики. Моль химического элемента или соединения определяется как такое количество этого вещества, масса которого в граммах численно равна его молекулярной массе (киломоль: масса в килограммах равна его молекулярной массе): 1 моль количество грамм вещества, равное его молекулярной массе (определение моля). 1 киломоль количество килограмм вещества, равное его молекулярной массе (определение киломоля). Молекулярная масса соединения представляет собой сумму атомных масс образующих его элементов. Атомная масса изотопа углерода 12С принимается равной 12. При этом атомная масса водорода оказывается равной 1,008. Это означает, что отношение масс записывается в виде 1 M H 1,008 12 12 M C Масса 1 моля l2C равна 12 г, а масса одного моля молекулярного водорода (1Н2) равна (21,008) г = 2,016 г. Атомная масса (атомный вес), обозначаемая буквой А, равна . m A (масса атома элемента) A (1 / 12)mC (1/12 массы атома углерода ) Атомная единица массы равна 1/12 массы изотопа углерода 12С 1 а.е.м. = 1,66056551027 кг. Молекулярная масса (молекулярный вес) . mM (масса молекулы) M (1 / 12)mC Если обозначить через единичную массу (в кг) mед = 1/12 (mC), то масса атома и молекулы в килограммах будет равна mA = A mед, mM = M mед. Два химически простых вещества, взятых в количествах, что их массы относятся как атомные веса, содержат по одинаковому числу атомов (то же справедливо и для молекул) A1 mед n1 m1 A1 m 2 A2 A2 mед n 2 откуда следует, что n1 = n2. Количество данного элемента, масса которого, выраженная в килограммах, численно равна его атомному весу, называется килограмм-атомом (килоатомом). Такое же количество вещества, масса которого, выраженная в килограммах, равна его молекулярному весу, называется килограмммолекулой или киломолем (кмоль) и обозначается буквой . численно [кг/кмоль = г/моль] М или А (безразмерные). Число частиц в киломоле любого вещества постоянно и равно величине, называемой числом Авогадро. (кг/кмоль ) M (кг/кмоль ) 1 1 26 NA 6,022045 10 M mед (кг ) M mед (кг ) mед кмоль Используя значения числа Авогадро, можно легко оценить объем и размеры молекул вещества. Если мы возьмем один киломоль воды, т.е. VКМ = 0,018 м3 (объем 18 кг воды), то в нем достаточно плотно упаковано NA молекул, а следовательно, объем одной молекулы равен: Vмол VКМ 0,018 м 3 /ккмол NA 6,02 10 26 кмоль -1 = 3010–30 м 3 Учитывая, что объем молекулы пропорционален кубу ее линейных размеров V ~ r3, находим оценку линейных размеров молекулы r Vмол 30 10 3 30 м 3Å 3 8.5. Давление газа Известно, что газ оказывает давление, т.е. действует с некоторой силой на единицу окружающей его поверхности. Появление этой силы связано с ударами о поверхность большого числа атомов и (или) молекул. Определим с точки зрения молекулярно-кинетической теории, чему равно давление идеального газа на стенки сосуда. Под идеальным мы будем понимать газ: радиус взаимодействия двух молекул которого много меньше среднего расстояния между ними, или, иначе говоря, молекулы которого взаимодействуют практически только при столкновениях (рис. 8.9). объем всех молекул газа много меньше объема, занятого газом. Известно, что для такого газа справедливо уравнение состояния, которое связывает его давление, объем и температуру. Данное уравнение называется уравнением Менделеева Рис. 8.9. Энергия Клапейрона: взаимодействия частиц идеального PV = (m/ )RT. Здесь P – давление, V – объем, газа. Частицы взаимодействуют занимаемый m/ молями только при идеального газа при соударении r = d как температуре Т, R – абсолютно упругие универсальная газовая шары постоянная. Покажем, что уравнение состояния может быть получено на основе общих принципов механики Ньютона и законов сохранения импульса и энергии. При этом удается расшифровать и смысл абсолютной температуры Т. 8.6.Основное уравнение МКТ Пусть частицы идеального газа находятся в сосуде, где имеется поршень площадью S. Поршень упруго отражает сталкивающиеся с ним атомы (рис. 8.10). В условиях теплового равновесия между газом и поршнем энергия сталкивающихся с поршнем и отраженных от поршня частиц не изменяется, а следовательно, не изменяется и величина скорости частиц до и после соударения о поршень. Если v скорость частицы газа, а vх ее компонента вдоль оси x, то изменение импульса поршня при соударении с ним одной частицы газа определяется разностью импульсов частицы до и после соударения: Px = mvx – (–mvx) = 2mvx. Число соударений частиц за время dt о поршень площадью S равно N = Svx ndt, где n – концентрация частиц со скоростью vх в сосуде. Полное изменение импульса поршня пропорционально произведению Px и N: Рис. 8.10. Упругие столкновения частиц газа с поршнем Число соударений частиц за время dt о поршень площадью S равно N = Svx ndt, где n – концентрация частиц со скоростью vх в сосуде. Полное изменение импульса поршня пропорционально произведению Px и N: dP = Px N = 2mvx2 nSdt. Сила, действующая на поршень, равна F = dP/dt = 2mvx2 n. не все частицы из n имеющихся двигаются к поршню, поскольку их движение хаотично и случайно. Поэтому полученное выражение надо уменьшить в два раза и, кроме того, учесть, что скорости движения частиц различны: n1 частиц имеет скорость v1х, n2 v2х и т.