Некоммутативная геометрия

НЕКОММУТАТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
доц. В.М. Мануйлов, проф. А.С. Мищенко, проф. Е.В. Троицкий
1. Элементы теории векторных расслоений и топологической K  теории.
1. Векторные расслоения.
2. Гомотопическая теория векторных расслоений.
3. K  группы.
4. Периодичность Ботта в K  теории.
5. Изоморфизм Тома.
6. Характеристические классы и характер Чженя.
7. Вычислительные методы K  теории.
2. Элементы теории операторных алгебр и модулей.
1. Элементы теории K  алгебр.
2. 1-я и 2-я теоремы Гельфанда-Наймарка. Формулировка спектральной теоремы.
3. Основные классы и примеры C *  алгебр (групповые C *  алгебры локально компактных групп, A F  алгебры, алгебра Калкина, алгебры иррационального вращения, алгебры Кунца, алгебры фон Неймана, факторы, ( C *  алгебры слоения, C *  алгебра группоидов, пространства с особенностями и их C *  алгебры).
4. Гильбертовы модули и операторы в них.
5. Теорема Каспарова о стабилизации.
6. Алгебры операторов в гильбертовых модулях. Мультипликаторы.
7. Теория гомотопий в категории C *  алгебр.
8. Вычисление K  групп для основных классов C *  алгебр.
3. Операторная K  теория.
1. Фредгольмовы представления и KK  функтор Каспарова. Определение и основные
свойства.
2. Эквивалентность различных определений KK  функтора (гомотопии и операторные гомотопии).
3. Техническая теорема Каспарова. Произведение-пересечение.
4. Описание Кунца для KK  теории.
5. Неточность KK  функтора,. Контрпример Скандалиса.
6. Асимптотические гомоморфизмы C *  алгебр. Пример матриц Войкулеску.
7. Определение E  теории Конна-Хигсона. Связь ее с K  и KK  теорией.
8. Точность и периодичность Ботта для E  теории.
4. Циклические (ко)гомологии.
1. Определение, основные свойства, бикомплексы.
2. (Ко)гомологии де Рама топологических алгебр. Связность на гильбертовом модуле.
Связь с классической дифференциальной геометрией.
3. Гомологии с внутренними симметриями.
4. Характер Чженя.
5. Эллиптические операторы и теоремы об индексе.
1. Струи, дифференциальные операторы.
2. Пространства Соболева, теоремы вложения.
3. Алгебра Сили, псевдодифференциальные операторы.
4. Изоморфизм Тома.
5. Аналитический и топологический индекс.
6. Аксиоматический подход.
7. Примеры: операторы Лапласа, Хирцебруха, Дирака.
8. Теорема об индексе.
9. C *  теорема об индексе.
10. Изоморфизм Тома-Конна-Фака-Скандалиса. K  гомологическая теорема об индексе.
11. Алгебраическая теорема об индексе.
6. Приложения некоммутативной геометрии к задачам топологии и геометрии.
1. Фундаментальная группа и инварианты многообразий, связанные с фундаментальной группой. Алгебраические комплексы Пуанкаре.
2. Высшие сигнатуры. Каноническое расслоение Мищенко как элемент KK  группы.
Гипотеза Новикова.
3. Аменабельные и гиперболические группы.
4. Теорема Конна-Московичи.
5. Кривизна и гипотеза Громова-Лоусона-Розенберга.
6. Гипотеза Баума-Конна.
7. K  аменабельность и другие свойства.
8. Структура орбит и модули.
9. Некоммутативный гармонический анализ и числа Раидемайстера.
10. Расширения C *  алгебр. Теорема Брауна-Дагласа-Филлмора.
11. Классификация расширений C *  алгебр.
Литература
1. Атья М. Лекции по K  теории. М., Мир, 1967.
2. Каруби М. K  теория. М., Мир, 1981.
3. Мануйлов В.М., Троицкий Е.В. C *  гильбертовы модули. М., Факториал, 2001.
4. Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения. М., Мир, 1984.
5. Соловьев Ю.П., Троицкий Е.В. C *  алгебры и эллиптические операторы в дифференциальной топологии. М., Факториал, 1996.
6. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства. М., Мир, 1970.
7. Loday J.-L. Cyclic homology. Springer, Berlin, 1992.
8. Connes A. Noncommutative Geometry. Academic Press, 1994.
9. Karoubi M. Homologie cychque et K  théorie. Astérisque № 149, 1987.
10. Jensen, Thomsen K. Elements of KK  theory.