Тема: Показательные неравенства

Показательные неравенства.
При решении простейших показательных неравенств 𝒂𝒇(𝒙) ≤ 𝒃, 𝒂𝒇(𝒙) ≥ 𝒃, используется
монотонность показательной функции: при 0 < 𝑎 < 1 функция убывающая, при 𝑎 > 1 –
возрастающая. Поэтому при рассмотрении показателей степеней в первом случае знак
неравенства меняется на противоположный, а во втором – сохраняется.
1. Решение простейших показательных неравенств
𝟑𝒙 < 81
Решение
Пояснения
𝒙
𝟑 < 81
преобразуем правую часть неравенства
Так как 3>1, то функция 𝑦 = 3𝑥 является
возрастающей, значит знак неравенства
сохраняется.
𝟑𝒙 < 𝟑𝟒
X<4
Ответ: 𝑥 ∈ (−∞; 4)
𝟏 𝒙
(𝟐) > √𝟖
2.
Решение
𝟏 𝒙
( ) > √𝟖
𝟐
Пояснения
преобразуем правую часть неравенства
𝟑
𝟏 𝒙
( ) > 𝟐𝟐
𝟐
1 𝑛
Используя свойство степени 𝑎−𝑛 = (𝑎)
имеем
1 𝑥
𝟑
𝟏 𝒙
𝟏 −𝟐
( ) >( )
𝟐
𝟐
𝒙<−
3
Так как функция 𝑦 = (2) - убывающая, то
знак неравенства меняется
𝟑
𝟐
Ответ: 𝑥 ∈ (−∞; − 2).
𝟑𝒙
𝟐 −𝒙
<9
3.
Решение
𝟐
𝟑𝒙 −𝒙 < 9
𝟑𝒙
𝟐 −𝒙
< 𝟑𝟐
𝑥2 − 𝑥 < 2
𝑥2 − 𝑥 − 2 < 0
Пояснения
преобразуем правую часть неравенства
Так как 3>1 ,то
Решим квадратное неравенство
2
-1
Ответ: 𝑥 ∈ (−1; 2)
4. Решение показательных неравенств заменой переменной
𝟏𝟔𝒙 + 𝟒𝒙 − 𝟐 > 0
Решение
Пояснения
Пусть 4𝑥 = 𝑡 , t>0.
𝟏𝟔𝒙 + 𝟒𝒙 − 𝟐 > 0
𝑡2 + 𝑡 − 2 > 0
Получим квадратное неравенство
Решим квадратное неравенство
1
-2
t
Решение
4 < −2 и 4 > 1
𝑥
Пояснения
Так как 4 = 𝑡, то получим два
неравенства
𝑥
4𝑥 < −2
Не имеет решений, т.к.
4𝑥 > 0, при всех 𝑥 ∈ 𝑅
𝑥
4𝑥 > 1
4𝑥 > 40
𝑥>0
Ответ: 𝑥 ∈ (0; +∞)
5.
Графическое решение показательных неравенств
1 𝑥
2
( ) =𝑥−
3
3
1 𝑥
2
Построим графики функций 𝑦 = (3) и 𝑦 = 𝑥 − 3
1 𝑥
𝑦 = (3)
y
2
𝑦 =𝑥−3
3
1
0
1
x
Из рисунка видно, что графики функций пересекаются в точке с абсциссой x ≈1.
Проверка показывает, что x=1 – корень данного уравнения.
1 1 1
2
( ) =
и 1− =1
3
3
3
Покажем, что других корней нет.
Функция
при
1 𝑥
2
𝑦 = (3) убывающая, а функция 𝑦 = 𝑥 − 3. – возрастающая. Значит,
x>1 значения первой функции меньше
при x<1 значения первой функции больше
1
1
3
3
, а второй больше ;
1
3
1
; а второй меньше .
3
Геометрически это означает, что графики этих функций при x<1 и x>1
«расходятся» и поэтому не могут иметь точек пересечения при 𝑥 ≠ 1.
Ответ: 1.
6.
𝟐 √𝟐−𝒙
(𝟓)
𝟐 𝒙
>( ) .
𝟓
Решение
Пояснения
Так как 0 <
2
< 1,
то
𝟐 √𝟐−𝒙
𝟐 𝒙
5
>( ) .
(𝟓)
𝟓
данное
неравенство
равносильно
неравенству
Область определения этого неравенства
√2 − 𝑥 < 𝑥
𝑥 ≤ 2.
При 𝑥 ≤ 0 оно не имеет решений, так как
√2 − 𝑥 ≥ 0
Решения неравенства, содержатся в промежутке 0 < 𝑥 ≤ 2.
Возведем неравенство в квадрат, получим
√2 − 𝑥 < 𝑥
𝟐
𝟐−𝒙<𝒙
Решим квадратное неравенство
𝒙𝟐 +x-2>0
Ответ: 𝑥 ∈ (1; 2]
-2
0
1
2
Задание для самостоятельного решения.
Решите неравенство:
1.3 x  2  31 x
2. x  0,5
x 2
2
3.
2
2 x
 3
4. 
 4
x 2  0 , 25
 4 0,5
6 x 10 x 2

1
x
27
64
6 5 x
 2  25 x 25
5. 

4
5
6 x
 6 x 1
x 1
7.3 x (3 x  31 x  4)  0
6.
8.2 2 x 1  3  2 x 1  1  0
Найдите наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству:
9.2  x  2
10.2 2 x  15  11x  11x  15  2 2 x 3
Найдите наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству:
11.3 2 x  3 3
81
12.3  5 x 1  6  5  x 1  x 1
5