д. В результате получаем: v n v n ... v n 2 n1 n2 ... ni mn v x , Pm n1 n2 ... ni 2 1x 1 2 2x 2 2 ix i где n = n1 + n2 + … + ni – концентрация частиц в единице объема, а величина 2 2 i x ix i i i – среднее от квадрата скорости. v v n / n Поскольку движение молекул происходит в трех независимых направлениях x, y, z, и ни одно из них ничем не отличается от других, то средние величины квадратов трех независимых компонент скоростей равны: vx2 = vy2 = vz2, а величина среднего квадрата любой из компонент скорости может быть выражена через среднее от квадрата полной скорости v 2 v x2 v y2 v z2 3 v2 3 Давление частиц идеального газа на поршень 2 равно 2 mv 2 P n 3 2 3 n Eк Здесь Eк = mv2/2 средняя кинетическая энергия теплового движения частицы газа. Умножим левую и правую часть этого равенства на объем, занимаемый газом V = (m/)V, где V объем одного киломоля, m/ число киломолей газа, причем nV = NA – число Авогадро – число частиц в одном киломоле: NA = 6,022045∙1026 кмоль1. Имеем: 2 m 2 m PV = Eк V n = Eк NA 3 3 уравнение состояния - связывает давление и объем. Сравнив полученное соотношение с уравнением Менделеева – Клапейрона PV = (m/)RT, мы получим (k = R/NA): T = (2 <Eк> /3k). абсолютная температура идеального газа служит мерой средней кинетической энергии теплового движения частиц газа. Абсолютный нуль соответствует неподвижности частиц газа. Найдем полную энергию одноатомного газа U = <Eк> (m/)NA: PV = 2U/3 Р=nkT. 8.7. Физический смысл абсолютной температуры Средние кинетические энергии атомов и молекул системы тел, находящихся в состоянии теплового равновесия, равны. Поэтому данная величина служит характеристикой системы тел в состоянии равновесия. Это свойство позволяет определять параметр состояния-температуру, выравнивающийся у всех тел, контактирующих между собой и не взаимодействующих с другими системами, как величину, пропорциональную средней кинетической 2 энергии частиц в сосуде: 2 mv T 3k 2 Величину Т называют абсолютной температурой и измеряют в градусах Кельвина (К), k постоянная Больцмана. k = 1,3806621023 ДжК1 Вычислим температуру в центре Солнца, считая, что оно имеет шарообразную форму и постоянную плотность, соответствующую идеальному газу атомов водорода. Общая масса Солнца М = 2,001030 кг, R = 6,96108 м, масса молекулы водорода mH = 1,6710–27 кг. Решим уравнение = mP/kT относительно Т; mH P M 3 кг T , где 1 , 41 10 . 3 3 k 4 / 3R м Для давления в центре Солнца можно использовать значение Р, полученное в п.8.3, а именно Р = 1,351014 Н/м2. Тогда 27 (1,67 10 )(1,35 10 ) 7 Т 1,6 10 K 23 3 (1,38 10 )(1,4110 ) 14 Столь высокой температуры достаточно для поддержания медленной, но устойчивой термоядерной реакции. При Т = 0 К всякое движение молекул прекращается. Такую температуру называют абсолютным нулем, она соответствует –273 С. 8.8. Равнораспределение энергии Имеет место теорема о равнораспределении средней кинетической энергии по степеням свободы. Теорема о равнораспределении говорит, что средняя кинетическая энергия, приходящаяся при тепловом равновесии на одну степень свободы любой атомно-молекулярной системы, равна (1/2)kT. Для молекулы, состоящей из r атомов, средняя кинетическая энергия равна (3/2)rkT. При этом (3/2)kT кинетическая энергия теплового движения молекулы как целого, а (3/2)(r – 1)kT это внутренняя кинетическая энергия вращения и колебания. . Число степеней свободы тела равно числу независимых координат, необходимых для однозначного задания его положения в пространстве. Имеются три степени свободы, определяющие ориентацию твердого тела относительно его центра. Каждая молекула имеет кинетическую энергию, в среднем равную 3kT/2. Полная кинетическая энергия N таких молекул равна 3NkT. Общее число степеней свободы у молекулы складывается из поступательных i 1, вращательных i2 и удвоенной величины колебательных степеней свободы i3, поскольку с колебаниями связаны два вида энергии – потенциальная и кинетическая, средние значения которых при гармонических колебаниях равны между собой r = i1 + i2 + 2i3. В экспериментах наблюдались отклонения от закона равнораспределения энергии. Согласно квантово-механическому рассмотрению момент импульса молекулы не может быть меньше, чем L= h 2 10–34 Джс. Соответствующая минимальная кинетическая энергия для возбуждения вращательных степеней 2 свободы равна L Екин = . 2I Если (1/2)kT меньше этой величины, то энергии соударений будет недостаточно для возбуждения вращательного движения. Например, для молекулы водорода 2 kT h 1 2 2 2 I I = 2mR2, m = 1,6710–27 кг, R = 510–11 м, I = 8,310–48 кгм2, Т = 87 К. Поэтому у молекул H2 вращательные степени свободы «размораживаются» вблизи температуры 100 К. При температуре примерно 2000 К у молекулы H2 начинают проявляться колебательные степени свободы с энергией h =(1/2)kT + (1/2)kT. Для H2 частота внутримолекулярных колебаний равна 1014 с–1, и при Т = 4000 К колебательные степени свободы также будут «разморожены». 8.9. Кинетическая теория тепла Внутренняя энергия определялась как сумма кинетической и потенциальной энергий отдельных частиц за вычетом энергии макроскопического движения тела как целого. Внутренняя энергия представляет собой дополнительную энергию движения отдельных частиц, не учитываемую при макроскопическом рассмотрении системы. Для системы, состоящей из N невращающихся частиц, полная внутренняя энергия просто равна поступательной кинетической энергии, т.е. U = 3NkT/2. Обычно для обозначения внутренней энергии тела или системы частиц используется символ U. Если система состоит из частиц типа молекул Н2О, которые могут вращаться в трех направлениях: U = Kпост + Квр, U = (3/2)NkT + (2/2)NkT = (5/2)NkT. 8.12. Тепловая энергия Если натирать стенки сосуда с водой, то при этом будет совершаться работа против диссипативной силы или силы трения. Температура (или внутренняя энергия) воды будет возрастать. При натирании подводится тепловая энергия, которая передается воде. Наряду с джоулем существует единица тепловой энергии, именуемая калорией (кал) и равная количеству энергии, необходимой для нагрева 1 г воды на 1 °С (или на 1 К). Собственно говоря, 1 кал = количество тепла для нагрева 1 г воды от 14,5 до 15,5 °С (определение калории). В системе СИ используется 1 ккал, равная количеству тепла для нагрева 1 кг воды на 1 °С (или 1 К). Третьей единицей тепла является пищевая калория, которую иногда пишут с заглавной буквы: 1 пищевая калория = 1 Калория = 1 ккал. Это устаревшая единица, и, чтобы не вызывать недоразумений, ее не следует использовать. При окислении одного грамма животных жиров освобождается около 10 ккал тепловой энергии. И наоборот, 1000 Калорий (= 1000 ккал) пищи могли бы привести к отложению 100 г жира, если бы вся пища усваивалась и накапливалась в виде жировых отложений. 1000 ккал достаточно для того, чтобы поднять тело человека на высоту 7 км. 8.10. Механический эквивалент тепла Чтобы избежать недоразумений, лучше в качестве единицы тепловой энергии вместо калории пользоваться джоулем. Соотношение между этими единицами носит название механического эквивалента тепла. Чтобы его измерить, производя определенное количество работы Fs над некоторым количеством воды. На стенки сосуда действует сила трения известной величины. Измеряется приращение температуры, обусловленное известным количеством работы, произведенной силой трения. Оказывается, что 4,185 Дж работы преобразуются в 1 кал тепла: 1 кал = 4,185 Дж (механический эквивалент тепла). Тепло представляет собой «скрытую» энергию частиц. Внутреннюю энергию (т.е. энергию частиц) тела можно увеличить, совершая над ним механическую работу либо приведя его в соприкосновение с более нагретым телом. Во втором случае тепловая энергия передается холодному телу от более нагретого. Механизм передачи тепла основан на выравнивании распределения энергии благодаря молекулярным соударениям. Молекулы менее нагретого тела приобретают энергию в результате соударений с более быстрыми молекулами нагретого тела. Известно, что для поддержания жизни человеку необходимо расходовать мощность в среднем 120 Вт. За сутки человек тратит энергию, равную (120 Вт)∙ (86400 с) =1,04107 Дж. Эквивалентное количество калорий, расходуемых человеком за сутки, равно 1,04 10 Дж 6 2,48 10 2480ккал 4,185 Дж/кал 7 10% этой энергии можно превратить в механическую работу mgh: mgh = 1,04106 Дж, 6 1 , 04 10 Дж откуда h (60 кг )(9,8 м/с ) 2 1,76км Человек, поднимающийся ежедневно на такую высоту, должен удвоить ежедневный рацион, чтобы сохранить свой вес. Если же рацион остается неизменным, то эти 2480 ккал будут потрачены за счет жировых отложений тела. А это значит, что в сутки человек будет терять около 250 г веса, поскольку 1 г жира соответствует 10 ккал. Лекция окончена Нажмите клавишу <ESC> для выхода
